Ejercicios de matemáticas para químicos.

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Ejercicios de Matemáticas
para Químicos
J. Fuhrmann · H.G. Zachmann
-
EDITORIAL
REVERTÉ

Título de la obra original:
ÜBUNGSAUFGABEN ZUR MATHEMATIK FÜR CHEMIKER
Edición original en lengua alemana publicada por
Verlag Chemie- Physik Verlag
Copyright © Verlag Chemie D-6940, Weinheim
Edición en español:
© Editorial Reverté, S. A., 1978
ISBN: 978-84-291-5076-6
Versión española por:
D. Arturo Fernández Arias
Licenciado en Ciencias Matemáticas
Versión española revisada por:
Dr. Enrique Linés Escardó
Catedrático de la Facultad de Ciencias de la Universidad de Madrid
Propiedad de:
EDITORIAL REVERTÉ, S. A.
Loreto, 13-15. Local B
08029 Barcelona. ESPAÑA
Tel: (34) 93 419 33 36
reverte@reverte.com
www.reverte.com
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quier medio o procedimiento, comprendidos la reprografía y el tratamiento informáti-
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queda rigurosamente prohibida sin la autorización escrita de los titulares del copyright,
bajo las sanciones establecidas por las leyes.
# 713
Edición en papel:
Edición e-book (PDF):
ISBN 978-84-291-9349-7

Prólogo
La Matemática adquiere cada vez una mayor importancia en la formación del
químico. Para ejercitarse en el tratamiento matemático de los problemas químicos
el estudiante necesita una gran cantidad de ejercicios. Esta colección quiere hacer
frente a esta necesidad.
Muchas veces se ha dicho que las Matemáticas para los químicos deben de ser
explicadas directamente mediante ejemplos químicos. Esto no nos parece adecuado.
Para poder aplicar las Matemáticas a la Química, han de ser entendidas en su gene-
ralidad, lo que no se puede conseguir sólo por el análisis de situaciones que se plantean
en la Química. Además, el amplio campo de las Matemáticas donde el químico se
debe mover no está cubierto suficientemente por los ejemplos. Finalmente en los
planes de estudios para la formación del químico, las Matemáticas están en los pri-
meros cursos, es decir, cuando. el estudiante no dispone de suficientes conocimientos
de Química. Sin embargo, dacio el carácter instrumental de las Matemáticas es muy
com•eniente presentar abundantes aplicaciones químicas. Siguiendo estas ideas, se han
presentado primero en cada capítulo problemas de la Matemática pura, y a continua-
ción ejemplos proporcionados por la Química.
El presente libro no contiene solamente ejercicios y sus soluciones. Éstas van
precedidas de las correspondientes explicaciones, con lo que se remite al lector a
las partes más importantes de lo dado previamente en el curso o aprendido en otra
parte, y que pueden servirle al mismo tiempo como repaso. El libro constituye por
tanto un curso de repaso.

VI Prólogo
A quien quiera llenar lagunas de conocimiento, o también aprender la materia
completa, se le recomienda el libro «Mathematik für Chemiker» de H. G. Zachmann.
La numeración de los capítulos, el orden de los temas y la terminología o nomen-
ciatura de esta colección de ejercicios, coinciden plenamente con las del mencionado
libro. El lector, si lo desea, podrá localizar fácilmente las materias y familiarizarse
rápidamente con el texto.
Agradecemos al químico diplomado Jürgen Pahst su valiosa ayuda en la
preparación de los ejercicios.
Kaiserslautern y Mainz J. Fuhrmann
H. G. Zachmann

lndice analítico
Índice analítico VII
l. Nociones fundamentales 1
II. Introducción de los números 5
III. Combinatoria 21
IV. Matrices, determinantes, ecuaciones lineales 31
V. Ecuaciones de grado superior 47
VI. Sucesiones y series numéricas infinitas 55
VII. Funciones 63
VIII. Álgebra vectorial 73
IX. Geometría analítica 83
X. Cálculo diferencial e integral de funciones de una variable 113
XI. Cálculo diferencial e integral de funciones de varias variables 149
XII. Análisis vectorial 181
XIII. Teoría de funciones 195
XIV. Desarrollos en series de funciones ortonormales. Transformaciones
integrales 201
XV. Ecuaciones diferenciales 209
XVI. Teorías de grupos 233
XVII. Cálculo de probabilidades 259
XVIII. Cálculo y compensación de errores 273·
Índice alfabético 289

Capítulo 1
Nociones fundamentales
Ejercicio 1
Decir si cada una de las siguientes condiciones son necesarias, suficientes, o
necesarias y suficientes.
a) Condición: x es un número entero, cuya última cifra es cero. Afirmación: x es
divisible por 10.
b) Condición: x es un número entero. Afirmación: x es divisible por cuatro.
e) Condición: x e y son números impares. Afirmación: x + y es un número par.
d) Condición: x e y son números positivos. Afirmación: xy es un número positivo.
e) Condición: x es un número positivo e y un número negativo. Afirmación: xy es
un número negativo.
f) Condición: x = 3 y, donde y es un número entero. Afirmación: x es divisible por 3.
g) Condición: un compuesto químico tiene un grupo- COOH. Afirmación: el com-
puesto químico es un ácido orgánico.
h) Condición: un compuesto químico tiene un grupo- COOH. Afirmación: el com-
puesto es un ácido.
i) Condición: una molécula tiene un átomo de carbono. Afirmación: la molécula
es una molécula de metanol.
j) Condición: un compuesto químico huele mal. Afirmación: se trata de ácido sulf-
hídrico.

2 Nociones fundamentales
Explicación
Si de la validez de X podemos deducir siempre la de Y, entonces se dice que X
es una condición suficiente para Y. Si Y se verifica solamente cuando se verifica X,
pero de la validez de X no podemos deducir la de Y, entonces se dice que X es una
condición necesaria para Y, pero no suficiente. Cuando se verifican ambas cosas,
diremos que X es una condición necesaria y suficiente para Y.
Solución
a) Necesaria y suficiente, b) necesaria, e) suficiente, d) suficiente, e) suficiente,
f) necesaria y suficiente, g) necesaria y suficiente, h) suficiente, i) necesaria, j) ne-
cesaria,
Ejercicio 2
¿Cuáles de las siguientes afirmaciones son ciertas, teniendo en cuenta los resul-
tados del ejercicio 1?
a) El número entero x es divisible por 10 si y sólo si, tiene la última cifra igual a cero.
b) El número x es divisible por 4 si y sólo si, es un número entero.
e) Si x e y son números impares, entonces x +y es un número par.
d) xy es 'un número positivo si y sólo si, x e y son números positivos.
e) xy es·un número negativo si x es un número positivo e y un número negativo.
f) x es divisible por 3 si y sólo si, puede escribirse x = 3 y, donde y es un número
entero.
g) Un compuesto químico es un ácido orgánico si, y sólo si, posee el grupo atómico
- COOH.
h) Un compuesto es ácido solamente si tiene el grupo atómico - COOH.
i) Una molécula es una molécula de metano) solamente si tiene un átomo de carbono.
j) Si un compuesto químico huele mal, entonces se trata de ácido sulfhídrico.
Explicación
Si X es una condición suficiente para Y, entonces se puede decir: si X es cierta,
entonces Y es también cierta. Cuando X es una condición necesaria para Y, en-
tonces podemos afirmar: Y es cierta sólo si X es cierta. Cuando X es necesaria
y suficiente para Y, entonces las dos afirmaciones anteriores son ciertas. En pocas
palabras: Y es cierta si, y solamente si, X es cierta, o bien Y sólo es cierta cuandolo es X,

Nociones fundamentales 3
Solución
a) verdadera, b) falsa, e) verdadera, d) falsa, e) falsa, f) verdadera, g) verdadera,
h) falsa, i) verdadera, j) falsa. En relación con ésto, ver también el ejercicio 3.
Ejercicio 3
Sustituir las afirmaciones falsas del ejercicio 2 por las correspondientes afirma-
ciones verdaderas.
Explicación
Ver ejercicio 2.
Solución
b) x es divisible por cuatro solamente si x es un número entero. d) Si x e y son
números positivos, entonces /f.J es un número positivo. e) Si x es un número po-
sitivo e y un número negativo, entonces xy es un número negativo. h) Si un com-.
puesto químico posee un grupo - COOH, se trata de un ácido. j) Un compuesto
químico es ácido sulfhídrico sólo si huele mal.
Ejercicio 4
¿En qué casos se pueden intercambiar la condición y la afirmación en el ejerci-
cio 1, de modo que la validez de la condición se deduzca de la validez de la afirmación?
Explicación
Si X es una condición necesaria o necesaria y suficiente para Y, entonces se
puede decir: si Y es cierta, también lo es X.
Solución
Se pueden intercambiar en a), b), f), g), i) y j).

4 Nociones fundamentales
Ejercicio 5
Hacer, donde sea lógicamente correcto, las afirmaciones recíprocas a las afir-
maciones del ejercicio l.
Explicación
Ver ejercicio 4.
Solución
a) Si x es un número divisible por 10, entonces su última cifra es cero.
b) Si x es divisible por 4, entonces x es un número entero.
f) Si x es divisible por 3, entonces se verifica que x = 3 y, donde y es un número
entero.
g) Si un compuesto químico es un ácido orgánico, entonces contiene al grupo
- COOH.
i) Si una molécula es una molécula de metanol, entonces tiene un átomo de car-
bono.
j) Si un compuesto químico es ácido sulfhídrico, entonces huele mal.
Ejercicio 6
Hacer las afirmaciones recíprocas a las de d) y h) del ejercicio 1 y comprobar
que dichas afirmaciones recíprocas son falsas.
Explicación
Ver ejercicio 3.
Solución
d) Si xy es un número posJtlvo, entonces x e y son números pos1tJvos. Esta
afirmación no es verdadera, pues xy también es un número positivo cuando x e y
son números negativos. h) Si un compuesto químico es un ácido, tiene un grupo
- COOH.Esta afirmación no es verdadera, pues, por ejemplo, H2S04 también es un
ácido.

Capítulo 2
Introducción de los números
Ejercicio 1
¿Qué clase de números (racionales, irracionales o complejos) son cada uno de
los siguientes números?
a) 3,7981
b) 06+2
e) 07+2
Explicación
d) y'=37+2 g) 1C
e) {=36+2 h) rc+t/2
f) (3+i) (6-2i)
Todo número racional se puede representar como una fracción decimal finita,
o como una expresión decimal infinita periódica. Todo número irracional se puede
representar mediante una expresión decimal no periódica infinita. Los números
racionales e irracionales juntos constituyen los números reales. Los números com-
plejos representan una generalización del concepto de número. Se define la unidad

6 Introducción de los números
imaginaria i formalmente como un número cuyo cuadrado da «- 1». De esta
definición deducimos la expresión algebraica de los números complejos
z=a+bi.
Haciendo recorrer a a y b todos los posibles valores reales, se obtienen todos los
números complejos. El número a se llama la parte real y el número b la parte ima-
ginaria del número complejo z.
Solución
a) Número racional, puesto que es la suma del número natural 3 y la fracción
7981
propia O,7981 =
10 000
, la cual es finita.
b) Número racional. La expresión está formada a su vez por dos expresiones,
6 + 2 = 8 y - 6 + 2 = - 4, y ambas dan como resultado un número entero.
e) Número irracional, puesto que V37 es irracional.
d) Número complejo, puesto que ¡/ - 37 es imaginario. La parte real del número
complejo es racional; la parte imaginaria es irracional.
e) Número complejo. Tanto la parte real como la parte imaginaria son racionales
(a= 2, b = ± 6).
f) Número racional. La expresión da como resultado el número natural 20.
g) El número «n» es irracional (trascendente, pues no es solución de una ecua-
ción algebraica).
h) Número irracional.
Ejercicio 2
Simplificar las siguientes expresiones, eliminando en particular los radicales del
denominador.
d) 1
x+VY

Introducción de los números 7
e)
f)
Explicación
Toda expresión irracional se pueoe transformar mediante:
1) Simplificación del exponente.
2) Sacar del radical factores que están en el radicando con exponentes múltiplos
del índice de la raíz.
3) Supresión de la irracionalidad en el denominador.
La simplificación del exponente se consigue mediante la división del exponente
fraccionario de la raíz y de todos los exponentes de los factores que están en el
radicando por su máximo común divisor; el radicando se deberá haber descom-
puesto en factores previamente. Se consideran las siguientes reglas de transforma-
ción para potencias y raíces:
Solución
6 6 3 ~.,----
a) Vt6 (x12 -2x11 +x10)=V42 · x5·2 (x-1)2 =V4x5
(x-1)
b) (¡/x+~2
+iR+
1
t-0HJ/x-Vx+Vx-1
1R")=
= (x1¡2+ x2f3+ x3f4+ x7f12) (x1 1
2 _ x11
3 + x1/4_ xs112) =
=x+x7f6 +xS/4+x13f12 -xS/6 -x-x13/12 -x11112 +
+x3i4+x11 ¡12 +x+xs¡6 -x11/!2 -x13¡12 -x7i6 -x=
e) De las reglas de transformación para potencias, se deduce:
~
2yz

d) Puesto que (a + b) (a - b) = a2 - b2, se puede evitar la irracionalidad en el de-
nominador:
__
1_
x+YY
X- v:;
(x+ ¡/Y) (x- ¡/Y)
e) Puesto que (y+ 1): (fy+ 1) = fr- fy + 1, resulta:
--· 1-vY+W 1-Y.Y+W
t+Y.Y 1-VY+W 1+y
4 81x6
~ 9x3
3x Vx
0
c0-0)4
=vc0-0)2
0-0
3xVx(Vl+Vx) 3xt/h+3x2
2-x 2-x
Ejercicio 3
Calcular el módulo de los siguientes números complejos. Comprobar este resultado
gráficamente con ayuda del plano numérico de Gauss.
a) -3+4i e) - ¡ e) -s+Vlii
b) 4-Si d) -5-¡/11i
Explicación
El módulo de un número complejo z = a + bi se define como:
lzl=Vaz +bz.
En el plano de Gauss se representan los números complejos como vectores cuyo
origen es el de coordenadas y cuyo extremo se determina tomando como abscisa
la parte real y como ordenada la parte imaginaria. La longitud de este vector es
el módulo del número complejo.
Solución

b) lzl =y'42+ r -5)2
=6,40
e) lzl=¡!(=1)2=1
d) lzl =6
e) lzl=6
-4
di
FIG. 2 .1
Ejercicio 4
Calcular.
a) 2+i b)
(1 +i) (2-i)
1-2i (1-i)
Explicación
Im
2
-2
bl
-4
La multiplicación de dos números complejos se define por la fórmula:
9
La división de dos números complejos se define como la operación inversa a la
multiplicación, en la cual el denominador se debe hacer real. La fracción se mul-
tiplica y divide por el número conjugado del denominador, que se diferencia de
dicho denominador en que su parte imaginaria tiene el signo cambiado.

