Pert Cpm

19 de Agosto del 2014
INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITÉCNICO
“SANTIAGO MARIÑO”
EXTENSIÓN BARINAS
SAIA NUCLEO SAN FELIPE
Integrante: Petit Vásquez Ángel David
Carrera: Ingeniería Industrial
Profesor: Mariangela Pinto
Curso: Investigación de Operaciones I

INTRODUCCION
La problemática de la planeación de proyectos no ha sido una problemática
reciente, si no que desde tiempos pasados nuestros antepasados han enfrentado
emprendimientos de gran envergadura que significaron una problemática desde el punto
de la planificación.
Actualmente se han logrado perfeccionar herramientas que permiten a los
administradores de dichos proyectos, realizar una labor más eficiente permitiendo una
óptima aplicación de los recursos en las mismas y logrando una maximización de los
mismos.
Admitiendo que la ejecución de un proyecto o elaboración se puede subdividir en
planear, programar y controlar, y hablando de manera clásica, podemos considerar las
técnicas PERT (Program Evaluation aand review Technique) y el CPM (Critical Path
Method,) que son los más usuales para un primer cometido. En general estas técnicas
resultan útiles para una gran variedad de proyectos que contemplen:
Investigación y desarrollo de nuevos productos y procesos.
Construcción de plantas, edificios, y carreteras.
Diseño de equipo grande y complejo.
Diseño e instalación de sistemas nuevos.
Diseño y control de epidemias,
y otras múltiples aplicaciones en las cuales se requiera una planificación adecuada.
En los proyectos como estos, los administradores deben programas, coordinar las
diversas tareas o actividades a desarrollar un proyecto, las cuales no necesariamente son
secuenciales, y aun en este caso estas actividades son interdependientes. Si bien es cierto
que, algunas actividades en paralelo que originan una tercera.
Las preguntas esenciales de la elaboración de un proyecto comprenden:
Cuál es el tiempo que se requiere para terminar el proyecto.
Cuáles son las fechas programadas de inicio y finalización del proyecto.
Que actividades son críticas y deben terminarse exactamente según lo programado
para poder mantener el proyecto según el cronograma.
Cuales actividades pueden ser demoradas sin afectar el tiempo de terminación del
proyecto.

DEFINICIÓN DE CPM Y PERT
PERT. Las traducción de las siglas en inglés significan: técnica de revisión y
evaluación de programas, es una técnica de redes desarrollado en la década de los 50,
utilizada para programar y controlar programas a realizar. Cuando hay un grado extremo
de incertidumbre y cuando el control sobre el tiempo es más importante sobre el control
del costo, PERT es mejor opción que CPM.
CPM. La traducción de las siglas en inglés significan: método del camino crítico, es
uno de los sistemas que siguen los principios de redes, que fue desarrollado en 1957 y es
utilizado para planear y controlar proyectos, añadiendo el concepto de costo al formato
PERT. Cuando los tiempos y costos se pueden estimar relativamente bien, el CPM puede
ser superior a PERT.
Actividad. Es un trabajo que se debe llevar a cabo como parte de un proyecto, es
simbolizado mediante una rama de la red de PERT.
Lista de actividades. Es una lista cuidadosa y ordenada donde se recopilan todas
las diferentes actividades que intervienen en la realización de un proyecto.
Evento. Se dice que se realiza un evento, cuando todas las actividades que llegan a
un mismo nodo han sido terminadas. Son los círculos numerados que forman parte del
diagrama de red y representan el principio y el fin de las actividades que intervienen en el
proyecto.
Rama. Son las flechas que forman Parte del diagrama de red y significan las
actividades en el proyecto.
Ruta crítica o camino crítico. Camino es una secuencia de actividades conectadas,
que conduce del principio del proyecto al final del mismo, por lo que aquel camino que
requiera el mayor trabajo, es decir, el camino más largo dentro de la red, viene siendo la
ruta crítica o el camino crítico de la red del proyecto.
Predecesor Inmediato. Es una actividad que debe Preceder (estar antes)
inmediatamente a una actividad dada en un proyecto, también nombradas prioridades
inmediatas.
Diagrama de red. Es una red de círculos numerados y conectados con flechas,
donde se muestran todas las actividades que intervienen en un determinado proyecto y la
relación de prioridad entre las actividades en la red.
Actividad ficticia. Actividades imaginarias que existen dentro del diagrama de red,
sólo con el Propósito de establecer las relaciones de precedencia y no se les asigna tiempo
alguno, es decir, que la actividad ficticia Permite dibujar redes con las relaciones de
Precedencia apropiadas, se representa por medio de una línea punteada.
Holgura. Es el tiempo libre en la red, es decir, la cantidad de tiempo que puede
demorar una actividad sin afectar la fecha de terminación del, proyecto total.
Distribución beta. Distribución utilizada para la estimación del tiempo de actividad
esperado en el PERT, esta estimación se basa en el supuesto de que el tiempo de la
actividad es una variable aleatoria cuya Probabilidad tiene una distribución beta unimodal.
Tiempo optimista. Es el tiempo mínimo o más corto posible en el cual es probable
que sea terminada una actividad si todo marcha a la Perfección, utilizado en el PERT y
simbolizado con a.

Tiempo más probable. Es el tiempo que esta actividad sea más probable que tome
sí se repitiera una y otra vez, en otras palabras, es el tiempo normal que se necesita en
circunstancias ordinarias, utilizado en el PERT y simbolizado con m.
Tiempo pesimista. Es el tiempo máximo o más largo posible en el cual es probable
sea terminada una actividad bajo las condiciones más desfavorables, utilizado en el PERT y
simbolizado con b.
Tiempo esperado para una actividad. Es el tiempo calculado en el PERT usando el
promedio ponderado (a+4m+b)/6.
Tiempo normal. Es el tiempo en el CPM requerido para terminar una actividad si
esta se realiza en forma normal. Es el tiempo máximo para terminar una actividad con el
uso mínimo de recurso, el tiempo normal se aproxima al tiempo estimado probable en
PERT.
Tiempo acelerado. Tiempo en el CPM que sería requerido si no se evita costo
alguno con tal de reducir el tiempo del proyecto. Tiempo mínimo posible para terminar
una actividad con la concentración máxima de recursos.
ANTECEDENTES
Dos son los orígenes del método del camino crítico: el método PERT (Program
Evaluation and Review Technique) desarrollo por la Armada de los Estados Unidos de
América, en 1957, para controlar los tiempos de ejecución de las diversas actividades
integrantes de los proyectos espaciales, por la necesidad de terminar cada una de ellas
dentro de los intervalos de tiempo disponibles. Fue utilizado originalmente por el control
de tiempos del proyecto Polaris y actualmente se utiliza en todo el programa espacial.
El método CPM (Crítical Path Method), el segundo origen del método actual, fue
desarrollado también en 1957 en los Estados Unidos de América, por un centro de
investigación de operaciones para la firma Dupont y Remington Rand, buscando el control
y la optimización de los costos de operación mediante la planeación adecuada de las
actividades componentes del proyecto.
Ambos métodos aportaron los elementos administrativos necesarios para formar
el método del camino crítico actual, utilizando el control de los tiempos de ejecución y los
costos de operación, para buscar que el proyecto total sea ejecutado en el menor tiempo
y al menor costo posible.

