Este documento describe las ecuaciones diferenciales exactas, que son aquellas donde las derivadas parciales de las funciones M y N son iguales, indicando que existe una función F(x,y)=0. Explica que para resolver una ecuación exacta se debe comprobar que las derivadas cruzadas son iguales, integrar M o N para obtener la solución general con una constante de integración g, y luego derivar e igualar para despejar g y encontrar la función incógnita. También cubre el método de factor integrante para hacer que una ecuación

1. ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS RENE ALCAZAR GONZALEZ 10110293 F102 PROF. ING. CESAR OCTAVIO MARTINEZ PADILLA

2. CONCEPTOS GENERALES en donde las derivadas parciales de las funciones M y N: son iguales. Esto es equivalente a decir que existe una función F(x,y)=0 tal que

3. Dado que F(x,y) es una función diferenciable entonces las derivadas cruzadas deben ser iguales y esta es la condición

4. METODO DE RESOLUCION Para resolver una ecuación diferencial de este tipo, se ha de seguir los siguientes pasos: Comprobar la exactitud de la ecuación, esto es, verificar si las derivadas parciales de M (con respecto a y) y de N (con respecto a x) son iguales. Se integra M o N a conveniencia (M respecto a x o N respecto a y) obteniéndose de este modo la solución general de la ecuación aunque con una función incógnita g que aparece como constante de integración. Esto es:

5. Para despejar la función g se deriva con respecto a la variable independiente de g. Se iguala g' con M o N (si se integró M se iguala a N y viceversa.), despejando y luego integrando con respecto a la variable dependiente de g; de este modo se encontrará la función g. Finalmente se reemplaza el g encontrado en la solución general .

6. Ejemplo

7. Factor integrante Si una ecuación diferencial no es exacta, pudiera llegar a serlo si se la multiplica por una función especial llamada factor integrante, tal que: Factor integrante solo en función de x. Si la ecuación diferencial posee un factor integrante respecto a x (es decir, ), entonces se puede encontrar por medio de la fórmula siguiente: Factor integrante solo en función de y. Si la ecuación diferencial posee un factor integrante respecto a y (es decir, ), entonces se puede encontrar por medio de la fórmula siguiente:

8. Referencias http://usuarios.multimania.es/equatdiff/id74.htm http://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_diferencial_exacta