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Comprensión de la estructura de las fracciones, decimales y porcentajes Elena Escribano Picazo Mª Dolores Navarrete Pérez Celia Utiel García Llanos Cifuentes Lavara
    Equivalencia de fracciones
CONOCEMOS LA EQUIVALENCIA Las fracciones equivalentes tienen el mismo valor, es decir, representan lo mismo.                         =                    = 1/2     =       2/4         =     4/8 Se forma una fracción equivalente al multiplicar o dividir el numerador y denominador por un mismo número. 1/2 = 2/4 =4/8                   18/36 = 6/12 = 1/2  x2x2÷3        ÷6
Todos los números racionales se pueden representar por fracciones equivalentes:      3==         -6= =                2.2=     = Se define la equivalencia:  =    ⇒ad=bc
PARA QUÉ CONOCER LA EQUIVALENCIA DE FRACCIONES: Para comparar tamaños de fracciones o decimales: -¿Cuál es mayor, 2/5 o 7/15? Para realizar operaciones con fracciones    (sumas, restas…)
Para convertir las fracciones en decimales y porcentajes X25         ¾     75/100  = 0.75 =75% X25  X333           1/3       333/999 = 0.333 = 33.3% X333
CÓMO CONOCER LA EQUIVALENCIA Se introduce a partir de aspectos como el área y los conjuntos. Por ejemplo:
                           HART   Se les pedía a los niños de 12 y 13 años que: -Coloreasen una cantidad dada en fracción (2/3) sobre figuras geométricas (un hexágono).     -Rodeasen un número determinado de bolas (3/5), de un conjunto de éstas (15). Se observó que era más fácil introducir la equivalencia a través de los conjuntos.
PAYNE La equivalencia causaba dificultades al simplificar a fracción irreducible:       3/9 =1/3
                           BOHAN Comparó con niños de 11 años qué método era más eficaz: -Diagramas de área -Multiplicación por 1    3/4 = ¾ x 1=3/4 x 3/3= 9/12 -Plegado de papel
   Aun así, más de la mitad de los niños fallaron al simplificar una fracción a su irreducible, mientras que el 75% sí que formaba fracciones equivalentes cuando se trataba de formar una fracción mayor.
             COBURN, STEFFE Y PARR Trataron si era más sencillo introducir la equivalencia por medio de la razón (relacionada con los conjuntos) o por medio del área. Las pruebas no son concluyentes, no se sabe cuál es el mejor método.
Selección de resultados sobre equivalencia de fracciones (De Hart, 1980) Es difícil saber si los niños que obtuvieron resultados correctos en estas cuestiones están demostrando auténtica comprensión de la equivalencia y no limitándose a detectar pautas o regularidades. Por ejemplo, Hart cita respuestas del tipo: «2/7 = 10/15 porque 2 son menos que 7 y queremos un número que sea 5 menos que 15. (Hart, 1981).»
Respuestas a una pregunta sobre equivalencia (NAEP, 1980) Sugiere que la confusión subyacente a la noción de equivalencia es seguramente considerable.
En una situación más estricta, en la que no bastaba con la mera detección de problemas numéricos sencillos, el porcentaje de niños capaces de resolverla muestra un abrupto descenso. Por ejemplo, en la última parte de la cuestión de CSMS. 2/7=   /14 = 10/ La tasa de éxito varió desde sólo el 24% de los niños de 12 años al 31% de los chicos de 15 (Hart, 1980).
Problemas de enunciado para examinar la noción de equivalencia (Hart, Ward).
APLICACIÓN DEL CONCEPTO DE EQUIVALENCIA A LA ORDENACIÓN DE FRACCIONES Y A LA CONVERSIÓN DE FRACCIONES, EN DECIMALES Y PORCENTAJES
La idea de equivalencia es importante también en lo que concierne a la capacidad de ordenar fracciones y razones. Los niños no siempre se percatan fácilmente de que las fracciones son números, y que por su naturaleza de tales llenan en parte los huecos que dejan los números enteros en la recta numérica.
Puede no resultarles claro que, dadas dos fracciones, o bien son equivalentes y representan, por lo tanto, el mismo número, o uno de ellos representa un número mayor que la otra.  En casos sencillos, el mecanismo de esta comparación consiste normalmente en hallar formas equivalentes apropiadas para una o ambas fracciones.