Solución
a) __l±i.___ (2+i) (1 +2i)
1-2i (1-2i) (1 +2i)
a1 a2 +b1 b2 +i a2 b1 -a1 b2
a~+b~ a~+b~
2-2 .4+1.
+!--=!
5 5
b) (1 +i) (2-i)
1-i
(1+i)(2-i)(1+i) 2+4i =1+2i
(1+i)(1-i) 2
Ejercicio 5
Calcular:
a) a+b e) a·b e) b:a
b) a-b d) a: b f) a: a*,
siendo a = 2 - i y b = - 3 + 2 i.
Explicación
a* designa el número complejo conjugado de a (ver ejercicio 4).
Solución
a) -1+i e) -4+7i e)
8 1 .
--+-!
5 5
b) 5-3i d)
8 1
f)
2-i 3 4.
-13-13 1 --=---¡
2+i 5 5
Ejercicio 6
Sean z1 =- 1 + 2i y z2 = 4- 2i. Calcular:
a) z1 • z2
b) z:f : zi
e) (zf+z2)i-lz1 1
2
d) z~

Explicación
Ver ejercicios 4 y 5
Solución
a) (-1 +2i) (4-2i)= -4+2i+8i-4i2
= 10i
b) -1-2i (-1-2i) (4-2i) -8-6i -0,4-0,3i
4+2i (4+2i) (4-2i) 20
e) (-l-2i+4-2i) i-(V'1+4f=(3-4i) i-5= -1 +3i
d) (4-2i)2
=12-16i
Ejercicio 7
11
La resistencia de un circuito eléctrico de conmutación se puede calcular con ayuda
de los números complejos. Si se representa la resistencia óhmica Rn por un número
real, la resistencia capacitiva Re por un número imaginario negativo y la resistencia
inductiva RL por un número imaginario positivo, entonces la resistencia resultante
de este circuito (conectado en serie) es la suma de las resistencias individuales.
Calcular el módulo de la resistencia total R correspondiente a las siguientes re-
sistencias individuales conectadas en serie:
a) Rn=100 Q; Re=- 800 iQ;
b) Rn=400 Q; Re= -1400 iQ;
e) Rn=650 Q; Re=- 750 iQ;
Explicación
Ver ejercicio 3.
Solución
a) R=100+(-800+1000)i
R=V1001
+2001
=100. 0 Q
RL=1 000 iQ
RL=1100 iQ
RL= 750 iQ

12
b) R =V4002
+ 3002
= 500 Q
e) R=650 Q
Ejercicio 8
Calcular:
S
a) ¿ (k2-2k) d)
k=l
+1
b) I (a+bn) e)
n= -1
S
e) L (n2+n-1)
n=O
Explicación
3
I a"
a=1
1 3
I ¿ ik
k=O i=l
El signo sumatorio :¿ se introduce para representar la suma de una sucesión
de números de n términos. Es decir, por definición:
n
L ak =a¡ + a2 + ... + an .
k=l
El término general de la sucesión se denota por ak.
Solución
a) 1-2+4-2 · 2+9-2 · 3+16-2 · 4+25-2 · 5=25
~ a-b+a+0+a+b=3a
e) - 1+ 1+ 1-1 + 22
+ 2- 1+ 32
+ 3-1 + 42
+4- 1+ 52
+ 5- 1= 64
d) 11
+ 22
+ 33
= 32
1 3 1 1
e) ¿ ¿ ik= ¿ Ck+2k+3k)= I 6k=6
k=O i=l k=O k=O

Ejercicio 9
Simplificar y calcular las siguientes sumas:
11
a) I (a. - 2)
n=2
4 5
b) L ak+ L (a.+2 +2)
k=l e= l
Explicación
Ver ejercicio 8.
Solución
9
a) L a. =a0 +a1 +a2 +a3 +a4 +a5 +a6 +a1 +a8 +a9
n=O
4 7
b) L ak+ L (a.+2)=
k=l e =3
= a1 +a2 +a3 +a4 +a3 +2 +a4 +2+a5 +2 +a6 +2+a1 +2=
= a1 + a2 + 2a3 + 2a4 + a5 + a6 + a1 + 1O
Ejercicio 10
Las fracciones molares 111> n2, n3 verifican:
Calcular la fracción molar n2 si n1 = 0,3 y 113 = 0,5.
Explicación
Ver ejercicio 8.
13

14
Solución
Ejercicio 11
0,3+n2 +0,5=1
n2 =0,2
La condición termodinámica para el equilibrio químico isobárico, e isotérmico
3
es, para un sistema de tres componentes: .L fl; v; =O, donde p ; y '~-'; son el potencial
i = l
químico y el coeficiente estequiométrico, respectivamente, de la partícula i en la reac-
ción considerada.)
Resolver esta ecuación respecto de p3• '
Explicación
Ver ejercicio 8.
Solución
Ejercicio 12
/1¡ V¡+ /12 V2 + /13 V3 =Ü
Jlt V¡+ Jl2 v2
fl-3 = - '-"--"---'--"----"-
v3
Calcular las dos sumas siguientes y comprobar que dan el mismo resultado:
4 3 4
I I <n+k) y I I (n+k).
k = 2 n=l n=l k=2
Demostrar que el orden de los sumatorios es indiferente cuando éstos van delante
de una función. Considerar la expresión:
b d
I I J<n, k)
n=a k=c
Explicación
Ver ejercicio 8.

Solución
Ambas sumas dan como resultado 45. En general, se verifica:
b d
L L f(n , k)=
n=a k=c
=f(a, e) +f(a, c+1) + .. . +f(a, d) +
+f(a+ 1, e) +f(a+ 1, e+ 1)+ .. . +f(a + 1, d) +
d b
+f(b,c) +f(b,c+1) + . .. +f(b,d)='L 'Lf(n,k)
k=cn=a
Ejercicio 13
Calcular los siguientes productos:
3 so S
a) n a• b) n (2k2+27k) e) n (n+ 1) (n-1)
a:;:: 1 k=O n=3
Explicación
El símbolo del producto II se introduce para representar el producto de una
sucesión de números de n términos, a1, ll:!· ... , an:
Solución
n ak=a¡·a2· ... · a.
k=l
b) El primer factor (2 ·O+ 27 ·O) se anula; por tanto se anula el producto total.
S S
e) n (n+ 1) (n-1)= n (n2
-1)=2880
n=3 n = 3

Ejercicio 14
¿Para qué valores de x se verifica?:
a) ~-3x<4x+3
1 3
b) x-1 < 4x-7
Explicación
Cuando dos expresiones están separadas por uno de los siguientes signos, se
dice que se trata de una desigualdad:
> mayor que,
< menor que,
¿ mayor o igual,
::;; menor o igual.
Si se trata de haliar valores de x para los que se verifica una desigualdad se
trata de una inecuación.
En el cálculo con desigualdades se verifica:
l. a ::;; b y b ::;; e implica a ~ c.
2. a ::::; b implica a + e ::;; b + c.
3. a ::::; b y e > O implica ae s be.
4. a ::::; b y e < O implica ae ¿ be.
1 1
5. O < a :::::: b implica --¡; ¿ ¡;·
1
6. a ::::; b <O implica --¡; ¿ b .
7. O < a s b y O < e ::;; d implica ac s bd.
8. a ::::; b y e :::::: d implica a + e :::::: b + d.
Estas reglas son válidas también si cambiamos el sentido de todas las desigual-
dades, o si cambiamos el signo s por el < .
Solución
a) ~-3x<4x+3
Multiplicando por 7, obtenemos: 4- 21 x < 28 x + 21.
Sumando -21 + 21 x, obtenemos; - 17 < 49 x.
Dividiendo por 49, se tiene finalmente: x >
17
49

b) Para x = 1 y x = 7
/ 4 se anula uno de los denominadores. Puesto que la división
por cero no es posible entre los números reales, éstos dos valores de x deben
quedar excluidos. No son soluciones.
Se distinguen los siguientes casos:
l. x>l 11. 1<x<l III. X< 1
1) En el conjunto de números que verifican x > 7
/ 4, se tiene que (x- 1) >O
y que (4 x - 7) > O.
Por tanto, se verifica: (x - 1) (4 x - 7) >O.
Multiplicando la desigualdad por este factor, se tiene:
4 X - 7 < 3 X - 3 ~ X < 4.
II) En el conjunto de números que verifican 1 < x < 7/ 4, se tiene que
(x- 1) > O, (4 x- 7) < O.
Así pues, se verifica: (x - 1) (4 x - 7) <O.
Multiplicando por este factor, se tiene:
4 X - 7 > 3 X - 3 => X > 4.
Pero esto está en contradicción con x < 7
h Es decir, el caso JI no conduce
a ninguna solución de la inecuación.
111) En el conjunto de números que verifican x < 1, se tiene que (x- 1) < O
y que (4 x - 7) < O.
Por tanto (x - 1) (4 x - 7) > O.
Multiplicando por este factor, se tiene:
4 X - 7 < 3 X - 3 ~ X < 4.
En resumen, la inecuación se verifica para x < 1 y para 7/ 4 < x < 4.
Ejercicio 15
Resolver las siguientes inecuaciones:
Explicación
Ver ejercicio 14.
Solución
a) x2
+2x + 12 x2
2x+120: x2 -~

b) Sumando ! a los dos miembros de la inecuación, se tiene :
r -x+i=(x-!Y >!
lx-ti >1
(Ver explicación del ejercicio 16). Se distinguen dos casos:
l. (x-!)>0 Il. (x-!) <0
1) Si (x - -!) > O, es decir, x > !. entonces se verifica lx - !l = x -t.
11) Si (x - -}) <O, es decir, x < 1-. entonces se verifica lx - -!l = - x + l
Por tanto, se tiene:
1) para x > ! se verifica: x - -!- > ! => x > 1,
11) para x < -~ se verifica: - x + ! > 1- => x < O.
La solución es que la inecuación se satisface para x < Oy para x > l.
Ejercicio 16
¿Qué valores enteros de n verifican las inecuaciones siguientes?:
a) 1:21<10-6
b) 1:2 +11 <1+1o-8
Explicación
e) 1-1-1<10-lo
n+1
Se define el valor absoluto 1
al de un número real a como:
l
+a si a;:=:O
!al=
-a si a<O
El valor absoluto de un número siempre es por tanto positivo o cero.
Solución
1
a) Puesto que 2 > O, entonces :
n

La inecuación se cumple para n > 103 y n < - 103.
b) Puesto que n2 > O, no es necesario considerar diferentes casos.
--4-+l <l +10-8
=> --4-<10-8
=> lnl > Hf
n n
La inecuación se verifica para n > 104 y n < - 104•
1
19
e) Para (n + 1) >O, se tiene - -
1
< 10-10 => n + 1 > 1010 ; n > 1010 - l. Es de-
n+
cir, n :2: 1010, pues solamente se consideran valores enteros para n.
-1
Para (n + 1) <O, se tienen + 1
< 10-10
; n < - 1010
- l.
La inecuación se cumple para n :2: 1010 y n < - 1010- 1.

Capítulo 3
Combinatoria
Ejercicio 1
Calcular:
a)
b)
7!
3!
Explicación
e)
d)
(n+ 1)!
(n-1)!
1 +-1
(n+1)! n!
Se define el factorial de un número entero positivo n (y se representa por n !)
como el producto:
n!=1 · 2 · 3· ... ·n
La propiedad fundamental del factorial es:
n!=n · (n-1)!
Los números combinatorios se definen por:

22
(
n)= n (n-1) . .. (n-m+1)
m 1 · 2·3 · ... ·m
para m +O. Si m = O, se define ( ~ ) = l.
Se define también O! = l.
Solución
a)
12 · 11 · 10
1 . 2 . 3
220
b) ]J_=7. 6. 5. 4=840
3!
e) (n+l)n(n-1)! n2 +n
(n -1)!
1 + n+1 n+2
d) (n+1)! (n+l)! (n+l)!
Ejercicio 2
n!
m! (n-m)!
a) ¿Cuál es el número de permutaciones de 6 elementos?
Combinatoria
b) ¿Cómo varía el resultado del ejercicio a) si tres de estos elementos son iguales?
e) ¿Cuál es el número de variaciones sin repetición de 6 elementos tomados de 3 en 3?
d) ¿Cuál es el número de variaciones con repetición de 6 elementos tomados de 3 en 3?
e) ¿Cuál es el número de combinaciones sin repetición de 6 elementos tomados de
3 en 3?
f) ¿Cuál es el número de combinaciones con repetición de 6 elementos tomados de
3 en 3?
Explicación
Por permutaciones de n elementos se entiende las disposiciones de dichos ele-
mentos que se distinguen unas de otras por el orden en que están colocados. El
número de permutaciones de n elementos distintos es :
P.=1·2·3· ... ·n=n!
Si entre los n elementos a, b, e, .. . hay elementos que son iguales (o: de un tipo,
fJ de otro, etc.), entonces se dice que se trata de permutaciones con repetición, y

Combinatoria 23
se tiene la siguiente expresión para el número total de permutaciones con repe-
tición :
p = n!
n,w a! {3! ...
Por variaciones de n elementos tomados de i en i se entiende las disposiciones
de i elementos pertenecientes a los n dados, las cuales se distinguen unas de otras
tanto por el orden, como por la elección de los i elementos. El número de varia-
ciones de n elementos tomados de i en i es:
V. ¡=n · (n-1) . . . (n-i+ 1)= ( n! ') .
· n-1'
en total i factores ·
Si se permite que cualquiera de los elementos aparezca repetido un número
arbitrario de veces (variaciones con repetición), entonces se tiene:
Se definen las combinaciones de n elementos tomados de i en i como las dispo-
siciones de i elementos pertenecientes a los n dados, las cuales se distinguen unas
de otras solamente por la elección de los i elementos. Es decir, que no se considera
el orden de los elementos en cada disposición. El número de combinaciones de n
elementos distintos tomados de i en i, que se representa por c•." es:
e ·=(n)
"·' i
n (n-1) .. . (n-i+1)
1·2·3· ... · n
Si cada elemento puede aparecer repetido cualquier número de veces (combi-
naciones con repetición), entonces se tiene:
Solución
a) P6 =6! =720
6!
b) P6.w=3!= 120
- ·=(n+i-1)
c... i

24 Combinatoria
e)
6!
v63=-=120
' 3!
d) v6,3 =63=216
e) c6.3 =(~)=20
f) c6,3=(D=s6
Ejercicio 3
¿Cuál es el número de variaciones de n elementos distintos tomados de n en n?
¿Qué otra expresión conduce al mismo resultado?
Explicación
Ver ejercicio 2.
Solución
n!
v••=n (n-1) .. .. . (n-n+1)=---
' (n-n)!
Idéntico resultado se obtendría calculando el número de permutaciones de n ele-
mentos.
Ejercicio 4
a) ¿Cuántas posibilidades hay de ordenar los colores del emblema olímpico de los
cinco anillos? (Colores: azul-negro- rojo-amarillo-verde).
b) ¿Cómo variaría este resultado si uno de los cinco colores se pudiera repetir una vez?
Explicación
Ver ejercicio 2.
Solución
a) P5 =5! = 120

Combinatoria
6!
b) P6.w=2f= 360
Ejercicio 5
Calcular cuántas posibilidades existen de:
a) formar un equipo de fútbol con 11 jugadores.
b) elegir entre los 11 jugadores una delegación de 3 hombres.
e) elegir un capitán y un delegado entre los 11 jugadores.
Explicación
Ver ejercicio 2.
Solución
a) P11 =ll!=39916800
b) C¡1.3=C;)=165
11 !
e) V11 •2 =~=110
Ejercicio 6
25
Un club cuenta con 30 miembros. La dirección está formada por un presidente,
un vicepresidente, un secretario y un tesorero. ¿Cuántas posibilidades existen de for-
mar una dirección con los miembros del club?
Explicación
Ver ejercicio 2.
Solución
30 ! =657720
26!

