Tema 6.4 a 6.6 evaluación de proyectos f

655320-123825UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICOFACULTAD DE CONTADURÍA Y ADMINISTRACIÓNDIVISIÓN DE ESTUDIOS DE POSGRADOMAESTRÍA EN ADMINISTRACIÓN DE ORGANIZACIONES0UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICOFACULTAD DE CONTADURÍA Y ADMINISTRACIÓNDIVISIÓN DE ESTUDIOS DE POSGRADOMAESTRÍA EN ADMINISTRACIÓN DE ORGANIZACIONES-263106-11911600 -1080135163794Plan de NegociosPlan Financiero y Evaluación del Proyecto0Plan de NegociosPlan Financiero y Evaluación del Proyecto -495935108585PROFESORA: BEATRÍZ CHAVEZ SOTOALUMNAS: ANA LILIA GARCÍA NIÑOAÍDA GLORIA CORTÉS PÉREZROSA ALICIA LÓPEZ HERNÁNDEZ0PROFESORA: BEATRÍZ CHAVEZ SOTOALUMNAS: ANA LILIA GARCÍA NIÑOAÍDA GLORIA CORTÉS PÉREZROSA ALICIA LÓPEZ HERNÁNDEZ 407797057150GRUPO 115105-10-2010GRUPO 115105-10-2010 VI. Plan financiero y evaluación del proyecto Contenido TOC quot;
1-3quot;
6.4 Valor presente y costo capitalizado PAGEREF _Toc273056847 26.4.1. Valor presente de una cantidad individual PAGEREF _Toc273056848 26.4.2. Valor presente de las corrientes de flujo de efectivo. PAGEREF _Toc273056849 56.5. Costo anual uniforme equivalente. PAGEREF _Toc273056850 76.5.1. Análisis y evaluación de un proyecto individual. PAGEREF _Toc273056851 86.5.2. Selección de alternativas mutuamente exclusivas. PAGEREF _Toc273056852 106.5.2.1. Los ingresos y gastos son conocidos. PAGEREF _Toc273056853 106.5.2.2. Solamente los gastos son conocidos. PAGEREF _Toc273056854 116.5.2.3. Las vidas de las alternativas son diferentes. PAGEREF _Toc273056855 126.5.3. Selección de alternativas mutuamente exclusivas cuando más de dos alternativas son consideradas. PAGEREF _Toc273056856 156.5.4. Anualidades de inversión de larga vida. PAGEREF _Toc273056857 156. 6. Métodos de amortización PAGEREF _Toc273056858 166.6.1. Flujo de efectivo cuando la amortización es constante. PAGEREF _Toc273056859 186.6.2. Flujo de efectivo cuando el capital se amortiza en partes iguales y los intereses son sobre saldos insolutos. PAGEREF _Toc273056860 196.6.3. Flujo de efectivo cuando la amortización es en forma creciente, pero con valor presente constante. PAGEREF _Toc273056861 206.6.4. Comparación de los flujos de efectivo que resultan con cada forma de amortización. PAGEREF _Toc273056862 226.6.5. Costo después de impuestos que se obtiene con los diferentes métodos de amortización. PAGEREF _Toc273056863 246.6.5.1. Costo después de impuestos cuando la amortización es constante. PAGEREF _Toc273056864 246.6.5.2. Costo después de impuestos cuando el capital se amortiza en partes iguales y los intereses son sobre saldos insolutos. PAGEREF _Toc273056865 256.6.5.3. Costo después de impuestos cuando la amortización es en forma creciente pero con valor presente constante. PAGEREF _Toc273056866 256.6.6. Costo después de impuestos que se obtienen en los diferentes métodos de amortización, al considerar la inflación. PAGEREF _Toc273056867 27FUENTES DE INFORMACIÓN PAGEREF _Toc273056868 30 6.4 Valor presente y costo capitalizado La evaluación económica propone describir los métodos actuales de evaluación que toman en cuenta el valor del dinero a través del tiempo, como son la tasa interna de rendimiento y el valor presente neto; se anotan sus limitaciones de aplicación y son comparados con métodos contables de evaluación que no toman en cuenta el valor del dinero a través del tiempo, y en ambos se muestra su aplicación práctica. Esta parte es muy importante, pues es la que al final permite decidir la implantación del proyecto. Las técnicas del valor futuro se usan para calcular valores futuros, que se miden comúnmente al final de la vida de un proyecto. Las técnicas del valor presente se emplean para estimar valores presentes, que se miden al inicio de la vida de un proyecto (tiempo cero). El valor futuro es efectivo que se recibirá en una fecha futura determinada y el valor presente es efectivo disponible hoy mismo. Se utiliza una línea de tiempo para representar los flujos de efectivo relacionados con una inversión específica. Una línea de tiempo es una línea horizontal en la que el momento cero se ubica en el extremo izquierdo y los periodos futuros se registran de izquierda a derecha. Los valores negativos representan salidas de efectivo y los valores positivos representan entradas de efectivo. Por ejemplo: Línea de tiempoLa línea de tiempo muestra los flujos de efectivo de una inversión-$10,000$20,000$5,000$4,000$3,000$2,00074866512573000404050534290004863465342900074866534290003217545342900023945853429000157162534290000123 4 5 6.4.1. Valor presente de una cantidad individual El valor presente (VP) es el valor actual en pesos de una cantidad futura, es decir, la cantidad de dinero que sería necesario invertir el día de hoy a una tasa de interés determinada durante un periodo específico para obtener la cantidad futura. El valor presente se basa en la creencia de que un peso de hoy vale más que un peso que se recibirá en alguna fecha futura. El valor presente real de un peso depende principalmente de las oportunidades de inversión del receptor y del momento en que el peso se recibirá. El proceso para calcular valores presentes se conoce como descuento de flujos de efectivo. Se relaciona con la respuesta a la presunta: si puedo ganar un porcentaje i por mi dinero, ¿cuál es la máxima cantidad que estoy dispuesto a pagar ahora por la oportunidad de recibir un valor futuro VF en pesos durante n periodos a partir de hoy? En lugar de determinar el valor futuro de los pesos presentes invertidos a una tasa determinada, el descuento estima el valor presente de una cantidad futura, suponiendo que el que toma las decisiones tiene la oportunidad de obtener cierto rendimiento (i) sobre su dinero. Esta tasa anual de rendimiento recibe diversos nombres: tasa de descuento, rendimiento requerido, costo de capital o costo de oportunidad. La fórmula para conocer el valor futuro de una cantidad individual es: VF = VP x (1 + i)n VF = Valor futuro al final del periodo n VP = Valor presente o inicial i = tasa anual de interés n = número de periodos que el dinero permanece en depósito Para obtener el valor presente