Teoría de Campos Electromagnéticos
Tema 1: Revisión de conceptos: Análisis Vectorial
- Sistema de coordenadas y su transformación
- Cálculo aplicado a vectores
RETO MES DE ABRIL .............................docx
Tema 1: Revisión de conceptos: Análisis Vectorial
1. Teoría de Campos Electromagnéticos
Francisco Sandoval
Abril – Agosto 2014
2. Agenda
Preámbulo
Presentación del Plan Académico
Introducción
Algebra vectorial.
Sistemas de Coordenadas y su transformación.
Cálculo aplicado a vectores.
4. Def. Electromagnetismo
Electromagnetismo es la rama de la física o ingeniería que estudia
los fenómenos eléctricos y magnéticos
microondas antenas
Maquinaria
eléctrica
Comunicaciones
satelitales
Investigación
nuclear
Fibra óptica
Interferencia y
Compatibilidad
electromagnéticas
Meteorología por
radar
…
6. Escalares y Vectores
Escalar: cantidad que sólo posee magnitud
Vector: cantidad que posee tanto magnitud
como dirección
Campo: función que especifica una cantidad particular en cualquier
parte de una región
• Tiempo
• Masa
• Distancia
• Temperatura
• …
• Velocidad
• Fuerza
• Intensidad del campo
eléctrico
• desplazamiento
7. Vector Unitario
Vector 𝑨: magnitud (escalar 𝑨 ) y dirección
Vector unitario 𝒂 𝐴: vector cuya magnitud equivale a
la unidad y cuya dirección sigue la dirección de 𝑨
𝒂 𝐴 =
𝑨
𝑨
• Representación
• Componentes
8. Adición y Sustracción de Vectores
SUMA
SUSTRACCIÓN
Regla del paralelogramo
Regla del triángulo
Regla del triángulo
Propiedades:
• Conmutativa
• Asociativa
• Distributiva
9. Multiplicación de Vectores
Producto Punto o Escalar (𝑨 ∙ 𝑩): (def. geométrica) producto de las magnitudes
de 𝑨 y 𝑩 y el cosemo del ángulo entre ellos
𝑨 ∙ 𝑩 = 𝐴𝐵 cos 𝜃 𝐴𝐵
Si:
𝑨 = (𝐴 𝑥, 𝐴 𝑦, 𝐴 𝑧)
𝑩 = (𝐵𝑥, 𝐵𝑦, 𝐵𝑧)
𝑨 ∙ 𝑩 = 𝐴 𝑥 𝐵𝑥 + 𝐴 𝑦 𝐵𝑦 + 𝐴 𝑧 𝐵𝑧
Propiedades:
• Conmutativa
• Distributiva
Vectores ortogonales: 𝑨 ∙ 𝑩 = 𝟎
10. Multiplicación de Vectores
Producto Cruz o vectorial (𝑨 × 𝑩): cantidad vectorial cuya magnitud es el área
del paralelogramo formado por 𝑨 y 𝑩 y cuya dirección equivale a la dirección de
avance de un tornillo de rosca derecha cuando 𝑨 se hace girar hacia 𝑩.
𝑨 × 𝑩 = 𝐴𝐵 sen 𝜃 𝐴𝐵 𝒂 𝑛
Si:
𝑨 = (𝐴 𝑥, 𝐴 𝑦, 𝐴 𝑧)
𝑩 = (𝐵𝑥, 𝐵𝑦, 𝐵𝑧) 𝑨 × 𝑩 =
𝒂 𝑥 𝒂 𝑦 𝒂 𝑧
𝐴 𝑥 𝐴 𝑦 𝐴 𝑧
𝐵𝑥 𝐵𝑦 𝐵𝑧
Propiedades:
• No Conmutativo
• No asociativo
• Distributivo
• 𝑨 × 𝑨 = 0
28. Integral de línea
𝐿
𝑨 ∙ 𝑑𝐥 es la integral de la componente tangencial de 𝑨 a lo largo de la curva
L.
න
𝐿
𝑨 ∙ 𝑑𝐥 = න
𝑎
𝑏
𝑨 𝑐𝑜𝑠 𝜃 𝑑𝑙
A campo vectorial
L curva
29. Integral de superficie y volumen
Integral de superficie:
𝜓 = න
𝑆
𝑨 ∙ 𝑑𝑺
Integral de volumen:
න
𝑣
𝜌 𝑣 𝑑𝑣
30. Operador gradiente (𝛻)
𝛻 =
𝜕
𝜕𝑥
𝒂 𝑥 +
𝜕
𝜕𝑦
𝒂 𝑦 +
𝜕
𝜕𝑧
𝒂 𝑧
Operador útil para definir:
1. El gradiente de un escalarV, el cual se escribe 𝛻𝑉.
2. La divergencia de un vector 𝑨, la cual se escribe 𝛻 ∙ 𝑨
3. El rotacional de un vector 𝑨, el cual se escribe 𝛻 × 𝑨
4. El laplaciano de un escalar 𝑉, el cual se escribe 𝛻2
𝑉.