USOS
El campo de acción de este método es muy amplio, dada su gran flexibilidad y
adaptabilidad a cualquier proyecto grande o pequeño. Para obtener los mejores
resultados debe aplicarse a los proyectos que posean las siguientes características:
1. Que el proyecto sea único, no repetitivo, en algunas partes o en su totalidad.
2. Que se deba ejecutar todo el proyecto o parte de el, en un tiempo mínimo, sin
variaciones, es decir, en tiempo crítico.
3. Que se desee el costo de operación más bajo posible dentro de un tiempo
disponible.
Dentro del ámbito aplicación, el método se ha estado usando para la planeación y
control de diversas actividades, tales como construcción de presas, apertura de caminos,
pavimentación, construcción de casas y edificios, reparación de barcos, investigación de
mercados, movimientos de colonización, estudios económicos regionales, auditorias,
planeación de carreras universitarias, distribución de tiempos de salas de operaciones,
ampliaciones de fábrica, planeación de itinerarios para cobranzas, planes de venta, censos
de población, etc., etc.
DIFERENCIAS ENTRE LOS METODOS PERT Y CPM
La principal diferencia entre los métodos es la manera en que se realizan los
estimativos de tiempo.
PERT
Probabilístico.
Considera que la variable de tiempo es una variable desconocida de la cual solo se
tienen datos estimativos.
El tiempo esperado de finalización de un proyecto es la suma de todos los tiempos
esperados de las actividades sobre la ruta crítica.
Suponiendo que las distribuciones de los tiempos de las actividades son
independientes, (una suposición fuertemente cuestionable), la varianza del
proyecto es la suma de las varianzas de las actividades en la ruta crítica.
Considera tres estimativos de tiempos: el más probable, tiempo optimista, tiempo
pesimista.
CPM
Deterministico. Ya que considera que los tiempos de las actividades se conocen y
se pueden variar cambiando el nivel de recursos utilizados.
A medida que el proyecto avanza, estos estimados se utilizan para controlar y
monitorear el progreso. Si ocurre algún retardo en el proyecto,
se hacen esfuerzos por lograr que el proyecto quede de nuevo en programa
cambiando la asignación de recursos.
Considera que las actividades son continuas e interdependientes, siguen un orden
cronológico y ofrece parámetros del momento oportuno del inicio de la actividad.
Considera tiempos normales y acelerados de una determinada actividad, según la
cantidad de recursos aplicados en la misma.

VENTAJAS PERT y CPM
1. Enseña una disciplina lógica para planificar y organizar un programa detallado de
largo alcance.
2. Proporciona una metodología Standard de comunicar los planes del proyecto
mediante un cuadro de tres dimensiones (tiempo, personal; costo).
3. Identifica los elementos (segmentos) más críticos del plan, en que problemas
potenciales puedan perjudicar el cumplimiento del programa propuesto.
4. Ofrece la posibilidad de simular los efectos de las decisiones alternativas o
situaciones imprevistas y una oportunidad para estudiar sus consecuencias en
relación a los plazos de cumplimiento de los programas.
5. Aporta la probabilidad de cumplir exitosamente los plazos propuestos.
6. En otras palabras: CPM es un sistema dinámico, que se mueve con el progreso del
proyecto, reflejando en cualquier momento el STATUS presente del plan de acción.
DEFINICIÓN DEL PROYECTO
En toda actividad a realizar se requieren conocimientos precisos y claros de lo que
se va a ejecutar, de su finalidad, viabilidad, elementos disponibles, capacidad financiera,
etc. Esta etapa aunque esencial para la ejecución del proyecto no forma parte del método.
Es una etapa previa que se debe desarrollar separadamente y para la cual también puede
utilizarse el Método del Camino Critico. Es una investigación de objetivos, métodos y
elementos viables y disponibles.
CONSTRUCCIÓN DE DIAGRAMAS DE PERT - CPM
LISTADO DE LAS ACTIVIDADES QUE CONSTITUYEN UN DIAGRAMA.
Lo primero que hay que hacer para constituir un diagrama PERT es organizar una
lista, lo más completa posible, de todas las actividades que constituyen la obra o proyecto.
Para ello es necesario que la persona que va a hacer el PERT/CPM estudie
cuidadosamente el proyecto y se valga de las informaciones de todas las demás personas
que estén relacionadas con las mismas, tales como ingenieros, técnicos, fabricantes de
materiales, ensambladores, maestros y cualesquiera otros auxiliares que puedan
proporcionar una información.
El grado de subdivisión que se adopte depende, entre otras cosas, del grado de
precisión que se trata de dar al futuro control del proyecto. Cuando más detallada es la
lista, menores son las probabilidades de errores grandes. Los errores pasan a ser
solamente de detalle. Agréguese al final cualquier cosa que haya quedado olvidada. La
numeración de las actividades es solamente una referencia. No tiene importancia alguna
en la construcción y en la interpretación de un diagrama PERT/CPM.
NUMERACIÓN DE LOS EVENTOS
Después de realizado un diagrama PERT, debemos numerar los eventos. La manera
más correcta de hacerlo es la siguiente: Se numera cada evento, saltando de uno a otro en
el sentido de las flechas que representan las actividades, teniendo cuidado de no numerar

ninguno, sin que todos los demás que lo precedan en el diagrama hayan sido ya
numerados. Así, antes debemos enumerar un evento, verificaremos cuántas flechas llegan
a él.
Siguiendo esas flechas en sentido inverso verificaremos si los eventos donde ellas
se originan han sido ya numerados. Sólo después que hayamos comprobado esto daremos
a ese evento el número siguiente al del último utilizado.
CONSTRUCCIÓN DE UN DIAGRAMA PERT- CPM.
En el caso diagrama, los vértices serán los sucesos y los arcos las actividades,
debiendo cumplirse una serie de condiciones:
El diagrama sólo tendrá un suceso inicial y otro final.
Toda actividad, a excepción de la que salga del suceso inicial o llegue al suceso
final, tendrá, al menos, una actividad precedente y otra siguiente. Como se observa en el
cuadro de red lógica.
•Toda actividad ij llegará a un suceso de orden superior al del que sale (i< j).

•No podrán existir dos actividades que, teniendo el mismo suceso inicial, tengan el mismo
suceso final, o viceversa.
La primera condición obliga a que, tanto el comienzo del proyecto como el final del
mismo, sean únicos; así, por ejemplo, si un proyecto puede comenzar con la realización de
varias actividades simultáneamente, todas ellas saldrán del suceso inicial. La segunda, una
vez cumplida la primera, implica que cualquier actividad representada en el diagrama
formará parte del un camino que comenzara en el suceso inicial y terminará en el final. En
estos caminos no existirán retornos, ya que, implícitamente, esa es la condición impuesta
en tercer lugar. La cuarta impide que dos actividades distintas tengan la misma
denominación.
Algunas veces, el cumplimiento de las citadas reglas puede impedir el plantear las
relaciones de prelación de algunas actividades. Cuando ello sucede, se recurre al empleo
de actividades ficticias; éstas no consumen tiempo ni ningún tipo de recurso, siendo su
única finalidad resolver los problemas de dependencia mencionados.
Para comenzar a construir el diagrama se parte del conocimiento de todas las
actividades que componen el proyecto, así como de sus relaciones de prelación. Es muy
conveniente recoger esta información de una forma sistematizada, ya que ello ayudará en
gran medida a construir el diagrama. Existen, básicamente, dos formatos para esto, la
matriz de encadenamiento y la tabla de precedencias.
METODOLOGÍA
EL MÉTODO DEL CAMINO CRÍTICO CONSTA DE DOS CICLOS
1. Planeación y Programación.
1.1.- Definición del proyecto
1.2.- Lista de Actividades
1.3.- Matriz de Secuencias
1.4.- Matriz de Tiempos
1.5.- Red de Actividades
1.6.- Costos y pendientes
1.7.- Compresión de la red
1.8.- Limitaciones de tiempo, de recursos y económicos
1.9.- Matriz de elasticidad
1.10.- Probabilidad de retraso
2. Ejecución y Control.
2.1.- Aprobación del proyecto
2.2.- Ordenes de trabajo
2.3.- Gráficas de control