debemos conocer el VF (valor final o monto) por lo que es necesario despejar VP de la ecuación. VP=VF(1+ni)o tambiénVP=VF(1+ni)-1 Un ejemplo para calcular el valor presente: Valor presente de $10 000.00 pagaderos a 9 meses, con tasa de interés simple de 20%. Datos: VF= $10 000.00 i= 20% anual n= 9 meses Solución: VP=$10000.00 [1+0.2912]-1 VP=$10000.00 [0.8696] VP=$ 8695.65 17627602984500VP= ?VF= $10000.00 i= 20% Hoy9 meses Valor Presente Calcular el valor presente de $2000.00 de un pagare que vence dentro de 6 meses, si la tasa de interés simple es de 6%. Datos: VF= $2000.00 i = 6% anual n = 6 meses Solución: VP=$2000.00 [1+0.06612]-1 VP=$2000[1.03]-1 VP=$ 2000.00 [0.9709] VP=$ 1941.75 17627602984500VP= ?VF= $2000.00 i= 6% Hoy6 meses Valor Presente Los $1941.75 son el valor presente de $2000.00, lo que significa que si el día de hoy invertimos $1941.75 durante 6 meses a una tasa de 6% obtendríamos al finalizar el periodo $2000. Ejemplo: ¿Cuánto debe invertir la Lic. Brito el día de hoy, con una tasa de 4.75% simple trimestral para disponer de $3500000.00 dentro de 4 años? Datos: VF = $3500000.00 i = 4.75% trimestral n = 4 años n = 16 trimestres Solución: VP=$3500000.00 [1+0.047516]-1 VP=$3500000.00[1.76]-1 VP=$ 3500000.00 [0.5682] VP=$ 1988636.40 17627602984500VP= ?VF= $3500000.00 i= 4.75% Hoy 4 años Valor Presente Los cálculos del valor presente suponen que los valores futuros se estiman al final de un periodo determinado. En la siguiente gráfica se muestra la relación entre diversas tasas de descuento, los periodos de tiempo y el valor presente de un peso. La gráfica nos muestra que: Cuanto mayor sea la tasa de descuento, menor será el valor presente. Cuanto mayor sea el periodo de tiempo, menor será el valor presente. 6.4.2. Valor presente de las corrientes de flujo de efectivo. Hay dos tipos básicos de corrientes de flujo de efectivo: la corriente mixta y la anualidad. Una corriente mixta no refleja un patrón particular, una anualidad es un patrón de flujos de efectivo anuales equitativos. Para conocer el valor presente de una corriente mixta de flujos de efectivo, se determina el valor presente de cada cantidad futura, y después se suman todos los valores presentes individuales para determinar el valor presente total de la corriente. Por ejemplo, una empresa recibió la oportunidad de obtener la siguiente corriente mixta de flujos de efectivo durante los próximos cinco años: AñoFlujo de efectivo1$4002 8003 5004 4005 300 La solución sería la siguiente: Año(n)Flujo de efectivoFIVP*Valor presente1$4000.917$ 366.802 8000.842 673.603 5000.772 386.004 4000.708 283.205 3000.650 195.00Valor presente: $1,904.60 *Factor de interés del valor presente al 8%. Esta situación se presenta se presenta en la siguiente línea de tiempo: El valor presente de una anualidad se puede calcular de manera similar a la de una corriente mixta, o bien utilizando la siguiente fórmula: VPA = MDP x (FIVPA i,n) VPA = Valor presente de una anualidad de n años MDP = Monto que se recibirá anualmente al final de cada año FIVPA = Factor de interés del valor presente para una anualidad Ejemplo: Una fabrica trata de determinar la máxima cantidad que debe pagar para adquirir una anualidad particular. La empresa requiere un rendimiento mínimo del 8% sobre las inversiones, y la anualidad consiste en flujos de efectivo de $700 al año, durante cinco años. VPA = $700 x 3.993 El valor presente de la anualidad será de $2,795.10 Utilizando el procedimiento para el valor presente de una corriente mixta, esta situación se representa en la siguiente línea de tiempo: 6.5. Costo anual uniforme equivalente. El concepto del valor del dinero a través del tiempo revela que los flujos de efectivo pueden ser trasladados a cantidades equivalentes a cualquier punto del tiempo. Existen tres procedimientos que comparan estas cantidades equivalentes: Método del valor anual equivalente Método del valor presente neto Método de la tasa interna de retorno Los tres métodos anteriores son equivalentes, es decir, si un proyecto de inversión es analizado correctamente con cada uno de estos métodos, la decisión recomendada será la misma. La selección de cuál método usar dependerá del problema que se vaya analizar, de las preferencias del analista y, de cuál arroja resultados en una forma que sea fácilmente comprendida por las personas involucradas en el proceso de toma de decisiones. De los tres métodos, analizaremos el método del valor anual equivalente. Es útil categorizar las oportunidades de inversión (proyectos) en tres principales grupos, a saber: Independientes: la elección de un proyecto es independiente de la elección de cualquier otro proyecto en el grupo, por lo que se pueden seleccionar uno, varios o todos los proyectos. Mutuamente excluyentes: cuando mucho se puede elegir un proyecto del grupo. Contingente: la elección de un proyecto esta condicionada a la elección de uno o más de los otros proyectos. 6.5.1. Análisis y evaluación de un proyecto individual. Los negocios o proyectos son independientes, si la aceptación o rechazo de uno de ellos es independiente de la aceptación o rechazo de cualquiera de los otros negocios o proyectos. Esto significa que si se tienen dos o más negocios o proyectos independientes entre si, la evaluación de uno de estos negocios o proyectos no se verá afectada por decisiones de los otros negocios y proyectos. Como consecuencia, cada uno de estos negocios o proyectos se podrá evaluar por separado, sin importar la decisión que se tome en negocios o proyectos pasados y sin importar que negocios o proyectos futuros se pudieran presentar. De acuerdo con lo anterior, la decisión de aceptación o de rechazo de un negocio o proyecto independiente será la misma utilizando el criterio del Valor Presente Neto (VPN) que utilizando el criterio de la Tasa Interna de Rendimiento (TIR). Con el método del valor anual equivalente, todos los ingresos y gastos que ocurren durante un período son convertidos a una anualidad equivalente (uniforme). Cuando dicha anualidad es positiva, entonces, es recomendable que el proyecto sea aceptado. Este método es muy popular porque la mayoría de los ingresos y