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Capitulo ii valor del dinero en el tiempo

El valor del dinero en el futuro

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VALOR DEL DINERO EN EL TIEMPO
I.

VALOR DEL DINERO EN EL TIEMPO

“El dinero produce dinero”, esta premisa es cierta, si nosotros elegimos invertir hoy
en un banco, mañana habremos acumulado más dinero que el que hemos
invertido originalmente, este en cambio en la cantidad de dinero en un periodo
determinado de tiempo se denomina “valor del dinero en el tiempo”
1.1

INTERÉS
Es la evidencia del valor del dinero en el tiempo, es decir es una medida del
incremento entre la suma originalmente invertida o prestada y la cantidad
final acumulada o debida.
Interés = Cantidad acumulada – Inversión original
Interés = Cantidad debida – cantidad prestada.

1.1.1 CALCULO DEL INTERÉS.- cuando el interés se expresa como porcentaje
del monto original por unidad de tiempo entonces tenemos lo que se denomina
tasa de interés.

*100

Ejemplo 01: La compañía “x “invirtió $/.300,000.00 en julio del 2009 y retiro $/.
324,000.00 exactamente en un año después, calcular el interés ganado y la tasa
de interés.

⇒8%
Ejemplo 02: “R&R” solicita un prestamos de $/. 45,000.00 a un año al 6% de
interés y la cantidad total a pagar en un año.
⇒

⇒ Monto a pagar 45,000+2,700=47,700
MONTO TOTAL A APAGAR:
F = P+I
F = P+P*i = P (1+i)
Si son varios periodos de tiempo (n):
F = P (1+i), F = P (1+i*n)
Ejemplo 03: hallar el monto total a pagar un prestamos de $/. 25,000.00,
pagaderos en 4 años al 5% anual, calcule además el interés a pagar.
I = P*i*n,

25,000*0.05*4 = 5,000.00

F = P+I,

25,000+5,000 = $/. 30,000.00

F = P(1+i*n) 25,000(1+0.05*4) = $/. 30,000.00

1.2

INTERÉS COMPUESTO
Se calcula sobre el capital más la cantidad acumulada de intereses
ganados en periodos anteriores es decir intereses de interese.

Ejemplo 04: se hace un préstamo para pagar en 5 meses de $/. 100,000.00 al 3%
mensual de interés compuesto, calcular el monto total a pagar, calcule además el
interés simple.
Interés compuesto para los 5 meses:

1º mes:
Interés:
Deuda:
2º mes:

⇒
Interés:
Deuda:
3º mes:
Interés:
Deuda:
4º mes:
Interés:
Deuda:
5º mes:
Interés:
Deuda:

⇒

.00

⇒

0

⇒

⇒

Interés Simple para cada mes

= 115,000.00

II.

EQUIVALENCIA DEL DINERO EN EL TIEMPO

El valor del dinero en el tiempo y la tasa de interés utilizada conjuntamente genera
el concepto de equivalencia, esto significa que diferentes sumas de dinero en
diferentes tiempos pueden tener igual valor económico.
Pasado

Presente

n

Futuro

n
i

i

Ejemplo 05: Si tenemos una tasa de interés i = 15% anual, el presente es de $/.
30,000.00 en 2 años
22,648.3
0
Pasado

39,675.00

30,000.00
Presente

Futuro

= 22,684.00

F = 39,675.00
2.1

ANUALIDAD

Es una serie consecutiva de sumas de pagos o depósitos en periodos de
tiempos iguales.
Para el presente:

para el futuro:

Ejemplo 06: se solicita un préstamo para pagar en 5 años al 4.5% anual, calcule
Ud. Los pagos anuales que se deberían hacer si el prestamos de $/. 320,000.00
debe de pagarse en cuotas anuales que incluyan préstamo e intereses.

Ejemplo 07: Ud. Solicita un préstamo de $/. 50,000.00 para pagar en 5 años al 7%
anual las alternativas son:
a) El interés y el capital se cobran al cabo de los 5 años, el interés se aplica
cada año sobre el interés acumulado del capital e intereses generados.
b) El interés acumulado se paga cada año y el capital es recuperado al final
del 5º año.
c) El interés acumulado y el 20% del capital inicial se paga cada año.
d) Pagos anuales con una proporción del capital inicial y el remanente
cubriendo el interés acumulado.

Calcule Ud. Los montos a pagar para cada alternativa, desde su punto de vista
¿cuál es la mejor alternativa y por qué?

