TAREA DEJADA EN CLASE 3 SOBRE EL PUNTO FIJO

1. 1
TABLA DE CONTENIDOS
USO DEL METODO DEL PUNTO FIJO PARA APROXIMAR UNA RAIZ DE x3
– 4x2
+10= 0 EN EL
INTERVALO CERRADO ( 1,2) ................................................................................................................ 1
Grafica del polinomio, de g(x) y su derivada y de h(x) = x .................................................................. 2
¿COMO SE OBTIENE LA SOLUCIÓN EXACTA DE LA ECUACIÓN? X3
– 4X2
+10= 0 ................................ 3
A)SOLUCION REAL EN (1,2) DE X3 – 4X2 +10= 0 UTILIZANDO LA FORMULA DE CARDANO-FERRARI.. 3
B) RAICES REALES Y COMPLEJAS DEL POLINOMIO.......................................................................... 4
X3
– 4X2
+10= 0 OBTENIDAS CON EL SOFTWARE MAXIMA ................................................................. 4
¿QUE OTROS METODOS PUEDEN USARSE?........................................................................................ 4
EL METODO DE NEWTON RAPHSON............................................................................................... 4
USO DEL METODO DEL PUNTO FIJO PARA APROXIMAR
UNA RAIZ DE x3 – 4x2 +10= 0 EN EL INTERVALO
CERRADO ( 1,2)
1) Se utiliza como función g(x) =
10
( )
4
g x
x


Como g(x) es continua y decreciente en  1,2 .Entonces g(x) mapea  1,2 en
 1,2 O sea si    x 1,2 ( ) 1,2si g x   .Su maximo en el intervalo es g(1) =
10
2
5
 y su mímino es g(2)
10 15
6 3
 

2. 2
2) La derivada de esta función es
 
 
 
3
2
3
5 5 1
´( )
10 10 4( 4)
4
1
0 en 1,2 . la derivada es
4
estrictamente creciente en este intervalo
15
y por lo tanto queda acotada en este intervalo por M=g´(2)=
36
´
g x
xx
x
Como Entonces
x
Luego g
 
    
   

 
  
  

15
( ) 1 y entonces se garantiza la unicidad del punto fijo
36
x  
Grafica del polinomio, de g(x) y su derivada y de h(x) = x
Ahora se pueden usar iteraciones para puntos p0 que pertenecen al intervalo en
estudio.

3. 3
A continuacion se presentan 5 iteraciones para 3 puntos distintos en (1,2) para la
función g(x)
ITERACION P0 = 1 P0 = 1,5 P0 = 1,7
0 g(p0) g(p0) g(p0)
1 a) 2 1,4142 f)1,3484 k)1,32453
2 b)1,359040 g)1,36737 l)1,37043
3 c)1,3660182 h)1,36496 m)1,36456
4 d)1,365129 i)1,36526 n)1,36531
5 e)1,36524 j)1,365226 o)1,36521
f(a) =0,828 f(b) = -0,10191 f(c) = 0,01302 f(d) = -1,66x10-3 f(e) = 1,649x10-4
f(f) = -0,2756 f(g) = 0,0353 f(h) = -4,45x10-3 f(i) =-4,45x10-3 f(j) =-6,627x10-5
f(k) = -0,65875 f(l) = 0.08861 f(m) = -0,011060 f(n) =1321x10-3 f(o) =-3,30x10-4
¿COMO SE OBTIENE LA SOLUCIÓN EXACTA DE LA ECUACIÓN? X3 – 4X2
+10= 0
A)SOLUCION REAL EN (1,2) DE X3 – 4X2 +10= 0 UTILIZANDO LA FORMULA DE
CARDANO-FERRARI
Se puede obtener la solucion real exacta de P(x) = x3 +ax2 +bx+c= 0 mediante la
formula de Cardano que se muestra a continuación :
3 3
2 3
3 2
2 2 3
2 3
2 9 27 3
con q= y p=
27 3
q q a
x
q p
Donde
a ab c b a
 
      
   
     
   
  

4. 4
3 2
2 3
2 3 2 3
este caso particular de la ecuación x 4 10 0 se tiene :
4 b=0 c=-10 y por lo tanto :
3(0) 4 16 2 4 9(4)(0) 27( 10) 142
p= q=
3 3 27 27
142 16 35
:
2 3 54 9 27
En x
a
q p
Luego
Ent
  

 •   
   
        
          
       
3 3
:
71 35 71 35 4
1,365230013
27 27 27 27 3
onces
x       
B) RAICES REALES Y COMPLEJAS DEL POLINOMIO
X3 – 4X2 +10= 0 OBTENIDAS CON EL SOFTWARE MAXIMA
¿QUE OTROS METODOS PUEDEN USARSE?
EL METODO DE NEWTON RAPHSON
a) Se busca una primera aproximación en el interval dado. Esto puede
deducirse de la grafica de la función
b) Se usan aproximaciones sucesivas mediante la formula

5. 5
1
( )
siempre que ´( ) 0
´( )
n
n n n
n
f x
x x f x
f x
   
Graficamente se puede visualizar el método en la siguiente figura
Ejemplo.
Aplicar el metodo a la función polynomial que se ha venido analizando o sea
 3 2
( ) 4 10 en 1,2f x x x  
Solucion
1) La grafica de f(x) es :

6. 6
2) Se toma como punto inicial x0 = 1,5
Entonces como 3 2 2
( ) 4 10 ´( ) 3 8f x x x f x x x     
1
2
3
4
(1,5)
1,5 1,3737
´(1,5)
1,36526
1,36523
1,365230013
f
x
f
x
x
x
  


