Estadística descriptiva: medidas numéricas

Estad´ıstica descriptiva: medidas núméricas.
Roc´ıo Meza Moreno
Universidad Autónoma Metropolitana, Iztapalapa
Roc´ıo Meza Moreno Estad´ıstica descriptiva

Medidas numéricas
Definiciones previas
Medidas de tendencia central
Medidas de variación
Cuando se estudia un conjunto de datos es importante
determinar las siguientes caracter´ısticas:

Medidas num´ericas
1 Valor central: es un valor representativo que indica la
localizaci´on de la mitad del conjunto de los datos.

Medidas numéricas
2 Variación: medida de qué tanto var´ıan los datos entre s´ı.

Medidas numéricas
2 Variación: medida de qué tanto var´ıan los datos entre s´ı.
3 Distribución: forma en que se distribuyen los datos
(simétricamente o con sesgo).

Medidas numéricas
Definiciones
Un parámetro es una medición numérica que describe
alguna caracter´ıstica de una población.

Medidas numéricas
Definiciones
Un estad´ıstico es una medición numérica que describe
alguna caracter´ıstica de una muestra.

Medidas numéricas
Definiciones
Un estad´ıstico es una medición numérica que describe
alguna caracter´ıstica de una muestra.
En estad´ıstica inferencial, al estad´ıstico muestral se le conoce
como el estimador del correspondiente parámetro poblacional.

Medidas numéricas
Ejemplos
1 Según datos del INEGI, en 2010 la población de México
ascend´ıa a 112,336,538 de habitantes, 54,855,231 hombres y
57,481,307 mujeres. Esto significa que en 2010, el 51 % de
la población eran mujeres. La cifra del 51 % es un
parámetro pues se obtuvo a partir de información de
todos los habitantes del pa´ıs.

Medidas numéricas
Ejemplos
1 Según datos del INEGI, en 2010 la población de México
ascend´ıa a 112,336,538 de habitantes, 54,855,231 hombres y
57,481,307 mujeres. Esto significa que en 2010, el 51 % de
la población eran mujeres. La cifra del 51 % es un
parámetro pues se obtuvo a partir de información de
todos los habitantes del pa´ıs.
2 Con base en una muestra de 877 ejecutivos encuestados, se
encontró que el 45 % de ellos no contratar´ıa a alguien con
un error ortográfico en su solicitud de empleo. Esta cifra del
45 % es un estad´ıstico, ya que está basada en una muestra
y no en la población completa de todos los ejecutivos.

Medidas num´ericas
Una medida de tendencia central es un valor que se
encuentra al centro o a la mitad de un conjunto de datos.

Medidas num´ericas
Una medida de tendencia central es un valor que se
encuentra al centro o a la mitad de un conjunto de datos.
Son medidas de tendencia central la media, la mediana, la
moda y la mitad del rango.

Medidas num´ericas
Media (aritm´etica)
Es la medida de tendencia central que se calcula al sumar los
valores de la totalidad de los datos y dividir el resultado entre
la cantidad de estos.

Medidas numéricas
La media, también conocida como promedio, es la medida
numérica más importante para describir datos.

Medidas numéricas
La media, también conocida como promedio, es la medida
numérica más importante para describir datos.
Cuando la media se calcula a partir de los datos de una
muestra se denota por x (estad´ıstico) y cuando se calcula a
partir de los datos de una población se denota por µ
(parámetro).

Medidas num´ericas
En s´ımbolos, si x1, x2, x3, . . . , xn son los valores de las
observaciones de una muestra, entonces
x =
n
i=1
xi
n
=
x1 + x2 + · · · + xn
n

Medidas num´ericas
En s´ımbolos, si x1, x2, x3, . . . , xn son los valores de las
observaciones de una muestra, entonces
x =
n
i=1
xi
n
=
x1 + x2 + · · · + xn
n
Y si x1, x2, x3, . . . , xN son los valores de las observaciones de
una poblaci´on, entonces
µ =
N
i=1
xi
N
=
x1 + x2 + · · · + xN
N

Medidas numéricas
Ejemplo
Una asociación recaba información sobre los sueldos anuales
iniciales de los recién egresados de universidades de acuerdo con
su especialidad. A continuación se presentan muestras de los
sueldos anuales iniciales de especialistas en marketing y en
contadur´ıa (los datos están en miles de dólares):

Medidas numéricas
Ejemplo
Una asociación recaba información sobre los sueldos anuales
iniciales de los recién egresados de universidades de acuerdo con
su especialidad. A continuación se presentan muestras de los
sueldos anuales iniciales de especialistas en marketing y en
contadur´ıa (los datos están en miles de dólares):
Egresados de marketing:
34.2 45.0 39.5 28.4 37.7 35.8 30.6 35.2 34.2 42.4
Egresados de contadur´ıa:
33.5 57.1 49.7 40.2 44.2 45.2 47.8 38.0 53.9 41.1
41.7 40.8 55.5 43.5 49.1 49.9

Medidas num´ericas
El sueldo promedio de los egresados en marketing es:
xm =
34.2 + 45.0 + 39.5 + · · · + 42.4
10

Medidas num´ericas
xm =
34.2 + 45.0 + 39.5 + · · · + 42.4
10
= 36.3

Medidas num´ericas
xm =
34.2 + 45.0 + 39.5 + · · · + 42.4
10
= 36.3
Y el sueldo promedio de los egresados en contadur´ıa es:
xc =
33.5 + 57.1 + 49.7 + · · · + 49.9
16

Medidas num´ericas
xm =
34.2 + 45.0 + 39.5 + · · · + 42.4
10
= 36.3
xc =
33.5 + 57.1 + 49.7 + · · · + 49.9
16
= 45.7

Medidas num´ericas
xm =
34.2 + 45.0 + 39.5 + · · · + 42.4
10
= 36.3
xc =
33.5 + 57.1 + 49.7 + · · · + 49.9
16
= 45.7
Se observa que el sueldo inicial promedio de un egresado en
contadur´ıa supera al sueldo inicial promedio de un egresado en
marketing por
45, 700 − 36300 = 9400
es decir, por aproximadamente 9000 d´olares.

