FISICA I-UNMSM

1. TRATAMIENTODE DATOSEXPERIMENTALES
OBJETIVOS
Obtenergráficasde datosorganizadosentablas.
Construirecuacionesexperimentalese interpretarsucomportamiento.
MATERIALES:
Hojasde papel milimetrado.
Hojasde papel logarítmicas.
Hojasde papel semilogarítmica.
Se realizantrestiposde experimentos,que nosserviránreferidoaeste tema.
 La medidade laintensidadde corriente eléctricaconducidaporunhiloconductorde
nicrón,y de la diferenciade potencial aplicadaentre losextremos de este.Latabla2
muestradatosde este experimento.
TABLA 1
I (A) V (V)
0,5
1,5
2,0
4,0
2,18
4,36
8,72
17,44
 La medidadel tiempode evacuaciónde aguade undepósitoatravésde unallave de
ciento diámetros de salida.LaTabla 2 muestradatosde este experimento,tomadas
para cuatro llavesde diferentesdiámetrosytodasmedidasde igual alturade agua del
mismodepósito.
TABLA 2
h(cm) 30 20 10 4 1
d(cm) Tiempode Vaciadot(s)
1.5 73.0 59.9 43.0 26.7 13.5
2.0 41.2 33.7 23.7 15.0 7.8
3.0 18.4 14.9 10.5 6.8 3.7
5.0 6.8 5.3 3.9 2.6 1.5
7.0 3.2 2.7 2 1.3 0.8
 La medidade laactividadradiactivadel radón,donde el díacerose detectóuna
desintegraciónde 4,3x1018
núcleos.Losporcentajesde experimentaciónde losdemás
días se muestranenlaTabla 3.
TABLA 3
T (días) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
A (%) 100 84 70 59 49 41 34 27 24 20 17

2. III INFORMACIÓN TEÓRICA
Los datosobtenidosenunprocesode mediciónse organizanentablas.Lastablasde valoresasí
confeccionadasnosinformanacercade relacionesexistentesentre unamagnitudyotra.Una
alternativaparaestablecerdichasrelaciones,eshacerrepresentacionesgráficasenunsistema
de ejescoordenadoscondivisionesmilimetradas,logarítmicasosemilogarítmicassegúnseael
caso. De estasse buscan gráficaslineales(rectas), parafacilitarlaconstrucciónde lasfórmulas
experimentalesque representenlas leyesque gobiernanel fenómeno.
a) Se grafica enun papel milimetradolosvaloresde laTabla.
b) Se compara ladistribuciónde puntosobtenidaconcurvasconocidas
Si se lograidentificarlaformade ladistribuciónde lospuntos,el siguiente pasoes
realizarel ajuste de curvascorrespondiente mediantela técnicade mínimoscuadrados.El
modelode ajuste que utilizaremoseslineal,estosignificaque laecuaciónque se buscatiene la
formade unarecta cuya ecuaciónes
y = mx + b
Donde la pendiente myla ordenadaenel origenbson constantesadeterminar.El
ajuste de la distribuciónde puntosexperimentalesahorase puede automatizarmediante
programasde cómputoque facilitanel trabajo.
El primerpasoesllevarlosdatosexperimentalesaunpapel milimetrado.Si la
distribuciónde puntosnotiene unatendencialineal,se pasaa un papel logarítmicoo
semilogarítmico,enalgunode estospapelesladistribuciónde lospuntossaldráunalínearecta.
Para las relacionesde laformay = k x n
, n diferente a1,sus gráficosenel papel
logarítmicosonrectas con pendientem= n que cortan al eje vertical enb= k. Se recomienda
preferentemente usarpapel logarítmico3x 3, cada cicloestáasociadoa unapotenciade base
10. El origende uneje coordenadologarítmicopuede empezarcon10-1
, 100
, 101
, 102
, 103
, etc.
Para relacionesexponencialesse recomiendautilizarel papel semilogarítmico.
En papel milimetradotambiénse puedenconstruirgráficoslinealesparaecuacionesde
curvas.Esto dependeráde losvaloresasignadosalosejescoordenados.Paraestoesnecesario
tratar los datos.
3.1 MÉTODO DE MÍNIMOS CUADRADOS
De ladistribuciónlineal de puntosobtenidaenel papel milimetrado, logarítmicoo
semilogarítmicose calculanlapendientemyla ordenadab.El métodode ajuste másadecuado
para una distribuciónlinealeslatécnicade mínimoscuadrados.
Para aplicaresta técnicaprimerose construye unatablade la forma:
xi yi xiyi xi
2
x1 y1
x1y1 x1
2
x2 y2
x2y2 x2
2
.
.
xp
.
.
yp
.
.
xpyp
.
.
xp
2
 ix  iy  iiyx  2x