26 Combinatoria
Ejercicio 7
¿Cuántas posibilidades hay de elegir una delegación de cuatro personas entre 30?
Explicación
Ver ejercicio 2.
Solución
e~)=27405
Ejercicio 8
¿Cuántas diferentes combinaciones de cartas puede recibir un jugador de Skat,
si recibe 10 cartas de 32 que tiene la baraja?
Explicación
Ver ejercicio 2.
Solución
G~) =64512240
Ejercicio 9
¿De cuántas formas se pueden repartir 32 cartas entre tres jugadores, de tal
forma que cada uno reciba 10 cartas y sobren dos?
Explicación
Ver ejercicio 2.

Combinatoria 27
Solución
32!
PJ2,w= 10! 10! 10! 2!
Se puede también resolver utilizando combinaciones, en cuyo caso se tiene:
c32.to · c22.10 · c12.1o = (;~) G~) G
~) .
(El resultado final es: 2 753 294 408 504 640).
Ejercicio 10
Se supone que todos los posibles hexapéptidos y octopéptidos lineales se pueden
representar por medio de seis grupos péptidos diferentes.
a) Calcular cuántos hexapéptidos hay que contengan todos los grupos péptidos,
distinguiéndose unos de otros por el orden en que están colocados dichos grupos.
b) ¿Cómo cambia el resultado del apartado a) si un grupo péptido aparece siempre
tres veces y los otros una vez cada uno?
e) ¿Cuántos diferentes péptidos de 8 grupos se pueden formar con 6 grupos péptidos?
(Cada grupo puedé aparecer cualquier número de veces).
Explicación
Ver ejercicio 2.
Solución
a) 6! =720
b) (6+2)! 6720
3!
e) 68
=1679616
Ejercicio 11
En el n-hexano se sustituyen dos átomos de hidrógeno por sendos átomos de bromo.
¿Cuántas moléculas diferentes pueden resultar? (Se supone que todas estas moléculas
existen también químicamente.)

28 Combinatoria
Explicación
Ver ejercicio 2.
Solución
Se trata de 6 elementos tomados de dos en dos. Puesto que los extremos de
la molécula n-hexano son equivalentes, se tiene que dividir por dos el resultado.
(Se puede leer la molécula tanto desde el principio como desde el final). Resultan
6·5
pues, -
2
- = 15 posibilidades.
Ejercicio 12
La estadística de Fermi parte de la hipótesis de que un sistema puede ser sub-
dividido en g celdas dispuestas en el espacio. El número de los electrones que existen
en el sistema es N (N s g). ¿De cuántas formas se pueden distribuir las partículas
en el sistema, si cada celda admite una partícula como máximo?
Explicación
Ver ejercicio 2.
Solución
El ejercicio puede interpretarse como un problema de distribución, es decir,
N partículas indistinguibles se distribuyen en g celdas distinguibles (por ejemplo,
se pueden numerar). En estas condiciones, se trata de ver de cuántas formas se
pueden ocupar las celdas. Puesto que la ocupación no depende del orden, el nú-
mero buscado son las posibles combinaciones de g elementos tomados de N en N.
El resultado es, pues ( :) .
Ejercicio 13
Demostrar que los números combinatorios satisfacen la siguiente igualdad:

Combinatoria 29
(n) n!
k = k! (n-k)!
y que de aquí se deduce:
Explicación
Ver ejercicio l.
Solución
(
n)= n(n-1) . . . (n-k+1) =n(n-1) ... (n-k+1)(n-k) .. . 1
k k! k! (n-k) . . . 1
n!
k!(n-k)!
(
n )=n(n-1) . .. (n-n+k+1)
n-k (n-k)!
_ n (n -1) ... (k+ 1) k . . . 1 n!
- (n-k)! k (k -1) . . . 1 k! (n-k)!
Ejercicio 14
Desarrollar mediante la fórmula del binomio de Newton:
a) (4+x)5
Sustituir luego x por - 2, y por 1 y z por 2, y calcular el valor numérico del re-
sultado.
Comprobar este resultado, sustituyendo en las expresiones originales x, y, z por
los valores anteriores, calculando primeramente el valor de las expresiones entre
paréntesis.
Explicación
Para (a + bt se verifica .la fórmula del binomio de Newton :

30 Combinatoria
Los coeficientes, que son números combinatorios, se pueden calcular por medio
del triángulo de Pascal, donde cada coeficiente se obtiene como suma de los dos
coeficientes que están encima de él, uno a derecha y otro a izquierda:
Solución
n
o
1
2
3
4
5
4
5
Coeficientes
2
3 3
6 4
10 10
a) (4 + x)5
= 45
+ 5 · 44
x + 1O· 43
x2
+ 1O· 42
x3
+ 5 · 4x4
+ x5
=
= 1024 + 1280x + 640x2
+ 160x3
+ 20x4
+ x5
.
Sustituyendo x por - 2, se obtiene:
1024-2560 + 2560-1280 + 320-32 = 32.
La comprobación del resultado da: (4 - 2)5 = 25 = 32.
b) (2z- 3y)4
= 16z4
- 96z3
y+ 216z2
y2
- 216zl + 81 y4
.
Sustituyendo y y z por los valores dados, se obtiene:
256-768+864-432+81 =l.
La comprobación del resultado da: (4- 3)4
= 14
= l.
5

Capítulo 4
Matrices, determinantes,
ecuaciones lineales
Ejercicio 1
Calcular para las matrices A, B y C
las siguientes expresiones:
Explicación
a) A+8
b)A+8+C
e) A -8
d) A· 8
e) 8 · A
f)(A+8) · A
g) A ·(A+8)
h) (A . 8). e
i) A·(8+C)
j) (A+8)·C
En el cálculo de matrices son ciertas las siguientes reglas:
Dos matrices son iguales si tienen el mismo número de filas y el mismo de co-

32 Matrices, determinantes, ecuaciones lineales
lumnas, y todos sus elementos son iguales, teniendo en cuenta el orden en que
están colocados dichos elementos.
La suma de dos matrices es una matriz, cuyos elementos son la suma de los
correspondientes elementos de las dos matrices. Así pues, la suma de matrices
sólo es posible si las matrices tienen tanto el mismo número de filas como de co-
lumnas:
O¡¡ 012 aa bu bl2 ha
a2l 022 a2k b2l b22 b2k
±
O¡¡ a¡2 a¡k b¡¡ bi2 bik
au ±hu a12 ±b12 aa±ba
a2l ±h21 a22 ±h22 a2k±b2k
El resultado de la multiplicación de dos matrices Á y B es una matriz
e = Á . B, tal que cada elemento Cik se obtiene mediante la siguiente fórmula:
l
C¡k = I a¡.bnk'
n=l
es decir, sólo se puede multiplicar una matriz Á con l columnas por una matriz B
con 1 filas.
La multiplicación se efectúa de acuerdo con el siguiente esquema:

Matrices, determinantes, ecuaciones lineales 33
1 1 1
I a1.b.1 I a¡nbn2 I a¡.b.k
n = l n = l n=l
1 1 1
L Gz.b.¡ L Gznbn2 L Gznbnk
n=l n= l n=t
La suma de matrices verifica la propiedad conmutativa A + B = B + A y la
propiedad asociativa (A + B) + C = A + (B + C).
La multiplicación no verifica, por el contrario, la propiedad conmutativa, pues,
en general se tiene A · B =1= B ·A. Se cumple la propiedad asociativa (A· B) · C =
= A · (B · C), así como la distributiva: A · (B + C) = A · B + A · C y (A +
+ B) · C = A · C + B · C.
Solución
a) (: -: ;)
b) (: : - :l
e) ( : -1 _:)
-1 - 1
f) (:: : :)
27 8 5
g) (2
: _: :)
20 7 8
h) (-1: _: -~:)
-20 37 2

[ -:) [_:
10
-3)
d) -2 i) -1 -5
4 -3 12 6
r~:
-4
:l
¡-1
5
-7)
e) 11 j) -13 16 - 1
15 5 -20 18 -3
Ejercicio 2
Mediante las ecuaciones
y
se obtiene una dependencia lineal del par de valores (z1, z2) respecto del par de valores
(x1, x2). ¿Cómo se expresa esta dependencia mediante un sistema de ecuaciones?
Explicación
Ver ejercicio l.
Solución
Se consideran los pares de valores (x1, xJ, (y1, y2) y (z1, zJ como matrices co-
lumna:
Z=G:)
y se escriben los coeficientes de cada uno de los sistemas lineales en forma de ma-
trices:

entonces, el sistema se puede escribir de la forma:
Z=A · y e y=B . X
Sustituyendo y· en la primera ecuación por B · x, de la segunda, se obtiene la rela-
ción buscada:
Z=A·B·x
que escrita como sistema de ecuaciones es:
Ejercicio 3
z1=(a11 b11 +a12 b21 ) x 1+(a11 b12 +a12 b22) x2
Zz = (a21b¡¡ + G22 b21) X¡+ (a21 h12 + a22 bzz) X2
Calcular el siguiente determinante:
-2 3 2
2 o - 1 - 2
- 2 4
3 - 3 2
a) desarrollando por los elementos de la primera columna.
b) reduciendo el determinante a la forma diagonal.
Explicación
Un determinante puede desarrollarse por los elementos de cualquier fila según
la fórmula:
(Teorema de Lap/ace)
Los cxif son los adjuntos de los correspondientes elementos.
Por adjunto cxif del elemento au se entiende su menor complementario con el
signo + o -, según que la suma de los índices i +j sea par o impar. El menor
complementario del elemento aif es el determinante de orden n - 1 que se obtiene
por supresión de la i-ésima fila y la j-ésima columna en el determinante dado.
Por ·otra parte, los determinantes se pueden transformar, aplicando sus pro-
piedades, de tal forma que todos los elementos que queden por debajo de la día-

gonal sean nulos. Entonces se calcula el valor del determinante mediante el teorema
de Laplace, y resulta ser igual al producto de los miembros de la diagonal principal:
Para obtener la forma diagonal de un determinante, se utilizan las siguientes
propiedades:
1) Si se suma (o se resta) a (de) una fila los elementos de otra, o una combinación
lineal de otras filas, entonces el determinante no varía.
2) Un determinante cambia de signo si se permutan dos filas, dejando las res-
tantes fijas; si un determinante tiene dos filas iguales o proporcionales, o si una
fila es combinación lineal de las restantes, este determinante es nulo.
3) Si un determinante tiene una fila cuyos elementos tienen un factor común, este
factor puede salir fuera del determinante.
4) El valor de un determinante no varía si se cambian filas por columnas. Por
tanto, todas las propiedades importantes que se refieren a las filas son válidas
también para las columnas.
Solución
o -1 -2 -2 3 2
a) 1 4 +2·(-1) 4 1
-3 2 -3 2
-2 3 2 -2 3 2
-2 o -1 -2 +3·(-1) o -1 -2
-3 2 4
=1 (-13-2)-2 (5-2)-2 (20-14)-3 (-22+4)=21
b) Por la propiedad 1) de los determinantes, se puede restar la 4.a columna mul-
tiplicada por 2 de la 3.a columna, así como sumar la 4.a columna multiplicada
por 3 a la 2.a columna y, finalmente, restar de la l.a columna la 4.a multipli-
cada por 3, todo ello sin que varíe el valor del determinante. Así pues, se tiene:

Transformando la primera y segunda columnas con ayuda de la tercera, se puede
conseguir que los dos primeros elementos de la tercera fila sean ceros:
o -3 -1 2
-7 15 3 -2
o o -1
o o o
Finalmente, con ayuda de la segunda columna, se transforma la primera:
21
-3
15
-1 2
o 15 3 -2
=(- ~D ·15·(-1)·1=21
!DI=
o o -1
o o o
Ejercicio 4
Calcular los siguientes determinantes:

38
3 2 4
3 6 2
b)
6 3 2 5
5 3 2 4
Explicación
Ver ejercicio 3.
Solución
a) 28
b) -8
Ejercicio 5
e) 112
d) 48
Matrices, determinantes, ecuaciones lineales
3
3
d)
3
3
a) Comprobar para las matrices A y B, que el determinante del producto es igual
al producto de los determinantes.
b) Demostrar la validez general de este hecho para matrices cuadradas de segundo
orden.
Explicación
Ver ejercicios 1 y 3.
Solución
a) IAI=17 ; IBI =-9 ; IAI ·lB1=-153

b) Sean las matrices:
Entonces,
IAI · IBI=a11 a22 b11 b22 -a12a21 b11 b22 -
- a11 a22 b12 b21 + a12 a21 b12 b21 .
allb12+a12b22)
G21 h12 +a22b22
lA· Bl =a11 a21 b11 b12 +a11 a22 b11 b22 +
+ a12 a21 b21 b12 + a12 a22 b21 b22 - a11a21 b11 b12 -
-a¡¡a22bl2b21-al2a21bllb22-a12a22b21b22=1AI · iBI .
Ejercicio 6
Comprobar en el caso particular:
4-3 3 2
D= 1+5 5
2+3 4
39
la validez del teorema: si los elementos de una columna de un determinante son suma
de dos sumandos, entonces se puede escribir el determinante como suma de dos de-
terminantes.
Explicación
Ver ejercicio 3.