Medidas numéricas
Propiedades de la media
1 La media puede calcularse para conjuntos de datos con
nivel de medición de intervalo o de razón.

Medidas num´ericas
2 Todos los datos se toman en cuenta en el c´alculo de la
media.

Medidas num´ericas
media.
3 La suma de las desviaciones de cada valor de la media es
cero,

Medidas num´ericas
media.
3 La suma de las desviaciones de cada valor de la media es
cero, en s´ımbolos,
n
i=1
(xi − x) = 0

Medidas num´ericas
Por ejemplo, la media de 6, 4, 3, 9 y 7 es
x = (6 + 4 + 3 + 9 + 7)/5 = 5.8

Medidas num´ericas
x = (6 + 4 + 3 + 9 + 7)/5 = 5.8
As´ı que la suma de las desviaciones es:
(6 − 5.8) + (4 − 5.8) + (3 − 5.8) + (9 − 5.8) + (7 − 5.8) =

Medidas num´ericas
x = (6 + 4 + 3 + 9 + 7)/5 = 5.8
(6 − 5.8) + (4 − 5.8) + (3 − 5.8) + (9 − 5.8) + (7 − 5.8) =
= 0.2 − 1.8 − 2.8 + 3.2 + 1.2

Medidas num´ericas
x = (6 + 4 + 3 + 9 + 7)/5 = 5.8
(6 − 5.8) + (4 − 5.8) + (3 − 5.8) + (9 − 5.8) + (7 − 5.8) =
= 0.2 − 1.8 − 2.8 + 3.2 + 1.2 = 0

Medidas num´ericas
Una desventaja importante de la media es que es muy
sensible a valores extremos, esto es, valores muy peque˜nos o
considerablemente grandes.

Medidas numéricas
Por ejemplo, suponga que un estudiante entregó todas las
tareas del trimestre menos una y que sus calificaciones son:
10 9.2 10 9 9.5 0

Medidas num´ericas
10 9.2 10 9 9.5 0
El promedio de sus caliﬁcaciones es entonces:
10 + 9.2 + 10 + 9 + 9.5 + 0
6
= 7.95

Medidas num´ericas
10 9.2 10 9 9.5 0
El promedio de sus caliﬁcaciones es entonces:
10 + 9.2 + 10 + 9 + 9.5 + 0
6
= 7.95
La mediana resuelve en gran medida este problema.

Medidas num´ericas
Mediana
Es el valor intermedio de un conjunto de datos que est´an
ordenados en forma ascendente.

Medidas num´ericas
Mediana
Se acostumbra denotar la mediana por el s´ımbolo x. Para
calcularla se ordenan los datos de menor a mayor y se
consideran los siguientes casos:

Medidas num´ericas
Mediana
1 Si el n´umero de datos es impar, la mediana es el valor que
se encuentra justo a la mitad de la lista.

Medidas numéricas
Mediana
1 Si el número de datos es impar, la mediana es el valor que
se encuentra justo a la mitad de la lista.
2 Si el número de valores es par, la mediana es el promedio
de los dos valores que están a la mitad.

Medidas num´ericas
Considere los datos del ejemplo anterior:
10 9.2 10 9 9.5 0

Medidas num´ericas
10 9.2 10 9 9.5 0
que ordenados quedan:
0 9 9.2 9.5 10 10

Medidas num´ericas
10 9.2 10 9 9.5 0
que ordenados quedan:
0 9 9.2 9.5 10 10
Como el n´umero de datos es par, la mediana es
x =
9.2 + 9.5
2
= 9.35

Medidas num´ericas
Suponga, por ejemplo, que el estudiante tuvo la oportunidad
de entregar la tarea faltante pero no obtuvo una buena nota,
digamos que sac´o 6,

Medidas num´ericas
digamos que sac´o 6, entonces su promedio ser´ıa

Medidas num´ericas
x =
6 + 9 + 9.2 + 9.5 + 10 + 10
6
= 9.85

Medidas num´ericas
x =
6 + 9 + 9.2 + 9.5 + 10 + 10
6
= 9.85
que es considerablemente mejor que el anterior. Sin embargo el
valor de la mediana seguir´ıa siendo 9.35.

Medidas numéricas
x =
6 + 9 + 9.2 + 9.5 + 10 + 10
6
= 9.85
que es considerablemente mejor que el anterior. Sin embargo el
valor de la mediana seguir´ıa siendo 9.35.
Este ejemplo muestra que la media se ve muy afectada por
valores extremos pero la mediana no. Por esta razón la mediana
suele utilizarse para conjuntos de datos que tienen un número
relativamente pequeño de valores extremos.

Medidas num´ericas
Propiedades de la mediana
1 La mediana puede calcularse para conjuntos de datos con

Medidas numéricas
Propiedades de la mediana
1 La mediana puede calcularse para conjuntos de datos con
2 No influyen en la mediana valores extremadamente grandes
o pequeños en los datos.

Medidas num´ericas
Moda
Es el valor que se presenta con mayor frecuencia en un
conjunto de datos.