3. Se calculanla pendienteylaordenadaenel origen:
𝒎 =
𝒑∑ 𝒙 𝒊 𝒚 𝒊−∑ 𝒙 𝒊 ∑ 𝒚 𝒊
𝒑 ∑( 𝒙 𝒊) 𝟐−(∑ 𝒙 𝒊) 𝟐
𝒃 =
∑ 𝒙 𝒊
𝟐 𝒚 𝒊−∑ 𝒙 𝒊 ∑ 𝒙 𝒊 𝒚 𝒊
𝒑 ∑( 𝒙 𝒊) 𝟐−(∑ 𝒙 𝒊) 𝟐
donde “p” esel númerode mediciones.
Luegola fórmulaexperimental eslaecuaciónde larecta: y = mx + b
Una vez ajustadaladistribuciónlineal,se procede ahacerloscálculosa finde encontrar
la fórmulaexperimental buscada.
En loscasos de las distribucioneslinealesenpapeleslogarítmicoysemilogarítmicolas
fórmulasexperimentalesson:
y = b xm Se grafica enpapel logarítmico
y = b 10mx
, y = be2,303mx
Se graficaenpapel semilogarítmico
Donde se consideraque 10 = e2,303
Dado que enel ajuste lineal esporel métodode los mínimoscuadradoslatablase
convierte enlogarítmicaysemilogarítmica,cuidandode colocarlosvaloresconunmínimode
cuatro decimalesde redondeoencadacolumna.Observe que lasecuacionesde larectaenesas
escalasson :
log y = m log x + log b, y log y = m x + log b
La ordenadaenel origenbobtenidaporlafórmulaseráb’, que corresponde a log b,por
loque b se calculacomo antilogaritmode b’.Así b = anti log b’
En caso de noser necesariohacerel ajuste,mse calculacon la pendiente de la
distribuciónlinealdonde el valorde bse toma comoel puntocorrespondienteal corte de la
prolongaciónde larecta con el eje vertical.
Se recomiendaverel métodode losmínimoscuadradosenunlibrode estadística.
3.2 MÉTODO DE APROXIMACIÓN DEPARESDE PUNTOS
Para utilizareste métododebemostenerpresente lassiguientesconsideraciones:
a) Se aplicaa gráficasdonde lospuntosdel eje horizontal estánigualmente espaciados.
b) Los puntosse dividenendosgruposiguales.Un grupo para valoresbajos de y, otro grupo
para valoresaltosde y.
c) A continuaciónse apareanlospuntosunode cada grupo.
d) Luego se calcula ladiferenciade losvaloresde yparacada par de puntos.
e) A continuaciónse calculael valormediode lasdiferenciasΔy.
f) Por la primeraconsideraciónse sabe que ladistanciaΔx entre cadapar de puntosesla misma,
por lotanto la pendiente de larectaajustadaserá:
m = Δy
Δx