Solución
Al desarrollar por los elementos de la primera columna, se obtiene:
4-3 3 2
5 3 2 3 2
1+5 5 =(4-3) -(1 +5) +(2+3)
4 4 5
2+3 4
5 5 3 2 3 2 3 2
=4 -3 -1 -5 +2 +
4 4 4 4 5
3 2
+3
1 5
Aplicando a los miembros subrayados y a los no subrayados el teorema del desa-
rrollo de un determinante por los elementos de una línea, se obtiene:
4 3 2
5 +
2 1 4
Ejercicio 7
Resolver la ecuación:
5 3
X 2 o
-4 -1 -3
Explicación
Ver ejercicio 3.
-3 3
5
3
5
6 2
2
5
4
3
o
-4 -1 -3

Solución
Los elementos de ambos determinantes son iguales, salvo el primer elemento
de la segunda fila. Puesto que el valor de ambos determinantes debe ser el mismo,
estos dos elementos también tienen que ser iguales. Por tanto, x = 6.
El mismo resultado se obtendría utilizando el teorema del desarrollo de los
determinantes.
Ejercicio 8
Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones:
a) -2x1 +3x2 + x3 = 7
x1 -4x2 +3x3 = 2
2x2 - x3 =
b) x1 +2x2 +3x3 = 4
2x1 +3x2 +4x3 =
3x1 +4x2 + x3 = 2
e) 4x1 -3x2 + x3 = 8
3x1 +5x2 -2x3 = -6
x1 -2x2 +3x3 = 2
Explicación
Dado un sistema de ecuaciones de la forma:

se define el determinante de coeficientes:
Los determinantes 1Ak
l son aquellos determinantes que se obtienen sustituyendo
en el determinante de los coeficientes Al, la columna de los coeficientes a ; k de las
incógnitas xk por la columna de los términos independientes b¡. Las soluciones del
sistema de ecuaciones se obtienen mediante las fórmulas (Regla de Cramer):
Se supone A1,., O.
Solución
-2 3
a) Al= - 4 3 =9
o 2 - 1
7 3 - 2 7
IAl l= 2 -4 3 =9, A2= 2 3 = 18.
2 - 1 o - 1
-2 3 7
IA
3
I= -4 2 =27.
o 2
Ji.j_ .
X¡= A =1 ,
M.
x2= A =2,
M
X = =3
3
A

Matrices, determinantes, ecuaciones línea/es
b) IAI=4, IA 1
1=-44, IA 2
j=36, IA 3
I=-4
X 1 = -11, X 2 =9, X3 = -1
8 10
e) X1 =11, Xz= -2, X3= -U
Ejercicio 9
Resolver los sistemas de ecuaciones lineales :
a) 2x1 -3x2 +4x3 =0
-4x1 +5x2 -3x3 =0
-2x1 + x2 +6x3 =0
b) 9x1 -2x2 +5x3 =0
3x1 +2x2 + 7x3 =0
-5x1 +4x2 +3x3 =0
e) 9x1 -2x2 +5x3 =0
3x1 +2x2 -7x3 =0
-5x1 +4x2 +3x3 =x3
d) 4x1 +2x2 -3x3 =4
-x1 + x3 +2x4 = -1
3x1 +4x2 -4x3 + x4 =0
2x1 -3x2 + x3 +3x4 =0
Explicación
43
Para resolver un sistema de ecuaciones lineales, hay que considerar el número m
de ecuaciones, el número n de incógnitas y el rango r de la matriz A. El rango de
una matriz se define como el mayor orden de los menores no nulos. Entonces se
reordenan las ecuaciones del sistema de tal forma que un menor de la matriz, de
orden r no nulo, esté en la parte superior izquierda de A. (La reordenación es inne-
cesaria si el menor de orden r que está en la parte superior izquierda de la matriz
ya es distinto de cero.)
Hay dos casos posibles:
1) r = n. Resolviendo el sistema formado por las n primeras ecuaciones con n
incógnitas, se obtiene una solución única (x1 = a1, x2 = a2, etc.), pues el deter-
minante de este sistema es A =P O:

Si n < m, esta solución satisface también las m - n ecuaciones restantes, que
se obtienen como combinaciones lineales de las primeras, cuando el sistema es
compatible. Entonces la solución es única. (Los criterios de compatibilidad
resultan del llamado Teorema de Rouche-Frobenius).
2) r < n. Entonces se resuelve el sistema de las r primeras ecuaciones en las r pri-
meras incógnitas, xi, x2, • • ·, x., quedando expresadas éstas como función de
las n - r restantes, Xr+I• · · ·, Xn, y así se obtienen soluciones en forma de ex-
presiones lineales:
estas sóluciones verifican el sistema de las r primeras ecuaciones puesto que el
determinante del sistema es =f. O. A las indeterminadas Xr+1, Xr+2, · · ·, Xn se les
pueden dar valores cualesquiera. Las soluciones anteriores, x1, ... , x., satisfacen
también las restantes m - r ecuaciones, si r <m, cuando el sistema es com-
patible y las últimas m - r ecuaciones son combinaciones lineales de las pri-
meras. El sistema dado es en este caso indeterminado.
Solución
a) El sistema de ecuaciones es homógeneo, es decir, todos los bt son cero, y
posee por tanto, como todos los sistemas homogéneos, la solución trivial
xi = x2 = x3 =O y es compatible. El determinante de orden 3 que está en la
parte superior izquierda de A se anula; sin embargo, no se anula el determi-
nante de orden 2:
2 -3
= -2#0.
-4 5
Este sistema de ecuaciones homogéneo pertenece al caso 2.0
, es decir, r < n,
r :s::: m, siendo r = 2, n = 3, m = 3; posee pues una solución en forma de fun-
ción lineal:
X¡ =X¡ (x3)
x2 =x2 (x3),

que deducimos del sistema de ecuaciones:
2x1 -3x2 = -4x3
-4x1 +5x2 = 3x3
La solución del ejercicio es, por tanto:
_¡-::: -:1 1J
X¡ - --L___ _ _ ___,_ =-2x3
-2
x2 =5x3 .
b) Puesto que r < n, aparte de la solución trivial, existe la solución:
x2 = -2x3 .
45
e) Este sistema homogéneo de ecuaciones no tiene ninguna solución distinta de la
trivial, x1 = x2 = x3 = O. Puesto que el determinante de los coeficientes es
JA J =!= O, es decir, r = n, r = m, entonces, este sistema de ecuaciones pertenece
al caso l.
d) Este sistema de ecuaciones, no homogéneo, pertenece al caso 1 : r = n, r = m.
Por tanto, la única solución es:
-~- 35 _jfl__E._ _Jfl__~
x¡- JAI -11,x2 - jAj -11 ,x3 - jAj -11
__Mj_ __ _Q_
x4- JAJ - 11.
Ejercicio 10
Determinar, para la reacción:
los coeficientes estequiométricos, a, b, ... , g, estableciendo para cada elemento la
ecuación de balance, obteniendo así un sistema lineal de ecuaciones. (Por ejemplo,
para el hidrógeno la ecuación de balance sería: a+ 3 e-3d- 2 g =O.)
Explicación
Ver ejercicio 9.

Solución
Las ecuaciones de balance son:
(H) a
(CI) a
(K)
(Mn)
(O)
(As)
+3c-3d -2g=0
-2e-f =0
b -! =0
b - e =0
4b+3c-4d g=O
e- d =0
Este es un sistema de ecuaciones homogéneo con r = 6, n = 7 y m = 6. El sistema
de ecuaciones responde al caso 2. (ejercicio 9). La solución es:
2 5 5 2 2
a=2g, b=
3
g, c=
3
g, d=3g, e=3g.J=3g.
Si damos a g. el valor 3, se obtienen números enteros para todos los coeficientes,
los cuales, sustituidos en la ecuación dan:

Capítulo 5
Ecuaciones de grado superior
Ejercicio 1
Resolver las siguientes ecuaciones de segundo grado
a) 2x2
+ 12x+ 16=0
b) x2
=7x-10
e) ~+7x+3=(x+2)(2x-1)
d) (x-2) (x-2)=1
e) 2x2
-6x+1=+0,42
f) x2
-4x+4=0
Explicación
Para resolver una ecuación de segundo grado (ecuación cuadrática), se pone
primero en la forma normal:

48 Ecuaciones de grado superior
Si se puede poner esta ecuación fácilmente en la forma:
(x-a) (x-fJ)=O,
entonces, las soluciones de la ecuación cuadrática son: X¡ = ex y x2 = {3. Si no se
puede poner la ecuación en esta forma sin dificultad, entonces se tiene que aplicar
la fórmula para la resolución de ecuaciones de segundo grado:
Solución
a) 2r+12x+16=0
r+6x+8=0
X¡,2 = -3 ± y'9=s
X¡= -2, X2= -4
b) r-7x+10=0
X¡,2 =3,5± V12,25 -10
X¡ =5 . X2=2
e) r+7x+3=2r+3x-2
r-4x-5=0
x1,2=2± y¡¡5
X¡=5
X2 =-1
d) r-4x+3=0
X¡,2=2±¡/4=3
x1 =3 x2 = 1
X 2 = _.f!_+ ~q
l. 2 -v-¡--q
Este ejercicio se puede resolver por descomposición en factores lineales:
(x-1) (x-3)=0
e) r-3x+0,29=0
X¡,2 =1,5±V2,25-0,29
x 1 =2,9 x2 =0,1

f) r-4x+4=0
(x-2)2
=0
Ejercicio 2
49
¿Cómo se puede explicar el hecho de que en el ejercicio 1 f) coincidan los valores
de las soluciones, utilizando el teorema fundamental del Algebra («Toda ecuación
en grado n tiene n soluciones reales o complejas»)?
Explicación
Ver ejercicio 2.
Solución
La ecuación cuadrática
r - 4x+4=0
se descompone en factores lineales de la forma:
(x-2) (x-2)=0,
que responde a la forma general:
(x -x1) (x-x2 )=0
Existen pues dos soluciones, x1 y x2, que en este caso particular coinciden.
Ejercicio 3
Determinar todas las soluciones de las ecuaciones siguientes, y descomponer dichas
ecuaciones en factores lineales.
a) x3
-x=O
b) ~-6x2
+11x-6=0
e) x4
+2~-r-2x=O
d) x4
+4x3
+6x2
+4x+ 1=0

e) x4
-2x2-3=0
f) x5
+4il+3x=0
Explicación
Las ecuaciones de tercer grado, así como las de grado superiores, se resuelven
generalmente reduciéndolas primero a la forma normal, tanteando después hasta
encontrar una solución x1 • Dividiendo entonces por (x - x1 ), se obtiene una ecua-
ción de grado n - l. Se repite este proceso hasta que se llega a una ecuación de
2.o grado, cuyas soluciones se pueden obtener por la fórmula de resolución de las
-~cuaciones de segundo grado.
Solución
a) Es inmediato que x1 = Oes solución de la ecuación. Dividiendo por (x - xJ = x,
se obtiene:
.x-2-1=0.
Por tanto, las soluciones son : x 1 =0, x2 = 1, x3 = -1.
La ecuación, descompuesta en factores lineales, tiene la forma:
x(x-1)(x+1)=0.
b) x1 = l. Dividiendo por x - l, todo se reduce a resolver:
.xl-5x+6=0.
Las soluciones son : x1 = l, x2 = 3, x3 = 2.
La ecuación, descompuesta en factores lineales, es :
e) x1 =O=>.il +2xl-x-2=0
x2 =1=>x2
+3x+2=0
x3 ,4 = -1,5±V2,25-2
X3= -1 X4 =-2
x (x-1) (x+ 1) (x+2)=0
(x -1) (x- 2) (x- 3)=0.

Ecuaciones de grado superior 51
d) Esta expresión, haciendo uso del teorama del binomio de Newton, equivale a
esta otra:
(x+ 1t=O.
Las cuatro soluciones de la ecuación por tanto coinciden:
X¡ =X2=X3=X4= -1.
e) Introduciendo una nueva variable, y = x2, se obtiene una ecuación cuadrática:
y2
-2y-3=0
Y1 =3 Jl= -1.
Extrayendo raíces, se calculan las cuatro soluciones:
x1 = + ¡/3, x2 =- ¡/3, x3 = +i, x4 = -i
(x- ¡/3) (x+ ¡/3) (x-i) (x+i)=O.
f) La solución x1 = O es inmediata. Dividiendo la ecuación por x, se obtiene la
ecuación de 4.o grado.
x4
+4x2
+3=0.
Introduciendo la nueva variable, y = x2
(ver ejercicio e), se llega a una ecuación
de segundo grado, la cual se resuelve por la fórmula de las ecuaciones de se-
gundo grado:
r+4y+3=o
Yl.2 = -2±V4=3
y 1 = -1 Jl= -3
Así obtenemos el resto de las raíces:
Ejercicio 4
x2 = + i, x3 = - i, x4 = + ¡/3 i, x5 = - ¡/3 i
x (x- i) (x+i) (x- ¡/3 i) (x+ ¡/3 i)=O.
Calcular, mediante la ecuación de caída libre de los cuerpos:
el tiempo que necesita un cuerpo para caer 10m si la velocidad inicial es v0 = 5 m s-1
(g ~ lO ms-1) . ¿Porqué se admite solamente una de las soluciones de la ecuación
cuadrática?

Explicación
Ver ejercicio l.
Solución
Sustituyendo el valor dado en la ecuación, se obtiene:
10=5 t2
+5 t
de donde,
De aquí:
Puesto que el experimento empieza en el instante t = O, la solución negativa de
la ecuación no tiene sentido físicamente. Se debe considerar, pues, solamente la
solución t = l.
Ejercicio 5
La velocidad de reacción r, en la formación de Hl a partir de H2 e 12 (reacción
incompleta), a 600 K, es
r=2 · 10-4 s-1 (co.H2
-x) (c0 ,
12
-x).
Calcular el número x de mol [-1 producidos en la reacción, sabiendo que la velo-
cidad de reacción ha alcanzado el valor de 10-5 mol I-1
y las concentraciones inicia-
les de ~ e 12 (co,H. y c0,1
,) han sido 1 y 0,1 mol 1-1
, respectivamente.
Explicación
Ver ejercicio l.
Solución
to-s =2 · 10-4
(1-x) (0,1-x)
0,05 =0,1-1,1x+x2

x2
- 1,1x + 0,05 =O
X¡,z =0,55± Vü,3025 -0,05
~ 0,55 ± 0,502 5
X¡= 1,052 5 Xz = 0,047 5
53
Puesto que el ejercicio dice que solamente se han utilizado O, 1 mol de 12 , x no
puede ser mayor que O, 1 (en otro caso, tendrían que aparecer magnitudes negati-
vas de 12 en la reacción). La solución x 1 , se presenta pues, sin sentido físico. El
número de moles buscado es 0,0475 moll-1.
Ejercicio 6
El calor molar de HBr se calcula mediante la fórmula:
Cp=27,52+4,00 · 10- 3
T+6,61 · 10- 7
T2
,
donde T y Cv se miden en K y JK-1
moJ-I, respectivamente. ¿A qué temperatura
es el calor molar igual a 32 JK-1 mol-1?
Explicación
Ver ejercicio l.
Solución
32=27,52+4 · 10- 3
T+6,61 · 10- 7
T2
T2
+6,05 · 103
T-6,78 · 106
=0
T=( -3,03 ±V9,18 +6,78). 103
=( -3,03 ±V15,96). 103
~(-3±4)·103
Puesto que una temperatura absoluta negativa es físicamente imposible, el
resultado es:
T = 1 · 103
= 1000 K