Medidas numéricas
Moda
Es el valor que se presenta con mayor frecuencia en un
conjunto de datos.
Observaciones:
1 Cuando dos valores se presentan con la misma frecuencia y
esta es la más alta, ambos valores son modas y en este caso
se dice que el conjunto de datos es bimodal.
2 Cuando más de dos valores se presentan con la misma
frecuencia y ésta es la más alta, todos esos valores son
modas, y el conjunto de datos se llama es multimodal.
3 Cuando ningún valor se repite, se dice que no hay moda.

Medidas num´ericas
Ejemplos
1 En el ejemplo anterior la moda es 10, pues este valor
aparece dos veces en la lista.

Medidas num´ericas
Ejemplos
2 Para el siguiente conjunto de datos
5 1 -10 -6 5 12 7 8 2 5 -1 11 5

Medidas num´ericas
Ejemplos
5 1 -10 -6 5 12 7 8 2 5 -1 11 5
la moda es 5, pues ese valor aparece 4 veces.

Medidas num´ericas
Ejemplos
5 1 -10 -6 5 12 7 8 2 5 -1 11 5
3 Para los siguientes datos
27 27 27 55 55 55 88 88 99

Medidas num´ericas
Ejemplos
5 1 -10 -6 5 12 7 8 2 5 -1 11 5
3 Para los siguientes datos
27 27 27 55 55 55 88 88 99
27 y 55 son ambos modas, pues ambos se presentan 3 veces.

Medidas numéricas
Propiedades de la moda
1 La moda puede calcularse para datos con cualquier nivel de
medición: nominal, ordinal, de intervalo y de razón.

Medidas num´ericas
2 La moda tampoco se ve afectada por valores muy grandes
o muy peque˜nos en los datos.

Medidas num´ericas
3 La moda es de especial utilidad para resumir datos de nivel
nominal.

Medidas numéricas
3 La moda es de especial utilidad para resumir datos de nivel
nominal.
4 En conjuntos de datos que resultan multimodales, la moda
resulta poco útil para describir la localización de los datos.

Medidas numéricas
Mitad del rango
Es la medida de tendencia central que constituye el valor (que
no necesariamente es un dato) que está a la mitad, entre el
valor máximo y el valor m´ınimo de un conjunto de datos.

Medidas numéricas
Mitad del rango
Es la medida de tendencia central que constituye el valor (que
no necesariamente es un dato) que está a la mitad, entre el
valor máximo y el valor m´ınimo de un conjunto de datos.
En s´ımbolos,
mitad del rango =
valor máximo + valor m´ınimo
2

Medidas num´ericas
Ejemplo
La mitad del rango del siguiente conjunto de datos
5 2 -10 -6 5 12 7 8 2 5 -1 11 5
es
12 + (−10)
2
= 1.

Medidas numéricas
Propiedades de la mitad del rango
1 Puede calcularse para datos con nivel de medición de
intervalo o de razón.

Medidas num´ericas
2 Es f´acil de calcular.

Medidas num´ericas
3 Ayuda a reforzar la importante idea de que hay varias
maneras de deﬁnir el centro de un conjunto de datos.

Medidas num´ericas
4 Se emplea pocas veces pues solo se utilizan dos datos en su
obtenci´on.

Medidas numéricas
4 Se emplea pocas veces pues solo se utilizan dos datos en su
obtención.
5 Es común utilizar la mitad del rango incorrectamente en
vez de la mediana. Esto se evita teniendo claras ambas
definiciones.

Medidas numéricas
¿Cuál es la mejor medida de tendencia central?
1 Depende del conjunto de datos. No hay criterios objetivos
para determinar la medida más representativa para todos
los conjuntos de datos.

Medidas num´ericas
2 Las diferentes medidas de tendencia central ofrecen
diversas ventajas y desventajas

Medidas numéricas
2 Las diferentes medidas de tendencia central ofrecen
diversas ventajas y desventajas
3 Las medias muestrales tienden a ser más consistentes que
otras medidas de tendencia central, es decir, las medias de
muestras obtenidas de la misma población no var´ıan tanto
como las otras medidas de tendencia central.

Medidas numéricas
Medidas de variación (dispersión)
Considérense los siguientes tres conjuntos de datos
Muestra 1: 6 6 6
Muestra 2: 3 7.5 7.5
Muestra 3: 1 7 10

Medidas num´ericas
Muestra 1: 6 6 6
Muestra 2: 3 7.5 7.5
Muestra 3: 1 7 10
Los tres conjuntos tienen media 6.

Medidas num´ericas
Muestra 1: 6 6 6
Muestra 2: 3 7.5 7.5
Muestra 3: 1 7 10
Los tres conjuntos tienen media 6. Sin embargo se observa
que la variaci´on en los datos es muy distinta en las tres
muestras de datos.

Medidas numéricas
Muestra 1: 6 6 6
Muestra 2: 3 7.5 7.5
Muestra 3: 1 7 10
Los tres conjuntos tienen media 6. Sin embargo se observa
que la variación en los datos es muy distinta en las tres
muestras de datos.
As´ı pues, las medidas de tendencia central no son suficientes
para describir a un conjunto de datos y por lo tanto es necesario
establecer algunas formas de medir la variación.

Medidas numéricas
Rango
Es la medida de dispersión más simple y se define como la
diferencia entre el valor máximo y el valor m´ınimo de los datos.