4. g) Se determinael valormediode x yel valormediode y.
h) Como la mejorrectaajustadadebe pasarpor el punto(x,y) conuna pendienteigual am,
entonceslaecuaciónde larecta será :
y = mx + ( y - mx )
IV APLICACIONES
GRAFIQUE LAS SIGUIENTESDISTRIBUCIONES:
A) DE LA TABLA 1:
GRAFIQUEEN UNA HOJA DE PAPELMILIMETRADO 𝑽 VS. 𝒊.
La graficade estasmagnitudeses de laforma lineal,porlotantolaecuaciónde la recta será:
y = mx + b
Hallando“m” y “b” para la ecuación:
m =
4(92.65)− 7.5(32.7)
4(21.25)− (7.5)2
= 4.36
𝑏 =
21.25(32.7)− 7.5(92.65)
4(21.25)− (7.5)²
= 0
ECUACIÓN DE LA TABLA: 𝑌 = 4.36𝑋 + 0
DELA TABLA 2:
GRAFIQUE EN UNA HOJA DE PAPEL MILIMETRADO 𝒕 VS. 𝑫 PARA CADA ALTURA:
El comportamientode cadagraficarespectoa su altura,esde la forma potencial porlotanto
h(cm) 30 20 10 4 1
d(cm) Tiempode Vaciadot(s)
1,5 73,0 59.9 43,0 26,7 13,5
2,0 41,2 33.7 23,7 15,0 7,8
3,0 18,4 14.9 10,5 6,8 3,7
5,0 6,8 5.3 3,9 2,6 1,5
7 3.2 2.7 2 1.3 0.8
 PARA:h=30
I V IxV I²
0.5 2.18 1.09 0.25
1 4.36 4.36 1
2 8.72 17.44 4
4 17.44 69.76 16
∑I=7.5 ∑V=32.7 ∑IV=92.65 ∑I²=21.25

5. Log(d) Log(t) Log(d)Log(t) (Log(d))²
0.1760 1.8633 0.3279 0.0309
0.3010 1.6148 0.4860 0.0906
0.4771 1.2648 0.6034 0.2276
0.6989 0.8325 0.5818 0.4884
0.8450 0.5051 0.4268 0.7140
∑Log(d)=2.4980 ∑Log(t)=6.0805 ∑Log(d)Log(t)=2.4259 ∑(Log(d))²=1.5515
Hallando“m” y “b” para la ecuación:
𝑚 =
5(2.4259)− 2.4980(6.0805)
5(1.5515)− (2.4980)²
= -2.0161
𝑏 =
1.5515(6.0805)− 2.4980(2.4259)
5(1.5515)− (2.4980)²
= 2.2233
ECUACIÓN DE LA TABLA: 𝑌 = 102.2233 𝑋−2.0161
 PARA:h=20
Log(d) Log(t) Log(d)Log(t) (Log(d))²
0.1760 1.7774 0.3128 0.0309
0.3010 1.5276 0.4598 0.0906
0.4771 1.1731 0.5596 0.2276
0.6989 0.7242 0.5061 0.4884
0.8450 0.4313 0.3644 0.7140
∑Log(d)=2.4980 ∑Log(t)=5.6336 ∑Log(d)Log(t)=2.2027 ∑(Log(d))²=1.5515
Hallando“m” y “b” para la ecuación:
𝑚 =
5(2.2027)− 2.4980(5.6336)
5(1.5515)− (2.4980)²
= -2.0159
𝑏 =
1.5515(5.6336)− 2.4980(2.2027)
5(1.5515)− (2.4980)²
= 2.1339
ECUACIÓN DE LA TABLA: 𝑌 = 102.1339 𝑋−2.0159
 PARA:h=10
Log(d) Log(t) Log(d)Lg(t) (Log(d))²
0.1760 1.6334 0.2874 0.0309
0.3010 1.3747 0.4137 0.0906
0.4771 1.0211 0.4871 0.2276
0.6989 0.5910 0.4130 0.4884
0.8450 0.3010 0.2543 0.7140
∑Log(d)=2.4980 ∑Log(t)=4.9212 ∑Log(d)Log(t)=1.8555 ∑(Log(d))²=1.5515
Hallando“m” y “b” para la ecuación:

6. 𝑚 =
5(1.8555)− 2.4980(4.9212)
5(1.5515)− (2.4980)²
= -1.9872
𝑏 =
1.5515(4.9212)− 2.4980(1.8555)
5(1.5515)− (2.4980)²
= 1.9770
ECUACIÓN DE LA TABLA: 𝑌 = 101.9770 𝑋−1.9872
 PARA:h=4
Log(d) Log(t) Log(d)Log(t) (Log(d))²
0.1760 1.4265 0.2510 0.0309
0.3010 1.1760 0.3559 0.0906
0.4771 0.8325 0.3971 0.2276
0.6989 0.4149 0.2899 0.4884
0.8450 0.1139 0.0962 0.7140
∑Log(d)=2.4980 ∑Log(t)=3.9638 ∑Log(d)Log(t)=1.3881 ∑(Log(d))²=1.5515
Hallando“m” y “b” para la ecuación:
𝑚 =
5(1.3881)− 2.4980(3.9638)
5(1.5515)− (2.4980)²
= -1.9512
𝑏 =
1.5515(3.9638)− 2.4980(1.3881)
5(1.5515)− (2.4980)²
= 1.7676
ECUACIÓN DE LA TABLA: 𝑌 = 101.7676 𝑋−1.9512
 PARA:h=1
Log(d) Log(t) Log(d)Log(t) (Log(d))²
0.1760 1.1303 0.1989 0.0309
0.3010 0.8920 0.2684 0.0906
0.4771 0.5682 0.2710 0.2276
0.6989 0.1760 0.1230 0.4884
0.8450 -0.0969 -0.0818 0.7140
∑Log(d)=2.4980 ∑Log(t)=2.6696 ∑Log(d)Log(t)=0.7795 ∑(Log(d))²=1.5515
Hallando“m” y “b” para la ecuación:
𝑚 =
5(0.7795)− 2.4980(2.6696)
5(1.5515)− (2.4980)²
= -1.8260
𝑏 =
1.5515(2.6696)− 2.4980(0.7795)
5(1.5515)− (2.4980)²
= 1.4462
ECUACIÓN DE LA TABLA: 𝑌 = 101.4462 𝑋−1.8260

7. GRAFIQUE EN UNA HOJA DE PAPEL LOGARÍTMICO 𝒕 vs. 𝒉 PARA CADA DIÁMETRO.
 PARA:D=1.5
Log(h) Log(t) Log(h)Log(t) (Log(h))²
1.4771 1.8633 2.7522 2.1818
1.3010 1.7774 2.3123 1.6926
1 1.6334 1.6334 1
0.6020 1.4265 0.8587 0.3624
0 1.1303 0 0
∑Log(h)=4.3801 ∑Log(t)=7.8309 ∑Log(h)Lg(t)=7.5566 ∑(Log(h))²=5.2368
Hallando“m” y “b” para la ecuación:
𝑚 =
5(7.5566)− 4.3801(7.8309)
5(5.2368)− (4.3801)²
= 0.4976
𝑏 =
5.2368(7.8309)− 4.3801(7.5566)
5(5.2368)− (4.3801)²
= 1.1302
ECUACIÓN DE LA TABLA: 𝑌 = 101.1302 𝑋0.4976
 PARA:D=2
Log(h) Log(t) Log(h)Log(t) (Log(h))²
1.4771 1.6148 2.3852 2.1818
1.3010 1.5276 1.9874 1.6926
1 1.3747 1.3747 1
0.6020 1.1760 0.7079 0.3624
0 0.8920 0 0
∑Log(h)=4.3801 ∑Log(t)=6.5851 ∑Log(h)Log(t)=6.4552 ∑(Log(h))²=5.2368
Hallando“m” y “b” para la ecuación:
𝑚 =
5(6.4552)− 4.3801(6.5851)
5(5.2368)− (4.3801)²
= 0.4904
𝑏 =
5.2368(6.5851)− 4.3801(6.4552)
5(5.2368)− (4.3801)²
= 0.8873
ECUACIÓN DE LA TABLA: 𝑌 = 100.8873 𝑋0.4904
 PARA:D=3
Log(h) Log(t) Log(h)Lg(t) (Log(h))²
1.4771 1.2648 1.8682 2.1818
1.3010 1.1731 1.5262 1.6926
1 1.0211 1.0211 1
0.6020 0.8325 0.5011 0.3624
0 0.5682 0 0
∑Log(h)=4.3801 ∑Log(t)=4.8597 ∑Log(h)Lg(t)=4.9166 ∑(Logv)²=5.2368