Capítulo 6
Sucesiones y series
numéricas infinitas
Ejercicio 1
Representar sobre una recta las sucesiones dadas más adelante y determinar in-
tuitivamente, así como calcular, qué sucesiones son convergentes. Calcular, para
las sucesiones convergentes, el límite correspondientt.
1
a) a.=-,
n
1
b) a. = ( - 1)" n '
e) a.=(-1)" [2+ ~],
Explicación
d) a.= 1",
e) a.=2",
f) a.=( -1)".
Un número, A, es un punto de aglomeración de una sucesión, a1, a2, ••• , an, ... ,
si en todo entorno suyo existen infinitos términos de la sucesión. Si una sucesión
tiene un único punto de aglomeración, entonces la sucesión se dice que es con-

56 Sucesiones y series numéricas infinitas
vergente. Las sucesiones que poseen varios puntos de aglomeración se denominan
divergentes. Las sucesiones que crecen ilimitadamente, superando cualquier valor,
se llaman propiamente divergentes. Se dan a continuación los siguientes criterios
de convergencia:
Criterio l. Una sucesión an converge hacia un límite A si, y sólo si, para todo
número s >O, se puede encontrar un número natural N, tal que:
para todo n > N.
Criterio 2. (Criterio de convergencia de Cauchy). Una suces10n numenca in-
finita an es convergente si, y sólo si, para todo número s > O, existe un número
natural N, tal que:
lam -a.1
< s si n > N Y m > N
Criterio 3. (Teorema de monotonía). Una sucesión que es monótona y aco-
tada, es convergente. Cuando la sucesión an es convergente y tiene por límite A,
se escribe: liman= A.
n-+oo
Solución
a) La representación de los términos de la sucesión en la recta (ver fig. 1 a) hace
pensar que la sucesión converge y que tiene por límite cero. Efectivamente, se
deduce 1~ convergencia con ayuda del criterio de convergencia 1, ya que
si 1
n>N=-
e
b) La sucesión converge a cero. La demostración es igual que en el apartado ante-
rior, a) (fig. 1 b).
e) La representación en la recta (ver fig. 1 e) muestra que la sucesión tiene dos
puntos de aglomeración. Por tanto, es divergente.
d) Todos los términos de la sucesión valen 1; la sucesión, por tanto, es conver-
gente y tiene por límite 1 (fig. 1 d).
e) Los miembros de la sucesión crecen superando a cualquier valor. Por tanto, la
sucesión es propiamente divergente (fig. 1 e).
f) Los miembros de la sucesión valen alternativamente + 1 y - 1, luego la suce-
sión es divergente (fig. 1 f).

Sucesiones y series numéricas infinitas 57
a3 a2 a,
~ 11 1 1 1 ~ al
1
-1 o 1
a, aa as a, a2
1 11. 11 1 ,.. bl
-1 o
a, a3 a4 a2
1 111! 1 1 ~1 1 ., el
-3 -2 -1 o 2 3
a1
,a2,...
di
-1 o
a, a2 aa a, ...
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ~ el
- 1 o1
a1, a3,... a2, a4, .••
r1
-1 o
F IG . 6. 1a- f
Ejercicio 2
Se tienen 100 cm3
de una disolución de cloruro sódico en agua. La concentración
de esta disolución puede estimarse como de 0,02 gfcm3• La mitad de la disolución
se separa y se completa con agua hasta llenar 100 cm3• De la disolución resultante
se separa nuevamente la mitad y se completa con agua hasta llenar 100 cm3
, y así
sucesivamente. Calcular las concentraciones así obtenidas. ¿Qué límite tiene esta
sucesión?
Explicación
Ver ejercicio l.
Solución
c1 = 0,02, c2 = 0,02/2, c3 = 0,02/4, . .. El límite de esta sucesión es cero.

Ejercicio 3
Calcular los siguientes límites.
e) lim --+--1 ,
(
n-1 1 )
n-eo n+1 n ,
e) lim (n-_!_), f) lim (Vn-1
+~)
n-eo n n-eo v;;-+1 Vn-=-1
Explicación
El límite de una suma, diferencia, producto y cociente de sucesiones convergentes
es igual a la suma, diferencia, producto y cociente de los límites, respectivamente
(salvo, cuando sea O el límite de la sucesión divisor). Por tanto, hay que trans-
formar las expresiones del ejercicio de forma que aparezcan como suma, diferencia,
producto o cociente de sucesiones con límites conocidos.
También son de utilidad las siguientes operaciones con sucesiones: la suma (o
diferencia) de una sucesión divergente y otra convergente es divergente; el producto
de una divergente por otra convergente con límite no nulo, es divergente; el cociente
de una divergente por otra convergente es divergente; el límite del cociente de una
convergente por otra propiamente divergente, es cero.
Solución
2+-1-
a) lim
2n2+1
=lim
n2 2
=-
n-eo 3n2
-1 n-eo 1 3
3--
n2
b) 1, e) O, d) j-; e) divergente, f) divergente.
Ejercicio 4
Estudiar cuáles de las siguientes series son convergentes:

Explicación
=
Una serie ¿un se llama convergente si la sucesión de las sumas parciales,
v n= O
s. = ¿un es convergente. De los múltiples criterios de convergencia que hay, se
n=O
citan los siguientes :
1) Criterio del cociente. Si una serie verifica
¡• 1 Un + l 1 k
1m--=
n- 00 un
entonces, la serie es convergente si k < 1 y divergente si k > l. En el caso k = 1
no se puede afirmar nada.
2) Criterio de la raíz de Cauchy. Si para una serie se tiene
lim Vj;z¡=k
n-ro
entonces, la serie es convergente si k < 1 y divergente si k > l . Si k = 1, no
se puede afirmar nada.
Solución
2n- l 1
a) Criterio del cociente: k = lim-- = -
n-+= 1 2 '
por tanto, converge.
2n
2
b) Criterio del cociente: k = lim - -=O por tanto, converge.
n-+= n + 1 '
e) Criterio del cociente: k= 1, criterio de la raíz : k = l. Por tanto, con estos
criterios no se puede deducir nada. Sin embargo, directamente se comprueba
que la serie diverge, pues s. = v.
d) Criterio de la raíz: k= 1/2, luego converge.
Ejercicio 5
¿Cuáles de las siguientes series alternadas son convergentes?

a) 1-td-t+t- + .. . b) 1-1 +1-1 +1-1 +- ...
e) lt-1!+1t-lt+1i- + .. . d) f <-1)" J.
n=O 2
Explicación
Una serie se llama alternada cuando los signos de dos términos consecutivos
cualesquiera de la serie, son distintos. En este caso existe el criterio de Leibniz: una
serie alternada es convergente si y sólo si, los valores absolutos de los términos
de la serie decrecen y tienden a cero.
Solución
a) y d).
Ejercicio 6
¿Cuáles de las series del ejercicio 5 son absolutamente convergentes?
Explicación
Una serie es absolutamente convergente cuando converge la serie cuyo término
general es el valor absoluto del término general de la serie dada.
Solución
a) No converge absolutamente, pues 1 + t + t + ! + ... es la serie armónica,
que se puede demostrar que no es convergente.
l
d) Converge absolutamente, porque .L 2n converge (ver ejercicio 4).
Ejercicio 7
Determinar el radio de convergencia de las siguientes series de potencias:
<Xl
a) I x",
n=O
00 x"
b) I -,,
n=O n.
00
e) I nx"
n=O

Explicación
El radio de convergencia, r, de una serie de potencias es un número positivo r,
tal que la serie diverge si lxl > r y converge si lxl < r.
Solución
a) Aplicando el criterio del cociente, se tiene k = lxl, de donde r = l.
b) Aplicando el criterio del cociente, se obtiene k = lim ~~~ =O para todo x,
"-)>oo n T
de donde se deduce r = oo.
e) r=1.
Ejercicio 8
Calcular las sumas de las siguientes series:
a)
00 1
I -2",
n~o
e)
00
I 2",
n ~ o
d) I: o,o1"
n = O
e) 5+2,5+1,25+ ...
Explicación
00
Una serie de la forma 2: q" con q > O se llama serie geométrica. Una serie
n~O
geométrica converge si lql < 1, y su suma es:
Solución
1
a) -1
1 =2,
-2
00
5
b) 4'
e) I 5 · (!)"=10
n~o
I q"=-1-
n~o 1- q
e) divergente, d) 1,010101 ...

Capítulo 7
Funciones
Ejercicio 1
Determinar las funciones inversas de las siguientes funciones y expresarlas en
forma explicita:
a) y=e"-l para -oo<x
b) y=xl-6x+7 para -3:$x:$3
{ .x2-2x+3 para x<l
e) y-
-.xl +2x+ 1 para x::=: 1
Explicación
Para calcular la función inversa de una función y = f(x), se cambia la variable
dependiente por la independiente y viceversa, y se despeja la y en la ecuación x =f(y).
La función y = q¡(x) así obtenida es la función inversa en forma explícita.
Si la función y = f(x) está definida en un recinto, a < x < b, y el conjunto
de valores que toma la funci~n es de la forma A < y < B, queda determinado
por la misma. Dicho conjunto, A < x < B, es el campo de definición de la función
inversa y = tp(x).

64 Funciones
Solución
a) Mediante el cambio de variables, se obtiene la función inversa:
x=eY-1
En forma explícita es:
y=ln (x+ 1).
El conjunto de valores de la función dada es y > - 1; así pues, el campo de
definición de la función inversa es:
x> -1.
b) Para determinar el conjunto de valores de la función y = f(x), se despeja la x
y se sustituye en la desigualdad dada, correspondiente al campo de definición:
X1 =3+v.;+2
-3~3+v.;+2~3
y= -2
X2=3-v.;+2
-3~3-vJ+2~3
-6~ -VJ+2~o
-2~y~34
En el caso de la raíz positiva x1, la desigualdad correspondiente se verifica sola-
men.te para y = - 2. En este caso, sin embargo, la raíz es cero, es decir, este
caso está también dado por x2 (+O= -0). De la función x2 = rp(y) y su
conjunto de valores, se obtiene inmediatamente la función inversa , con su
campo de definición:
y=3-Vx+"2; -2~x~34
e) x1 = 1 ± VJ1="""2 < 1, y > 2, considerando el signo negativo de la raíz.
x2 = 1 ± V- y +2 ;;;;: 1, y ~ 2, considerando el signo positivo de la raíz.
Así pues, la función inversa, con su dominio de definición, es:
y=lt -Vx=-2 para x>2
1+V -x+2 para x~2
Ejercicio 2
Representar gráficamente las siguientes funciones:

Funciones
a) r=1-x
b) y=x-2+t x-3
e) y=¡ x-
1
lpara-1 ::;;x::;; 1
-x+1
Explicación
65
El valor absoluto de un número a, que se representa por a, se define de la
siguiente forma:
Solución
a) ;?=1-xpara x~O
T = 1+X para X < Ü
¡a,
a= -a,
si a~O
SI a<Ü.
y
FIG. 7.1
b) y=x-2+t{x-3)=1,5x-3,5Para x~3
y=x-2-t(x-3)=0,5x-0,5 para 2:::;;x<3
y,;, -x+2-t(x-3)= -1,5x+3,5 para x<2

66 Funciones
4 y
L----L----+---~----~1
-4 4
-4
FIG. 7. 2
e) Primero resolvemos la ecuación escrita en la parte superior :
y = x - 1 para O5: x 5: 1
y= - x- 1para- 15: x < O 11
A partir de la segunda ecuación, se tiene:
y= - x +1 para O5: x 5: 1 III
y= x +1 para - 15: x <O IV
y
-1
FIG. 7. 3
Ejercicio 3
Calcular el periodo de las siguientes funciones:

Funciones
a) sen 5x
b) cotl x-senx
e) sen x · cos x
Explicación
67
Las funciones periódicas son aquellas que satisfacen f(x + T) = f(x); el nú-
mero T se llama periodo de la función. Normalmente se considera como periodo
el menor número T que satisface esta condición.
Solución
a) sen 5 x =sen (5 x + 2:n:) =sen [5(x + ~ :n:)] =sen [5(x + T)], con T = ~ :n:.
b) Puesto que cot2
x = cot2 (x + :n:) y sen x = sen (x + 2 :n:), se verifica:
cot2 x - sen x = cot2 (x + T) -sen (x + T) , con T = 2 :re.
e) Puesto que sen x = sen (x + 2 :re) y cos x = cos (x + 2 :n:), se tiene:
sen x ·cos x =sen (x + T1) cos (x + T1) siendo T1 = 2 :re.
Puesto que sen x ·cos x = 1· sen 2x, el mínimo número que satisface la con-
dición f(x) =f(x + T) se puede calcular como sigue:
senx · cos x=t sen[2(x+ T)]=sen(x+ T) cos (x+ T) siendo T=rr..
Ejercicio 4
Representar gráficamente la función que representa la relación entre la inversa
de la temperatura absoluta y = 1/T, que se mide en K-l, y la temperatura x =9 CC),
medida en grados centígrados. ¿Cuál es la expresión de esta relación? ¿Cuál es el
campo de definición en el cual tiene sentido físico esta función?
Explicación
No es necesario dar nmguna.
Solución
La ecuación es:
y= x+273

68 Funciones
Físicamente sólo tienen sentido las temperaturas absolutas positivas, es decir.
X> -273 °C.
0.1
J
.~~~==t=~::::t::::i:::L:¡::::¡:::::I::~,
-273 -200 -100 o 100 200
FJG. 7.4
Ejercicio 5
La diferencia de potencial en función del tiempo entre las placas desviadoras ver-
ticales de un tubo de televisión viene dada por la ecuación
u=a·(t-[t])
en donde a es una constante. Dibujar la curva que representa esta función. ¿Es con-
tinua esta función?
Explicación
La expresión:
y=[x]

Funciones 69
se define de la siguiente forma: y es el mayor número entero que no supera a x.
Solución
-4~,.. t
FIG. 7. 5
La función no es continua.
Ejercicio 6
La constante de desintegración, k, del Radón 222 es 3,8 d (d = días). La ley de
desintegración es:
¿Qué clase de curva es In n = f(t)?
Explicación
No es necesario dar ninguna.
Solución
1
_ e- T.S' _ n e-0.263r
n-n0 - o
In n=ln n0 - 0,263t
Es una recta.
lnn
FIG. 7. 6

70 Funciones
Ejercicio 7
Calcular w en la ecuación de la diferencia de potencial de una corriente alterna,
U = U0 sen wt, si dicha corriente tiene un periodo de 0,02 s.
Explicación
Ver ejercicio 3.
Solución
De
se obtiene
Ejercicio 8
sen wt=sen(wt+ 21t) =sen [w(r+::)J
T=~=0,02, o sea w=1001t s-1
w
Representar la función
z=sen(x+y)
para los valores de y: O, 2/3 n y 4/3 n (curva de la corriente trifásica).
Explicación
Solución
FIG. 7.7.