2.4.- Reportes y análisis de los avances
2.5.- Toma de decisiones y ajustes
MÉTODO DE LA RUTA CRÍTICA O DEL CAMINO CRÍTICO
Es un algoritmo utilizado para el cálculo de tiempos y plazos en la planificación de
proyectos.1
Este sistema de cálculo conocido por sus siglas en inglés CPM (Critical Path
Method), fue desarrollado en 1957 en los Estados Unidos de América, por un centro de
investigación de operaciones para las firmas Dupont y Remington Rand, buscando el
control y la optimización de los costos mediante la planificación y programación
adecuadas de las actividades componentes del proyecto.
En administración y gestión de proyectos, una ruta crítica es la secuencia de los
elementos terminales de la red de proyectos con la mayor duración entre ellos,
determinando el tiempo más corto en el que es posible completar el proyecto. La
duración de la ruta crítica determina la duración del proyecto entero. Cualquier retraso en
un elemento de la ruta crítica afecta a la fecha de término planeada del proyecto, y se dice
que no hay holgura en la ruta crítica.
Un proyecto puede tener varias rutas críticas paralelas. Una ruta paralela adicional
a través de la red con la duración total cercana a la de la ruta crítica, aunque
necesariamente menor, se llama ruta sub-crítica.
Originalmente, el método de la ruta crítica consideró solamente dependencias
entre los elementos terminales. Un concepto relacionado es la cadena crítica, la cual
agrega dependencias de recursos. Cada recurso depende del manejador en el momento
donde la ruta crítica se presente.
A diferencia de la técnica de revisión y evaluación de programas (PERT), el método de
la ruta crítica usa tiempos ciertos (reales o determinísticos). Sin embargo, la elaboración
de un proyecto basándose en redes CPM y PERT son similares y consisten en:
Identificar todas las actividades que involucra el proyecto, lo que significa,
determinar relaciones de precedencia, tiempos técnicos para cada una de las
actividades.
Construir una red con base en nodos y actividades (o arcos, según el método más
usado), que implican el proyecto.
Analizar los cálculos específicos, identificando la ruta crítica y las holguras de las
actividades que componen el proyecto.
En términos prácticos, la ruta crítica se interpreta como la dimensión máxima que
puede durar el proyecto y las diferencias con las otras rutas que no sean la crítica, se
denominan tiempos de holgura.
LISTA DE ACTIVIDADES
Es la relación de actividades físicas o mentales que forman procesos
interrelacionados en un proyecto total. En general esta información es obtenida de las
personas que intervendrán en la ejecución del proyecto, de acuerdo con la asignación de
responsabilidades y nombramientos realizados en la Definición del Proyecto.
Las actividades pueden ser físicas o mentales, como construcciones, tramites,
estudios, inspecciones, dibujos, etc. En términos generales, se considera Actividad a la

serie de operaciones realizadas por una persona o grupo de personas en forma continua,
sin interrupciones, con tiempos determinables de iniciación y terminación. Esta lista de
actividades sirve de base a las personas responsables de cada proceso para que elaboren
sus presupuestos de ejecución.
EJEMPLO
a. Jefes de mantenimiento y producción.
1. Elaboración del proyecto parcial de ampliación.
2. Calculo del costo y preparación de presupuestos.
3. Aprobación del proyecto.
4. Desempaque de las maquinas nuevas.
5. Colocación de las maquinas viejas y nuevas.
6. Instalación de las maquinas.
7. Pruebas generales.
8. Arranque general.
9. Revisión y limpieza de máquinas viejas.
10. Pintura de máquinas viejas.
11. Pintura y limpieza del edificio.
b. Ingeniero electricista.
12. Elaboración del proyecto eléctrico.
13. Calculo de los costos y presupuestos.
15. Instalación de un transformador nuevo.
16. Instalación de nuevo alumbrado.
17. Instalación de interruptores y arrancadores.
c. Ingeniero contratista.
18. Elaboración del proyecto de obra muerta.
19. Cálculo de los costos y presupuestos.
21. Cimentación de las máquinas.
22. Pisos nuevos.
23. Colocación de ventanas nuevas.
Esta es una lista de los responsables en un proyecto de ampliación de una fábrica.
MATRIZ DE SECUENCIAS
Existen dos procedimientos para conocer la secuencia de las actividades:
a.- Por antecedentes
b.- Por secuencias.
Por antecedentes, se les preguntará a los responsables de los procesos cuales actividades
deben quedar terminadas para ejecutar cada una de las que aparecen en la lista. Debe
tenerse especial cuidado que todas y cada una de las actividades tenga por lo menos una

antecedente excepto en el caso de ser actividades iniciales, en cuyo caso su antecedente
será cero (0).
En el segundo procedimiento se preguntara a los responsables de la ejecución,
cuales actividades deben hacerse al terminar cada una de las que aparecen en la lista.
Para este efecto debemos presentar la matriz de secuencias iniciando con la actividad
cero (0) que servira para indicar solamente el punto de partida de las demás. La
información debe tomarse una por una de las actividades listadas, sin pasar por alto
ninguno de ellas.
En la columna de "anotaciones" el programador hara todas las indicaciones que le
ayuden a aclarar situaciones de secuencias y presentación de la red. Estas anotaciones se
hacen a discreción, ya que esta matriz es solamente un papel de trabajo.
Si se hace una matriz de antecedentes es necesario hacer después una matriz de
secuencias, pues es ésta última la que se utiliza para dibujar la red. Esta matriz no es
definitiva, porque generalmente se hacen ajustes posteriores en relación con la existencia
y disponibilidades de materiales, mano de obra y otras limitaciones de ejecución.
MATRIZ DE SECUENCIAS
MATRIZ DE TIEMPOS
En el estudio de tiempos se requieren tres cantidades estimadas por los
responsables de los procesos: El tiempo medio (M), el tiempo óptimo (o) y el tiempo
pésimo (p).
El tiempo medio (M) es el tiempo normal que se necesita para la ejecución de las
actividades, basado en la experiencia personal del informador. El tiempo óptimo (o) es el
que representa el tiempo mínimo posible sin importar el costo o cuantía de elementos
materiales y humanos que se requieran; es simplemente la posibilidad física de realizar la
actividad en el menor tiempo. El tiempo pésimo (p) es un tiempo excepcionalmente
grande que pudiera presentarse ocasionalmente como consecuencia de accidentes, falta
de suministros, retardos involuntarios, causas no previstas, etc. Debe contarse sólo el
tiempo en que se ponga remedio al problema presentado y no debe contar el tiempo
ocioso.
Se puede medir el tiempo en minutos, horas, días, semanas, meses y años, con la
condición de que se tenga la misma medida para todo el proyecto. Los tiempos anteriores
servirán para promediarlos mediante la fórmula PERT obteniendo un tiempo resultante
llamado estándar (t) que recibe la influencia del optimo y del pésimo a la vez.
Esto es, tiempo estándar igual al tiempo optimo, más cuatro veces el tiempo
medio, más el tiempo pésimo, y esta suma dividida entre seis(6). Esta fórmula está
calculada para darle al tiempo medio una proporción mayor que los tiempos optimo y
pésimo que influyen. Esta proporción es de cuatro(4) a seis(6).
MATRIZ DE TIEMPOS
Tanto la matriz de secuencias como la matriz de tiempos se reunen en una sola
llamada matriz de información, que sirve para construir la red medida.

MATRIZ DE INFORMACIÓN
RED DE ACTIVIDADES
Se llama red la representación gráfica de las actividades que muestran sus eventos,
secuencias, interrelaciones y el camino critico. No solamente se llama camino critico al
método sino también a la serie de actividades contadas desde la iniciación del proyecto
hasta su terminación, que no tienen flexibilidad en su tiempo de ejecución, por lo que
cualquier retraso que sufriera alguna de las actividades de la serie provocaría un retraso
en todo el proyecto.
Desde otro punto de vista, camino critico es la serie de actividades que indica la
duración total del proyecto. Cada una de las actividades se representa por una flecha que
empieza en un evento y termina en otro.
Se llama evento al momento de iniciación o terminación de una actividad. Se
determina en un tiempo variable entre el más temprano y el más tardío posible, de
iniciación o de terminación.
A los eventos se les conoce también con los nombres de nodos.
Evento Evento
I j
El evento inicial se llama i y el evento final se denomina j. El evento final de una actividad
será el evento inicial de la actividad siguiente.
Las flechas no son vectores, escalares ni representan medida alguna. No interesa la forma
de las flechas, ya que se dibujarán de acuerdo con las necesidades y comodidad de
presentación de la red. Pueden ser horizontales, verticales, ascendentes, descendentes
curvas, rectas, quebradas, etc.
En los casos en que haya necesidad de indicar que una actividad tiene una interrelación o
continuación con otra se dibujará entre ambas una línea punteada, llamada liga, que tiene
una duración de cero.
La liga puede representar en algunas ocasiones un tiempo de espera para poder iniciar la
actividad siguiente.