Medidas num´ericas
Rango
Esto es:
rango = valor m´aximo − valor m´ınimo

Medidas num´ericas
Rango
Esto es:
rango = valor m´aximo − valor m´ınimo
Para los datos anteriores, tenemos
Rango
Muestra 1: 6 6 6 0
Muestra 2: 3 7.5 7.5 4.5
Muestra 3: 1 7 10 9

Medidas numéricas
La principal caracter´ıstica del rango es que es fácil de
calcular, pero al depender solo de dos valores del conjunto de
datos, no es tan útil como otras medidas de variación.

Medidas numéricas
La principal caracter´ıstica del rango es que es fácil de
calcular, pero al depender solo de dos valores del conjunto de
datos, no es tan útil como otras medidas de variación.
Veremos a continuación medidas de dispersión que tomen en
cuenta la variación de todos los datos.

Medidas numéricas
Desviación media
Es el promedio de los valores absolutos de las desviaciones
con respecto a la media aritmética.

Medidas numéricas
Desviación media
Es el promedio de los valores absolutos de las desviaciones
con respecto a la media aritmética.
En s´ımbolos:
dm =
n
i=1
|xi − x|
n

Medidas num´ericas
Ejemplo [2]
Se muestra el n´umero de capuchinos que se vendieron en el
local de Starbucks de los aeropuertos de Orange County y
Ontario, California, entre las 4 y las 5 de la tarde durante 5 d´ıas
del mes pasado.
Aeropuertos
Orange County Ontario
20 20
40 49
50 50
60 51
80 80

Medidas num´ericas
Las medidas de tendencia central para este conjunto de datos
son
Media 50 50
Mediana 50 50
Mitad del rango 50 50

Medidas num´ericas
son
Media 50 50
Mediana 50 50
Las tres medidas son exactamente iguales, ¿podemos concluir
que no hay diferencias entre los conjuntos de datos?

Medidas num´ericas
son
Media 50 50
Mediana 50 50
Para responder esta pregunta calculemos las medidas de
variaci´on que hemos visto.

Medidas num´ericas
son
Media 50 50
Mediana 50 50
variaci´on que hemos visto. El rango es, en ambos casos
80 − 20 = 60.

Medidas numéricas
son
Media 50 50
Mediana 50 50
variación que hemos visto. El rango es, en ambos casos
80 − 20 = 60.
Para la desviación media calculamos,

Medidas num´ericas
xi xi − x |xi − x| xi xi − x |xi − x|
20 -30 30 20 -30 30
40 -10 10 49 -1 1
50 0 0 50 0 0
60 10 10 51 1 1
80 30 30 80 30 30
Total 80 Total 62

Medidas num´ericas
20 -30 30 20 -30 30
40 -10 10 49 -1 1
50 0 0 50 0 0
60 10 10 51 1 1
80 30 30 80 30 30
Total 80 Total 62
As´ı pues, la desviaci´on media para Orange County es
dm =
80
5
=

Medidas num´ericas
20 -30 30 20 -30 30
40 -10 10 49 -1 1
50 0 0 50 0 0
60 10 10 51 1 1
80 30 30 80 30 30
Total 80 Total 62
dm =
80
5
= 16

Medidas num´ericas
20 -30 30 20 -30 30
40 -10 10 49 -1 1
50 0 0 50 0 0
60 10 10 51 1 1
80 30 30 80 30 30
Total 80 Total 62
dm =
80
5
= 16
y la de Ontario es
dm =
62
5
=

Medidas num´ericas
20 -30 30 20 -30 30
40 -10 10 49 -1 1
50 0 0 50 0 0
60 10 10 51 1 1
80 30 30 80 30 30
Total 80 Total 62
dm =
80
5
= 16
y la de Ontario es
dm =
62
5
= 12.4

Medidas numéricas
Concluimos entonces que los valores de las ventas del
Starbukcs Ontario están más concentrados cerca de la media
que los valores de las ventas de la tienda de Orange County.

Medidas num´ericas
La principal desventaja de la desviaci´on media es que, debido
a que se calcula usando valores absolutos, carece de una
propiedad aditiva.

Medidas numéricas
La principal desventaja de la desviación media es que, debido
a que se calcula usando valores absolutos, carece de una
propiedad aditiva.
Además, es un estad´ıstico sesgado, es decir, cuando se toma
la desviación media para varias muestras de una población,
estos valores no tienden a ser cercanos a la desviación media
poblacional.

Medidas numéricas
Varianza
Es la medida de variación que se define como el promedio de
las desviaciones de la media elevadas al cuadrado.

Medidas num´ericas
Varianza
Varianza poblacional: se denota por el s´ımbolo σ2 y se
calcula por medio de la f´ormula:
σ2
=
N
i=1
(xi − µ)2
N

Medidas num´ericas
Varianza
Varianza poblacional: se denota por el s´ımbolo σ2 y se
calcula por medio de la f´ormula:
σ2
=
N
i=1
(xi − µ)2
N
Observe que para calcular la varianza es indispensable
conocer el valor de la media.