Funciones 71
Ejercicio 9
Representar las funciones de varias variables:
a) V(T, P) =
2
J(ecuación de un gas perfecto), dibujando las curvas correspondien-
tes a T = cte. y P = cte.
b) 1p = exp [- (x2 + y2
+ z2
)''•] (función orbital), dibujando las SUFerficies corres-
pondientes a 1p = cte.
e) z = 1p2 = x exp [- (x 2
+ y2)''•], dibujando las líneas correspondientes a 1p2 =cte.
Explicación
Solución
a)
V
FIG. 7.8
b) Se trata de una función de tres variables. Si se consideran x, y, z como coor-
denadas del espacio, entonces la expresión (x2
+ y2
+ z2
)'1• representa la dis-
tancia r, al origen. La función vale e0 = 1 en el origen y decrece en todas las
direcciones uniformemente de forma exponencial.
z
FIG. 7.9

Capítulo 8
/
Algebra vectorial
Ejercicio 1
Dados los vectores
a={2; -1;1}, b={3 ; 2;2} y c={-1 ; 2;5}
calcular:
a) a +b+c,
b) a-b+c,
Explicación
e) a+b-c,
d) a-b-e
La suma de rectores se realiza sumando las correspondientes coordenadas:

74
Solución
a) a+b+c={4; 3; 8}
b) {-2; -1;4}
e) {6; -1; -2}
d) {O; -5; -6}
Ejercicio 2
Calcular con los vectores
a={2; -1; 1}; b={3;2;2} y c={-1;2;5}
las siguientes expresiones:
a) a · b d) (axb)·c
b) a x b e) (axb)xc
e) (a+b)xc
Explicación
El producto escalar de dos vectores
se define como:
Algebra vectorial
en donde cp es el ángulo formado por los vectores y ¡a¡ = Va; +a!+a; el módulo
del vector a (ver cap. II). El producto escalar de vectores paralelos es Ja! ·JbJ; si
los vectores son perpendiculares, entonces el producto escalar es cero.
El producto vectorial, e = a x b, se define como:

Atgebra vectorial 75
j k
e= ax
(i, j, k son los vectores unitarios en la dirección de los ejes x, y y z), e es un vec-
tor simultáneamente perpendicular a a y a b. Si a y b son paralelos, entonces el
producto vectorial es cero. Se verifica:
!el= lallbl sencp.
El producto mixto (a x b)· e= abe es un escalar:
abe= bx
Solución
a) a·b=2 · 3+(-1)·2+1·2=6
j
b) axb= 2 -1
3 2
e) a+b={5;1;3}
5
-1
j
1
2
2 -1
d) abe= 3 2
-1 2
k (-4)
~ = -4i-j+7k= -~
2 =37
5
e) axb={-4; -1;7} (ver ejercicio 2b).

76
Ejercicio 3
j
-4 -1
-1 2
¿Qué módulos tienen los vectores?
y qué ángulo forman?
Explicación
Ver ejercicio 2.
Solución
a={1;1;7} y b={0;3;7}
lal =Va;+a;+a;=V1 + 1+49= V5t
lbl =Vo+ 9+ 49 = 08
Puesto que a-b = lal lbl cos cp, se obtiene:
Algebra vectorial
a·b
cos qJ= lallbl
3+49
,¡-;-;- ,;-;;; 0,9561; qJ=17,04°
V 51 · V 58
Ejercicio 4
¿Cuál es el volumen del tetraedro determinado por los vectores a = {0, 3, 1},
b = {3, 1, 2} y e = {2, 5, - 4}, cuando se consideran a partir del origen?
Explicación
El valor del producto mixto (ver ejercicio 2) es igual al volumen buscado.

Algebra vectorial 77
Solución
o 3
3 2 =61
2 5 -4
Ejercicio 5
a) ¿Cuánto debe valer p para que el vector a = {3, p, - 2} sea coplanario con los
vectores b = { -1; 4; 2} y e = {2, 5, 6}, cuando se consideran a partir del origen?
b) Calcular b X e y b · c.
e) Calcular los métodos de los vectores b y c.
d) ·¿Qué ángulo forman?
Explicación
Ver ejercicio 2.
Solución
a) Para que los tres vectores estén en un mismo plano o sean paralelos al mismo
plano, tiene que ser cero su producto mixto.
3 p -2
abc=O= -1 4 2 = 10p+68
6
p= -6,8
b) b x e= {14; 10; -13}
b · c=30
e) lbl = {21 icl = ¡/65
d) cos rp= ~ 0,812
21 o 65
2 5

78 Algebra vectorial
El ángulo que forman es:
Ejercicio 6
a) Si al vector a = {6, 1, 1} se le suma un múltiplo del vector b = {3, - 1, 0},
calcular cuánto debe valer /, para que la suma a + l.b sea perpendicular al vector
e = {- 2, 3, 5}.
b) Demostrar que los vectores a y e tienen el mismo módulo.
e) Calcular el ángulo formado por a y c.
Explicación
Ver ejercicio 2.
Solución
a) a+.A.b={6+3..1.; 1-..1.; 1}
(a+.A.b)·c=O
= -2(6+3..1.)+3(1 -..1.)+5
= -12-6..1.+3-3..1.+5
= -4-9..1.
b) ia1=V 36 +1+1 = {381
ici=V 4+9+25 =f38
Ambos vectores tienen el
a· e -4
e) cos q>=~= {38.{38 -0,1053; q>=96,04°.
Ejercicio 7
Demostrar que son ciertas las siguientes igualdades:
a) a x b= -b x a
mismo módulo.

Algebra vectorial 79
b) (a-b)x(a-b)=O
e) (a-b)x(a+b)=2axb
Explicación
Ver ejercicio 2.
Solución
j k
a) axb= ax aY az
bx by bz
= i(aybz -azby) +j(azbx -axbz) +k(axby-aybJ =
= - i (azby- aybz)-j (axbz- azbx)- k(aybx- axby) = - bX a
b) El producto vectorial del vector (a - b) por sí mismo tiene que ser cero, pues
el ángulo formado por los dos factores es cero.
e) Desarrollando el producto, por la propiedad distributiva:
(a- b) x (a+ b) =a x a+ a x b- b x a- b x b.
Pero a x a =O, b x b =O y b x a = -a x b (ver ejercicio 7 a), por lo
que la expresión se puede simplificar, quedando igual a 2 a x b.
Ejercicio 8
Demostrar la validez de la ecuación:
a·c b·c
(a x b) · (ex d) =
a· d b · d
Explicación
Ver ejercicio 2.

80 Algebra vectorial
Solución
Calculando separadamente los dos miembros de la ecuación, se obtiene:
a X b={(ayhz-azby); (azhx-axbz); (axby-aybx)}
e X d = {(cydz- czdy); (czdx- cxdz); (cxdy- c),dX)}
El segundo miembro de ecuación es:
(axcx +ayey+a,e,) (bxdx +bydy +bzdz)-
- (bxcx +byey+ bz Cz) (axdx +aydy +azd.)
Desarrollando ambas expresiones, se obtiene el mismo resultado.
Ejercicio 9
Calcular el ángulo formado por los vectores a = {2, 2} y b = {0, 5}.
a) utilizando el producto escalar.
b) utilizando el producto vectorial.
Explicación
Ver ejercicio 2.
Solución
a) a·b=2·0+2·5=10
a· b=lallbl cos <p
Puesto que lal =V8 y lbl = 5, se obtiene:
10
cos <p= 'lo ; <p=45".
V 8 . 5

Algebra vectorial
b) axb=c= 2
o
j
2
5
k
O =10k; lcl=tO
o
Puesto que 1
el = lal·lbl sen 1p, se obtiene de nuevo rp = 45°.
81

Capítulo 9
Geometría analítica
Ejercicio 1
Calcular las pendientes y los puntos de intersección con los ejes de las siguientes
rectas:
a) y+3x=0, b) y=2x+ 5, e) 3y+x=7,
d) ~+L=o
2 5 ,
e) ~+L=t
2 5 ,
f) 5y+3x-2=0,
g) 2y-x+ 1=0.
Explicación
Una ecuación lineal de dos variables tiene siempre como representaciOn car-
tesiana una recta en el plano xy. Poniendo la ecuación de la forma y = mx + b,
m representa la pendiente (tangente del ángulo que forma la recta con el eje positivo
de abscisas) y b la ordenada correspondiente al punto de intersección de la recta
con el eje y. Poniendo la ecuación de la forma x/a + ylb = 1, a representa la
abscisa correspondiente al punto de intersección de la recta con el eje x y b la
ordenada correspondiente al punto de intersección de la recta con el eje y.

84
Solución
a) m= -3, a=O, b=O,
b) m=2, a= -1, b=5,
d) m=-~, a=b=O,
f) m= -t, a=t, b=~,
Ejercicio 2
e) m= -t, a=7, b=i,
e) m=--!, a=2, b=5,
g) m=i , a=1, b= -t.
Geometría ana!ltica
Decir cuáles son la forma y la posición de las curvas que representan las siguientes
ecuaciones en el plano xy.
a)
x2
3~+3r=6, ~-y=2,
y2+-=5 b) e)
2 ,
d) 2~+25y=6, e) 3l+x=2, f) 4~+2x+y2
=5,
g) 3x2+2y+3l=25.
Explicación
Una ecuación en x, y,de segundo grado que no tenga término mixto, en la cual
el término independiente es distinto de cero, se puede siempre poner de una de
las siguientes formas:
En el primer caso se trata de una circunferencia con radio r, en el segundo de una
elipse con semiejes a y b (real o. imaginaria según que el segundo miembro sea
+ 1, o- 1), en el tercero y cuarto de una hipérbola, y en el quinto y sexto de una

Geometría analítica 85
parábola. x0 e y0 representan en cada caso el centro de la curva excepto en el
caso de la parábola, en que se trata del vértice de la misma. En todos los casos
los ejes son paralelos a los ejes de coordenadas. Si los ejes no son paralelos a
los ejes de coordenadas, entonces se presentan términos mixtos.
Solución
a) ~ + ~ = 1, elipse con centro en el origen y semiejes VTü y V5.
b) x2 + y2 = 2, circunferencia con centro en el origen de radio {2;
e) x2
=y+ 2, parábola con vértice (0, - 2) y p=f;
d) ~+ ~ = 1, elipse con centro en el origen y semiejes (5 y {6 ·
3 25 -5-,
e) y2
=- ~+~,parábola con vértice (+ 2, O) y p = - -f,.
f) (x ~~t)
2
+ r= 1, elipse con centro (- t, O) y semiejes ~ y
T6 4
.!21.
V4•
g) r+(y+!)2
=
7
9
6
, circunferencia con centro en (0, -t) y radio -JV19.
Ejercicio 3
Escribir las ecuaciones correspondientes a las siguientes curvas y rectas:
a) Elipse con centro en el origen y semiejes 3 y l.
b) Recta cuyas intersecciones con los ejes son (5, O) y (0, - 1).
e) Circunferencia con centro en (- 3, + 2) y radio 5.
d) Recta formando un ángulo de n/4 con el eje positivo de las x y que pasa por el
origen.
Explicación
Solución
r
a) 9+r=1,
X
b) 5-y=1,
e) (x+3)2
+(y-2?=25, d) y=x.

86 Geometría analítica
Ejercicio 4
Dar las ecuaciones de las rectas y curvas siguientes, utilizando en cada caso los
puntos dados:
a) una recta que pase por los puntos (2, 3), (1, 1).
b) una: recta que pase por los puntos (0, 0), (2, 2).
e) una recta que pase por los puntos (1, 2), (- 5, 6).
d) una circunferencia que pase por los puntos (1 , 0), (0, 1), (- 1, 0).
e) una elipse con centro en el origen que pase por los puntos (2, 1), (0, 3).
Explicación
Para determinar la ecuacwn de una curva, d~ben darse tantos puntos como
parámetros aparecen en la ecuación. Así pues, si existen k parámetros, se susti-
tuyen en la ecuación general x e y por las coordenadas de los k puntos, obteniéndose
así k ecuaciones con k incógnitas. Puesto que en la ecuación de la recta y = mx + b
aparecen los dos parámetros m y b, se necesitan dos puntos. En la ecuación de la
circunferencia aparecen tres parámetros, x0, y0 y r, por lo que se necesitan tres
puntos, y así sucesivamente.
Solución
a) Sustituyendo x e y por las coordenadas de ambos puntos en la ecuación y=mx+b,
se obtienen las dos ecuaciones:
3=2m+b,
1=m+b
mediante las cuales se determinan m y b. Resolviendo el sistema, se obtiene:
b = - 1, m= 2, y = 2 x- l.
b) b=O, m=1, y=x.
e) b=J, m=-!. y= -fx+J
d) Mediante las correspondientes sustituciones en la ecuación de la circunferencia
(x - x0) 2 +(y - y0) 2 = r 2
, se obtiene :
(1-x0 )
2
+.fo=r
~+(1-yo)2=r
( -1 - Xo )
2
+To = r
Restando de la primera la tercera ecuación, se tiene :

Geometría analltica 87
De aquí se sigue que - 4 x0 = O, es decir, x0 = O. Se sustituye x0 por este valor
y se resta la tercera de la segunda ecuación, con lo que se obtiene:
(t-yo)2-t-ro=O.
De donde : - 2 Yo = O, es decir, Yo = O.
Mediante la sustitución de x0 e Yo por estos resultados en la primera ecuación,
resulta finalmente r = 1; así pues, la ecuación buscada es :
r+r=t.
e) Sustituyendo x e y en la ecuación de la elipse, ~: + ;: = 1, por las coordena-
das de los puntos, se obtiene:
Resolviendo el sistema de ecuaciones, se obtiene b2 = 9 y a2 = 9/ 2• La ecuación
buscada es:
Ejercicio 5
La longitud de una varilla, expresada como función de la temperatura, viene dada
por l = /0(1 + cxt), en donde /0 es la longitud de la varilla a Ooc y tes la temperatura
en grados C. ¿Cuántas mediciones de la varilla a diferentes temperaturas se deben
hacer para poder conocer la longitud de la varilla en cualquier instante?
Explicación
Ver ejercicio 4.