Varias actividades pueden terminar en un evento o partir de un mismo evento.
(a) Incorrecto, (b) Correcto.
Al construir la red, debe evitarse lo siguiente:
1. Dos actividades que parten de un mismo evento y llegan a un mismo evento. Esto
produce confusión de tiempo y de continuidad. Debe abrirse el evento inicial o el evento
final en dos eventos y unirlos con una liga.
2. Partir una actividad de una parte intermedia de otra actividad. Toda actividad debe
empezar invariablemente en un evento y terminar en otro. Cuando se presenta este caso,
a la actividad base o inicial se le divide en eventos basándose en porcentajes y se derivan
de ellos las actividades secundadas.
(a) Incorrecto, (b) Correcto.
3. Dejar eventos sueltos al terminar la red. Todos ellos deben relacionarse con el evento
inicial o con el evento final.
Procedimiento Para Trazar la Red Medida

Para dibujar la red medida, se usa papel cuadriculado indicándose en la parte superior la
escala con las unidades de tiempo escogidas, en un intervalo razonable para la ejecución
de todo el proyecto. Como en este momento no se conoce la duración del mismo, ya que
uno de los objetivos de la red es conocerlo, este intervalo sólo es aproximado.
A continuación se inicia la red dibujando las actividades que parten del evento cero. Cada
una de ellas debe dibujarse de tal manera que el evento j termine, de acuerdo con la
duración estándar, en el tiempo indicado en la escala superior. Ahora mostraremos la
iniciación de las actividades 1, 2, 3, y 4 con duración de tres, dos, tres y cinco días
respectivamente.
En el caso de la ampliación de la fábrica las actividades iniciales son las que se muestran
en la figura que sigue, ya que las tres actividades que parten de cero tienen tres días de
duración cada una.
A continuación no debe tomarse la numeración progresiva de la matriz de secuencias para
dibujar la red, sino las terminales de las actividades, de arriba hacia abajo y de izquierda a
derecha, según vayan apareciendo los eventos j.
En el caso anterior buscamos las secuencias de la actividad 1, después de la 12 y al ultimo
de la 18. En su orden, buscamos las secuencias de la 2, de la 13 y de la 19. Si una actividad
tiene cero de duración se dibuja verticalmente, ya sea ascendente o descendente, de tal
manera que no ocupe tiempo dentro de la red.

Rigurosamente, una actividad no puede tener tiempo de duración cero, ya que no
existiría; sin embargo, algunas actividades tienen tan escasa duración que ésta es
despreciable y no es conveniente que se considere una unidad de tiempo. Por ejemplo, si
la unidad con la que se trabaja de un día y la duración de la actividad es de cinco o diez
minutos, no hay razón para que esta actividad tenga asignado un día de trabajo. En el caso
que se desarrolla, la aprobación de los presupuestos se supone que tomarán de media
hora a una hora para su ejecución; pero como la unidad tomada en el proyecto es de un
día, el tiempo de ejecución se considera cero.
De acuerdo con las anotaciones de la matriz de secuencias las actividades 3, 14 y 20 deben
ser simultáneas, por lo que necesitamos un evento común para terminar las tres. Por
necesidad de construcción, la actividad 14 quedará solamente indicada con el número en
forma paralela a la actividad 3, que también tiene duración cero. También puede aparecer
paralela a la actividad 20.
En este tipo de red no hay necesidad de indicar las actividades con flechas, sino sólo con
líneas, excepto las ligas que indicarán la dirección de la continuidad. Para seguir con el
dibujo de la red, se debe recordar que al evento común convergen las actividades 3, 14 y
20 y por lo tanto debemos buscar las secuencias a estas tres actividades, que partirán
lógicamente del mismo evento. Continuamos alargando las terminales 15,4,21 y 9, en este
orden precisamente, de acuerdo con el método adoptado.

Así encontramos que después de la actividad 15 sigue la 16 con duración de seis días;
después de la actividad 4 sigue la 5 con duración de seis días; después de la actividad 21
sigue la 23 con duración de tres días y también la 5 con duración de seis días; y después de
la actividad 9 sigue la 10 con duración de dos días.
Cuando una actividad es secuencia de dos o más actividades anteriores, debe colocarse en
la red a continuación de la actividad antecedente más adelantada. Por ello es conveniente
hacer la red con lápiz para poder borrar las actividades y cambiarlas fácilmente de lugar.
De esta manera, hay que modificar el diagrama de la figura anterior, ya que la actividad 5
es posterior a la 4 y a la 21; la quitamos del lugar que termina en fecha anterior y la
colocamos después de la 21 que aparece en fecha más adelantada. Sin embargo, para que
no se pierda la secuencia de la 4 con la 5 se coloca una liga entre las dos. Buscamos la
continuación de las terminales de las actividades 16, 5, 23 y 10, encontrando que son
respectivamente la 17 con dos días; la 6 con cuatro días; la 22 con cuatro días y la 11 con
doce días.

Las actividades secuentes a la 17, 6, 22 y 11 son respectivamente la 6 con cuatro días; la 7
con seis días y ninguna para la 11, por lo que en la red sólo colocamos una liga entre la
terminación de la 17 y la iniciación de la 6 para indicar continuidad y otra entre la
terminación de la 22 y la iniciación de la 7 con el mismo objeto de continuidad. Ahora
colocamos la secuencia de la 6 solamente, pues ya hemos visto que la 11 es final de
proceso. La secuencia de la actividad 6 es la 7 con seis días y la secuencia de la actividad 7
es la 8 con duración de cero. No existiendo ninguna otra actividad posterior a las
terminales de la red, debe considerarse que se ha terminado con el proyecto, por lo que la
duración del mismo es de 26 días.
En virtud de que no deben dejarse eventos sueltos, se pone una liga entre la terminal de la
11 y el evento final del proyecto, quedando toda la red de la siguiente manera y en la que
se aprecian las siguientes particularidades:
a) Las actividades que tienen duración cero se indican en forma vertical, bien sea
ascendente o descendente, como las correspondientes a las actividades 3, 20 y 8.
b) La actividad 14 con duración cero no aparece dibujada en la red por razones de
construcción y sólo se indica junto con la actividad 20 que tiene las mismas
características...
c) Las actividades que son secuentes a dos o más actividades anteriores aparecen
dibujadas a continuación de la antecedente que tenga en su evento final la fecha más alta.
Como la actividad 5 que es secuente de las actividades 4 y 21. La 4 termina al día 6 y la 21
termina el día 10. La actividad 7 es secuencia de las actividades 6 y 22 y está colocada
enfrente de la que tiene la fecha más alta al terminar, o sea la actividad 6. Esta misma
actividad 6 es posterior a las actividades 17 y 5 y está colocada a continuación de la 5 por

la razón ya dada.
d) Las ligas que aparecen en la gráfica significan lo siguiente: la actividad 5 es continuación
de la 4; la 6 es continuación de la 17; la 7 continúa de la 22 y la 11 acabará al concluir el
proyecto.
e) El camino critico es la serie de actividades que se inician en el evento i del proyecto y
terminan en el evento j del mismo, sin sufrir interrupción por lo que señalan el tamaño o
duración del proyecto, y está representado por las actividades 12, 13, 21, 5, 6, 7 y 8
trazadas con línea doble.
La red anterior se puede dibujar con colores para indicar diferentes responsabilidades: por
ejemplo, la responsabilidad del ingeniero electricista se dibuja en rojo, la del ingeniero
civil con verde y la del ingeniero de planta con azul.
Costos y Pendientes
En este paso se solicitaran los costos de cada actividad realizada en tiempo estándar y en
tiempo óptimo. Ambos costos deben ser proporcionados por las personas responsables de
la ejecución, en concordancia con los presupuestos ya suministrados por ellos. Dichos
costos se deben anotar en la matriz de información.
Actividades
Normal
Limite
En el cuadro anterior vemos los presupuestos con el costo normal para las actividades
realizadas en tiempo estándar y el costo límite para las actividades ejecutadas a tiempo
óptimo. Los totales de la columna de costo normal nos indican los costos directos del
proyecto ejecutado en tiempos estándares, sin embargo los totales de costo limite no nos
indican un costo real, ya que no será necesario que todas las actividades sean realizadas
en tiempo optimo, sino solo algunas de ellas.
a) Las actividades que tienen duración cero se indican en forma vertical, bien sea
ascendente o descendente, como las correspondientes a las actividades 3, 20 y 8.
b) La actividad 14 con duración cero no aparece dibujada en la red por razones de
construcción y sólo se indica junto con la actividad 20 que tiene las mismas características.
c) Las actividades que son secuentes a dos o más actividades anteriores aparecen
dibujadas a continuación de la antecedente que tenga en su evento final la fecha más alta.
Como la actividad 5 que es secuente de las actividades 4 y 21. La 4 termina al día 6 y la 21
termina el día 10. La actividad 7 es secuencia de las actividades 6 y 22 y está colocada
enfrente de la que tiene la fecha más alta al terminar, o sea la actividad 6. Esta misma
actividad 6 es posterior a las actividades 17 y 5 y está colocada a continuación de la 5 por
la razón ya dada.
d) Las ligas que aparecen en la gráfica significan lo siguiente: la actividad 5 es continuación
de la 4; la 6 es continuación de la 17; la 7 continúa de la 22 y la 11 acabará al concluir el
proyecto.

e) El camino critico es la serie de actividades que se inician en el evento i del proyecto y
terminan en el evento j del mismo, sin sufrir interrupción por lo que señalan el tamaño o
duración del proyecto, y está representado por las actividades 12, 13, 21, 5, 6, 7 y 8
trazadas con línea doble.