Medidas numéricas
Ejemplo (cálculo de la varianza poblacional)
El informe anual de cierta empresa incluyó las siguientes
ganancias primarias por acción común durante los pasados 5
años: $2.68, $1.03, $2.26, $4.30 y $3.58. Suponiendo que estos
son los valores poblacionales, para calcular la varianza:

Medidas num´ericas
Primero se obtiene el valor de la media:
µ =
N
i=1
xi
N
=

Medidas num´ericas
µ =
N
i=1
xi
N
=
2.68 + 1.03 + 2.26 + 4.30 + 3.58
5
=

Medidas num´ericas
µ =
N
i=1
xi
N
=
2.68 + 1.03 + 2.26 + 4.30 + 3.58
5
=
13.85
5
=

Medidas num´ericas
µ =
N
i=1
xi
N
=
2.68 + 1.03 + 2.26 + 4.30 + 3.58
5
=
13.85
5
= 2.77

Medidas num´ericas
µ =
N
i=1
xi
N
=
2.68 + 1.03 + 2.26 + 4.30 + 3.58
5
=
13.85
5
= 2.77
y despu´es se calcula

Medidas num´ericas
xi xi − µ (xi − µ)2
2.68
1.03
2.26
4.30
3.58

Medidas num´ericas
2.68 -0.09
1.03
2.26
4.30
3.58

Medidas num´ericas
2.68 -0.09
1.03 -1.74
2.26 -0.51
4.30 1.53
3.58 0.81

Medidas num´ericas
2.68 -0.09 0.0081
1.03 -1.74
2.26 -0.51
4.30 1.53
3.58 0.81

Medidas num´ericas
2.68 -0.09 0.0081
1.03 -1.74 3.0276
2.26 -0.51 0.2601
4.30 1.53 2.3409
3.58 0.81 0.6561

Medidas num´ericas
2.68 -0.09 0.0081
1.03 -1.74 3.0276
2.26 -0.51 0.2601
4.30 1.53 2.3409
3.58 0.81 0.6561
Total

Medidas num´ericas
2.68 -0.09 0.0081
1.03 -1.74 3.0276
2.26 -0.51 0.2601
4.30 1.53 2.3409
3.58 0.81 0.6561
Total 0

Medidas num´ericas
2.68 -0.09 0.0081
1.03 -1.74 3.0276
2.26 -0.51 0.2601
4.30 1.53 2.3409
3.58 0.81 0.6561
Total 0 6.2928

Medidas num´ericas
2.68 -0.09 0.0081
1.03 -1.74 3.0276
2.26 -0.51 0.2601
4.30 1.53 2.3409
3.58 0.81 0.6561
Total 0 6.2928
ﬁnalmente, la varianza es:
σ2
=
N
i=1
(xi − µ)2
N
=

Medidas num´ericas
2.68 -0.09 0.0081
1.03 -1.74 3.0276
2.26 -0.51 0.2601
4.30 1.53 2.3409
3.58 0.81 0.6561
Total 0 6.2928
σ2
=
N
i=1
(xi − µ)2
N
=
6.2928
5
=

Medidas num´ericas
2.68 -0.09 0.0081
1.03 -1.74 3.0276
2.26 -0.51 0.2601
4.30 1.53 2.3409
3.58 0.81 0.6561
Total 0 6.2928
σ2
=
N
i=1
(xi − µ)2
N
=
6.2928
5
= 1.256

Medidas numéricas
Consideraciones sobre el redondeo
1 No se deben redondear valores a la mitad de un cálculo, se
redondea solo la respuesta final.
2 Al redondear, se recomienda aumentar una posición
decimal a las que hay en el conjunto original de datos.

Medidas num´ericas
Varianza muestral: se denota por el s´ımbolo s2 y se calcula
por medio de la f´ormula:
s2
=
n
i=1
(xi − x)2
(n − 1)

Medidas numéricas
Varianza muestral: se denota por el s´ımbolo s2 y se calcula
por medio de la fórmula:
s2
=
n
i=1
(xi − x)2
(n − 1)
Se divide entre n − 1 pues de esta manera se logra que s2 sea
un estimador insesgado de la σ2, es decir, al tomar diferentes
muestras de una misma población, los valores de la varianza
muestral tienden a igualar el valor de la varianza poblacional.

Medidas num´ericas
Ejemplo
Calculemos la varianza muestral para los datos del ejemplo de
las tiendas Starbucks.
xi xi − x (xi − x)2 xi xi − x (xi − x)2
20 20
40 49
50 50
60 51
80 80

Medidas num´ericas
Ejemplo
20 -30 20
40 49
50 50
60 51
80 80

Medidas num´ericas
Ejemplo
20 -30 20
40 -10 49
50 0 50
60 10 51
80 30 80

Medidas num´ericas
Ejemplo
20 -30 900 20
40 -10 49
50 0 50
60 10 51
80 30 80

Medidas num´ericas
Ejemplo
20 -30 900 20
40 -10 100 49
50 0 0 50
60 10 100 51
80 30 900 80

Medidas num´ericas
Ejemplo
20 -30 900 20 -30
40 -10 100 49
50 0 0 50
60 10 100 51
80 30 900 80

Medidas num´ericas
Ejemplo
20 -30 900 20 -30
40 -10 100 49 -1
50 0 0 50 0
60 10 100 51 1
80 30 900 80 30

Medidas num´ericas
Ejemplo
20 -30 900 20 -30 900
40 -10 100 49 -1
50 0 0 50 0
60 10 100 51 1
80 30 900 80 30

Medidas num´ericas
Ejemplo
20 -30 900 20 -30 900
40 -10 100 49 -1 1
50 0 0 50 0 0
60 10 100 51 1 1
80 30 900 80 30 900

Medidas num´ericas
Ejemplo
20 -30 900 20 -30 900
40 -10 100 49 -1 1
50 0 0 50 0 0
60 10 100 51 1 1
80 30 900 80 30 900
Total 2000 Total 1802

Medidas num´ericas
Ejemplo
20 -30 900 20 -30 900
40 -10 100 49 -1 1
50 0 0 50 0 0
60 10 100 51 1 1
80 30 900 80 30 900
Las varianzas muestrales son entonces:
s2
oc =
2000
4
=