gastos que origina un proyecto son medidos en bases anuales. Para comprender mejor la mecánica de este método, supongamos que estamos interesados en comprar una maquinaría con la cual se podría hacer más eficiente el proceso de transformación. Investigaciones preliminares de la inversión requerida y del mercado, arrojan la siguiente información: la maquinaría ya instalada cuesta un millón de pesos y su vida útil será de 5 años, y el mercado para este negocio es tal que la utilidad proyectada en los próximos años es de $400,000 por año. Supongamos que se ha pedido prestado el millón de pesos a una institución bancaria la cual cobrará una tasa de interés anual de 20% y le exige devolver el préstamo en 5 anualidades iguales. Para esta información, el método de valor anual equivalente sugiere transformar todos los flujos que origina este proyecto a una base anual. Por consiguiente, el valor anual neto sería la diferencia entre los ingresos anuales y la anualidad pagada al banco. A = P ( i (1 + i) n ) (1 + i) n – 1 P= Valor presente i= interés n= tiempo A= anualidad (capitalización) Sustituyendo en la formula: A = $334,380 A = 400,000 – 334,380 A = $65,620 Puesto que la anualidad equivalente es positiva, entonces, vale la pena emprender este proyecto de inversión. El ejemplo anterior sugiere que cada vez que la anualidad sea positiva, se acepte el proyecto. Sin embargo, este criterio de decisión puede resultar peligroso si en la determinación de la anualidad neta se utiliza como tasa de interés El ejemplo anterior sugiere que cada vez que la anualidad sea positiva, se acepte el proyecto en cuestión. Sin embargo, este criterio de decisión puede resultar peligroso si en la determinación de la anualidad neta se utiliza como tasa de interés i el costo de capital (costo ponderado de las fuentes de financiamiento utilizadas para financiar los proyectos de inversión). Para comprender mejor esta deficiencia, suponga que las utilidades proyectadas en lugar de ser de $400,000 anuales sean de $340,000. Con la información modificada, la anualidad equivalente sería de $5,562. Sin embargo, es obvio que este nivel de utilidad es demasiado pequeño comparado con la inversión total realizada y sería insuficiente para reemplazar en el futuro el equipo actual. Por consiguiente, se recomienda seguir utilizando el mismo criterio de decisión (aceptar si la anualidad equivalente es positiva), se le denotará como TREMA (tasa de recuperación mínima atractiva). De esta manera, no existe ningún riesgo en aceptar proyectos con anualidades cercanas a cero, ya que en el caso crítico de tener un proyecto con una anualidad de cero, significaría que el rendimiento obtenido es exactamente igual al mínimo requerido. Además, el utilizar como valor de la i la TREMA, tiene la ventaja de ser establecida muy fácilmente, porque en ella se pueden considerar factores tales como: 1) El riesgo que representa un determinado proyecto; 2) La disponibilidad de dinero de la empresa; y 3) La tasa de inflación prevaleciente en la economía nacional. 6.5.2. Selección de alternativas mutuamente exclusivas. Existen también muchos negocios o proyectos que son mutuamente excluyentes. Negocios o proyectos son mutuamente excluyentes, si la aceptación de uno de ellos elimina la posibilidad de aceptar los otros negocios o proyectos Esto significa que si se tienen dos o más proyectos mutuamente excluyentes, cada uno de éstos va a estar quot;
compitiendoquot;
contra los otros negocios o proyectos, ya que se va a poder aceptar solamente uno de ellos. Es importante tener siempre presente lo siguiente: El método del Valor Presente Neto (VPN) y el método de la Tasa Interna de Rendimiento (TIR) darán siempre la misma decisión de aceptación o de rechazo de un negocio o proyecto, cuando se tienen negocios o proyectos independientes. El método del Valor Presente Neto (VPN) y el método de la Tasa Interna de Rendimiento (TIR) pueden llegar a dar decisiones opuestas de aceptación o rechazo de un proyecto, cuando se tiene negocios o proyectos mutuamente excluyentes. ¿Qué debo hacer si cuando tengo proyectos mutuamente excluyentes, el método del Valor Presente Neto (VPN) y el método de la Tasa Interna de Rendimiento (TIR) me dan decisiones diferentes? Cuando se presenta esta aparente incongruencia entre ambos criterios en proyectos mutuamente excluyentes, el método correcto es el del Valor Presente Neto. La selección de alternativas mutuamente exclusivas se puede presentar en diversas formas, es decir, puede ser que las alternativas a comparar se conozcan los ingresos y gastos o solamente se conozcan los gastos, o bien puede ser que las vidas de las alternativas sean diferentes. A continuación se detallan cada uno de estos casos. 6.5.2.1. Los ingresos y gastos son conocidos. Cuando los ingresos y gastos que generan las alternativas de inversión son conocidos, la alternativa seleccionada será aquella que tenga el mayor valor anual equivalente (siempre y cuando esta anualidad sea positiva). Para ilustrar esta situación, analicemos el mismo ejemplo presentado en la sección anterior, pero suponiendo que existen actualmente en el mercado dos tipos de computadora con las cuales el servicio de consultoría se podría proporcionar adecuadamente. La información para cada alternativa es la siguiente: HP – 3000Honeywell 4080Inversión inicial-$1,000-$1,500Ingresos anuales 700 700Gastos anuales 300 100Valor de rescate ----- 300Vida 5 años 5 años También, considere que para comparar estas dos alternativas se va a utilizar un valor TREMA de 25%. Para esta información, y aplicando la ecuación: A = S – { ( p – F ) ( A / p, i%, n ) + F ( i%) } donde: A = Anualidad equivalente. p = Inversión inicial. St = Flujo de efectivo neto del año t. F = Valor de rescate. n = Número de años de vida del proyecto- i =Tasa de recuperación mínima atractiva (TREMA) Factor de recuperación del capital (FRC) o factor (A/P, i%,n): A = P [i(1+i)n / (1+i)n-1] las anualidades que se obtienen por cada alternativa son: AHp = 400,000 – 1,000,000 ( A / p, 25%, 5) = $28,400 y AHw = 600,000 – {1,200,000 ( A / p, 25%, 5) + 300,000 ( .25 ) = $79,080 y puesto que la anualidad mayor corresponde a la computadora Honeywell, entonces esta alternativa deberá ser seleccionada. Finalmente, conviene mencionar que es posible que en ciertos casos cuando se analizan alternativas mutuamente exclusivas, todas tengan valores anuales negativos. En tales casos, la decisión a tomar es “no hacer nada”, es decir, se deberán rechazar todas las alternativas posibles. 