8. Hallando“m” y “b” para la ecuación:
𝑚 =
5(4.9166)− 4.3801(4.8597)
5(5.2368)− (4.3801)²
= 0.4710
𝑏 =
5.2368(4.8597)− 4.3801(4.9166)
5(5.2368)− (4.3801)²
= 0.5592
ECUACIÓN DE LA TABLA: 𝑌 = 100.5592 𝑋0.4710
 PARA:D=5
Log(h) Log(t) Log(h)Log(t) (Log(h))²
1.4771 0.8325 1.2296 2.1818
1.3010 0.7242 0.9421 1.6926
1 0.5910 0.5910 1
0.6020 0.4149 0.2497 0.3624
0 0.1760 0 0
∑Log(h)=4.3801 ∑Log(t)=2.7386 ∑Log(h)Log(t)=3.0124 ∑(Log(h))²=5.2368
Hallando“m” y “b” para la ecuación:
𝑚 =
5(3.0124)− 4.3801(2.7386)
5(5.2368)− (4.3801)²
= 0.4381
𝑏 =
5.2368(2.7386)− 4.3801(3.0124)
5(5.2368)− (4.3801)²
= 0.1638
ECUACIÓN DE LA TABLA: 𝑌 = 100.1638 𝑋0.4381
 PARA:D=7
Log(h) Log(t) Log(h)Log(t) (Log(h))²
1.4771 0.5051 0.7460 2.1818
1.3010 0.4313 0.5611 1.6926
1 0.3010 0.3010 1
0.6020 0.1139 0.0685 0.3624
0 -0.0969 0 0
∑Log(h)=4.3801 ∑Log(t)=1.2544 ∑Log(h)Log(t)=1.6766 ∑(Log(h))²=5.2368
Hallando“m” y “b” para la ecuación:
𝑚 =
5(1.6766)− 4.3801(1.2544)
5(5.2368)− (4.3801)²
= 0.4127
𝑏 =
5.2368(1.2544)− 4.3801(1.6766)
5(5.2368)− (4.3801)²
= -0.1106
ECUACIÓN DE LA TABLA: 𝑌 = 10−0.1106 𝑋0.4127

9. HAGA EL SIGUIENTE CAMBIO DE VARIABLE 𝒛=
𝟏
𝑫²
Y GRAFIQUE 𝒕=𝒕(𝒛)EN PAPEL
MILIMETRADO.
 PARA:h=30
X Y XY X²
0.4444 73 32.4444 0.1975
0.25 41.2 10.3 0.0625
0.1111 18.4 2.0444 0.0123
0.04 6.8 0.272 0.0016
0.0204 3.2 0.0653 0.0004
∑X=0.8659 ∑Y=142.6 ∑XY=45.126 ∑X²=0.2743
Hallando“m” y “b” para la ecuación:
𝑚 =
5(45.1261)− 0.8659(142.6)
5(0.2743)− (0.8659)²
= 164.2862
𝑏 =
0.2743(142.6)− 0.8659(45.1261)
5(0.2743)− (0.8659)²
= 0.0651
ECUACIÓN DE LA TABLA: 𝑌 = 164.2862𝑋 + 0.0651
 PARA:h=20
X Y XY X²
0.4444 59.9 26.6222 0.1975
0.25 33.7 8.425 0.0625
0.1111 14.9 1.6555 0.0123
0.04 5.3 0.212 0.0016
0.0204 2.7 0.0551 0.0004
∑X=0.8659 ∑Y=114.5 ∑XY=36.9698 ∑X²=0.2743
Hallando“m” y “b” para la ecuación:
𝑚 =
5(36.9698)− 0.8659(114.5)
5(0.2743)− (0.8659)²
= 137.8312
𝑏 =
0.2743(114.5)− 0.8659(36.9698)
5(0.2743)− (0.8659)²
= -0.9726
ECUACIÓN DE LA TABLA: 𝑌 = 137.8312𝑋 - 0.9726
 PARA:h=10
X Y XY X²
0.4444 43 19.1111 0.1975
0.25 23.7 5.925 0.0625
0.1111 10.5 1.1666 0.0123
0.04 3.9 0.156 0.0016
0.0204 2 0.0408 0.0004
∑X=0.8659 ∑Y=83.1 ∑XY=26.3995 ∑X²=0.2743

