1. LA REPRESENTACIÓN Y EL SIGNIFICADO DE LOS
NÚMEROS. EL PRINCIPIO DE VALOR RELATIVO
PARA LOS NÚMEROS NATURALES.
3.4.1. PRIMEROS CONTACTOS CON LOS NÚMEROS MAYORES
QUE DIEZ.
El aprendizaje de los números es un proceso lento por el que se va
aprendiendo lo que representa un número y su cantidad gráfica. Es normal
que a los niños les cueste aprender números mayores que diez. Los escuchan a
diario pero no saben realmente su significado, simplemente tienen la idea de
que un número mayor que diez es “mucho” y menor “poco”.
⇒ BROWNWELL (1941): aprecia que los niños de 5 años saben contar hasta
20, por lo general.
⇒ FUSON (1980): dice que los niños de 5 y 5 años y medio saben contar
hasta 44, llegando a 84 en niños de 5 años y medio y 6 años.
⇒ GINSBURG(1977): pone como ejemplo a Paul, un niño que sabe contar
hasta un millón con solo 5 años.
Ginsburg dice que los niños aprenden a contar números grandes por
repetición verbal. Cita el caso de Rebecca (4 años) una niña que sabe contar
hasta 9 pero al llegar a dicho número tienen que decirle el que va después (el
10) para que ella pueda seguir contando. Si no se lo dicen, ella misma se
inventa el nombre de tal número, por ejemplo: “dicienta¨.
3.4.2. LA IDEA DE AGRUPAMIENTO.
PRINCIPIO DE VALOR RELATIVO: es el procedimiento que usamos para registrar
números. Se clasifica en unidades, decenas, centenas, unidades de millar…
Este sistema se funda a partir del principio de agrupación sucesiva: las
unidades se agrupan en decenas, 10 decenas es una centena, 10 centenas es
un millar y así sucesivamente.
Por ejemplo: en el número 542, la posición que ocupa el 5 representa las
centenas, y no 5 unidades o 5 decenas.
3.4.3. LECTURA Y ESCRITURA DE NÚMEROS.
Lectura y elocución de los números se realiza de izquierda a derecha: 342 es
trescientos cuarenta y dos.
Para leer correctamente los números y dar un significado correcto a un
número que tenga muchas cifras hemos de evaluar, primero de todo su
tamaño.
Algunos adultos leen sin problemas y a simple vista números grandes como
19930, ya que los agrupan por tríos. Sin embargo los niños tardan en adquirir
esa técnica, como así indica:
* BROWN en un estudio que hizo en un niño que leía 19930 como “mil,
noventa y nueva, treinta”. Si el niño no reconoce el numero a simple vista
tenemos que evaluarlo de derecha a izquierda (al contrario de lo habitual).

2. Por ejemplo este mismo autor nos explica el caso de una niña de 12 que tenía
un rendimiento superior a la media y realizaba este proceso para determinar
que numero era mayor si 20100 o 20010.
El problema viene cuando tenemos colecciones que se agrupan y reagrupan
en números distintos de 10 como por ejemplo en base 5 el número 2143 puede
ser leído de izquierda a derecha como “dos, uno, cuatro, tres” pero para
poder evaluarnos tenemos que leer de derecha a izquierda como 3 unidades
(unos), 4 cincos, 1 veinticinco y 2 veces ciento veinticinco.
* GINSBURG identificaba tres fases en el desarrollo de la comprensión del
valor relativo:
⇒ 1ª fase: el niño escribe correctamente los números pero no tiene ni idea
de por qué.
⇒ 2ª fase: el niño comprende que otras formas de escribir un numero son
erróneas, por ejemplo escribir 31 para denotar 13.
⇒ 3ª fase: el niño es capaz de relacionar la notación escrita de los
números con el principio de valor relativo, por ejemplo un niño de 7
años a la pregunta de por qué había escrito 1 seguido de un 3 para
decir 13 contesto que el 1 representa 10 y el 3 expresa 3, luego diez más
trece son tres. Pocos niños alcanzan la fase 3 en educación primaria.
La capacidad de los niños para tratar con números en forma simbólica queda
superada por su capacidad aritmética informal (lo que se puede hacer
mentalmente o a nivel oral).
El niño tiene que asimilar la simbolización del número según lo que ya sabe.
Ejemplo: Una niña con 7 años le pidieron que escribiera veintitrés. Escribió 203.
Su forma de simbolizar los números es un claro reflejo de la representación oral,
veintitrés eran 203(20 y 3).
Ejemplo: otro niño escribió
Numero dictado número escrito
Diecinueve 19
Cuatrocientos setenta y dos 472
Tres 3
Seis mil veintitrés 600,023
Setenta y un mil ochocientos cuarenta y cinco 710,00845
Cincuenta y seis 56
El niño era incapaz de escribir números de 4 o más cifras sin volver a las reglas
que usaba, por ejemplo, la niña anterior.
El proceso inverso de decir los números a partir de su forma simbólica también
puede derivar en problemas.
* DICKSON encontró niños de calificaciones bajas que llamaban trescientos
tres a “3003”.
En nuestros dígitos el causante de la mayoría de los problemas es el 0.su papel
no es nada obvio para los niños los cuales sufren confusión con este número.
* LEEB-LUNDBERG trabajo con niños de 8 años para hacerles comprender el
valor relativo. Estudiaron números como 100, 110 y 101 y para algún niño el 0
era “nada de algo”.