La dificultad de la comparación de dos fracciones puede variar grandemente dependiendo de los números que figuren en los numeradores y denominadores. Hart(1980) observó que el 66% de los chicos de 15 años se daban cuenta de que 3/10 era mayor que 1/15, mientras que en la encuesta NAEP, solamente el 3% de los chicos de 13 años supieron determinar cuál de los números ¼, 5/32, 5/16, 3/8 se encontraba más próximo a 3/16.
Noelting diseñó un concienzudo experimento destinado a examinar  la dificultad a examinar la dificultad relativa de la comparación de diferentes razones.  La situación concreta de que se valió consistió en la preparación de naranjada, preguntando a los niños cuál de las combinaciones del dibujo producirá a mezcla más fuerte:                                Ó
Halló que los alumnos resolvían el problema valiéndose de diversos métodos informales. Las cuestiones como la ilustrada, en la que el número de unidades de zumo de naranja (o agua) situados en uno de los miembros es un múltiplo sencillo de número de unidades de zumo/agua del otro, fueron las primeras en ser respondidas por el niño medio de 12,5 años. Sin embargo, algunos niños de las muestra supieron resolver esta cuestión en  la edad de ocho años, mientras otros no habían  alcanzado a este nivel a los dieciséis (esta tarea equivale a la de comparar las fracciones 1/3 y 2/5).
Noelting cita ejemplos de niños que utilizaron con éxito tanto fracciones como porcentajes para resolver estos problemas: Sylvie(14 años): “A la  derecha hay 3/7 de zumo por 4/7 de agua, o sea, 15/35 de zumo; a la izquierda hay solamente 14/35 de zumo”.                                   Ó Réjean(13 años): “A= 71  3/7% porque tiene 5/7 de zumo de naranja;  B= 70%, porque tiene 7/10 de zumo de naranja”.
La causa más frecuente de fallo en los niños que no acertaron en la tarea consistió en comparar el número total de vasos de agua (o de zumo de naranja); por ejemplo: Diane (8 años) “Es que hay menos vasos de agua”; o en fijarse en las diferencias entre el número de vasos de agua y el de zumo,  en lugar de atender a su razón: Louise(11 años): “Porque el lado izquierdo tiene un vaso más de agua, mientras que el derecho tiene dos más de ellos”. ( Noelting, 1978).
Noelting: la dificultad de comparar fracciones varia mucho dependiendo de las relaciones de los números. Equivalencia: Una forma de usar la equivalencia, consiste en hallar una fracción comprendida entre otras dos; por ejemplo entre ½ y 2/3.  Lo peor es que los alumnos no se dan cuenta que entre dos fracciones  cualesquiera SIEMPRE hay una recta  numérica de fracciones intermedias.  Por ejemplo:
¿Cuántas fracciones se encuentran entre ½ y ¼? En chicos de 15 años las respuestas fueron las siguientes:
¿Cuántos números podrías escribir, correspondidos entre 0.41 y 0.42? Brown obtuvo porcentajes similares a los del experimento anterior. Son muy pocos los alumnos de 15 años los que se imaginan una recta atestada de números racionales.
Aplicación de equivalencia de fracciones. Se basa en la conversión de fracciones a decimales a porcentajes, especialmente en casos sencillos como ¼ y 3/5.  APU en un experimento con niños de 11 años halló que: 50% de los niños escribió bien la fracción ¼ mediante un porcentaje. 25% conocía su equivalencia decimal Más del 40% supo hacer la conversión de décimas partes en decimales. Ejemplo: Pon en número decimal 15 décimas  0.15 El 30% hizo bien la conversión de centésimas a decimales. Ejemplo: ¿Cuántas décimas son 20 centésimas?  2 décimas
Equivalencia de decimales y porcentajes.
La representación decimal de un número se basa en la noción de fracción. Por ejemplo: 0,21 puede ser considerado como “dos décimas y una centésima”. O como 21 centésimas. Que podemos elegir hacerlo de una manera u otra según nos convenga.
Brown nos cita un ejemplo de una niña de 11 años que va a aprender la noción de equivalencia. Catherine había respondido a: ¿Existe diferencia entre 4,90 y 4,9?  “Sí, 4,90 es más”. ¿Qué es mayor, 0,8 o 0,75?  “Oh, es ocho décimas, que es igual a 80 centésimas”.