𝛻 = 𝒂 𝜌
𝜕
𝜕𝜌
+ 𝒂 𝜙
1
𝜌
𝜕
𝜕𝜙
+ 𝒂 𝑧
𝜕
𝜕𝑧
C. cilíndricas:
𝛻 = 𝒂 𝑟
𝜕
𝜕𝑟
+ 𝒂 𝜃
1
𝑟
𝜕
𝜕𝜃
+ 𝒂 𝜙
1
𝑟 sen 𝜃
𝜕
𝜕𝜙
C. esféricas:
31. Gradiente de un Escalar
El gradiente de un campo escalar 𝑉 es un vector que representa tanto la magnitud
como la dirección de la máxima rapidez de incremento espacial de 𝑉.
𝛻𝑉 =
𝜕𝑉
𝜕𝑥
𝒂 𝑥 +
𝜕𝑉
𝜕𝑦
𝒂 𝑦 +
𝜕𝑉
𝜕𝑧
𝒂 𝑧C. rectangulares:
𝛻𝑉 = 𝒂 𝜌
𝜕𝑉
𝜕𝜌
+ 𝒂 𝜙
1
𝜌
𝜕𝑉
𝜕𝜙
+ 𝒂 𝑧
𝜕𝑉
𝜕𝑧
C. cilíndricas:
𝛻𝑉 = 𝒂 𝑟
𝜕𝑉
𝜕𝑟
+ 𝒂 𝜃
1
𝑟
𝜕𝑉
𝜕𝜃
+ 𝒂 𝜙
1
𝑟 sen 𝜃
𝜕𝑉
𝜕𝜙
C. esféricas:
32. Divergencia de un vector
La divergencia de 𝑨 en un punto dado P es el flujo hacia fuera por unidad de
volumen a medida que el volumen se contrae alrededor de P.
𝛻 ∙ 𝑨 =
𝜕𝐴 𝑥
𝜕𝑥
+
𝜕𝐴 𝑦
𝜕𝑦
+
𝜕𝐴 𝑧
𝜕𝑥
C. rectangulares:
𝛻 ∙ 𝑨 =
1
𝜌
𝜕
𝜕𝜌
(𝜌 𝐴 𝜌) +
1
𝜌
𝜕𝐴 𝜙
𝜕𝜙
+ 𝒂 𝑧
𝜕𝐴 𝑧
𝜕𝑧
C. cilíndricas:
𝛻 ∙ 𝑨 =
1
𝑟2
𝜕
𝜕𝑟
(𝑟2 𝐴 𝑟) +
1
𝑟 sen 𝜃
𝜕
𝜕𝜃
(𝐴 𝜃 sen 𝜃) +
1
𝑟 sen 𝜃
𝜕𝐴 𝜙
𝜕𝜙
C. esféricas:
33. Teorema de la Divergencia
El teorema de la divergencia establece que el flujo total hacia fuera de un campo
vectorial 𝑨 a través de la superficie cerrada 𝑆 equivale a la integral de volumen de la
divergencia de 𝑨.
ර
𝑆
𝑨 ∙ 𝑑𝑺 = න
𝑣
𝛻 ∙ 𝑨 𝑑𝑣
34. Rotacional de un vector
El rotacional de 𝑨 es un vector axial (o rotacional) cuya magnitud es la circulación
máxima de 𝑨 por unidad de área conforme el área tiende a cero y cuya dirección es
la dirección normal del área cuando el área se orienta de tal forma que de ello
resulta la circulación máxima.
𝛻 × 𝑨 =
𝜕𝐴 𝑧
𝜕𝑦
−
𝜕𝐴 𝑦
𝜕𝑧
𝒂 𝑥 +
𝜕𝐴 𝑥
𝜕𝑧
−
𝜕𝐴 𝑧
𝜕𝑥
𝒂 𝑦 +
𝜕𝐴 𝑦
𝜕𝑥
−
𝜕𝐴 𝑥
𝜕𝑦
𝒂 𝑧
C. Rectangulares
𝛻 × 𝑨 =
1
𝜌
𝜕𝐴 𝑧
𝜕𝜙
−
𝜕𝐴 𝜙
𝜕𝑧
𝒂 𝜌 +
𝜕𝐴 𝜌
𝜕𝑧
−
𝜕𝐴 𝑧
𝜕𝜌
𝒂 𝜙 +
1
𝜌
𝜕(𝜌𝐴 𝜙)
𝜕𝜌
−
𝜕𝐴 𝜌
𝜕𝜙
𝒂 𝑧
C. Cilíndricas
𝛻 × 𝑨 =
C. Esféricas
35. Teorema de Stokes
El teorema de Stokes establece que la circulación de un campo vectorial 𝑨 alrededor
de una trayectoria (cerrada) 𝐿 es igual a la integral de superficie del rotacional de 𝑨
sobre la superficie abierta 𝑆 circunscrita por 𝐿, siempre que 𝑨 y 𝛻 × 𝑨 sean
continuos en 𝑆.
ර
𝐿
𝑨 ∙ 𝑑𝐥 = න
𝑆
(𝛻 × 𝑨) ∙ 𝑑𝑺
36. Laplaciano de un Escalar
El laplaciano de un campo escalar 𝑉, el cual se escribe 𝛻2
𝑉, es la divergencia del
gradiente de 𝑉.
𝛻2
𝑉 =
𝜕2 𝑉
𝜕𝑥2
𝒂 𝑥 +
𝜕2 𝑉
𝜕𝑦2
𝒂 𝑦 +
𝜕2 𝑉
𝜕𝑧2
𝒂 𝑧
C. rectangulares:
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