Medidas num´ericas
Ejemplo
20 -30 900 20 -30 900
40 -10 100 49 -1 1
50 0 0 50 0 0
60 10 100 51 1 1
80 30 900 80 30 900
s2
oc =
2000
4
= 500

Medidas num´ericas
Ejemplo
20 -30 900 20 -30 900
40 -10 100 49 -1 1
50 0 0 50 0 0
60 10 100 51 1 1
80 30 900 80 30 900
s2
oc =
2000
4
= 500 y s2
o =
1802
4
=

Medidas num´ericas
Ejemplo
20 -30 900 20 -30 900
40 -10 100 49 -1 1
50 0 0 50 0 0
60 10 100 51 1 1
80 30 900 80 30 900
s2
oc =
2000
4
= 500 y s2
o =
1802
4
= 450.5

Medidas num´ericas
Propiedades de la varianza
1 La varianza es un estad´ıstico importante que se utiliza en
algunos m´etodos estad´ısticos relevantes.

Medidas num´ericas
2 Toma en cuenta las variaciones de todos los datos con
respecto de la media.

Medidas num´ericas
3 La varianza es un valor que nunca es negativo y solo es
cero cuando todos los valores de los datos son iguales.

Medidas num´ericas
3 La varianza es un valor que nunca es negativo y solo es
cero cuando todos los valores de los datos son iguales.
4 Una desventaja de la varianza es que no est´a en las mismas
unidades que el conjunto original de datos.

Medidas numéricas
Desviación estándar
Es la ra´ız cuadrada de la varianza.

Medidas numéricas
La desviación estándar se denota por σ cuando se trata de un
valor poblacional y por s cuando es un valor muestral.

Medidas numéricas
valor poblacional y por s cuando es un valor muestral. Tenemos
por definición que:

Medidas num´ericas
σ =
N
i=1
(xi − µ)2
N

Medidas num´ericas
σ =
N
i=1
(xi − µ)2
N
y s =
n
i=1
(xi − x)2
(n − 1)

Medidas num´ericas
Para el ejemplo de las tiendas Starbucks,
soc =
√
500 = 22.4 y so =
√
450.5 = 21.2

Medidas numéricas
Fórmula alternativa para la desviación estándar de una
muestra:
s =
n
n
i=1
(x2
i ) −
n
i=1
xi
2
n(n − 1)

Medidas numéricas
Fórmula alternativa para la desviación estándar de una
muestra:
s =
n
n
i=1
(x2
i ) −
n
i=1
xi
2
n(n − 1)
Esta fórumla es más fácil de usar y elimina los errores de
redondeo intermedios que se introducen en el cálculo de la
desviación estándar, cuando no se utiliza el valor exacto de la
media.

Medidas numéricas
Ejemplo.
Usemos la fórmula anterior para calcular nuevamente la
desviación estándar para los datos de la tienda Starbucks del
aeropuerto de Orange County:
Orange County
xi xi − x (xi − x)2 xi x2
i
20 -30 900 20
40 -10 100 40
50 0 0 50
60 10 100 60
80 30 900 80

Medidas num´ericas
Ejemplo.
Orange County
i
20 -30 900 20 400
40 -10 100 40
50 0 0 50
60 10 100 60
80 30 900 80

Medidas num´ericas
Ejemplo.
Orange County
i
20 -30 900 20 400
40 -10 100 40 1600
50 0 0 50 2500
60 10 100 60 3600
80 30 900 80 6400

Medidas num´ericas
Ejemplo.
Orange County
i
20 -30 900 20 400
40 -10 100 40 1600
50 0 0 50 2500
60 10 100 60 3600
80 30 900 80 6400
Total 2000 250 14500

Medidas num´ericas
As´ı
s =
5(14500) − (250)2
5(5 − 1)

Medidas num´ericas
As´ı
s =
5(14500) − (250)2
5(5 − 1)
=
10000
20

Medidas num´ericas
As´ı
s =
5(14500) − (250)2
5(5 − 1)
=
10000
20
=
√
500

Medidas num´ericas
As´ı
s =
5(14500) − (250)2
5(5 − 1)
=
10000
20
=
√
500
= 22.4

Medidas num´ericas
As´ı
s =
5(14500) − (250)2
5(5 − 1)
=
10000
20
=
√
500
= 22.4
que es el valor obtenido antes.

Medidas numéricas
Propiedades de la desviación estándar

Medidas numéricas
2 La desviación estándar nunca es negativa y solo es cero
cuando todos los valores de los datos son iguales.

Medidas num´ericas
3 A mayor valor de s se tiene mayor variaci´on en los datos.

Medidas numéricas
4 El valor de la desviación estándar puede aumentar
drásticamente si se incluyen uno o más valores extremos.

Medidas numéricas
4 El valor de la desviación estándar puede aumentar
drásticamente si se incluyen uno o más valores extremos.
5 Las unidades de la desviación estándar son las mismas que
las unidades del conjunto original de datos.

Medidas numéricas
Interpretación de la desviación estándar
La desviación estándar se utiliza para medir la variación entre
los valores de un conjunto de datos. Si los valores son cercanos
entre s´ı, la desviación estándar será pequeña, pero si los datos
están muy dispersos, la desviación estándar será más grande.

Medidas numéricas
Interpretación de la desviación estándar
La desviación estándar se utiliza para medir la variación entre
los valores de un conjunto de datos. Si los valores son cercanos
entre s´ı, la desviación estándar será pequeña, pero si los datos
están muy dispersos, la desviación estándar será más grande.
También se usa para comparar la variación de dos o más
conjuntos de datos.