Brown da otro ejemplo de un niño de 14 años que es capaz de recurrir a esta idea para razonar la respuesta a la siguiente multiplicación, que se le planteó me manera distinta a la habitual:                            5,13  ______ - Niño: “no se puede poner un cero ahí, al final, porque es un decimal”. - Entrevistador: ¿Cómo de grande, aproximadamente…? - Niño: 50… 51,3 - Entrevistador: ¿Cómo…? - Niño: multipliqué ése 5 primero por 10, y después ese otro 1… diez décimas hacen uno… y entonces multipliqué ese 3 por diez y lo puse en tres décimas. Brown dijo que el niño y la niña parecían encontrarse en un estadio transitorio dedesarrolloconceptual, aparentemente común entre los niños de escuela secundaria.
Encuesta:   Resultados obtenidos por Brown en 1981 que requieren la noción de equivalencia decimal:
RESULTADOS QUE HE  OBTENIDO COMPARADOS  CON LOS DE BROWN  30 AÑOS DESPUÉS  (1981-2011)
NIÑOS DE 12 AÑOS
NIÑOS DE 13 AÑOS
Estudio APU 23% niños 11 años  ordenó decimales en orden creciente de magnitud 35% jóvenes de 15 años  ordenó decimales en orden decreciente de magnitud. -Aproximación -Lectura de escalas graduadas -Comparación de magnitudes en decimales. Comprender decimales equivalentes  no es espontáneo
Estudio de porcentajes en adultos: 50 adultos  calcular 15% de 60. Respondieron correctamente 32 pero usando métodos muy diferentes. ¿Se obtendrían resultados parecidos con cantidades no tan sencillas?
Estudio APU -Calcular el precio de un traje dado el precio original y un descuento del 30%. -Da un número y qué porcentaje era de un número total, y pedía que se calculase el total ,[object Object]
11 años después: alrededor de un 15% de los jóvenes supo calcular qué porcentaje de 250 es 50
En la pregunta sobre la equivalencia 50/250 = X/100, parece que resulta mucho más difícil en  contexto de porcentajes que de fracciones .,[object Object]

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Fracciones, decimales y porcentajes

  • 1. Comprensión de la estructura de las fracciones, decimales y porcentajes Elena Escribano Picazo Mª Dolores Navarrete Pérez Celia Utiel García Llanos Cifuentes Lavara
  • 2. Equivalencia de fracciones
  • 3. CONOCEMOS LA EQUIVALENCIA Las fracciones equivalentes tienen el mismo valor, es decir, representan lo mismo. = = 1/2 = 2/4 = 4/8 Se forma una fracción equivalente al multiplicar o dividir el numerador y denominador por un mismo número. 1/2 = 2/4 =4/8 18/36 = 6/12 = 1/2 x2x2÷3 ÷6
  • 4. Todos los números racionales se pueden representar por fracciones equivalentes: 3== -6= = 2.2= = Se define la equivalencia: = ⇒ad=bc
  • 5. PARA QUÉ CONOCER LA EQUIVALENCIA DE FRACCIONES: Para comparar tamaños de fracciones o decimales: -¿Cuál es mayor, 2/5 o 7/15? Para realizar operaciones con fracciones (sumas, restas…)
  • 6. Para convertir las fracciones en decimales y porcentajes X25 ¾ 75/100 = 0.75 =75% X25 X333 1/3 333/999 = 0.333 = 33.3% X333
  • 7. CÓMO CONOCER LA EQUIVALENCIA Se introduce a partir de aspectos como el área y los conjuntos. Por ejemplo:
  • 8. HART Se les pedía a los niños de 12 y 13 años que: -Coloreasen una cantidad dada en fracción (2/3) sobre figuras geométricas (un hexágono). -Rodeasen un número determinado de bolas (3/5), de un conjunto de éstas (15). Se observó que era más fácil introducir la equivalencia a través de los conjuntos.
  • 9. PAYNE La equivalencia causaba dificultades al simplificar a fracción irreducible: 3/9 =1/3
  • 10. BOHAN Comparó con niños de 11 años qué método era más eficaz: -Diagramas de área -Multiplicación por 1 3/4 = ¾ x 1=3/4 x 3/3= 9/12 -Plegado de papel
  • 11. Aun así, más de la mitad de los niños fallaron al simplificar una fracción a su irreducible, mientras que el 75% sí que formaba fracciones equivalentes cuando se trataba de formar una fracción mayor.