6.5.2.2. Solamente los gastos son conocidos. Frecuentemente ocurre que cada una de las alternativas mutuamente exclusivas que se están analizando, generan los mismos ingresos, ahorros, o beneficios. También, es muy posible que estos ahorros o beneficios sean intangibles o muy difíciles de estimar, por lo que las alternativas deberán ser juzgadas de acuerdo a sus valores anuales negativos o más apropiadamente, de acuerdo a sus costos anuales equivalentes. Por ejemplo, los ingresos que se derivan de una máquina cortadora de cintas adhesivas son muy difíciles de evaluar porque la máquina puede cortar cintas adhesivas de diferentes medidas, con diferentes precios y con costos agregados distintos. Para este tipo de situación, las máquinas cortadoras que satisfagan las necesidades actuales deberán ser evaluadas con base a sus costos relativos, porque cada alternativa que sea capaz de satisfacer los requerimientos del sistema producirá el mismo ingreso al sistema. Cuando es aparente que en una evaluación solamente los costos son conocidos, es conveniente ignorar la convención de signos negativos y comparar las alternativas con base al valor absoluto de los costos. Para ilustrar el caso que surge cuando solamente los gastos son conocidos, analicemos el ejemplo de las máquinas cortadoras. Suponga que la industria Tuck, S.A., para efectos de balancear sus líneas de producción y de satisfacer la demanda creciente de cintas adhesivas en sus diferentes tipos y presentaciones (masking, celofán, etc.), esté analizando la necesidad de comprar una máquina cortadora. Investigaciones recientes sobre los costos de los posibles proveedores ( Alemania y Estados Unidos de América) arrojaron los resultados mostrados en la siguiente tabla: Cortadora (Estados Unidos)Cortadora (Alemania)Inversión inicial$500,000$800,000Gastos anuales 150,000 80,000Valor de rescate 100,000 160,000Vida 5 años 5 años También suponga que la empresa utiliza una TREMA de 25% para evaluar sus proyectos de inversión. Para esta información y aplicando la ecuación anterior, los costos anuales equivalentes que se obtienen para cada alternativa son: CU.S.A. = 150,000 + {400,000 ( A / p, 25%, 5) + 100,000 ( .25 )} = $323,640 y CAlem. = 80,000 + {640,000 ( A / p, 25%, 5) + 160,000 ( .25 )} = $357,824 De este modo, la máquina cortadora fabricada en los Estados Unidos, teniendo el menor costo anual equivalente, se transforma en la mejor alternativa. Finalmente, cabe señalar que en el caso de conocer solamente los gastos, la alternativa “no hacer nada” no se puede considerar, es decir, forzosamente se tendrá que seleccionar una de las alternativas (la de menor costo anual equivalente). Lo anterior es obvio puesto que los ingresos, ahorros o beneficios aunque desconocidos, generalmente justifican las inversiones requeridas. Por el contrario, si estos ingresos fueran insuficientes, se estaría hablando de inversiones obligatorias pero injustificables desde el punto de vista económico. 6.5.2.3. Las vidas de las alternativas son diferentes. En los ejemplos hasta ahora presentados, se analizan y comparan alternativas mutuamente exclusivas de igual vida. Sin embargo, sería interesante analizar las implicaciones que surgen cuando alternativas mutuamente exclusivas de diferentes vidas son evaluadas. Para tal efecto, considere que en el ejemplo presentado en la sección anterior los datos fueran los siguientes: Cortadora (Estados Unidos)Cortadora (Alemania)Inversión inicial$500,000$900,000Gastos anuales 150,000 60,000Valor de rescate 100,000 100,000Vida 5 años 10 años Además suponga que dada la naturaleza del negocio (Industrias Tuck, S.A.), el servicio que van a proporcionar estas máquinas cortadoras será requerido por un tiempo de al menos 10 años. Para esta nueva información, el costo anual equivalente de cada alternativa sería: CU.S.A. = 150,000 + {400,000 ( A / p, 25%, 5) + 100,000 ( .25 )} = $323,640 y CAlem. = 60,000 + {800,000 ( A / p, 25%, 10) + 100,000 ( .25 )} = $309,080 y puesto que el menor costo anual equivalente corresponde a la máquina cortadora que surte Alemania, entonces esta alternativa deberá ser seleccionada. La suposición implícita del ejemplo que se acaba de presentar, es que 2 cortadoras de las surtidas por Estados Unidos, deben ser adquiridas consecutivamente para proporcionar la misma longitud de servicio que la máquina cortadora surtida por Alemania. El costo anula equivalente de 10 años de operación de las máquinas cortadoras del primer tipo desde luego que no cambia y sigue siendo el mismo que se calculó anteriormente ($323,740). Sin embargo, el hecho de que el costo anula equivalente sea el mismo, implica que los flujos de efectivo del segundo ciclo son exactamente iguales a los del primer ciclo. A manera de comprobación, a continuación se muestra el costo anual equivalente de dos ciclos consecutivos de la primera alternativa: CU.S.A. = 500,000 (A / p, 25%, 10) + 400,000 (P / F, 25%, 5) (A / p, 25%, 10) + 100,000 (A / F, 25%, 10) + 150,000 = $323,640 De acuerdo al análisis anterior, la mejor alternativa es la máquina cortadora que surte Alemania. Sin embargo, esta decisión no necesariamente va a producir los mejores resultados. La razón de ello se basa en el hecho de que en la primera alternativa se consideró implícitamente que al final del año 5 se va a comprar una máquina cortadora idéntica a la anterior. Sin embargo, es obvio que en el año 5 habrá en el mercado nacional e internacional, máquinas cortadoras cuyas características tecnológicas y de operación sean mucho más atractivas y ventajosas que la máquina cortadora actual, y entonces, puede ser que la combinación de esas dos máquinas cortadoras (la que surte ahora Estados Unidos y la que estará disponible en el mercado dentro de 5 años) sea mejor que la máquina que ahora