PROBLEMAS Y SOLUCIONES
RESOLUCIÓN DE UN PROBLEMA DE ÁRBOL DE EXPANSIÓN MÍNIMA
1 EL PROBLEMA
La ciudad de Cali cuenta con un nuevo plan parcial de vivienda el cual contará con la
urbanización de más de 7 proyectos habitacionales que se ubicarán a las afueras de la
ciudad. Dado que el terreno en el que se construirá no se encontraba hasta ahora dentro
de las zonas urbanizables de la ciudad, el acueducto municipal no cuenta con la
infraestructura necesaria para satisfacer las necesidades de servicios públicos en materia
de suministro de agua. Cada uno de los proyectos de vivienda inició la construcción de un
nodo de acueducto madre, el cual cuenta con las conexiones de las unidades de vivienda
propias de cada proyecto (es decir que cada nodo madre solo necesita estar conectado
con un ducto madre del acueducto municipal para contar con su suministro). El acueducto
municipal al ver la situación del plan parcial debe de realizar las obras correspondientes a
la instalación de ductos madres que enlacen todos los nodos del plan con el nodo
Meléndez (nodo que se encuentra con suministro de agua y que no pertenece al plan
parcial de vivienda, además es el más cercano al mismo), la instalación de los ductos
implica obras de excavación, mano de obra y costos de los ductos mismos, por lo cual
optimizar la longitud total de los enlaces es fundamental. Las distancias existentes (dadas
en kilómetros) correspondientes a las rutas factibles capaces de enlazar los nodos del plan
parcial se presentan a continuación. Además la capacidad de bombeo del nodo Meléndez
es más que suficiente para satisfacer las necesidades de presión que necesita la red
madre.
Problema planteado por, Bryan Antonio Salazar López
El acueducto municipal le contacta a usted para que mediante sus conocimientos en
teoría de redes construya una red de expansión que minimice la longitud total de ductos y
que enlace todos los nodos del plan parcial de vivienda.
PASO 0:

Se definen los conjuntos iniciales C0 = {ø} que corresponde al conjunto de nodos enlazados
de forma permanente en la iteración indicada en el subíndice y Č0 = {N = 1,2,3,4,5,6,7,8}
que corresponde al conjunto de nodos pendientes por enlazar de manera permanente en
la iteración indicada en el subíndice.
PASO 1:
Se debe definir de manera arbitraria el primer nodo permanente del conjunto Č0, en este
caso escogeremos el nodo 1 (puede ser cualquier otro), que algebraicamente se
representa con la letra i, se procede a actualizar los conjuntos iniciales, por ende C1 = {i} =
{1} y Č0 = {N – i} = {2,3,4,5,6,7,8}, actualizamos k por ende ahora será igual a 2.
PASO 2:
Ahora se debe seleccionar el nodo j del conjunto ČK-1 (es decir del conjunto del paso 1) el
cual presente el arco con la menor longitud y que se encuentre enlazado con uno de los
nodos de enlace permanente del conjunto Ck-1 en el cual ahora solo se encuentra el nodo
1 (es decir que se debe de encontrar un nodo que tenga el arco de menor longitud
enlazado al nodo 1).
Bryan Antonio Salazar López
Los arcos o ramales de color naranja representan los arcos que enlazan el conjunto ČK-1 (es
decir del conjunto del paso 1, recordemos que K en este paso es igual a 2, por ende ČK-1=
Č1) con los nodos de enlace permanente del conjunto Ck-1 en el cual ahora solo se
encuentra el nodo 1, por ende ahora solo falta escoger el de menor longitud, que en este
caso es el arco cuya longitud es 2, que enlaza de forma permanente ahora el nodo 2.
Al actualizar los conjuntos quedan así:
C2 = {1,2} y Č2 = {3,4,5,6,7,8}
Ahora se procede a actualizar k ya que se procede a efectuar la siguiente iteración. Ahora
se seleccionará un nuevo nodo j del conjunto Č2que presente el enlace (ramal o arco) de
menor longitud con los nodos que se encuentran en el conjunto C2.

Los arcos de color naranja representan los enlaces posibles y dado que existe empate
entre las menores longitudes se elige de manera arbitraria, en este caso se representa
nuestra elección con un arco de color verde, enlazando de forma permanente ahora el
nodo 4.
C3 = {1,2,4} y Č3 = {3,5,6,7,8}
Ahora se procede a actualizar k ya que se procede a efectuar la siguiente iteración.
Lo que representan los arcos naranja y verde es ya conocido, ahora la línea azul
interrumpida irá trazando nuestro árbol de expansión final. Dado a que el arco menor es
el de longitud 3, ahora se enlazará de manera permanente el nodo 5.
C4 = {1,2,4,5} y Č4 = {3,6,7,8}

Ahora se enlazará de manera permanente el nodo 7.
C5 = {1,2,4,5,7} y Č5 = {3,6,8}
C6 = {1,2,4,5,7,6} y Č6 = {3,8}

Se rompen los empates de forma arbitraria, ahora se enlazará de manera permanente el
nodo 3.
C7 = {1,2,4,5,7,6,3} y Č7 = {8}
Ahora se procede a actualizar k ya que se procede a efectuar la última iteración.
C8 = {1,2,4,5,7,6,3,8} = {N} y Č8 = {ø}
Por ende se ha llegado al árbol de expansión mínima

Árbol que presenta una longitud total minimizada de 21 kilometros de ductos.

2 RESOLUCIÓN DEL PROBLEMA DEL ÁRBOL EXPANSIÓN MÍNIMA MEDIANTE WINQS
Como hemos mencionado en módulos anteriores la existencia de herramientas de
resolución de problemas de programación matemática como WinQSB dejan que el
aprendizaje de la resolución manual de los algoritmos de redes se justifique solo para
fines académicos o de profundización. Por ende una vez vista la metodología manual de
resolución del algoritmo atinente al árbol de expansión mínima se hace necesario en aras
de eficiencia mostrar la resolución de este tipo de problemas mediante WinQSB.
El primer paso para resolver un problema de transporte mediante WinQSB es ingresar al
módulo Network Modeling.
WinQSB
- Bryan Antonio Salazar López
Luego debemos seleccionar la opción Minimal Spanning Tree (Árbol de Expansión
Mínima). Además en este submenú debemos de especificar el nombre del problema y el
número de nodos. En nuestro caso el número de nodos es igual a 8, luego click en OK.
Una vez se realiza el paso anterior se abrirá una ventana en la cual aparecerá la siguiente
matriz:

WinQSB
En esta matriz se deben de consignar los valores de los ramales que unen las conexiones
entre los nodos correspondientes, según el contexto de nuestro problema se deben de
consignar las distancias entre los nodos si es que dichas conexiones existen de lo contrario
en caso que la conexión no exista se debe dejar la celda en blanco. Hay que tener en
cuenta que las distancias entre los nodos en este caso son exactamente conmutativas, es
decir que si el nodo fuente es 2 y el destino es 4 la distancia existente entre estos es
exactamente igual a la distancia existente entre un nodo fuente 4 y un nodo destino 2, sin
embargo esta propiedad debe de especificarse en la matriz consignando los valores
correspondientes a una conexión dos veces, es decir en la celda [From 1 - To 4] se debe de
consignar la distancia 6, además debe de consignarse la misma distancia en la celda [From
4 - To 1].
WinQSB
Luego damos click en Solve and Analize y tendremos la siguiente ventana solución
inmediatamente.

WinQSB
Podemos cotejar los resultados con los obtenidos de manera manual, 21 kilómetros de
ductos es la distancia total una vez ejecutado el algoritmo del Árbol de Expansión Mínima.