  • 12. COBURN, STEFFE Y PARR Trataron si era más sencillo introducir la equivalencia por medio de la razón (relacionada con los conjuntos) o por medio del área. Las pruebas no son concluyentes, no se sabe cuál es el mejor método.
  • 13. Selección de resultados sobre equivalencia de fracciones (De Hart, 1980) Es difícil saber si los niños que obtuvieron resultados correctos en estas cuestiones están demostrando auténtica comprensión de la equivalencia y no limitándose a detectar pautas o regularidades. Por ejemplo, Hart cita respuestas del tipo: «2/7 = 10/15 porque 2 son menos que 7 y queremos un número que sea 5 menos que 15. (Hart, 1981).»
  • 14. Respuestas a una pregunta sobre equivalencia (NAEP, 1980) Sugiere que la confusión subyacente a la noción de equivalencia es seguramente considerable.
  • 15. En una situación más estricta, en la que no bastaba con la mera detección de problemas numéricos sencillos, el porcentaje de niños capaces de resolverla muestra un abrupto descenso. Por ejemplo, en la última parte de la cuestión de CSMS. 2/7= /14 = 10/ La tasa de éxito varió desde sólo el 24% de los niños de 12 años al 31% de los chicos de 15 (Hart, 1980).
  • 16. Problemas de enunciado para examinar la noción de equivalencia (Hart, Ward).
  • 17. APLICACIÓN DEL CONCEPTO DE EQUIVALENCIA A LA ORDENACIÓN DE FRACCIONES Y A LA CONVERSIÓN DE FRACCIONES, EN DECIMALES Y PORCENTAJES
  • 18. La idea de equivalencia es importante también en lo que concierne a la capacidad de ordenar fracciones y razones. Los niños no siempre se percatan fácilmente de que las fracciones son números, y que por su naturaleza de tales llenan en parte los huecos que dejan los números enteros en la recta numérica.
  • 19. Puede no resultarles claro que, dadas dos fracciones, o bien son equivalentes y representan, por lo tanto, el mismo número, o uno de ellos representa un número mayor que la otra. En casos sencillos, el mecanismo de esta comparación consiste normalmente en hallar formas equivalentes apropiadas para una o ambas fracciones.
  • 20. La dificultad de la comparación de dos fracciones puede variar grandemente dependiendo de los números que figuren en los numeradores y denominadores. Hart(1980) observó que el 66% de los chicos de 15 años se daban cuenta de que 3/10 era mayor que 1/15, mientras que en la encuesta NAEP, solamente el 3% de los chicos de 13 años supieron determinar cuál de los números ¼, 5/32, 5/16, 3/8 se encontraba más próximo a 3/16.
  • 21. Noelting diseñó un concienzudo experimento destinado a examinar la dificultad a examinar la dificultad relativa de la comparación de diferentes razones. La situación concreta de que se valió consistió en la preparación de naranjada, preguntando a los niños cuál de las combinaciones del dibujo producirá a mezcla más fuerte: Ó
  • 22. Halló que los alumnos resolvían el problema valiéndose de diversos métodos informales. Las cuestiones como la ilustrada, en la que el número de unidades de zumo de naranja (o agua) situados en uno de los miembros es un múltiplo sencillo de número de unidades de zumo/agua del otro, fueron las primeras en ser respondidas por el niño medio de 12,5 años. Sin embargo, algunos niños de las muestra supieron resolver esta cuestión en la edad de ocho años, mientras otros no habían alcanzado a este nivel a los dieciséis (esta tarea equivale a la de comparar las fracciones 1/3 y 2/5).
  • 23. Noelting cita ejemplos de niños que utilizaron con éxito tanto fracciones como porcentajes para resolver estos problemas: Sylvie(14 años): “A la derecha hay 3/7 de zumo por 4/7 de agua, o sea, 15/35 de zumo; a la izquierda hay solamente 14/35 de zumo”. Ó Réjean(13 años): “A= 71 3/7% porque tiene 5/7 de zumo de naranja; B= 70%, porque tiene 7/10 de zumo de naranja”.
  • 24. La causa más frecuente de fallo en los niños que no acertaron en la tarea consistió en comparar el número total de vasos de agua (o de zumo de naranja); por ejemplo: Diane (8 años) “Es que hay menos vasos de agua”; o en fijarse en las diferencias entre el número de vasos de agua y el de zumo, en lugar de atender a su razón: Louise(11 años): “Porque el lado izquierdo tiene un vaso más de agua, mientras que el derecho tiene dos más de ellos”. ( Noelting, 1978).
