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FORMULARIO DE CÁLCULO II
GEOMETRÍA ANALÍTICA EN EL ESPACIO
VECTOR ⃗⃗⃗
⃗⃗⃗ Punto final
⃗⃗⃗
Punto inicial
Norma (magnitud, módulo)
⃗⃗⃗ √
Vectores paralelos ⃗⃗⃗ y ⃗⃗⃗
⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗
Vectores ortogonales ⃗⃗⃗ y ⃗⃗
⃗⃗⃗ ⃗⃗
Producto escalar
⃗⃗⃗
⃗⃗
⃗⃗⃗ ⃗⃗
Producto vectorial ⃗⃗⃗ ⃗⃗
⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗ |
⃗ ⃗⃗ ⃗⃗⃗
| (| | | | | |)
Proyección ortogonal ⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗
| ⃗⃗ |
⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗
Ángulo entre dos vectores ⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ‖⃗⃗⃗⃗ ‖‖⃗⃗⃗ ‖ ⃗⃗⃗
‖⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ‖ ‖⃗⃗⃗⃗ ‖‖⃗⃗⃗ ‖
Vector unitario de ⃗⃗⃗
⃗
‖⃗⃗⃗⃗ ‖
⃗⃗⃗⃗
La ley del paralelogramo ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ Área = ‖⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ‖
Vector bisectriz entre ⃗⃗⃗ y ⃗⃗ ⃗⃗⃗
‖⃗⃗⃗ ‖
⃗⃗⃗ ‖⃗⃗ ‖
⃗⃗ =
‖ ⃗⃗⃗⃗ ‖ ⃗⃗⃗ ‖ ⃗⃗⃗⃗ ‖ ⃗⃗⃗⃗
‖⃗⃗⃗⃗ ‖‖⃗⃗⃗⃗ ‖
Volumen paralelepípedo |⃗⃗⃗ ( ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ )| Volumen tetraedro |⃗⃗⃗ ( ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ )|
FAMILIA DE PLANOS ( HAZ DE PLANOS)
LA RECTA Punto ; Vector dirección ⃗⃗⃗
⃗
EL PLANO Punto del plano Vector normal ⃗⃗⃗
⃗
DISTANCIA PUNTO – RECTA
Punto Recta ⃗
‖⃗⃗⃗ ‖
‖⃗⃗⃗ ‖
‖ (
⃗⃗⃗⃗
||⃗⃗⃗ ||
) ⃗⃗⃗⃗ ‖
DISTANCIA PUNTO – PLANO
Punto Plano ⃗
⃗⃗⃗
‖⃗⃗⃗ ‖ √
DISTANCIA ENTRE DOS RECTAS (Alabeadas)
NO PARALELAS QUE NO SE CORTAN
Rectas ⃗
⃗⃗⃗ ⃗⃗
‖⃗⃗⃗ ⃗⃗ ‖
SUPERFICIES
ESFERA Centro Radio R COMPLETAR CUADRADOS ( ) ( )
SUPERFICIES CUADRÁTICAS
Elipsóide Hiperboloide de dos hojas
Cono recto Paraboloide elíptico
Hiperboloide de una hoja Paraboloide hiperbólico
FUNCIONES CURVILÍNEAS ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ Longitud de curva ∫ Tangente ⃗ ⃗⃗⃗
‖⃗⃗⃗ ‖
Binormal ⃗
⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
‖⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ‖
Curvatura
‖⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ‖
‖⃗⃗⃗ ‖
Radio de curvatura Normal ⃗⃗
(⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) ⃗⃗⃗⃗
‖(⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) ⃗⃗⃗⃗ ‖
Torsión
(⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
‖⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ‖
FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES
LIMITES ITERADOS ( )
Si los límites iterados son entonces no existe el límite en el punto
PRIMERA DERIVADA DE ⃗⃗⃗⃗⃗
SEGUNDA DERIVADA ( MATRIZ HESSIANA) DE Y DE
( ) ;
( )
DIFERENCIAL DE
2da DIFERENCIAL DE ( )
DERIVADA IMPLÍCITA
,
| |
| |
;
| |
| |
;
| |
| |
;
| |
| |
⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗
⃗⃗
⃗⃗⃗ ⃗⃗
2. REGLA DE LA CADENA
Desarrollando tenemos
DERIVADAS PARCIALES DE DERIVADA DIRECCIONAL ( ⃗ debe ser vector unitario)
Por definición ⃗⃗
( ⃗⃗ )
Por cálculo directo ⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗
SIGNIFICADO DE LA DERIVADA ( donde , ) ( )
( ⃗ ) ⃗⃗ ( usando derivada direccional )
CRITERIO PARA HALLAR MÁXIMOS Y MÍNIMOS PARA
FUNCIONES DE 2 VARIABLES
; ( )
CRITERIO PARA HALLAR MÁXIMOS Y MÍNIMOS PARA FUNCIONES DE 3 VARIABLES
; ( ) ;
( )
MÁXIMOS Y MÍNIMOS CONDICIONADOS (MULTIPLICADORES DE LAGRANGE) Función: Condición: ; ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
INTEGRALES MÚLTIPLES
ÁREA ∬ ∬ MASA: ∬ DENSIDAD MEDIA: ̅ TEOREMA DE PAPPUS: ̅
CENTRO DE MASAS ( CENTROIDE,
CENTRO DE GRAVEDAD)
̅
∬
∬
, ̅
∬
∬
INERCIAS
∬ ,
∬ ,
VOLUMEN DE REVOLUCIÓN
∬
∬
Alrededor de la recta ∬
Alrededor de la recta ∬
VOLUMEN
∬ ∭
MASA
∭
CENTRO DE MASAS (CENTROIDE, CENTRO DE GRAVEDAD)
̅
∭
∭
̅
∭
∭
̅
∭
∭
INERCIAS CON LOS PLANOS COORDENADOS ∭ ∭ ∭
INERCIA POLAR ∭
INERCIAS CON LOS EJES COORDENADOS
∭ , ∭ , ∭ ,
AREAS DE SUPERFICIES
∬ √
COORDENADAS POLARES
( )
;
( )
COORDENADAS CILÍNDRICAS
( ) ; ( )
COORDENADAS ESFÉRICAS
(
√
)
; ( )
INTEGRALES DE LINEA Y SUPERFICIES ∫ √ ( ) ∫ √ ( ) ∫ √( ) ( )
∫ ∫ ∫
TEOREMA DE GREEN ∮ ∬ ( )
AREAS POR INTEGRALES DE LINEA ∮
TEOREMA DE LA DIVERGENCIA (GAUSS) ∯ ⃗ ∭ ⃗⃗
TEOREMA DE STOKES ∮ ⃗⃗ ∬(⃗⃗ ) ⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗
SERIE P
∑ Si:
SERIE GEOMÉTRICA
∑ Si:
Si es la suma se halla con:
∑ ∑ , ∑
CRITERIOS DE CONVERGENCIA
Criterio de comparación
Si:
Criterio de límite de comparación
Criterio del cociente
Criterio de la raíz
√
Criterio de Raabe
Criterio de la integral
∫
SERIE DE TÉRMINOS ALTERNOS
La serie alterna ∑ es Cv si:
Si: ∑ es y ∑ es ; ∑
Si: ∑ es y ∑ es
; ∑
SERIE DE POTENCIAS Para determinar el intervalo de convergencia | |
Serie de Taylor ( ) …
Serie de Mc-Laurin …