Medidas numéricas
Coeficiente de variación
Como la desviación estándar tiene las mismas unidades que el
conjunto original de datos, su uso para comparar la variación de
valores tomados de distintas poblaciones es restringido.

Medidas numéricas
Como la desviación estándar tiene las mismas unidades que el
conjunto original de datos, su uso para comparar la variación de
valores tomados de distintas poblaciones es restringido.
Un valor que resuelve este problema, pues carece de unidades,
es el coeficiente de variación.

Medidas numéricas
Es un porcentaje que indica qué tan grande es la desviación
estándar en relación con la media, puede calcularse tanto para
datos muestrales como para datos poblacionales. Se denota por
CV y se define como
CV =
desviación estándar
media
· 100 %

Medidas numéricas
Es un porcentaje que indica qué tan grande es la desviación
estándar en relación con la media, puede calcularse tanto para
datos muestrales como para datos poblacionales. Se denota por
CV y se define como
CV =
desviación estándar
media
· 100 %
Esto es,
Para una muestra: CV =
s
x
· 100 %
Para una población: CV =
σ
µ
· 100 %

Medidas num´ericas
Ejemplo
A continuaci´on se muestran los valores de las estataturas (en
cm) de 40 hombres seleccionados al azar [3],
179.8 168.1 182.1 174.5 171.7 175.8 168.9 170.7 173.5 166.6
160.0 173.5 185.7 171.7 172.7 180.3 155.7 193.5 168.4 177.0
166.1 177.8 159.8 174.0 173.5 176.3 175.8 172.7 182.6 167.9
183.9 185.4 172.7 174.5 178.6 161.8 180.6 166.6 173.5 168.4

Medidas num´ericas
Ejemplo
A continuaci´on se muestran los valores de las estataturas (en
cm) de 40 hombres seleccionados al azar [3],
179.8 168.1 182.1 174.5 171.7 175.8 168.9 170.7 173.5 166.6
160.0 173.5 185.7 171.7 172.7 180.3 155.7 193.5 168.4 177.0
166.1 177.8 159.8 174.0 173.5 176.3 175.8 172.7 182.6 167.9
183.9 185.4 172.7 174.5 178.6 161.8 180.6 166.6 173.5 168.4
y sus correspondientes estaturas (en kg),
76.7 65.4 81.3 79.7 69.2 75.7 61.2 91.4 79.5 63.0
70.9 84.6 86.7 68.6 95.0 107.5 80.1 100.1 75.3 62.3
74.5 73.7 68.9 65.4 92.8 87.9 78.4 73.4 79.3 77.0
96.8 89.8 78.6 97.3 62.2 54.2 85.8 74.7 77.2 68.5

Medidas numéricas
Para estos datos tenemos
Media (x) Desviación estándar (s)
Estatura 173.57 7.67
Peso 78.27 11.94

Medidas numéricas
Peso 78.27 11.94
Por tanto, los coeficientes de variación son:

Medidas num´ericas
Peso 78.27 11.94
Estatura: CV =
s
x
· 100 % =
7.67
173.57
· 100 % = 4.42 %

Medidas num´ericas
Peso 78.27 11.94
Estatura: CV =
s
x
· 100 % =
7.67
173.57
· 100 % = 4.42 %
Peso: CV =
s
x
· 100 % =
11.94
78.27
· 100 % = 15.25 %

Medidas numéricas
Obsérvese que las desviaciones estándar de estos conjuntos de
datos no pueden compararse directamente pues la primera
está en cent´ımetros y la segunda en kilogramos.

Medidas numéricas
Sin embargo, comparando los coeficientes de variación de
ambas muestras, vemos que las estaturas (CV = 4.42 %) tienen
una variación considerablemente menor que los pesos
(CV = 15.26 %).

Medidas numéricas
Sin embargo, comparando los coeficientes de variación de
ambas muestras, vemos que las estaturas (CV = 4.42 %) tienen
una variación considerablemente menor que los pesos
(CV = 15.26 %). ¿Tiene sentido esta observación?

Medidas num´ericas
Sesgo
En datos con sesgo a la izquierda, la media y la mediana se
encuentran a la izquierda de la moda. (Los datos sesgados a la
izquierda suelen tener una media menor a la mediana).

Medidas num´ericas
Sesgo
En datos con sesgo a la izquierda, la media y la mediana se
encuentran a la izquierda de la moda. (Los datos sesgados a la
izquierda suelen tener una media menor a la mediana).
En datos con sesgo a la derecha, la media y la mediana se
encuentran a la derecha de la moda. (En los datos sesgados a la
derecha la media suele estar a la derecha de la mediana).

Medidas num´ericas
La siguiente ﬁgura fue tomada de [3].

Medidas numéricas
Regla emp´ırica para datos con distribución normal
En un conjunto de datos con una distribución
aproximadamente normal, se cumplen las siguientes
propiedades:

Medidas numéricas
propiedades:
1 Aproximadamente el 68 % de todos los valores están dentro
de una desviación estándar de la media.

Medidas num´ericas
propiedades:
de 2 desviaciones est´andar de la media.

Medidas numéricas
propiedades:
de 2 desviaciones estándar de la media.
3 Aproximadamente el 99.7 % (prácticamente todos) de los
valores están dentro de 3 desviaciones estándar de la media.

Medidas num´ericas
La siguiente ﬁgura ilustra la regla emp´ırica [3].