DESARROLLO:
a)
b)

⇒

⇒
⇒

= 67,500
67,500

50,000 = 17,500.
c) 1º Año:
Deuda:

50,000

Interés:
Amortización:

= 20%(50,000) = 10,000.00

Anualidad:
= 3,500+10,000=13,500
2º Año:
Deuda:

50,000 - 10,000 = 40,000

Interés:
Amortización:

= 20%(50,000) = 10,000.00

Anualidad:
= 2,800+10,000=12,800
3º Año:
Deuda:

40,000 – 10,000 = 30,000

Interés:
Amortización:

= 20%(50,000) = 10,000.00

Anualidad:
= 2,100+10,000=12,100
4º Año:
Deuda:

30,000 – 10,000 = 20,000

Interés:
Amortización:

= 20%(50,000) = 10,000.00

Anualidad:
= 1,400+10,000=11,400
5º Año:
Deuda:

20,000 – 10,000 = 10,000

Interés:
Amortización:
Anualidad:

= 20%(50,000) = 10,000.00
= 700+10,000=10,700
2.2

DIAGRAMA DE FLUJO

Son representaciones graficas de un flujo de caja en una escala de tiempo,
representa el planteamiento del problema y muestra lo que es dado y lo que
debe de encontrarse, la fecha “cero” es considerada presente y la fecha “uno”
es el final del periodo “uno”, se asume que el flujo de caja ocurre solamente al
final de cada periodo de tiempo.
Futuro
Ingreso de caja
Salida de caja

0
1º año
Presente

1
2º año

2

3
3º año

4
4º año

5º año

t (años)

Ejemplo 08: si se comienza ahora y se hacen 5 depósitos de $/. 1,000.00 por mes
en una cuenta que paga el 0.5% mensual ¿Cuánto dinero habrá acumulado
inmediatamente después de que haya hecho el ultimo depósito?
Futuro
0

1

2

3

4
t (meses)

A = $/. 1,000
Ejemplo 09: se desea depositar una cantidad en una cuenta de ahorros dentro de
2 años de manera que le sea posible retirar $/: 400 anuales

durante 5 años

consecutivos, empezando dentro de 3 años. Suponiendo que la tasa de interés i =
5.5%, construya en diagrama de flujo de caja.
A = $/. 400.00

0

1

2

3

4

5

6

7

t(años)

p
Ejemplo 10: La compañía “Aire Caliente”, invirtió $/. 2,500.00 en un compresor
nuevo hace 7 años, los ingresos anuales que produce el compresor se estiman en
$/. 700.00 durante el 1º año se ha gastado $/. 100.00 en mantenimiento, costo que
se ha venido aumentando anualmente en $/. 25.00. la compañía piensa vender el

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Capitulo ii valor del dinero en el tiempo