Solución
Basta con hacer dos mediciones a dos temperaturas diferentes, pues existe una
dependencia lineal entre la longitud de la varilla y la temperatura.
Ejercicio 6
La longitud de una varilla a 20 o
c es 208,5 cm y a 100 °C, 209,1 cm. Determinar
la ecuación citada en el ejercicio anterior que da la longitud en función de la tem-
peratura. Calcular el coeficiente de dilatación a.
Explicación
Ver ejercicio 4.
Solución
Sustituyendo en la ecuación, 1 = /0( 1 + xt), la longitud y la temperatura por
los valores dados, se obtienen dos ecuaciones para a y /0.
208,5=10 (1 +20a)
209,1 =10 (1 +100a)
La solución de este sistema es: a = 3,6 · 10-5 y /0 = 208,35. La ecuación buscada
es pues: 1 = 208,35(1 + 3,6·10--5 r).
Ejercicio 7
Una ecuación de la Termodinámica es: !J.G = !'J.H - TD.S, donde !J.G es la va-
riación de la entalpía libre, !J.H la variación de la entalpía, !J.S la variación de la
entropía y T la temperatura absoluta. Sabiendo que !J.G = 8,20 kcal a 200 K y
8,37 kcal a 210 K, calcular !J.H y !J.S. Se supone que !J.H y !J.S son constantes en
el intervalo de temperaturas considerado.
Explicación
Se trata de una ecuación lineal en !J.G y T, en la cual - !J.S representa la pen-
diente y !J.H la ordenada correspondiente a la intersección con el eje de ordenadas.
Ver ejercicio 4.

Solución
Resolviendo las dos ecuaciones
8,2=11H-200 L1S
8,37=11H-210 L1S
se obtiene : !:!.S = 1,7· I0-2 kcal /K y !:l.H = 4,8 kcal.
Ejercicio 8
89
¿Qué figuras geométricas representan en el espacio x, y, z las siguientes ecua-
ciones?
a) x2
+y2
+(z-5)2
=36, b) 2x+3y+5z=1,
x2 T 2_
e) 2S+T+z -1, d) 3x+y+z=0,
e) x=5, f) x+y=1,
g) (x-2)2
+(y+W+z2
= 1.
Explicación
Una ecuación lineal en x, y, z representa en el espacio un plano . Poniendo la
ecuación en la forma xfa + yfb + zfe = 1, (a, O, 0), (0, b, 0), (0, O, e) son los puntos
de intersección del plano con los ejes x, y, z, respectivamente. La clasificación de
las ecuaciones cuadráticas es complicada. Si la ecuación se puede poner en la forma
(x - x0)2 + (y - y0)2 + (z - z0) 2 = r2, entonces la ecuación representa una esfera
con centro en el punto (x0, y0, z0) y radio r. Si se puede poner en la forma:
entonces es un elipsoide, cuyo centro tiene las coordenadas (x0, y0, z0) y cuyos se-
miejes son a, b, e, los cuales son paralelos a los ejes de coordenadas. Si aparecen
en la última ecuación signos negativos, entonces se trata de otras superficies (por
ejemplo, hiperboloides, etc.), que no pueden ser vistas con detalle en este libro.
Si falta una variable en la ecuación, entonces representa una superficie cilíndrica
paralela al eje de la variable que falta, y que se obtiene considerando la curva
plana que tiene por ecuación la dada, en el plano de las dos variables que figuran
en la ecuación. y trasladando esta ecuación paralelamente al eje de la variable que

falta. Si en particular consideramos el caso de un plano, entonces éste siempre es
paralelo al eje cuya coordenada no aparece en la ecuación.
Solución
a) Esfera con centro en el punto (0, O, 5) y radio 6.
b) Plano cuyos puntos de intersección con los ejes son (1, O, 0), (0, -},O) y (0, O, t).
e) Elipsoide con centro en el origen y semiejes 5, 3, l.
d) Plano que pasa por el origen.
e) Plano paraleló al plano yz, cuyo punto de intersección con el eje x es (5, O, 0).
f) Plano paralelo al eje z, cuyos puntos de intersección con los ejes x, y,son: (1, O, O)
y (0, l, 0).
g) Esfera con centro en el punto de coordenadas (2, - 3, O) y de radio l.
Ejercicio 9
¿Qué figuras geométricas representan en el espacio xyz las ecuaciones siguientes:
a) x2
+y2
+z2
=5 y z=3,
b) x=5 y z =3,
e) xl+-fsi+z2
=1 y x+y+ z =l.
Explicación
El sistema de dos ecuaciones representan en el espacio tridimensional una curva,
que es la intersección de las dos superficies representadas por cada una de las
ecuaciones dadas. A veces se puede hacer intuitiva la forma de la curva mediante
un dibujo.
Solución
a) Circunferencia situada en un plano paralelo al plano xy, a una altura z = 3,
la cual se obtiene como intersección de la esfera con el plano z = 3.
b) Recta paralela al eje y, la cual se obtiene como intersección de los planos x = 5
y z = 3.
e) Elipse, que se obtiene como intersección del elipsoide y el plano dados.

Ejercicio 1O
¿Qué figuras geométricas representan en el plano xy o en el espacio xyz las si-
guientes ecuaciones?
a) x=t, y=t2
,
e) x=5 t2
, y=25 t
e) x=25 t+3, y=5 t.
Explicación
b) x=2 cos t, y=2 sent,
d) x=2 cos t, y=3 sent, z=2 t,
En las ecuaciones dadas aparece un parámetro t. Las figuras correspondientes
se obtienen dando distintos valores al parámetro y calculando los correspondien-
tes valores de x, y, z. La ecuación no paramétrica se obtiene eliminando el pará-
metro. Tal eliminación, sin embargo, a menudo no favorece a la intuición.
Solución
a) y= x2
, parábola.
b) x2 + y2 = 4, circunferencia con centro en el origen y radio 2.
e) y = x2 con x > O, si t es real. La parte derecha de la parábola del ejercicio a).
d) Se ve intuitivamente que se trata de una espiral elíptica en torno al eje z. La
eliminación de t es muy difícil en este caso y no tiene ningún interés.
X 3 1
e) y= ·5- - S' recta con pendiente S y punto de corte con el eje de orde-
nadas (0, - 3/5).
Ejercicio 11
La parte real e' e imaginaria e" de la constante dieléctrica verifica, en el caso
más sencillo:
,_ e,-eu
e -e.+ 1 2 2
+w r
e"= (e,-t:.)wr
1+w2
r 2
'
donde su, e, y 1: son constantes. w es la frecuencia de medición variable. Demostrar
que, eliminando w se llega a la ecuación:

(Diagrama de Cole-Cole). ¿Por medio de qué curva se obtiene e" en función de e'?
Explicación
Solución
De la primera ecuación, se obtiene:
1+w2
r2
= e,- F.. o sea wr= ~
•.
e'-e. V~
Sustituyendo en la segunda ecuación se obtiene:
( )1e -e'
e, -eu ,
e" = -----'-----'e_-____,e.,_ o sea e"=V(e,- e') (e' -e.) .
e,-e.
e' -e.
Elevando al cuadrado la última ecuación y multiplicando las expresiones entre
paréntesis, se obtiene:
Mediante una sencilla transformación, se obtiene la ecuación pedida en el ejercicio.
Se trata de la ecuación de un círculo con radio (s, - eu)/2 y centro en e'
y s" =O.
Ejercicio 12
Calcular los autovalores y vectores propios de las siguientes matrices:
b) A-(
2
V21 J.

Explicación
Dada una matriz
(
G¡¡
A=
G21
un vector x de componente' x, y x,, " decir, x ~ (::} " tcan,forma en oteo
vector y ~ (::) , mediante la ecuación matcicial'
y=Ax
Existen vectores que se transforman en otros de la misma dirección, pero cuyo
módulo queda multiplicado por un factor k En este caso, se verifica:
y=A.x.
Tales vectores se llaman vectores propios de la matriz A, y los valores ). correspon-
dientes, valores propios. Los valores propios se obtienen resolviendo la ecuación
característica
G¡¡-}.
lA -A.EI = =Ü
G21
la cual, para matrices de segundo orden, conduce a dos valores de }.. Los valores
propios pueden ser iguales (degeneración). Los vectores propios se obtienen resol-
viendo el sistema homogéneo
Ax=A.x, es decir
Para matrices de más de dos filas y columnas, se procede análogamente.

94 Geometrla analítica
Solución
a) Ecuación característica:
2-A. 3
3 6-A.
de donde: }.1 = 4 +V13 y }'2 = 4 - vl3. Hay pues dos valores propios. El
primer vector propio (i1., i2), correspondiente al primer valor propio, se obtiene
de cualquiera de las dos ecuaciones siguientes:
De aquí, se sigue:
1 - 2+t/D
X2- 3 X¡,
Por ejemplo:
1 1 y 1 - 2 +VD ~ 1 87
x1 = x2 -
3
- , .
De la misma forma, se obtiene para }'2 = 4- VTI el segundo vector propio:
2 2 _2-t/D~
X 1 = 1 y X2 -
3
~- 0,54.
b) ...1.1 =9
1 1 01 2 2 01
y ...1.2 =-1; x1 =1,x2 =--
1
- ·O sea, x1 =1,x2 =-
3
-.
1 1 2 2
y ..1.2 =-6 ; x1 =1,x2 =1 o sea, x1 =1,x2 =-1.
e) ..1.1 =4
Ejercicio 13
Normalizar los vectores propios del ejercicio 12.
Explicación
Un vector propio se dice que está normalizado si su módulo vale 1, es decir,
si ¿ x7 = l. Para normalizar un vector dado, se calcula su módulo y se divide
cada una de las componentes por dicho módulo.

Solución
a) El módulo de ~ es (1Tf~87Z = 2,12. El vector normalizado, que designaremos
también por .i- , tiene pues por componentes i 1 = 0,47 y i2 = 0,88. El módulo
de i es VT+0,532
= 1, 13. El vector normalizado tiene pues por componentes
.i1
= 0,88 y .i2
= - 0,47. Así pues:
i=(0,47),
0,88
i= ( 0,88)
-0,47
1 ( 0,837)
b) X= ,
-0,547
i= (0,547)
0,837
Ejercicio 14
Determinar las matrices que representan en el plano xy giros alrededor del origen
de ángulos:
71:
a) <p=3,
e) qJ=2n:,
Explicación
La matriz
A=
71:
b) qJ=-¡;,
d) qJ=71:
(
cos qJ
sencp
-senqJ)
cos (/)
representa un giro de ángulo cp.

Solución
-tV3)·
+t
d) (-1 o)·
o -1
Ejercicio 15
¿Cuáles de las siguientes matrices son ortogonales?
a) A~ e ) b) B~cVT -:V3l
1 1 1
V3 V3 V3
d) D= 1 1 1
V3 V3 {3'
1 1 1
V3 V3 {3
o o
G{
1
J
e) F= o 1 2
f) o
V3 {3'
o 2 1
o
v3 v3
H~c :) (-1 J.
g) h) T=
o

o o
i)
S=(: :)'
j) 1= o 1
vr
V3
o ¡/T 1
ti
Explicación
n
Una matriz A, cuyos elementos son a,k, se llama ortogonal, si L ark = 1 para
n i=l
todo k y ¿: a7k = 1 para todo i. Es decir, la suma de los cuadrados de los elementos
k = !
de cada fila es igual a l. Lo mismo para cada columna. Las matrices ortogonales
dejan el módulo invariante, y representan un giro o una simetría.
Solución
a), b), d), h), i), j).
Ejercicio 16
Calcular las matrices inversas de las matrices del ejercicio 15.
Explicación
La matriz inversa de A se designa por A-l y se define por la condición
A-l.A =E, donde E es la matriz unidad.. La matriz inversa viene dada por
IX¡¡ IXz¡ ()(ni
lAT lAT ···w
A-'=
IX¡n IX2n C(nn
lAT lAT ···w

98 Geometrla ana/ltica
en donde cx.;k es el adjunto del elemento atk· Se obtiene dicho adjunto suprimiendo
en el determinante IAI la i-ésima fila y la k-ésima columna, y multiplicando el de-
terminante así obtenido por (- l)i+k. En el caso de matrices ortogonales se puede
calcular más sencillamente la matriz inversa, siendo igual en este caso a la matriz
simétrica de la matriz dada respecto de la diagonal. Una matriz que no tiene matriz
inversa se llama singular.
Solución
a) Calculando la matriz simétrica, se obtiene A-1 =A.
b) Calculando la matriz simétrica, se obtiene:
e) No es ortogonal, por lo tanto, se tiene que utilizar la ecuación mencionada
antes:
.!.
t
2
ICI= =±-i=O.
1 .!.
2 2
Los elementos de la matriz inversa se hacen infinito. Por lo tanto no existe ma-
triz inversa. e es singular.
d) Por simetría, se obtieneD-1
= D.
e) La matriz no es ortogonal. Mediante el teorema de Laplace para el desarrollo
por elementos de una fila, se obtiene:
1 2
IFI=1.
v3 v3 =t-~= -t.
2 1
t/3 v3
Los adjuntos son:

Geometrla analltica 99
1 2
V3 V3
IX¡¡=( -1)2 =1·(-1)=-1
2 1
V3 V3
o 2
V3
IX12 =(-1? =(-1)·0=0
o 1
V3
1Xn =0, IX21 =0,
2
IX23 =- {3'
Así pues, es:
o o
2
V3
o 2
V3
1
V3
f) La matriz no es ortogonal. Por el mismo procedimiento que en e), se obtiene:
g) La matriz no es ortogonal. Su determinante es lnl = - 10. En este caso hay
que multiplicar los adjuntos por (- 1/10).
Se tiene:

(
-0,2
a-1=
0,4
0,3)
-0,1
h) Calculando la matriz simétrica, se obtiene T-1 = T.
i) Calculando la matriz simétrica, se obtiene S-1 = S.
j) Calculando la matriz simétrica, se obtiene J-1 =J.
Ejercicio 17
Mediante la matriz
(
-0,2
S=
0,4
0,3)
-0,1
se hacen un cambio de coordenadas, i = Sx donde
En el sistema original se da ahora una transformación por la matriz A. Determinar
la matriz Ade la transformación en el nuevo sistema de coordenadas x, si A es:
•) A~(:
e) A= (
3
-1
Explicación
:)
-1),
-1
b) A~G ~).
d)A=(o -2)·
-2 o
Mediante un cambio de coordenadas de matriz S, la matriz A de una transfor-
mación se transforma en la matriz A = SAS-1
.
Solución
Se tiene:

Así pues, se obtiene:
a) A=SAS- 1
=(-
0
'
2
0,4
= (-0,2
0,4
:).
- (-1,3
e) A=
0,1
-2,9).
3,3
d) A=( 1 -1)
-3 -1
Ejercicio 18
101
o,3) (1 o) (1
-0,1 o 5 4
0,3) (1
-O,1 20
3) ( 5,8
10 = -1,6
2
,4)
0,2
Calcular los cambios de coordenadas mediante los cuales se diagonalizan las
matrices A del ejercicio12.
Explicación
Una matriz simétrica se puede diagonalizar siempre mediante un cambio de
coordenadas adecuado. Para hallar la matriz S de la transformación, se determinan
primeramente los vectores propios normalizados, i y i de la matriz A, y se forma
la matriz:
La matriz del cambio de coordenadas buscada es S = X-1
. Para el cálculo de los
vectores propios, ver ejercicios 12 y 13.