Medidas numéricas
Ejemplo
Las puntuaciones de CI tienen una distribución normal, con
una media de 100 y una desviación estándar de 15. Con esta
información se pueden responder preguntas como las siguientes:

Medidas num´ericas
Ejemplo
1 ¿Entre qu´e puntuaciones se encuentra el CI del 68 % de las
personas?

Medidas numéricas
Ejemplo
1 ¿Entre qué puntuaciones se encuentra el CI del 68 % de las
personas?
2 ¿Qué porcentaje de las puntuaciones se ubican entre 70 y
130?

Medidas numéricas
Para responder las preguntas, usamos la regla emp´ırica. De
acuerdo con esta, el 68 % de las puntuaciones se encuentra
dentro de una desviación estándar de la media, es decir, entre
los valores
100 − 15 y 100 + 15,

Medidas num´ericas
los valores
100 − 15 y 100 + 15,
se concluye que el 68 % de las puntuaciones se encuentran entre
85 y 115.
Para la segunda pregunta, observamos que
70 = 100 − 2(15) y 130 = 100 + 2(15),

Medidas numéricas
los valores
100 − 15 y 100 + 15,
se concluye que el 68 % de las puntuaciones se encuentran entre
85 y 115.
Para la segunda pregunta, observamos que
70 = 100 − 2(15) y 130 = 100 + 2(15),
es decir, 70 y 130 están exactamente a dos desviaciones
estándar de la media, as´ı que de la regla emp´ırica concluimos
que el 95 % de las puntuaciones están entre 70 y 130.

Medidas numéricas
Teorema de Chebyshev
En cualquer conjunto de datos, si z es un valor positivo mayor
que 1, la proporción de los valores que se encuentran dentro de
z desviaciones estándar de la media es por lo menos 1 − 1/z2.

Medidas numéricas
Teorema de Chebyshev
En cualquer conjunto de datos, si z es un valor positivo mayor
que 1, la proporción de los valores que se encuentran dentro de
z desviaciones estándar de la media es por lo menos 1 − 1/z2.
Por ejemplo, la proporción de valores que se encuentran a dos
desviaciones estándar de la media es por lo menos:
1 −
1
z2
= 1 −
1
4
= 3/4,
esto es, por lo menos el 75 % de los valores.

Medidas numéricas
La proporción de valores que se encuentran a tres
desviaciones estándar de la media es por lo menos:
1 −
1
z2
= 1 −
1
9
= 8/9,
es decir, por lo menos el 89 % de los valores.

Medidas numéricas
Ejemplo
Suponga que en las calificaciones obtenidas por 100 estudiantes
en un examen de estad´ıstica la media es 70 y la desviación
estándar es 5. El teorema de Chebyshev permite responder
preguntas como las siguientes:
1 ¿Qué proporción de los estudiantes obtuvo puntuaciones
entre 60 y 80?

Medidas numéricas
Ejemplo
Suponga que en las calificaciones obtenidas por 100 estudiantes
en un examen de estad´ıstica la media es 70 y la desviación
estándar es 5. El teorema de Chebyshev permite responder
preguntas como las siguientes:
1 ¿Qué proporción de los estudiantes obtuvo puntuaciones
entre 60 y 80?
2 ¿Qué proporción obtuvo puntuaciones entre 58 y 82?

Medidas numéricas
Para responder la primera pregunta, se observa que 60
está dos desviacones estándar por debajo de la media y 80
está dos desviaciones estándar sobre la media.

Medidas numéricas
Para responder la primera pregunta, se observa que 60
está dos desviacones estándar por debajo de la media y 80
está dos desviaciones estándar sobre la media. El teorema de
Chebyshev nos dice que la proporción de estudiantes cuya
puntuación está entre 60 y 80 es por lo menos
1 −
1
4
= 3/4,
es decir, por lo menos el 75 % de los estudiantes tienen
una puntuación entre 60 y 80.

Medidas numéricas
Para la segunda pregunta, debemos determinar a cuántas
desviaciones estándar de la media se encuentran los valores 58 y
82. Para ello resolvemos las ecuaciones:
58 = 70 − 5z y 82 = 70 + 5z

Medidas num´ericas
58 = 70 − 5z y 82 = 70 + 5z
esto es
z = (70 − 58)/5 = 2.4 y z = (82 − 70)/5 = 2.4

Medidas numéricas
58 = 70 − 5z y 82 = 70 + 5z
esto es
z = (70 − 58)/5 = 2.4 y z = (82 − 70)/5 = 2.4
as´ı que 58 se encuentra 2.4 desviaciones estándar por debajo de
la media y 82 dos desviaciones estándar por arriba.

Medidas numéricas
58 = 70 − 5z y 82 = 70 + 5z
esto es
z = (70 − 58)/5 = 2.4 y z = (82 − 70)/5 = 2.4
as´ı que 58 se encuentra 2.4 desviaciones estándar por debajo de
la media y 82 dos desviaciones estándar por arriba. El teorema
de Chebyshev nos dice que la proporción de estudiantes cuya
puntuación está entre 58 y 82 es por lo menos
1 −
1
(2.4)2
= 0.826,
es decir, por lo menos el 82.6 % de los estudiantes tienen
una puntuación entre 58 y 82.

Medidas numéricas
Referencias
[1] Anderson, D., Sweeney D. y Thomas W., Estad´ıstica para
administración y econom´ıa, Thompson Editores, México,
2008.
[2] Lind, D., Marchal, W. y Wathen, S., Estad´ıstica aplicada a
los negocios y la econom´ıa, McGraw-Hill interamericana,
México, 2012.
[3] Triola, M., Estad´ıstica, Pearson Educación, México, 2009,
pp. 75-86.

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