nos puede surtir Alemania. La principal deficiencia al considerar como horizonte de planeación el mínimo común múltiplo de las vidas de las diferentes alternativas, es suponer que en los ciclos sucesivos de cada alternativa se tendrán flujos de efectivo idénticos a los del primer ciclo. Sin embargo, lo anterior no es correcto dado el constante avance tecnológico a que están sujetos los activos y a las altas tasas de inflación que prevalecen en el país. Lo correcto en estos casos sería: 1) Pronosticar con mayor exactitud lo que va a ocurrir en el futuro, es decir, considerando la inflación y las innovaciones tecnológicas, tratar de predecir con mayor exactitud los flujos de efectivo de las diferentes alternativas que estarán disponibles en el mercado en ese tiempo; ó 2) Utilizar como horizonte de planeación el menor de los tiempos de vida de las alternativas consideradas. Es obvio que este curso de acción implica recalcular al término del horizonte de planeación seleccionado, los valores de rescate de las alternativas de mayor vida. Estos valores de rescate se recomiendan que se obtengan a partir de los valores presentes (evaluados al final del horizonte de planeación) de los ingresos netos que cada alternativa genera en los períodos subsiguientes al horizonte de planeación seleccionado. De los criterios propuestos para comparar alternativas mutuamente exclusivas de diferentes vidas, el más conveniente es sin lugar a dudas el segundo, ya que con el primero se requiere pronosticar las nuevas alternativas que estarán disponibles en el futuro. Para ilustrar la aplicación del segundo criterio, suponga que una empresa que utiliza una TREMA de 25% desea seleccionar alguna de las alternativas mostradas en la siguiente tabla: AB Inversión inicial-$100,000-$200,000Ingresos anuales 80,000 80,000Gastos anuales 40,000 20,000Valor de rescate 20,000 20,000Vida 5 años 10 años Puesto que las vidas de las dos alternativas son diferentes, primeramente el horizonte de planeación se fija en 5 años. En seguida, el valor de rescate al final del año 5 de la alternativa B es calculado: VR = 60,000 (P / A, 25%, 5) + 200,000 (P / F, 25%, 5) = $167,910 Con esta modificación, las alternativas quedarían como aparecen en la siguiente tabla: AB Inversión inicial-$100,000-$200,000Ingresos anuales 80,000 80,000Gastos anuales 40,000 20,000Valor de rescate 20,000 167,910Vida 5 años 5 años Para esta información, el valor anual equivalente de cada alternativa sería: AA = 40,000 - {800,000 (A / p, 25%, 5) + 20,000 (.25 )} = $5,272 y AB = 60,000 - { 32,090 (A / p, 25%, 5) + 167,910 (.25 )} = $6,098 y puesto que la mayor anualidad equivalente corresponde a la alternativa B, entonces esta alternativa deberá ser seleccionada. 6.5.3. Selección de alternativas mutuamente exclusivas cuando más de dos alternativas son consideradas. Si más de dos alternativas son comparadas por este método, el procedimiento para calcular el valor anual de cada alternativa y también el criterio para seleccionar la mejor, son exactamente idénticos a los aplicados al caso de dos alternativas. Para ilustrar este caso, suponga que una empresa utiliza una TREMA de 20%, desea seleccionar la mejor de las alternativas mostradas en la siguiente tabla: ABCD Inversión Inicial-$ 50,000-$100,000-$150,000-$200,000 Ingresos netos anuales 15,000 32,000 50,000 55,000 Valor de rescate 10,000 20,000 30,000 40,000 Vida5 años5 años5 años 5 años Para esta información, el valor anual equivalente de cada alternativa sería: AA = 15,000 - { 40,000 (A / p, 20%, 5) + 10,000 (.20 )} = -$ 375 AB = 32,000 - { 80,000 (A / p, 20%, 5) + 20,000 (.20 )} = $1,250 AC = 50,000 - {120,000 (A / p, 20%, 5) + 30,000 (.20 )} = $3,874 AD = 55,000 - {160,000 (A / p, 20%, 5) + 40,000 (.20 )} = -$6,500 Por consiguiente, la alternativa C teniendo el mayor valor anual, se considera la mejor alternativa. 6.5.4. Anualidades de inversión de larga vida. Algunas veces se encuentran en la práctica proyectos cuyas vidas se pueden considerar indefinidas o más específicamente, infinitas. Ejemplos de estos tipos podrían ser las presas, los puentes, etc. Si alternativas de este tipo van a ser comparadas, es conveniente saber a qué converge el factor (A/p, i%, n) cuando n : Lím (A/p, i%, n) = i (1 + i )n n (1 + i )n - 1 n  Si se divide el numerador y denominador por el mismo factor (1 + i )n el resultado no se altera: Lím (A/p, i%, n) = i i = i 1 –1 /(1 + i )n - 1 n  Por consiguiente, se puede decir que: (A/p, i%, ) = i Para ilustrar un ejemplo de este tipo, suponga que el gobierno desea construir en el estado de Chiapas una presa con la cual se podrían cultivar grandes extensiones de tierra y a su vez emplear en actividades agropecuarias a una gran cantidad de campesinos. Para esto, el gobierno ha solicitado las cotizaciones respectivas de dos grandes compañías constructoras: ConstructorasAB Inversión inicial$ 800$1,000Gastos anuales 100 50 Si el gobierno utiliza una TREMA de 20% para evaluar sus proyectos de inversión, ¿Qué compañía deberá ser seleccionada?. Para la información mostrada el costo anual equivalente sería: AA = 100,000,000 + 800,000,000 (.20 ) = $260,000.000 y AB = 50,000,000 + 1,000,000,000 (.20 ) = $250,000.000 Por consiguiente, el gobierno debería contratar los servicios de la constructora B por corresponderle a ésta el menor costo anual equivalente. 6. 