PROBLEMA DE FLUJO MÁXIMO
Nos permite conocer(calcular) la máxima cantidad de cualquier artículo o información que
podemos transportar desde un origen hasta un destino.
Pasos a seguir :
Primer paso: Elegir una ruta arbitraria.
Segundo paso: En dicha ruta escoger aquel ramal de menor flujo en ese sentido y
transportar por esa ruta la cantidad escogida.
Hacer esto repetitivamente hasta que no sea posible encontrar una ruta con capacidad de
flujo.
Ejemplo: El origen puede despachar 28 unidades y el destino puede recibir 22 unidades, pero por
las restricciones, el destino solo puede recibir 19 unidades en la ruta AB- BC – CD – DF – FG.

Problema de Flujo Máximo
La Compañía Petrolera GAS tiene una refinería localizada en la Ciudad de Neuquén
Argentina. La gasolina refinada es enviada de allí a tanques de almacenamientos
en Buenos Aires a través de una red de oleoductos con estaciones de bombeo en
diferentes pueblos y ciudades como: Pueblo Nuevo, Pirámide, Galleta, Puente
Turbio y Río Negro. El oleoducto está construido en segmentos que conectan
parejas de estas ciudades. A lo largo de cada segmento existe un número máximo
conocido de galones por hora que pueden enviarse. Esos segmentos y sus
respectivas capacidades en galones por hora son
En la región de Buenos Aires se espera un aumento en la conducción en los próximos
meses de invierno. ¿Tendrá GAS suficiente gasolina para satisfacer la mayor
demanda en las estaciones de servicio? Antes de incrementar la tasa de
producción de la refinería, la administración de GAS desea conocer el número
máximo de galones de gasolina por hora que pueden enviarse a través de la red de
oleoductos a los tanques de almacenamiento de Buenos Aires

Problema Flujo Máximo
En algunas redes circula por los arcos un flujo (envío o circulación de unidades
homogéneas de algún producto: automóviles en una red de carreteras, litros de petróleo
en un oleoducto, bits por un cable de fibra óptica) desde el origen o fuente al destino,
también denominado sumidero o vertedero. Los arcos tienen una capacidad máxima de
flujo, y se trata de enviar desde la fuente al sumidero la mayor cantidad posible de flujo,
de tal manera que:
El flujo es siempre positivo y con unidades enteras.
El flujo a través de un arco es menor o igual que la capacidad.
El flujo que entra en un nodo es igual al que sale de él.
En el caso de que el origen o el destino no existan en el problema, se añaden ficticiamente
utilizando arcos unidireccionales de capacidad infinita, como en grafo mostrado a
continuación:
Corte: Un corte define una serie de arcos cuya supresión de la red causa una interrupción
completa del flujo entre el origen y el destino. La capacidad de corte es igual a la suma de
las capacidades de los arcos asociados. Entre todos los cortes posibles en la red , el corte
con la menor capacidad proporciona el flujo máximo en la red.
El siguiente grafo ilustra 3 cortes: el Corte 1 con capacidad 60, el Corte 2 con capacidad
110 y el Corte 3 con capacidad 70. Todo lo que podemos obtener de los 3 cortes es que el
flujo máximo en la red no excede de 60 unidades. No podemos saber cual es el flujo
máximo hasta que se hayan enumerado todos los cortes en la red:

Las capacidades se identifican como sigue: por ejemplo, para el arco (3,4), el límite de
flujo es de 10 unidades de 3 a 4 y de 5 unidades de 4 a 3.
Algoritmo de Ford-Fulkerson
El algoritmo de Ford-Fulkerson propone buscar caminos en los que se pueda aumentar el
flujo, hasta que se alcance el flujo máximo.
La idea es encontrar una ruta de penetración con un flujo positivo neto que una los nodos
origen y destino.
Consideraremos las capacidades iniciales del arco que une el nodo i y el nodo j como Cij y
Cji. Estas capacidades iniciales irán variando a medida que avanza el algoritmo,
denominaremos capacidades residuales a las capacidades restantes del arco una vez pasa
algún flujo por él, las representaremos como cij y cji.
Para un nodo j que recibe el flujo del nodo i, definimos una clasificación [aj,i] donde aj es
el flujo del nodo i al nodo j.
Los pasos del algoritmo se definen como sigue:
Paso 1: Inicializamos las capacidades residuales a las capacidades iniciales, hacemos
(cij,cji)=(Cij,Cji) para todo arco de la red. Suponiendo el nodo 1 como el nodo origen,
hacemos a1=∞ y clasificamos el nodo origen con *∞,-]. Tomamos i=1 y vamos al paso 2.
Paso 2: Determinamos Si como un conjunto que contendrá los nodos a los que podemos
acceder directamente desde i por medio de un arco con capacidad positiva, y que no
formen parte del camino en curso. Si Si contiene algún nodo vamos al paso 3, en el caso de
que el conjunto sea vacío saltamos al paso 4.
Paso 3: Obtenemos kЄSi como el nodo destino del arco de mayor capacidad que salga de i
hacia un nodo perteneciente a Si. Es decir, cik = max{cij} con jЄSi. Hacemos ak=cik y
clasificamos el nodo k con [ak,i]. Si k es igual al nodo destino o sumidero, entonces hemos
encontrado una ruta de penetración, vamos al paso 5. En caso contrario continuamos con
el camino, hacemos i=k y volvemos al paso 2.
Paso 4 (retroceso): Si i=1, estamos en el nodo origen, y como Si es vacío, entonces no
podemos acceder a ningún nodo, ni encontrar algún nuevo camino, hemos terminado,
vamos al paso 6.
En caso contrario, i≠1, le damos al valor i el del nodo que se ha clasificado inmediatamente
antes, eliminamos i del conjunto Si actual y volvemos al paso 2.
Paso 5: Llegados a este paso tenemos un nuevo camino: Np={1,k1,k2,…,n}, esta será la p-
ésima ruta de penetración desde el nodo origen al nodo destino. El flujo máximo a lo largo
de esta ruta será la capacidad mínima de las capacidades residuales de los arcos que
forman el camino, es decir: fp=min{a1,ak1,ak2,…,an}.
La capacidad residual de cada arco a lo largo de la ruta de penetración se disminuye por fp
en dirección del flujo y se incrementa por fp en dirección inversa, es decir, para los nodos i
y j en la ruta, el flujo residual se cambia de la (cij,cji) actual a (cij-fp,cji+fp) si el flujo es de i
a j, o (cij+fp,cji-fp) si el flujo es de j a i
Inicializamos i=1 y volvemos al paso 2 para intentar una nueva ruta de penetración.
Paso 6 (solución): Una vez aquí, hemos determinado m rutas de penetración. El flujo
máximo en la red será la suma de los flujos máximos en cada ruta obtenida, es decir:
F=f1+f2+…+fm. Teniendo en cuenta que las capacidades residuales inicial y final del arco (i,
j) las dan (Cij,Cji) y (cij,cji) respectivamente, el flujo máximo para cada arco se calcula como
sigue: sea (α, β)=(Cij-cij, Cji-cji), si α>0, el flujo óptimo de i a j es α, de lo contrario, si β>0,
el flujo óptimo de j a i es β. Es imposible lograr que tanto α como β sean positivas.