10. Hallando“m” y “b” para la ecuación:
𝑚 =
5(26.3995)− 0.8659(83.1)
5(0.2743)− (0.8659)²
= 95.5604
𝑏 =
0.2743(83.1)− 0.8659(26.3995)
5(0.2743)− (0.8659)²
= -0.1045
ECUACIÓN DE LA TABLA: 𝑌 = 95.5604𝑋 - 0.1045
 PARA:h=4
X Y XY X²
0.4444 26.7 11.8666 0.1975
0.25 15 3.75 0.0625
0.1111 6.8 0.7555 0.0123
0.04 2.6 0.104 0.0016
0.0204 1.3 0.0265 0.0004
∑X=0.8659 ∑Y=52.4 ∑XY=16.5027 ∑X²=0.2743
Hallando“m” y “b” para la ecuación:
𝑚 =
5(16.5027)− 0.8659(52.4)
5(0.2743)− (0.8659)²
= 59.7304
𝑏 =
0.2743(52.4)− 0.8659(16.5027)
5(0.2743)− (0.8659)²
= 0.1346
ECUACIÓN DE LA TABLA: 𝑌 = 59.7304𝑋 + 0.1346
 PARA:h=1
X Y XY X²
0.4444 13.5 6 0.1975
0.25 7.8 1.95 0.0625
0.1111 3.7 0.4111 0.0123
0.04 1.5 0.06 0.0016
0.0204 0.8 0.0163 0.0004
∑X=0.8659 ∑Y=114.5 ∑XY=8.4374 ∑X²=0.2743
Hallando“m” y “b” para la ecuación:
𝑚 =
5(8.4374)− 0.8659(27.3)
5(0.2743)− (0.8659)²
= 29.8295
𝑏 =
0.2743(27.3)− 0.8659(8.4374)
5(0.2743)− (0.8659)²
= 0.2933
ECUACIÓN DE LA TABLA: 𝑌 = 29.8295𝑋 + 0.2933

11. DE LA TABLA 3:
GRAFIQUE EN UNA HOJA DE PAPEL MILIMETRADO 𝐴 vs. 𝑡.
GRAFIQUE EN UNA HOJA DE PAPEL SEMILOGARÍTMICO 𝐴 vs. 𝑡.
X LogY XLogY X²
0 2 0 0
1 1.9242 1.9242 1
2 1.8450 3.69 4
3 1.7708 5.3124 9
4 1.6901 6.7604 16
5 1.6127 8.0635 25
6 1.5314 9.1884 36
7 1.4313 10.0191 49
8 1.3802 11.0416 64
9 1.3010 11.709 81
10 1.2304 12.3040 100
∑X=55 ∑LogY=17.7171 ∑XLogY=80.0126 ∑X²=385
Hallando“m” y “b” para la ecuación:
𝑚 =
11(80.0126)− 55(17.7171)
11(385)− (55)²
= -0.0779
𝑏 =
385(17.7171)− 55(80.0126)
11(385)− (55)²
= 2.0003
ECUACIÓN DE LA TABLA: 𝑌 = 102.0003 10−0.0779𝑋
x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Y 100 84 70 59 49 41 34 27 24 20 17