  • 1. VALOR DEL DINERO EN EL TIEMPO I. VALOR DEL DINERO EN EL TIEMPO “El dinero produce dinero”, esta premisa es cierta, si nosotros elegimos invertir hoy en un banco, mañana habremos acumulado más dinero que el que hemos invertido originalmente, este en cambio en la cantidad de dinero en un periodo determinado de tiempo se denomina “valor del dinero en el tiempo” 1.1 INTERÉS Es la evidencia del valor del dinero en el tiempo, es decir es una medida del incremento entre la suma originalmente invertida o prestada y la cantidad final acumulada o debida. Interés = Cantidad acumulada – Inversión original Interés = Cantidad debida – cantidad prestada. 1.1.1 CALCULO DEL INTERÉS.- cuando el interés se expresa como porcentaje del monto original por unidad de tiempo entonces tenemos lo que se denomina tasa de interés. *100 Ejemplo 01: La compañía “x “invirtió $/.300,000.00 en julio del 2009 y retiro $/. 324,000.00 exactamente en un año después, calcular el interés ganado y la tasa de interés. ⇒8% Ejemplo 02: “R&R” solicita un prestamos de $/. 45,000.00 a un año al 6% de interés y la cantidad total a pagar en un año.
  • 2. ⇒ ⇒ Monto a pagar 45,000+2,700=47,700 MONTO TOTAL A APAGAR: F = P+I F = P+P*i = P (1+i) Si son varios periodos de tiempo (n): F = P (1+i), F = P (1+i*n) Ejemplo 03: hallar el monto total a pagar un prestamos de $/. 25,000.00, pagaderos en 4 años al 5% anual, calcule además el interés a pagar. I = P*i*n, 25,000*0.05*4 = 5,000.00 F = P+I, 25,000+5,000 = $/. 30,000.00 F = P(1+i*n) 25,000(1+0.05*4) = $/. 30,000.00 1.2 INTERÉS COMPUESTO Se calcula sobre el capital más la cantidad acumulada de intereses ganados en periodos anteriores es decir intereses de interese. Ejemplo 04: se hace un préstamo para pagar en 5 meses de $/. 100,000.00 al 3% mensual de interés compuesto, calcular el monto total a pagar, calcule además el interés simple. Interés compuesto para los 5 meses: 1º mes: Interés: Deuda: 2º mes: ⇒
  • 3. Interés: Deuda: 3º mes: Interés: Deuda: 4º mes: Interés: Deuda: 5º mes: Interés: Deuda: ⇒ .00 ⇒ 0 ⇒ ⇒ Interés Simple para cada mes = 115,000.00 II. EQUIVALENCIA DEL DINERO EN EL TIEMPO El valor del dinero en el tiempo y la tasa de interés utilizada conjuntamente genera el concepto de equivalencia, esto significa que diferentes sumas de dinero en diferentes tiempos pueden tener igual valor económico. Pasado Presente n Futuro n i i Ejemplo 05: Si tenemos una tasa de interés i = 15% anual, el presente es de $/. 30,000.00 en 2 años 22,648.3 0 Pasado 39,675.00 30,000.00 Presente Futuro = 22,684.00 F = 39,675.00
  • 4. 2.1 ANUALIDAD Es una serie consecutiva de sumas de pagos o depósitos en periodos de tiempos iguales. Para el presente: para el futuro: Ejemplo 06: se solicita un préstamo para pagar en 5 años al 4.5% anual, calcule Ud. Los pagos anuales que se deberían hacer si el prestamos de $/. 320,000.00 debe de pagarse en cuotas anuales que incluyan préstamo e intereses. Ejemplo 07: Ud. Solicita un préstamo de $/. 50,000.00 para pagar en 5 años al 7% anual las alternativas son: a) El interés y el capital se cobran al cabo de los 5 años, el interés se aplica cada año sobre el interés acumulado del capital e intereses generados. b) El interés acumulado se paga cada año y el capital es recuperado al final del 5º año. c) El interés acumulado y el 20% del capital inicial se paga cada año. d) Pagos anuales con una proporción del capital inicial y el remanente cubriendo el interés acumulado. Calcule Ud. Los montos a pagar para cada alternativa, desde su punto de vista ¿cuál es la mejor alternativa y por qué? DESARROLLO: a) b) ⇒ ⇒ ⇒ = 67,500 67,500 50,000 = 17,500.
  • 5. c) 1º Año: Deuda: 50,000 Interés: Amortización: = 20%(50,000) = 10,000.00 Anualidad: = 3,500+10,000=13,500 2º Año: Deuda: 50,000 - 10,000 = 40,000 Interés: Amortización: = 20%(50,000) = 10,000.00 Anualidad: = 2,800+10,000=12,800 3º Año: Deuda: 40,000 – 10,000 = 30,000 Interés: Amortización: = 20%(50,000) = 10,000.00 Anualidad: = 2,100+10,000=12,100 4º Año: Deuda: 30,000 – 10,000 = 20,000 Interés: Amortización: = 20%(50,000) = 10,000.00 Anualidad: = 1,400+10,000=11,400 5º Año: Deuda: 20,000 – 10,000 = 10,000 Interés: Amortización: Anualidad: = 20%(50,000) = 10,000.00 = 700+10,000=10,700