6. Métodos de amortización En el presente inciso se analizan en forma comparativa los métodos de amortización que actualmente se usan con mayor frecuencia. En este punto en particular se hará énfasis en los flujos de efectivos que resultan con cada uno de los métodos, así como en el comportamiento que se tendrá en los saldos del crédito al utilizar diferentes formas de amortización. Para introducirnos al tema es importante considerar las siguientes definiciones: Amortización. Devolución de un préstamo mediante pagos a plazo Desgravación por la depreciación Reducción en el valor contable o el valor de mercado de un activo Parte de una inversión que puede ser reducida a efectos fiscales Amortización acelerada Cualquier método de amortización que produzca mayores deducciones fiscales en concepto de amortización en los primeros años de la vida de un proyecto Amortización lineal Montante igual en dólares de depreciación en cada periodo. Amortización por doble disminución del saldo Método de amortización acelerada Amortización suma de dígitos anuales Método de depreciación acelerada Ejemplo: El proyecto de Fertilizante de EIM&C Se debe analizar la propuesta de comercialización de guano como fertilizante de jardín. Las previsiones recibidas se muestran en la tabla 1.1. El proyecto requiere una inversión de 10 millones de dólares en la planta y maquinaria (línea 1). Esta maquinaria puede ser desmantelada y vendida por una cantidad aproximada de 1.949 millones de dólares al séptimo año (línea 1, columna 7). Este dato es la previsión del valor residual de la planta. Quien preparó la tabla 1.1. amortizó la inversión de capital en 6 años considerando un valor residual de $500.000, que es menor al valor residual previsto con anterioridad. El método de amortización utilizado es el lineal, según este método la amortización anual es igual a una porción constante de la inversión inicial menos el valor residual (10 -0.5 = 9.5 millones de dólares). Si llamamos T al periodo de amortización, la amortización en el año t será: 277876021971000154051022415500Amortización en año t = Valor amortizable = 9.5 = 1.585 millones de $ T 6 TABLA 1.1 EIM&C's Proyecto Guano - previsiones con inflación (miles de dólares) La amortización es un gasto que no supone un desembolso; es importante porque reduce el beneficio imponible. Proporciona un ahorro fiscal igual al producto de la amortización por la tasa marginal del impuesto: Ahorro fiscal = Amortización X Tasa impositiva = 1.583 X 0.35 = 554 o 554.000 $ Para propósitos de análisis comparativo, se considera que se ha obtenido un crédito de $1,000 a una tasa del 60% anual y a un plazo de ocho años; y para entender la derivación se explica el significado de cada una de las variables que serán utilizadas. P= Valor del crédito. Ax= Valor de la amortización del año x. n= Plazo del crédito i= Tasa de interés anual. Sx= Saldo del crédito al final del año x. Ix= Incremento del saldo del crédito en el año x. 6.6.1. Flujo de efectivo cuando la amortización es constante. Si el crédito que se menciona en el párrafo anterior se amortiza en cantidades iguales cada año, el valor de la amortización vendría dado por la siguiente fórmula: 18459450001022985000Ax= P i ( 1 + i )n Para x = 1, 2, ..... n ( 1 + i)n - 1 Por consiguiente, el saldo del crédito al final del año x sería como se muestra a continuación. 55035451111250093154511112500 Sx = P ( 1 + i )x – i ( 1 + i )n+(x-1) - ... i ( 1 + i )n+2 – i ( 1 + i )n+1 – i ( 1 + i )n ( 1 + i )n – 1 i ( 1 + i )n – 1 ( 1 + i )n – 1 ( 1 + i )n – 1 Si aplicamos las fórmulas presentadas en la tabla que aparece como anexo “A” de este trabajo al ejemplo antes mencionado se obtienen los resultados que aparecen a continuación: Flujo de efectivo cuando la amortización es constante AñoSaldo delcrédito alprincipiodel añoIntereses devengadosSaldo del Crédito al Final del añoAmortizaciónal finaldel añoSaldo del crédito al final del año después de deducir la amortización1$1,000.00$ 600.00$1,600.00$ 614.30$ 985.702 985.70 591.42 1,577.12 614.30 962.823 962.82 577.69 1,540.51 614.30 926.214 926.21 555.73 1,481.94 614.30 867.645 867.64 520.58 1,388.22 614.30 773.926 773.92 464.35 1,238.27 614.30 623.977 623.97 374.38 998.35 614.30 384.058 384.05 230.43 614.30 614.30 0.00 6.6.2. Flujo de efectivo cuando el capital se amortiza en partes iguales y los intereses son sobre saldos insolutos. Si el crédito en mención, se amortiza su capital en partes iguales, y los intereses son sobre saldos insolutos, entonces la amortización del año x se calcularía con la siguiente fórmula: 257746514795500166306514795500 Ax = P + P 1 – ( x – 1 ) i n n Así, el saldo del crédito al final del año x sería como se muestra a continuación: Sx = P ( 1 – x ) n Flujo de efectivo cuando el capital se amortiza en partes iguales y los intereses sobre saldos insolutos AñoSaldo del crédito al principio del añoIntereses devengadosSaldo del crédito al final del añoAmortización al final del añoSaldo del crédito al final del año después de deducir la amortización1PPiP (1+i) P + Pi nP (1-1) n2..P (1-1) nP (1-1) i nP (1-1) (1+i) nP + P (1-1) i n nP (1-2) n.x..P (1- ( x-1 ) nP (1- ( x-1 ) i nP (1- ( x-1 ) (1 + i) nP + P (1-(x-1) i n nP (1-x) n.NP (1- ( n-1 ) nP (1- ( x-1 ) i nP (1- ( n-1 ) (1 + i) nP + P (1-(n-1) i n nP (1-x) = 0n Si se aplican las fórmulas presentadas en la tabla anterior a los datos presentados en el ejemplo anterior, se obtienen los siguientes resultados: Flujo de efectivo cuando el capital se amortiza en partes iguales y los intereses sobre saldos insolutos AñoSaldo delcrédito alprincipiodel añoIntereses devengadosSaldo del Crédito al Final del añoAmortizaciónal finaldel añoSaldo del crédito al final del año después de deducir la amortización1$1,000.00$ 600.00$1,600.00$ 725.00$ 875.002 875.00 525.00 1,400.00 650.00 750.003 750.00 450.00 1,200.00 575.00 625.004 625.00 375.00 1,000.00 500.00 500.005 500.00 300.00 800.00 425.00 375.006 375.00 225.00 600.00 350.00 250.007 250.00 150.00 400.00 275.00 125.008 125.00 75.00 200.00 200.00 0.00 6.6.3. Flujo de efectivo cuando la amortización es en forma creciente, pero con valor presente constante. Las formas de amortización que se presentan en los dos párrafos anteriores, son las tradicionalmente utilizadas. Sin embargo, recientemente a raíz del FICORCA surgió una nueva forma de amortización, cuya característica principal es que el valor presente de todas las amortizaciones que se harán para saldar el crédito, es constante. Si el crédito del ejemplo que se ha venido utilizando se amortiza de acuerdo con este nuevo procedimiento, entonces la amortización del año x vendría dada por la siguiente fórmula: Ax = P ( 1 + i )x n Y el valor presente de la amortización Ax vendría dado por: VP = P ( 1 + i )x / ( 1 + i ) x = P n n lo anterior significa que el valor presente de cualquier amortización que se haga en el futuro será P/n. Para este nuevo sistema de amortización, el saldo del crédito al final del año x sería