  • 25. Noelting: la dificultad de comparar fracciones varia mucho dependiendo de las relaciones de los números. Equivalencia: Una forma de usar la equivalencia, consiste en hallar una fracción comprendida entre otras dos; por ejemplo entre ½ y 2/3. Lo peor es que los alumnos no se dan cuenta que entre dos fracciones cualesquiera SIEMPRE hay una recta numérica de fracciones intermedias. Por ejemplo:
  • 26. ¿Cuántas fracciones se encuentran entre ½ y ¼? En chicos de 15 años las respuestas fueron las siguientes:
  • 27. ¿Cuántos números podrías escribir, correspondidos entre 0.41 y 0.42? Brown obtuvo porcentajes similares a los del experimento anterior. Son muy pocos los alumnos de 15 años los que se imaginan una recta atestada de números racionales.
  • 28. Aplicación de equivalencia de fracciones. Se basa en la conversión de fracciones a decimales a porcentajes, especialmente en casos sencillos como ¼ y 3/5. APU en un experimento con niños de 11 años halló que: 50% de los niños escribió bien la fracción ¼ mediante un porcentaje. 25% conocía su equivalencia decimal Más del 40% supo hacer la conversión de décimas partes en decimales. Ejemplo: Pon en número decimal 15 décimas  0.15 El 30% hizo bien la conversión de centésimas a decimales. Ejemplo: ¿Cuántas décimas son 20 centésimas?  2 décimas
  • 29. Equivalencia de decimales y porcentajes.
  • 30. La representación decimal de un número se basa en la noción de fracción. Por ejemplo: 0,21 puede ser considerado como “dos décimas y una centésima”. O como 21 centésimas. Que podemos elegir hacerlo de una manera u otra según nos convenga.
  • 31. Brown nos cita un ejemplo de una niña de 11 años que va a aprender la noción de equivalencia. Catherine había respondido a: ¿Existe diferencia entre 4,90 y 4,9?  “Sí, 4,90 es más”. ¿Qué es mayor, 0,8 o 0,75?  “Oh, es ocho décimas, que es igual a 80 centésimas”.
  • 32. Brown da otro ejemplo de un niño de 14 años que es capaz de recurrir a esta idea para razonar la respuesta a la siguiente multiplicación, que se le planteó me manera distinta a la habitual: 5,13  ______ - Niño: “no se puede poner un cero ahí, al final, porque es un decimal”. - Entrevistador: ¿Cómo de grande, aproximadamente…? - Niño: 50… 51,3 - Entrevistador: ¿Cómo…? - Niño: multipliqué ése 5 primero por 10, y después ese otro 1… diez décimas hacen uno… y entonces multipliqué ese 3 por diez y lo puse en tres décimas. Brown dijo que el niño y la niña parecían encontrarse en un estadio transitorio dedesarrolloconceptual, aparentemente común entre los niños de escuela secundaria.
  • 33. Encuesta: Resultados obtenidos por Brown en 1981 que requieren la noción de equivalencia decimal:
  • 34.
  • 35. RESULTADOS QUE HE OBTENIDO COMPARADOS CON LOS DE BROWN 30 AÑOS DESPUÉS (1981-2011)
  • 36.
  • 37. NIÑOS DE 12 AÑOS
  • 38. NIÑOS DE 13 AÑOS
  • 39. Estudio APU 23% niños 11 años  ordenó decimales en orden creciente de magnitud 35% jóvenes de 15 años  ordenó decimales en orden decreciente de magnitud. -Aproximación -Lectura de escalas graduadas -Comparación de magnitudes en decimales. Comprender decimales equivalentes  no es espontáneo
  • 40. Estudio de porcentajes en adultos: 50 adultos  calcular 15% de 60. Respondieron correctamente 32 pero usando métodos muy diferentes. ¿Se obtendrían resultados parecidos con cantidades no tan sencillas?
  • 41.
  • 42. 11 años después: alrededor de un 15% de los jóvenes supo calcular qué porcentaje de 250 es 50
  • 43.
  • 44. El periódico dice que 24 de cada 800 coches Avenger tienen defectos en el motor. ¿qué porcentaje es este?
  • 45. El precio de un abrigo son 20€. Nos rebajan el 5%. ¿cuánto cuesta ahora?Estudio a jóvenes de 13,14 y 15 años -Resultados correctos.