  • 6. 2.2 DIAGRAMA DE FLUJO Son representaciones graficas de un flujo de caja en una escala de tiempo, representa el planteamiento del problema y muestra lo que es dado y lo que debe de encontrarse, la fecha “cero” es considerada presente y la fecha “uno” es el final del periodo “uno”, se asume que el flujo de caja ocurre solamente al final de cada periodo de tiempo. Futuro Ingreso de caja Salida de caja 0 1º año Presente 1 2º año 2 3 3º año 4 4º año 5º año t (años) Ejemplo 08: si se comienza ahora y se hacen 5 depósitos de $/. 1,000.00 por mes en una cuenta que paga el 0.5% mensual ¿Cuánto dinero habrá acumulado inmediatamente después de que haya hecho el ultimo depósito? Futuro 0 1 2 3 4 t (meses) A = $/. 1,000 Ejemplo 09: se desea depositar una cantidad en una cuenta de ahorros dentro de 2 años de manera que le sea posible retirar $/: 400 anuales durante 5 años consecutivos, empezando dentro de 3 años. Suponiendo que la tasa de interés i = 5.5%, construya en diagrama de flujo de caja. A = $/. 400.00 0 1 2 3 4 5 6 7 t(años) p Ejemplo 10: La compañía “Aire Caliente”, invirtió $/. 2,500.00 en un compresor nuevo hace 7 años, los ingresos anuales que produce el compresor se estiman en $/. 700.00 durante el 1º año se ha gastado $/. 100.00 en mantenimiento, costo que se ha venido aumentando anualmente en $/. 25.00. la compañía piensa vender el
  • 7. compresor por un valor de rescate de $/: 150.00 a finales del próximo año. Construya Ud. El diagrama de flujo de caja. A = $/. 750.00 -7 -6 -5 100 -4 -3 150 150.00 -2 125 175 0 1 200 P=2,500 -1 225 250 275 EVALUACION DE ALTERNATIVAS III. SIMBOLOGIA Y REPRESENTACION a) 0 1 2 i% 3 F 4 5 t P F 0 1 2 3 4 5 3 4 t P b) A 0 P 1 2 5 t
  • 8. P 0 1 2 3 4 5 t A A c) 0 1 2 3 4 5 t(tiempo) F F 0 1 2 3 4 5 t(tiempo) A 3.1 FACTOR DE ACTUALIZACION SIMPLE Ejemplo 11: Hallar el valor presente de $/. 8,000.00 al cabo de 4 años con una F = $/. 8,000.00 tasa de i = 4%. 0 1 P=? 2 i = 4% 3 4 t (años) = 6,838.4
  • 9. Ejemplo 12: se pide calcular el valor presente de un alquiler mensual de $/. 400.00 durante 9 meses a una tasa de interes mensual de i = 6% P=¿ 0 i = 6% 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A = $/. 400.00 = 2,720.68 Ejemplo 13: La empresa minera “X” espera tener un ingreso de mineral de 4´700,000.00 para el proximo año, la proyeccion de sus ingresos dice que aumentaron uniformemente con el incremento de la produccion hasta un nivel de 10´000,000.00, en 7 años. Determine la gradiente y construya el diagrama de flujo. 0 1 2 3 4 5 6 7 4`700,000.00 10´000,000.00 3.2 PRESENTE DE UNA SERIE ESCALONADA E : tasa escalonada, D : Cantidad inicial
  • 10. Ejemplo 13: Ud. Deposita $/.600.00 hoy y $/. 300.00 mas tarde y $/. 400.00 dentro de 5 años. Cuanto tendra en su cuenta de ahorros dentro de 10 años si la tasa promedio del bano es de i = 5%. F =? 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 600 300 400 = 1,931.09 ⇒ valor en el = presente Ahora llevamos ese valor al futuro: = 1,931.09 3.3 EVALUACION DE ALTERNATIVAS DE INVERSION CON VALOR PRESENTE a) VIDAS UTILES IGUALES Se tiene 2 maquinas A y B, cuyos datos son los sgts. ¿Cuál de las dos alternativas escogeria? DESCRIPCION Precio de adquisicion Costo anual de operación Valor de rescate Vida util (años) Tasa de interes (i) PERFORADORA “A” 12,500.00 4,500.00 1,000.00 05 10% PERFORADORA “B” 17,500.00 3,500.00 1,750.00 05 10%
  • 11. PARA LA PERFORADORA “A” 0 1 2 3 F = 1,000.00 4 5 A = 4,500 P = 12,500 PARA LA PERFORADORA “B” F = 1,750 0 1 i = 10% 2 3 4 5 A = 3,500 P = 17,500 ⇒ la respuesta es la alternativa “A” b) VIDAS UTILES DIFERENTES: El supervisor de una planta de tratamiento quiere decidir entre 2 maquinas cuyos datos se detallan a continuacion, ¿puede Ud. Ayudarlo? DESCRIPCION MAQUINA “A” MAQUINA “B” Precio de adquisición Costo de operación / año Valor de rescate Vida útil (años) Tasa de actualización 11,000.00 3,500.00 1,000.00 6 años 15% 18,000.00 3,100.00 2,000.00 9 años 15%
  • 12. PARA LA MAQUINA “A”: 1,000 1,000 1,000 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 t (años) 3,500 11,000 11,000 11,000 = 38,559.42 PARA LA MAQUINA “B” : 2,000 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 2,000 t (años) A = 3,100 18,000 A = 3,100 18,000 ⇒Máquina “A” Ejemplo 13: La minera “RRR”, espera abrir una nueva cantera en sojo, se han diñado 2 planes para el movimiento deo material, el plan “A” contempla la adquisicion de 2 palas y la construccioin de un terminal de descarga. El plan “B”
  • 13. contempla la construccion de una faja transportadora desde la cantera hasta la planta. ¿Cuál es la mejor alternativa? si el valor actual del dinero es de 15% anual los datos se muestran en la siguiente tabla. DESCRIPCION PRECIO ($) COSTO DE OPERAC.($) VALOR DE RESCATE ($) VIDA UTIL PLAN “A” PALA 45,000.00 6,000.00 5,000.00 8 años TERMINAL 28,000.00 300 2,000.00 12 años PLAN “A” , M.C.M de 8 y 12 es 24 ⇒ n = 24  Para la pala: 5,000 5,000 5,000 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 A = 6,000 A = 6,000 A = 6,000 t (años) 45,000 45,000 45,000  Para el terminal: 2,000 2,000 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 A = 300 A = 300 28,000 28,000 PLAN “B” FAJA TRANS. 175,000.00 2,500.00 10,000.00 24 años
  • 14. = 236,277.09 Plan “B”: 10,000 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 A = 2,500.00 175,000