como se muestra a continuación: Sx = P ( 1 + i )x ( 1 – x ) n Flujo de efectivo cuando la amortización es en forma creciente pero con valor presente constante. Y puesto que la cantidad amortizada en las etapas iniciales del crédito es inferior a los intereses devengados, el saldo del crédito en estas primeras etapas aumentaría. En particular, el aumento del saldo del crédito en los primeros años y la reducción de dicho saldo en los últimos, se obtendría con la siguiente fórmula: 1754505-76835002851785-7683500Ix = P ( 1+ i )x-1 i – 1 ( 1 + xi ) n Si se aplican las formulas presentadas en la tabla anterior, a los datos del ejemplo citado, se obtiene los resultados que se muestran en la siguiente tabla: Flujo de efectivo cuando la amortización es en forma creciente pero con valor presente constante. AñoSaldo delcrédito alprincipiodel añoIntereses devengadosSaldo del Crédito al Final del añoAmortizaciónal finaldel añoSaldo del crédito al final del año después de deducir la amortización1$1,000.00$ 600.00$ 1,600.00$ 200.00$ 1,400.002 1,400.00 840.00 2,240.00 320.00 1,920.003 1,920.00 1,152.00 3,072.00 512.00 2,560.004 2,560.00 1,536.00 4,096.00 819.20 3,276.805 3,276.80 1,966.08 5,242.88 1,310.72 3,932.166 3,932.16 2,359.29 6,291.45 2,097.15 4,194.307 4,194.30 2,516.58 6,710.88 3,355.44 3,335.008 3,355.44 2,013.26 5,368.70 5,368.70 0.00 6.6.4. Comparación de los flujos de efectivo que resultan con cada forma de amortización. Los tres métodos de amortización son presentados en forma gráfica en las siguientes figuras: 6553202489200Tabla 168580048895 Tabla 2 En la primera figura (tabla 1) se muestra la amortización anual que resulta de cada método de amortización y la segunda figura (tabla 2) muestra el saldo del crédito al final del año. En estas gráficas se puede observar cómo el nuevo método de amortización creciente tiene un comportamiento totalmente distinto al de los métodos tradicionalmente usados. Este nuevo comportamiento representa para el nuevo método en cuestión una serie de ventajas y desventajas: Ventajas: Entre las ventajas que ofrece el método de amortización creciente, se puede mencionar las siguientes: 1) Libera una gran cantidad de flujo de efectivo en los primeros años de vida del crédito, lo cual garantiza la buena marcha del negocio en sus inicios, 2) Se mejoran los índices financieros de liquidez, puesto que el excedente de efectivo que resulta de los intereses no liquidados normalmente aumenta los niveles de activo circulante de la empresa (los intereses no liquidados se convierten en pasivos de largo plazo), 3) Puesto que las amortizaciones son pequeñas en los primeros años, el índice de cobertura se mejora significativamente. Desventajas: Las ventajas anteriores pueden ser contrarrestadas o eliminadas si los excedentes del flujo de efectivo que se originan en las etapas iniciales del crédito, no son manejados en forma efectiva y rentable. Las desventajas que pueden surgir al final de la vida del crédito son las siguientes: 1) El pasivo y los gastos financieros crecerán en forma excesiva, lo cual puede originar problemas de liquidez, y 2) La utilidad puede ser negativa. 6.6.5. Costo después de impuestos que se obtiene con los diferentes métodos de amortización. En las secciones anteriores se hizo una análisis comparativo de los métodos tradicionales de amortización con el nuevo método de amortización creciente. En este análisis se enfatizaron las ventajas que el método de amortización creciente tiene sobre los demás. Sin embargo, existe otro factor que es necesario considerar en la comparación de estos tipos de amortización. Este factor es el costo después de impuestos que resulta al utilizar diferentes formas de amortización. Este factor obviamente resulta más relevante y más objetivo al comparar y seleccionar la forma de amortizar un nuevo crédito. Por consiguiente, en esta sección se determinará, para cada tipo de amortización, el costo después de impuestos del ejemplo planteado de esta sección. 6.6.5.1. Costo después de impuestos cuando la amortización es constante. Para determinar el costo después de impuestos cuando la amortización es constante, es necesario hacer referencia a la tabla 2, donde se puede observar que la amortización anual durante 8 años para saldar un crédito de $1,000.00 será de $614.30. la diferencia entre esta cantidad y los intereses devengados que se muestran en la columna de la tabla 2 es precisamente el abono de capital. Consecuentemente, con la amortización del principal y los intereses devengados se podrá determinar el costo después de impuestos. Esta información aparece la siguiente tabla: Flujo de efectivo antes de impuestosAñoCapitalInteresesCantidad deducibleAhorro en impuestosFlujo de efectivo después de impuestos01,000.001,000.001 -14.30-600.00-600.00300.00-314.302 -22.90-591.42-591.42295.71-318.593 -36.60-577.69-577.69288.84-325.464 -58.60-555.73-555.73277.86-336.445 -93.70-520.58-520.58260.29-354.016 -149.90-464.35-464.35232.17-382.137 -239.92-374.38-374.38187.19-427.118 -383.87-230.43-230.43115.21-499.09 COSTO REAL = 30% Como se puede apreciar en esta tabla, el costo después de impuestos que resulta con este tipo de amortización es de 30%. Este costo, es la tasa de interés que reduce a cero el valor presente de la última columna de dicha tabla. 6.6.5.2. Costo después de impuestos cuando el capital se amortiza en partes iguales y los intereses son sobre saldos insolutos. Para este caso en particular, el capital se amortiza en partes iguales, es decir, en $125.00 anuales y los intereses, por consiguiente, son sobre saldos insolutos. Los flujos de efectivo para calcular el costo después de impuestos, se muestran en la siguiente tabla: Flujo de efectivo antes de impuestosAñoCapitalInteresesCantidad deducibleAhorro en impuestosFlujo de efectivo después de impuestos01,000.001,000.001 -125.00-600.00-600.00300.00-425.002 -125.00-525.00-525.00262.50-387.503 -125.00-450.00-450.00225.00-350.004 -125.00-375.00-375.00187.50-312.505 -125.00-300.00-300.00150.00-275.006 -125.00-225.00-225.00112.50-237.507 -125.00-150.00-150.00 75.00-200.008 -125.00 -75.00 -75.00 37.50-162.50 COSTO REAL = 30% En esta tabla se puede apreciar que la tasa de interés que reduce a cero el valor presente de la última columna es de 30%. Consecuentemente, al igual que en el caso anterior el costo después de impuestos resulta el mismo, como era de esperarse. 