1. UNIVERSIDAD PRIVADA ANTENOR ORREGO
FACULTA DE INGENIERIA
ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL
ING. JORGE LUIS PAREDES ESTACIO

2. SISTEMAS DINÁMICOS DE UN GRADO DE
LIBERTAD
- VIBRACIÓN LIBRE NO AMORTIGUADA
- VIBRACIÓN LIBRE AMORTIGUADA
- VIBRACIONES FORZADAS ARMÓNICAS
- VIBRACIONES TRANSITORIAS
- EXCITACIÓN EN LA BASE
- LA ENERGÍA EN LA RESPUESTA DINÁMICA

3. VIBRACIÓN LIBRE NO AMORTIGUADA
Bajo el supuesto de que la fuerza ejercida para deformar el resorte , ya sea en
tensión o en compresión, es proporcional a la deformación y siendo k la
constate de proporcionalidad, o rigidez, podemos determinar la fuerza del
resorte por:
Fr=kx
Donde:
Fr = Fuerza ejercida por el resorte (N)
k = Rigidez del resorte (N/m)
x = Desplazamiento relativo entre los dos extremos del resorte (m)

4. VIBRACIÓN LIBRE NO AMORTIGUADA
La fuerza Inercial que se tiene en la masa m debido a
la aceleración a, esta dada, según la segunda ley de
Newton:
Fi=-m풙
Donde:
Fr = Fuerza inercial que obra sobre la masa (N)
m = Masa (kg)
푥 = Aceleración de la masa (m/푠2)

5. VIBRACIÓN LIBRE NO AMORTIGUADA
Dividiendo por my llamando la constante k/m, se obtiene:
La solución de esta ecuación diferencial es:
Donde A y B dependen de las condiciones iniciales que
indujeron al movimiento.

6. VIBRACIÓN LIBRE NO AMORTIGUADA
Por tanto la solución de la ecuación se convierte:
Donde:
Vo = velocidad de la masa en el instante t=0 (m/s)
Xo = desplazamiento de la masa en el instante t=0 (m)
ω = frecuencia natural del sistema (rad/s)

7. VIBRACIÓN LIBRE NO AMORTIGUADA

8. VIBRACIÓN LIBRE AMORTIGUADA
Los movimientos oscilatorios tienden a disminuir con
el tiempo hasta desaparecer. Esto se debe al
amortiguamiento que se presenta, el cual hace que
parte de la energía se disipe.
Las causas de este amortiguamiento están asociadas a
diferentes fenómenos como la fricción de la masa
sobre la superficie de apoyo, el efecto del aire que
rodea la masa, la no linealidad del material del resorte,
entre otros.
Entre los modelos más usados es el amortiguamiento
viscoso.

9. VIBRACIÓN LIBRE AMORTIGUADA
Fa=c푥
Donde:
Fa = fuerza producida por el amortiguador (N)
c = constante de amortiguamiento (N.s/m)
푥 = velocidad relativa entre los dos extremos del amortiguador (m/s)

10. VIBRACIÓN LIBRE AMORTIGUADA
Utilizando el principio de D’Alembert puede plantearse la siguiente ecuación:
Fr+Fa-Fi=0
Y reemplazar las definiciones de las diferentes fuerzas:
풌풙 + 풄풙 − (−풎풙 ) = ퟎ
Lo cual conduce a la siguiente ecuación diferencial lineal homogénea de
segundo orden:
풎풙 + 풄풙 + 풌풙 = ퟎ
La ecuación característica de la ecuación anterior es:
풎흀ퟐ + 풄흀+k=0

11. VIBRACIÓN LIBRE AMORTIGUADA
Cuyas raíces son:
흀 =
−풄 ± 풄ퟐ − ퟒ풎풌
ퟐ풎
Ósea:
흀ퟏ =
−풄 + 풄ퟐ − ퟒ풎풌
ퟐ풎
y
흀ퟐ =
−풄 − 풄ퟐ − ퟒ풎풌
ퟐ풎
Por lo tanto la solución de la ecuación diferencial de equilibrio del sistema es:
푿 풕 = 푨풆λퟏ풕+B풆λퟐ풕
Donde:
A = constante que depende de las condiciones iniciales del movimiento
B = constante que depende de las condiciones iniciales del movimiento
E = base de logaritmos neperianos

12. VIBRACIÓN LIBRE AMORTIGUADA
Existen tres casos de solución para la ecuación anterior
dependiendo del valor radical de la ecuación:
- AMORTIGUAMIENTO CRÍTICO
- AMORTIGUAMIENTO MAYOR QUE EL CRÍTICO
- AMORTIGUAMIENTO MENOR QUE EL CRÍTICO

13. AMORTIGUAMIENTO CRÍTICO
Cuando el radical de la ecuación