Ejemplo: Determinar el flujo máximo en la red siguiente:
Iteración 1:
Determinamos las residuales iniciales (cij,cji) iguales a las capacidades iniciales (Cij,Cji).
Paso 1: Hacemos ai=∞, y clasificamos el nodo 1 con [a1,-]. Tomamos i=1.
Paso 2: S1={2,3,4} (no vacío).
Paso 3: k=3 ya que c13=max{c12,c13,c14}={20,30,10}=30. Hacemos a3=c13=30 y
clasificamos el nodo 3 con [30,1]. Tomamos i=3 y repetimos el paso 2.
Paso 2: S3={4,5}
Paso 3: k=5 y a5=c35=max{10,20}=20. Clasificamos el nodo 5 con [20,3]. Logramos la
penetración, vamos al paso 5.
Paso 5: La ruta de la penetración se determina de las clasificaciones empezando en el
nodo 5 y terminando en el nodo 1, es decir, 5→[20,3]→3→[30,1]→1.
Entonces la ruta es N1={1,3,5} y f1=min{a1,a3,a5}={∞,30,20}=20. Las capacidades
residuales a lo largo de esta ruta son:
(c13,c31)=(30-20, 0+20)=(10,20)
(c35,c53)=(20-20, 0+20)=(0,20)
Iteración 2:

Paso 2: S1={2,3,4}.
Paso 3: k=2 y a2=c12=max{20,10,10}=20. Clasificamos el nodo 2 con [20,1]. Tomamos i=2 y
repetimos el paso 2.
Paso 2: S2={3,5}
Paso 3: k=3 y a3=c23=max{30,40}=40. Clasificamos el nodo 3 con [40,2]. Tomamos i=3 y
Paso 2: S3={4} (c35=0, el nodo 1 ya ha sido clasificado y el nodo 2 cumple ambas
condiciones, por tanto los nodos 1, 2 y 5 no pueden ser incluidos en S3).
Paso 3: k=4 y a4=c34=10. Clasificamos el nodo 4 con [10,3]. Tomamos i=4 y repetimos el
paso 2.
Paso 2: S4={5}
Paso 3: k=5 y a5=c45=20. Clasificamos el nodo 5 con [20,4]. Logramos la penetración,
vamos al paso 5.
Paso 5: La ruta de la penetración es: 5→[20,4]→4→[10,3]→3→[40,2]→2→[20,1]→1.
Entonces la ruta es N2={1,2,3,4,5} y f2=min{∞,20,40,10,20}=10. Las capacidades
residuales a lo largo de esta ruta son:
(c12,c21)=(20-10, 0+10)=(10,10)
(c23,c32)=(40-10, 0+10)=(30,10)
(c34,c43)=(10-10, 5+10)=(0,15)
(c45,c54)=(20-10, 0+10)=(10,10)
Iteración 3:

Paso 2: S1={2,3,4}.
Paso 3: k=2 y a2=c12=max{10,10,10}=10, rompemos el empate arbitrariamente.
Clasificamos el nodo 2 con [10,1]. Tomamos i=2 y repetimos el paso 2.
Paso 2: S2={3,5}
Paso 2: S3 vacío ya que c34=c35=0. Vamos al paso 4 para retroceder.
Paso 4: La clasificación [30,2] nos dice que el nodo inmediatamente precedente es el 2.
Eliminamos el nodo 3 de una consideración posterior en esta iteración. Tomamos i=2 y
Paso 2: S2={5}
vamos al paso 5.
Paso 5: La ruta de la penetración es: 5→[30,2]→2→[10,1]→1.
Entonces la ruta es N2={1,2,5} y f3=min{∞,10,30}=10. Las capacidades residuales a lo
largo de esta ruta son:
(c12,c21)=(10-10, 10+10)=(0,20)
(c25,c52)=(30-10, 0+10)=(20,10)
Iteración 4:
Paso 2: S1={3,4}.
Paso 2: S3={2}
paso 2.
Paso 2: S2={5}
vamos al paso 5.
Paso 5: La ruta de la penetración es: 5→[20,2]→2→[10,3]→3→[10,1]→1.
Entonces la ruta es N4={1,3,2,5} y f4=min{∞,10,10,20}=10. Las capacidades residuales a lo
(c13,c31)=(10-10, 20+10)=(0,30)
(c32,c23)=(10-10, 30+10)=(0,40)

(c25,c52)=(20-10, 10+10)=(10,20)
Iteración 5:
Paso 2: S1={4}.
paso 2.
Paso 2: S4={3,5}
Paso 2: S3 vacío ya que c32=c34=c35=0. Vamos al paso 4 para retroceder.
Paso 4: La clasificación [15,4] nos dice que el nodo inmediatamente precedente es el 4.
Eliminamos el nodo 3 de una consideración posterior en esta iteración. Tomamos i=4 y
Paso 2: S4={5}
vamos al paso 5.
Paso 5: La ruta de la penetración es: 5→[10,4]→4→[10,1]→1.
Entonces la ruta es N2={1,4,5} y f3=min{∞,10,10}=10. Las capacidades residuales a lo
(c14,c41)=(10-10, 0+10)=(0,10)
(c45,c54)=(10-10, 10+10)=(0,20)
Iteración 6:

No son posibles más penetraciones, debido a que todos los arcos fuera del nodo 1 tienen
residuales cero. Vayamos al paso 6 para determinar la solución.
Paso 6: El flujo máximo en la red es F=f1+f2+…+f5=60 unidades. El flujo en los diferentes
arcos se calcula restando las últimas residuales obtenidas en la última iteración de las
capacidades iniciales:

PROBLEMA DE REDES POR METODO DEL COSTO MINIMO
EJERCICIO DE APLICACIÓN
La empresa Electri-Guajira SA ESP, dispone de cuatro plantas de generación para satisfacer
la demanda diaria eléctrica en cuatro municipios, Maicao, Riohacha, Uribia y Manaure. Las
plantas 1,2,3 y 4 pueden satisfacer 80, 30, 60 y 45 millones de KW al día respectivamente.
Las necesidades de los municipios de Maicao, Riohacha, Uribia y Manaure son de 70, 40,
70 y 35 millones de Kw al día respectivamente.
Los costos asociados al envío de suministro energético por cada millón de KW entre cada
planta y cada municipio son los registrados en la siguiente tabla.
MaicaoRiohachaUribiaManaure
Planta 15 2 7 3
Planta 23 6 6 1
Planta 36 1 2 4
Planta 44 3 6 6
SOLUCIÓN PASO A PASO
Planteamos la tabla de costos con las cantidades ofertadas y demandadas
respectivamente:
MaicaoRiohachaUribiaManaureOferta
Planta 1 5 2 7 3 80
Planta 2 3 6 6 1 30
Planta 3 6 1 2 4 60
Planta 4 4 3 6 6 45
Demanda70 40 70 35
PASO 1
Elegimos la celda menos costosa y se le asigna la mayor cantidad de unidades posible,
cantidad que se ve restringida ya sea por las restricciones de oferta o de demanda.
Planta 1 5 2 7 3 80
Planta 2 3 6 6 1 30
Planta 3 6 1 2 4 60
Planta 4 4 3 6 6 45
Demanda70 40 70 35
En este caso se presenta un empate, este se rompe de forma arbitraria, así que se le
asigna a cualquiera la mayor cantidad posible.
Planta 1 5 2 7 3 80
Planta 2 3 6 6 1 30
Planta 3 6 (40) 1 2 4 60 (20)
Planta 4 4 3 6 6 45
Demanda70 40 70 35
En este mismo paso se procede a ajustar la oferta y demanda de la fila y columna
afectada, restándole la cantidad asignada a la celda.
PASO 2

Dado que se satisface totalmente la demanda de suministro energético del municipio de
Riohacha, entonces procedemos a tachar la columna correspondiente.
Planta 1 5 2 7 3 80
Planta 2 3 6 6 1 30
Planta 3 6 1 (40) 2 4 20
Planta 4 4 3 6 6 45
Demanda70 40 70 35
Realizamos la siguiente asignación, teniendo en cuenta tomar el menor costo de la tabla
restante.
Planta 1 5 2 7 3 80
Planta 2 3 6 6 (30)1 30
Planta 3 6 1 (40) 2 4 20
Planta 4 4 3 6 6 45
Demanda70 40 70 35 (5)
En este mismo paso también se procede a ajustar la oferta y demanda de la fila y columna
Con esta nueva asignación, logramos agotar la capacidad de suministro energético de la
Planta 2, por lo tanto procedemos a tachar la fila correspondiente:
Planta 1 5 2 7 3 80
Planta 2 3 6 6 1 (30) 30
Planta 3 6 1 (40) 2 4 20
Planta 4 4 3 6 6 45
Demanda70 40 70 5
restante.
MaicaoRiohachaUribia ManaureOferta
Planta 1 5 2 7 3 80
Planta 2 3 6 6 1 (30) 30
Planta 3 6 1 (40) (20) 2 4 20
Planta 4 4 3 6 6 45
Demanda70 40 70 (50)5
Planta 1 5 2 7 3 80
Planta 2 3 6 6 1 (30) 30
Planta 3 6 1 (40) 2 (20)4 20
Planta 4 4 3 6 6 45
Demanda70 40 50 5