6.6.5.3. Costo después de impuestos cuando la amortización es en forma creciente pero con valor presente constante. Cuando la amortización es en forma creciente pero con valor presente constante, el flujo de efectivo que resulta al saldar el crédito en cuestión, se muestra en la siguiente tabla: AñoSaldo delcrédito alprincipiodel añoIntereses devengadosSaldo del Crédito al Final del añoAmortizaciónal finaldel añoSaldo del crédito al final del año después de deducir la amortización1$1,000.00$ 600.00$ 1,600.00$ 200.00$ 1,400.002 1,400.00 840.00 2,240.00 320.00 1,920.003 1,920.00 1,152.00 3,072.00 512.00 2,560.004 2,560.00 1,536.00 4,096.00 819.20 3,276.805 3,276.80 1,966.08 5,242.88 1,310.72 3,932.166 3,932.16 2,359.29 6,291.45 2,097.15 4,194.307 4,194.30 2,516.58 6,710.88 3,355.44 3,335.008 3,355.44 2,013.26 5,368.70 5,368.70 0.00 En esta tabla se puede observar que en el primer año, por ejemplo, la amortización de $200.00 es menor a los intereses generados de $600.00, y en consecuencia, el pasivo aumentará en $400.00. Sin embargo, se podrán deducir en el primer año de vida del crédito los intereses por valor de $600.00 . Toda esta información aparece en la siguiente tabla: Flujo de efectivo antes de impuestosAñoCapitalInteresesCantidad deducibleAhorro en impuestosFlujo de efectivo después de impuestos0 1,000.00 1,000.001 400.00 -200.00 -600.00 300.00 500.002 520.00 -320.00 -840.00 420.00 620.003 640.00 -512.00 -1,152.00 576.00 704.004 716.80 -819.20 -1,536.00 768.00 665.605 655.36 -1,310.72 -1,966.08 983.04 327.686 262.14 -2,097.15 -2,359.29 1,179.65 -655.367 -838.86 -2,516.58 -2,516.58 1,258.29-2,097.158 -3,355.44 -2,013.26 -2,013.26 1,006.63-4,362.07 COSTO REAL = 11.9% Para el año 2 la amortización es de $320.00 y los intereses devengados son de $840.00, por lo que el pasivo aumenta $520.00 y la cantidad a deducir será de $840.00. 6.6.6. Costo después de impuestos que se obtienen en los diferentes métodos de amortización, al considerar la inflación. En las siguientes tablas se muestra el costo después de impuestos que se obtiene con los diferentes métodos de amortización, l considerar una inflación anual de 60%. El costo real que resulta en los dos casos de amortización tradicional es de –18.75% y en cambio, con amortización creciente, el costo real que resulta es de –30-03%. Se observa que la ventaja obtenida en costo con el método de amortización creciente se mantiene, así se considere o no la inflación. Más específicamente, la ventaja sin considerar inflación es de 18.1%, y considerándola es de 11.28%. Costo después de impuestos del crédito, si la amortización es constante y se considera una inflación anual de 60%. Flujo de efectivo antes de impuestosAñoCapitalInteresesCantidad deducibleAhorro en impuestosFlujo de efectivo después de impuestos (pesos corrientes)Flujo de efectivo después de impuestos (pesos constantes)01,000.00$1,000.00$1,000.001 -14.30-600.00-600.00300.00 -314.30 -196.442 -22.90-591.42-591.42295.71 -318.59 -124.453 -36.90-577.69-577.69288.84 -325.46 -79.464 -58.60-555.73-555.73277.86 -336.44 -51.345 -93.70-520.58-520.58260.29 -354.01 -33.766 -149.90-464.35-464.35232.17 -382.12 -22.787 -239.92-374.38-374.38187.19 -427.11 -15.918 -383.87-230.43-230.43115.28 -499.09 -11.62 COSTO REAL = -18.75% Costo después de impuestos del crédito, si el capital se amortiza en partes iguales y los intereses son sobre saldos insolutos y además se considera una inflación anual de 60%. Flujo de efectivo antes de impuestosAñoCapitalInteresesCantidad deducibleAhorro en impuestosFlujo de efectivo después de impuestos (pesos corrientes)Flujo de efectivo después de impuestos (pesos constantes)0$1,000.00$1,000.00$1,000.001 -125.00-600.00-600.00300.00 -425.00 -265.632 -125.00-525.00-525.00262.50 -387.50 -151.373 -125.00-450.00-450.00225.00 -350.00 -85.454 -125.00-375.00-375.00187.50 -312.50 -47.685 -125.00-300.00-300.00150.00 -275.00 -26.236 -125.00-225.00-225.00112.50 -237.50 -14.167 -125.00-150.00-150.00 75.00 -200.00 -7.458 -125.00 -75.00 -75.00 37.50 -162.50 -3.78 COSTO REAL = -18.75% Costo después de impuestos del crédito, si las amortizaciones son crecientes pero con valor presente constante, y además se considera una inflación anual de 60%. Flujo de efectivo antes de impuestosAñoCapitalInteresesCantidad deducibleAhorro en impuestosFlujo de efectivo después de impuestos (pesos corrientes)Flujo de efectivo después de impuestos (pesos constantes)0$1,000.00$1,000.00$1,000.001 400.00 -200.00 -600.00 300.00 500.00 312.502 520.00 -320.00 -840.00 420.00 620.00 242.193 640.00 -512.00 -1,152.00 576.00 704.00 171.884 716.80 -819.20 -1,536.00 768.00 665.60 101.565 655.36 -1,310.72 -1,966.08 983.04 327.68 31.256 262.14 -2,097.15 -2,359.29 1,179.65 -655.36 -39.067 -838.86 -2,516.58 -2,516.58 1,258.29-2,097.15 -78.128 -3,355.44 -2,013.26 -2,013.26 1,006.63-4,362.07 -101.56 COSTO REAL = -30.03% FUENTES DE INFORMACIÓN Fuentes bibliográficas BACA Urbina Gabriel. (2007) Evaluación de proyectos, México 5° edición, McGraw Hill. BREALY, Richard, et al. (2006). Principios de Finanzas Corporativas (8ª. ed.), México: Mc Graw Hill COSS BU, R. (2001). Análisis y Evaluación de Proyectos de Inversión (18ª. ed.), México: Limusa. GITMAN, L. J. (2000). Administración Financiera (8ª. ed.), México: Prentice Hall. RODRÍGUEZ/PIERDANT. (2009) Matemáticas Financieras México, Grupo Editorial Patria. WESTON, J. F. Y Brigham E. F. (1999). Fundamentos de Administración Financiera (10ª. ed.), México: Mc Graw Hill. Fuentes electrónicas Nacional Financiera. ¿Cómo elegir entre varias alternativas de negocios que se nos presentan?http://mexico.smetoolkit.org/mexico/es/content/es/3574/%C2%BFC%C3%B3mo-elegir-entre-varias-alternativas-de-negocios-que-se-nos-presentan- Visitada el 20 de septiembre de 2010. Ingeniería económica. http://html.rincondelvago.com/ingenieria-economica_4.html. Visitada el 20 de septiembre de 2010.

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