Solución
Una vez calculados, con ayuda del ejercicio 13, los vectores propios normali-
zados, se obtiene:
X= (0,47 0,88)·
0,88 -0,47
De aquí se sigue:
-1 (0,47 0,88)
S=X = .
0,88 -0,47
Se puede comprobar fácilmente que el cambio de coordenadas de matriz S, con-
vierte a la matriz de la transformación dada en diagonal, y que esta matriz dia-
gonal tiene como elementos en la diagonal los valores propios calculados en el
ejercicio 12: A.1 = 4 +VTI y A.2 =4- yt3 (con la exactitud de los cálculos).
Se tiene:
S A s-1 = (0,47 0,88) (2 3) (0,47 0,88) =
0,88 -0,47 3 6 0,88 -0,47
(
0,47 0,88) (3,58 0,35) (7,57
= 0,88 -0,47 6,69 -0,18 = 0,006
0,006) ~
0,39
~(4+{13 o )·
o 4-{13
(
0,837
b) X=
-0,547
0,547),
0,837
(
{2- {2-)
e) X= ,
1 1
V2-V2
-(0,837 -0,547)
S- .
0,547 0,837

Ejercicio 19
La matriz A del enlace OMH de átomos de carbono hibridados por sp2
en un
hidrocarburo no saturado, se obtiene de la siguiente forma: se numeran los átomos
de carbono de la serie y se pone au = 1 cuando el i-ésimo y el j-ésimo átomo de car-
bono forman enlace, y a;1 = O si no existe enlace. Todos los a¡; se hacen iguales a
cero. Calcular la matriz, los valores propios y los vectores propios para el alilo
(CH2 =CH-CH2 - ).
Explicación
Ver ejercicio 12.
Solución
A{
o
o , 21 =0, l2 = {2, 23 =- {2,
o
ii 1 1
2 2 2
i 2
É 3
- !{2
X= o X=
2
X=
_É ! .l.
2
2 2
Ejercicio 20
Efectuar para cada una de las siguientes curvas una transformación de ejes .prin-
cipales, y determinar en cada caso qué clase de curva es:
a) 2xf+6x1 x2 +6x~ = 1
b) 2xf+2 V21X1 X2 +6X~ = 1
e) 2x1x2 =1
d) xi+2X¡X2=1

Explicación
El primer miembro de cada ecuación representa una forma cuadrática en x1
y x2 que se puede escribir en general de la forma:
Mediante las matrices
se puede escribir la ecuación anterior, en la forma:
donde xT es la matriz transpuesta de (x1, x2). Efectuando un cambio de coorde-
nadas, x=S x, A .se transforma en A = SAS-1
. Cuando se habla de una trans-
formación de ejes principales se entiende una transformación de coordenadas, en
la que desaparezcan los términos mixtos, es decir, tal que A sea una matriz diago-
nal. Esto se consigue (ver ejercicio 18) haciendo S = X-1, en donde X es la matriz
formada por los vectores propios. Las ecuaciones de los ejes principales se obtienen
haciendo x1 = O y x2 = O.
Solución
a) A~G :). >,~4+¡/13, >,~4-¡/13,
(4+y'13) xf+(4-y'13) x~=1 (elipse).
Las ecuaciones :i = S x son:
es decir
(~1) = (0,47 0,88) (X¡)
x2 0,88 -0,47 x2
x1 =0,47x1 +0,88x2 ,
x2 =0,88x1 -0,47x2 •

De aquí se deducen las ecuaciones de los eJes principales, haciendo x1 =0
Y x2 =0 :
x2 = -0,53x1 y X 2 = 1,87X¡.
b) A -(
2
V21
; } A, ~9. A,~-1, 9Xf-il ~1(hipé•bola)
Las ecuaciones de los ejes principales son: x2 =1,53x1 y x2 =-0,65x1 .
Las ecuaciones de los ejes principales son: x2 =x1 y x2 = -x1 •
1) }. = 1+VI }. = 1-VI
, 1 2 ' 2 2
o
( 1+VI) ·2 + ( 1-VI) ·2 _ 1(h. . b 1 )
2
X¡
2
x2- 1per o a
Además:
x1 =0,850x1 +0,525x2 =0,
x1 = -0,525x1 +0,850x2 =0.
De donde se obtiene:
x2 =-1,619x1 es decir x2 =0,617x1 .
Ejercicio 21
Efectuar, para las siguientes curvas, una transformación de ejes principales y
determinar qué clase de curvas son:
a) 2xf+6x1 x2 +6~-3x1 +2x2 =1,
b) 6xf+8x1 x2 +2x2 =0.
Explicación
Cuando en una forma cuadrática también aparecen términos lineales, primera-
mente .se debe reducir la matriz de los términos cuadráticos a la forma diagonal

106 Geometría analítíca
como en el ejercicio 20, y, finalmente, con ayuda de la ecuación x=S- 1
i, trans-
formar también los términos lineales.
Solución
S=(0,47 0,88).
0,88 -0,47
De aquí se deduce:
X¡ =0,47 X¡ +0,88x2, x2 =0,88x¡ -0,47x2 o
La ecuación transformada es:
O sea:
0,82 (x1 +0,02W +0,042 (x2 -4,6W = 1 (elipse).
b) A~(: :J. A,~s, A,~-2
X=(h VsJ. A=X-IAX=(
8
O)
1 2 o -2
-- ---
¡15 Vs
La ecuación transformada es:
es decir
1.

Geometrla ana/ltica 107
Se trata de una hipérbola cuyo centro tiene por coordenadas (
8
~· V~).
Si en las ecuaciones i =S x una vez se hace i 1 = Oy otra i 2 = O, se obtienen
las ecuaciones de los ejes de simetría, x2 = -2x1 y x2 =! x1•
Ejercicio 22
Diagonalizar los siguientes tensores mediante una transformación de ejes prin-
cipales:
Explicación
Un tensor T determina una transformación de un vector a en un segundo vec-
tor b, mediante la ecuación matricial b =T a. Dicho tensor se puede transformar
mediante una transformación de coordenadas, igual que sucedía con la matriz de
una transformación (ver ejercicio 17). Así pues, un tensor simétrico se puede dia-
gonalizar mediante una transformación de matriz S= X- l , donde X es la matriz
formada por los vectores propios normalizados (ver ejercicio 18). Los elementos
de la diagonal del tensor transformado son los valores propios J., de la matriz dada.
Solución
3-A. -2
a) 1-A. o = (3-A.) (1-A.) (2-A.)-4(1-A.)-
-2 o 2-A.

108 Geometrla anal/tica
De aquí se deduce: ).1 = O
, ~..¿ = 3 + v-3
,}'3 = 3 - j/3. Por tanto:
f~(:
o o
3+{3
o )
o 3-{3
2-.A. o
b) o -2-.A. o =(2-.A.)( -2-...1.)(1-.A.)-( -2-...1.)=0;
3 1-A.
A.1 =-2;
-2 o o
f= o 3+Vs o
2
o o 3-Vs
2
Ejercicio 23
Calcular el tensor de inercia de la molécula FN = NF en el sistema de coorde-
nadas dado en la figura 1. Después calcular el producto de los momentos principales
de inercia.
y
FIG . 9. 1
Explicación
El tensor de inercia de una molécula viene dado por:

L.m¡(yf+zf) -L.m¡x¡y¡ - L.m¡X¡ Z¡
1= -L.m¡x¡ y¡ L m¡(xf +zf) - L.m¡y¡ Z¡
- Lm¡X¡Z¡ - L.m¡y¡Z¡ L m¡(xf +Jf)
donde x;, y ¡, z; son las coordenadas y m; la masa del i-ésimo átomo. Las sumas
se efectúan sobre todos los átomos. El tensor no es diagonal en general. Sin em-
bargo, se puede diagonalizar (ver ejercicio 22) mediante un cambio de coordenadas.
Los elementos de la diagonal son los momentos principales de inercia, /1, / 2, / 3.
Solución
donde
Ejercicio 24
"=!a2
(mN +mF) +!b2
mF+abmF ,
f3=!a2
(mN+mF) +2mFb 2
+mFab,
111213 =a.K{J
Las capacidades de polarización principales de la molécula C02 son: a:1 = 40 cm3
y a:2
= a:3
= 19 cm3. La molécula se supone en un campo eléctrico E = 50 V/cm,
el cual:
a) es paralelo al eje correspondiente a la mayor capacidad de polarización.
b) forma con éste un ángulo de 45°.
e) es perpendicular a este eje.
Calcular la magnitud y dirección de la polarización p.

Explicación
Para el momento dipolar inducido de una molécula se verifica en general:
p=AE,
en donde E es el campo eléctrico y A el tensor de la capacidad de polarización.
Si se elige el sistema de coordenadas de tal forma que el eje x coincida con la di-
rección de la máxima capacidad de polarización, entonces el tensor de las capa-
cidades de polarización A viene dado por:
Solución
a) Ex= 50, Ey=O, E,=O
Px = 2000, pY = p, =O; p tiene la dirección de E.
Px = 1000 v-1, PY = 475 (2, Pz =O; p no tiene la dirección de E.

Geometrla analítica 111
Pz = p, =O, pY = 950; p tiene la dirección de E.

Capítulo 10
Cálculo diferencial e integral
de funciones de una variable
Ejercicio 1
Derivar las siguientes funciones:
a) y=7x 3
+13x 2
-2x+7
b) y=(x 2
- 2)sen x
1
e) v=--
- a+x
x2
+ 1
d) y=--
x2-1
e) y= 2 ¡/x2
+x
f) v=senx +~
- In x cos x
g) y=senx cos x
h) y =sen 2
x
1
i) r=x2
sen-
. X

114 Cálculo diferencial e integral de funciones de una variable
j) y=tg X
1
k) y=-
xa
•
1) y=xb
m) y=senVx
n) y=a sen(x2
)+b cos2
x
o) y=ln a+bx
a-bx
p) y=esenx
q) y=(3-x)5
r) y=Vx"=J
s) y=vr+Vx
t) y= 10X
u) y=ln (x2
+x-10)
Explicación
La derivada y' de una función y = f(x) se define como:
,
1
. f(x+~x)-f(x)
y= liD .
&x-o ~X
Con esta definición se obtienen para las funciones elementales las siguientes de-
rivadas:
1. y=x" => y'=nx"- 1
2. y=lnx => y'=_!_
X
3. y=ax => y'=~ina (siy=exes y'=ex)
4. y=iogx => y'=~ loge (si y=lnx esy'= ~)
5. y=senx => y' =cos x
6.y=cosx => y'=-senx

Cálculo diferencial e integral de funciones de una variable
7. y=tg X
' 1
=> Y= cos2 x
8. y=cot x => y'= ---
1
2
-
sen x
115
Para calcular las derivadas de expresiones más complicadas se deben observar las
siguientes reglas:
9. La derivada de una suma es igual a la suma de las derivadas.
10. La derivada de un producto se calcula derivando uno tras otro todos los fac-
tores, multiplicando cada uno de los factores derivados por los restantes sin
derivar y después sumando los productos así obtenidos. Por ejemplo:
(u · v)'=u'v+v'u
(uvw)' =u' vw +v' uw +w' uv
(Regla del producto)
11. La derivada del producto de un factor constante por una función es igual al
producto de dicho factor constante por la derivada de la función.
12. Una fracción se deriva de la siguiente forma:
(~)' = u' v- v' u (Regla del cociente)
v v2
13. Una función compuesta se deriva de la siguiente manera:
Si y = f(u) y u = rp(x), entonces y' = f'(u) ·rp'(x)
(Regla de la cadena)
Solución
a) Aplicando las reglas 9, 11 y 1, se obtiene:
y'= 21 x2
+26x-2
(El término «+ 7» puede ser considerado como «+ 7 x0», cuya derivada es:
0·7 x-1 = 0.)
b) (r- 2)' =2x; (senx)' =cos x (regla 5)
y'=2xsenx+(r-2)cosx (regla 10)
e) y'= _(__l__)
2 (regla 12)
a+x

d) ,_ 2x(_x2-t)-2x(x2+1)
y - (_x2 -1)2
, 1 1 2x+ 1
e) y =2 · -· ·(2x+1)= (reglas 11, 1, 13)
2 V xz+x V x2+x
cos x In x- _!_ senx
f) , x ex cos x+ex senx
y = (In x)2 + cos2x
g) y' =COS X COS X +senx ( -senx) =COS2 X -sen2
X =COS 2x
h) y'=2senxcosx (regla 1, 5 y 13)
i) y'= 2x sen_!_+x2 (cos _!_) · (-~) = 2x sen_!_-cos _!_
X X X X X
j) ' 1
Y = cos2 x (regla 7)
k) y'= __1_
x2
a
a
a --t
1) y'=-xb
b
) ' .~ 1 1 1 .~
m y = cos v x · - - - = - - cos v x
2 Vx2Vx
n) y' =a cos (x2) · 2x+b · 2 cos x (- senx) =
= 2ax cos (x2)- 2b senx cos x
o) y'=a-bx. b(a-bx)+b(a+bx)= 2ab 2ab
a+bx (a-bx)2 (a+bx) (a-bx) a2-b2x2
p) y' =esenx · COS X
q) y'=5(3-x)4
· ( -1)= -5(3-x)4
) ' 1
r y=-==
2~
s y= · x+--
) ' 1 (2 1)
2Vx2+Vx 2¡/x
t) y'=lüxln 10
u) y'
1
2
10
(2x+ 1)
x +x-

Cálculo diferencial e integral de funciones de una variable 117
Ejercicio 2
La ecuación del movimiento armónico de un péndulo es: s = s0 sen wt.
ru dv
Calcular la velocidad v = dt y la aceleración b = dt del péndulo. ¿Cuál es la
expresión que relaciona s y b?
Explicación
Ver ejercicio l.
Solución
Ejercicio 3.
V= WS0 COS W t
b
s=--
w2
a) Utilizando la ecuación
/'!.H T
P-P0 =-- In-
/'!.V T0
dT
calcular la derivada de la temperatura con respecto a la presión d p en el punto de
fusión del hielo (T = 273 K), sabiendo que, en las proximidades de dicho punto, en
condiciones norma:Jes, la entalpía de fusión es 11H = 3291 cm3 atm g-1 y el mere-
mento de volumen 11V = 0,09 cm3 g-1•
b) ¿Qué cambio experimenta el punto de fusión al aumentar la presión de 1 atm
a 200 atm?
Explicación
Ver ejercicio l.

Solución
273. 0,09
3291
0,0075 K atm -l
b) dT=0,0075 · dP=0,0075 · 200=1,5 K
Ejercicio 4
Calcular las siguientes integrales:
a) f __
1 dx
xz
b) f~+f~+fx3dx
x cos2 x
e) J(i/7+3x7
+2 V"7+3~ V~)dx
d) S(ex +senx +cos x)dx
e) f ezx
2-4 e2x dx
f) Sxz e-zxctx
g) f dx
Vax+b
h) --dx
J1
x In x
i) f !nxx dx
j) SeJxl X dx
k) Sx ¡Íx+3 dx
1) Sxsenx dx
m) --dx
r-x3
1-x

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