restante.
Planta 1 5 2 7 (5) 3 80 (75)
Planta 2 3 6 6 1 (30) 30
Planta 3 6 1 (40) 2 (20)4 20
Planta 4 4 3 6 6 45
Demanda70 40 50 5
Con esta nueva asignación, logramos satisfacer la demanda de suministro energético del
municipio de Manaure, por lo tanto procedemos a tachar la columna correspondiente:
Planta 1 5 2 7 3 (5) 75
Planta 2 3 6 6 1 (30) 30
Planta 3 6 1 (40) 2 (20)4 20
Planta 4 4 3 6 6 45
Demanda70 40 50 5
restante.
Planta 1 5 2 7 3 (5) 75
Planta 2 3 6 6 1 (30) 30
Planta 3 6 1 (40) 2 (20)4 20
Planta 4 (45) 4 3 6 6 45
Demanda70 (25)40 50 5
Planta 1 5 2 7 3 (5) 75
Planta 2 3 6 6 1 (30) 30
Planta 3 6 1 (40) 2 (20)4 20
Planta 4 4 (45) 3 6 6 45
Demanda25 40 50 5
Como podemos observar, solo nos queda una fila, es decir que solamente tenemos
disponible la Planta 1, la cual está en capacidad de suministrar 75 millones de Kw de
energía, entonces procedemos a distribuirla a los dos (02) municipios restantes:
Planta 1 (25) 5 2 (50) 73 (5) 75
Planta 2 3 6 6 1 (30) 30
Planta 3 6 1 (40) 2 (20)4 20
Planta 4 4 (45) 3 6 6 45

Demanda25 40 50 5
Con esta asignación logramos satisfacer las necesidades de suministro energético de todos
los ciudades,municipios, por ende hemos terminado el método.
Este sería nuestro cuadro de asignaciones:
Planta 1 25 50 5 80
Planta 2 30 30
Planta 3 40 20 60
Planta 4 45 45
Demanda70 40 70 35
Para realizar el análisis de costos asociado con esta distribución, procedemos a darle valor
a cada una de las asignaciones, teniendo en cuenta la tabla de costos al inicio del
ejercicio:
Variable de decisiónActividad de la VariableCosto x UnidadContribución Total
X1,1 25 5 125
X1,3 50 7 350
X1,4 5 3 15
X2,4 30 1 30
X3,2 40 1 40
X3,3 20 2 40
X4,1 45 4 180
TOTAL 780
INTERPRETACIÓN GENERAL
La empresa Electri-Guajira realizará el suministro energético desde las cuatro plantas de
generación hasta los cuatro municipios a un costo mínimo total de 780 pesos.
INTERPRETACIÓN INDIVIDUAL
Para satisfacer la demanda diaria eléctrica de los cuatro municipios, la empresa Electri-
Guajira deberá realizar el suministro energético desde las cuatro plantas de generación de
la siguiente manera:
Desde la planta Nº 1 debe enviar 25 millones de Kw hasta el municipio de Maicao a
un costo unitario de 5 pesos. Con un costo de distribución total de 125 pesos.
Desde la planta Nº 1 debe enviar 50 millones de Kw hasta el municipio de Uribia a
Desde la planta Nº 1 debe enviar 5 millones de Kw hasta el municipio de Manaure
a un costo unitario de 3 pesos. Con un costo de distribución total de 15 pesos.
Desde la planta Nº 2 debe enviar 30 millones de Kw hasta el municipio de Manaure
a un costo unitario de 1 peso. Con un costo de distribución total de 30 pesos.
Desde la planta Nº 3 debe enviar 40 millones de Kw hasta el municipio de Riohacha
a un costo unitario de 1 peso. Con un costo de distribución total de 40 pesos.
Desde la planta Nº 3 debe enviar 20 millones de Kw hasta el municipio de Uribia a
Desde la planta Nº 4 debe enviar 45 millones de Kw hasta el municipio de Maicao a

Ejemplo:
Encuentre la solución básica inicial del ejemplo 1 utilizando el método del costo mínimo.
Ejemplo 2.
Una compañía de agua tiene 3 depósitos con una entrada diaria estimada de 15, 20 y 25
millones de litros de agua respectivamente. Diariamente tiene que abastecer 4 áreas A, B,
C y D, las cuales tienen una demanda esperada de 8, 10, 12 y 15 millones de litros
respectivamente. El costo de bombeo por millón de litros de agua es como sigue.
Encuentre la solución básica de inicio del modelo de transporte por el método de costo
mínimo.

PROBLEMA DE DESVIACIÓN ESTANDAR
Desviación estándar
La desviación estándar o desviación típica es la raíz cuadrada de la varianza.
Es decir, la raíz cuadrada de la media de los cuadrados de las puntuaciones de desviación.
La desviación estándar se representa por σ.
Desviación estándar para datos agrupados
Para simplificar el cálculo vamos o utilizar las siguientes expresiones que son equivalentes
a las anteriores.
Desviación estándar para datos agrupados
Ejercicios
Calcular la desviación estándar de la distribución:
9, 3, 8, 8, 9, 8, 9, 18
Calcular la desviación típica de la distribución de la tabla:
xi fi xi · fi xi
2
· fi
[10, 20) 15 1 15 225
[20, 30) 25 8 200 5000
[30,40) 35 10 350 12 250
[40, 50) 45 9 405 18 225
[50, 60) 55 8 440 24 200
[60,70) 65 4 260 16 900
[70, 80) 75 2 150 11 250

42 1 820 88 050
PROPIEDADES DE LA DESVIACIÓN ESTÁNDAR
1 La desviación estándar será siempre un valor positivo o cero, en el caso de que las
puntuaciones sean iguales.
2 Si a todos los valores de la variable se les suma un número la desviación estándar no
varía.
3 Si todos los valores de la variable se multiplican por un número la desviación estándar
queda multiplicada por dicho número.
4 Si tenemos varias distribuciones con la misma media y conocemos sus respectivas
desviaciones estándar se puede calcular la desviación estándar total.
Si todas las muestras tienen el mismo tamaño:
Si las muestras tienen distinto tamaño:
Observaciones sobre desviación la estándar
1 La desviación estándar, al igual que la media y la varianza, es un índice muy sensible a
las puntuaciones extremas.
2 En los casos que no se pueda hallar la media tampoco será posible hallar la desviación
estándar.
3 Cuanta más pequeña sea la desviación estándar mayor será la concentración de datos
alrededor de la media.

CONCLUSIONES
El PERT y CPM han sido aplicados a numerosos proyectos. Empezando con su
aplicación inicial al proyecto Polaris y al mantenimiento de plantas químicas, hoy ellos (y
sus variantes) se aplican a la construcción de carreteras y de edificios, y al desarrollo y
producción de artículos de alta tecnología tales como aviones, vehículos espaciales, barcos
y computadores.
El PERT se desarrolló para proyectos en donde hubiera incertidumbre en el tiempo
de las actividades (usualmente debido a que el proyecto nunca se había intentado antes y
por tanto no había bases de datos, para los tiempos de las actividades). Esto condujo al
enfoque probabilístico que se tomó. Mientras que en PERT los estimados de tiempo y sus
distribuciones han sido de controversia, el PER'I' ha constituido una herramienta útil para
la administración de proyectos. La principal desventaja es que no es funcional para
grandes proyectos, debido a los tres estimados de tiempo que se requieren en cada
actividad y a la capacidad limitada de los computadores actuales, para almacenar esta
vasta cantidad de datos. Además, el costo de actualizar y mantener la información del
proyecto con el tiempo en ambientes tan dinámicos, puede ser excesivamente
prohibitivo.
Por otra parte, el CPM se desarrolló para manejar proyectos repetitivos o similares
(ej., mantenimiento de plantas químicas). Obviamente, se gana gran cantidad de
experiencia con el tiempo en tales circunstancias, aun cuando dos proyectos puede que
no sean iguales. Esta experiencia llevó al análisis de técnicas de colisión utilizadas en las
redes CPM.

BIBLIOGRAFIA
http://www.monografias.com/trabajos24/pert-cpm/pert-
cpm.shtml#ixzz3A1q4rmYh
http://ingenierosindustriales.jimdo.com/herramientas-para-el-ingeniero-
industrial/investigaci%C3%B3n-de-operaciones/teor%C3%ADa-de-redes/
http://es.slideshare.net/alvarez1285/metodo-la-esquina-
noroeste?next_slideshow=1
Página de búsqueda de google.

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