3. Brown también descubrió que los niños de secundaria tenían dificultades con
el papel del cero especialmente en números grandes.
EJEMPLO un niño de 13 años sabía leer correctamente el numero 521400, el
numero 8030 era “ochenta cientos treinta”. También calculo mentalmente y
dio respuestas verbales correctas a la suma de diez más 3597 pero escribió la
escribió como 367.
El estudio “concepts in secondary mathematics and science” de
BROWN:
Escribir con cifras “cuatrocientos mil setenta y tres”… las respuestas tenían
disposiciones de números variables de ceros intercalados entre las tres cifras.
Estos chicos tienen debilidad con los números mayores que mil. No están
familiarizados con los nombres posicionales de las cifras que están a la
izquierda de los millares. Según Brown esto puede ser a que no saben
reconocer que en los números hablados, a diferencia de los escritos, se hace
uso de base diez y base mil. No hay nombres nuevos para las columnas entre
los millares y los millones.
En nuestro sistema utilizamos el espacio o el punto para separar cada grupo
de millares, el 21730 000.esta forma oculta de utilizar el millar como nueva base
de numeración parece crear confusión en los niños. Muchos niños dan el
nombre de millones a los números de la columna de decenas de millar.
5214 el 2 denota 2 centenas
521 400 el 2 denota 2…
Pocos niños acertaron. El trabajo de LURIYA realizado en la 2ª Guerra Mundial
se centra en la investigación de los efectos de la acalculia una deficiencia en
el concepto de numero y calculo provocada por un cierto tipo de
enfermedad cerebral localizada (afecta a la faceta semántica del habla).El
estaba convencido de que la destrucción del concepto de numero era a
causa de la enfermedad que refleja, a la inversa, la secuencia primitiva en
que se desarrollan los conceptos. Los aspectos más difíciles son los que primero
se lesionan. Sus pacientes fueron individuos con capacidad computacional
media o superior. Ahora aun eran capaces de efectuar cálculos sencillos con
los diez primeros números tenían dificultad para leer, escribir o componer
números bidígitos, tridígitos, etc. El concepto de valor posicional había surgido
daños.
Ejemplos: leían 22100 como 22 y 100.
Algunos asignaban a 71 y a 17 el mismo valor y significado.
Tenían por mayor 489 que 701 porque se fijaban solo en las cifras individuales.
Sus pacientes eran incapaces de escribir el número correcto si el nombre de
un numero polidígito no coincidía con su estructura simbólica si al hablar
tampoco se especificaban los ceros.
Ejemplo: numero mil tres escrito como 10003.
3.4.4. ORDENACION
Valor relativo respecto a la ordenación de números en posiciones relativas, tal
como aparece en la recta numérica. Noción de adición y sustracción, es
decir, la obtención de números mayores o menores.

4. BERDNARZ Y JANVIER investigaron hasta que punto era comprendido el
principio de valor relativo en los niños de 8 a 9 años, analizando estrategias
usadas en este ejemplo:
Cada niño jugaba una partida con el investigador.
4 2 3 y se le daba un casillero vacío ___ ___ ___
Debían componer dentro de él cualquier número mayor que 423.se lanzaba
por turnos un dado marcado de 0 a 5.Cuando lanzaba anotaba en una hoja
el numero que salía. Decidía si usarlo o no. Si no lo quería se tachaba.
El 15% de los niños no fueron capaces de conseguir un número mayor que 423.
El 40% uso estrategia posicional, solo usaban el digito en una cierta posición si
este era mayor que el que ya la ocupaba.
Acabaron con números cuyas cifras eran mayores de 423 en todas las
posiciones.
El 35% uso estrategias no sistemáticas como por ejemplo esperar a que saliera
un 5 para empezar por la izquierda, rehusar los dígitos pequeños como el 0 y el
1 a pesar de tener un 5 ganador a su izquierda.
El 10% comprendió bien el principio de valor relativo:
Seleccionaron el primer 5 y cantaban “Gané” tras colocarlo en la casilla de la
izquierda.
Aceptaban 0 y 1 y los ponían en posición central o derecha cuando la casilla
de la izquierda tenía un 5.
Usaban 4 para ponerlo a la izquierda cuando las condiciones eran favorables,
cuando ya se tiene un 3, 4 y 5 en posición central.
Esta actividad fue interesante por su valor instrumental en cuanto a
determinación de la naturaleza de la comprensión y su utilidad didáctica.
Los niños fueron mejores en la ordenación de números. El 91% de los niños de
11 años sabia seleccionar el mayor de los números de la serie: 1998, 2012,
2004,897.
También WARD que trabajo con niños ingleses de 10 años con un éxito inferior
cuando los números eran mayores: seleccionar la ciudad con más habitantes
Aberdeen 183 800
Bath 151 500
Fleetwood 28 800
3.4.5 SUMAR Y RESTAR MENTALMENTE.
Brown en el estudio CSMS (Conceptos de Secundaria en Matemáticas y
Ciencias) percibió que algunos niños sabían aproximadamente el valor
posicional de los números, es decir, el valor relativo (postillón que ocupa en
número con respecto: unidades, decenas, centenas…). Por lo tanto hacía
falta calar en su aprendizaje debido a la endeblez de su comprensión.
Para ello propone un ejemplo en el que solo debían sumar un número o añadir
un número más.
Este contador indica las personas que han entrado a un campo de fútbol,
después de haber entrado una persona más ¿qué marcaría el contador?
0 6 3 9 9
Un tercio de los niños de 12 años dieron una respuesta errónea. De entre las
que se dieron los distintos casos:

5. - Raimon de 12 años primero intentó añadir un “1” fuera del marcador,
cuando le dijeron que solo podía usar las celdas del marcador, Raimon
decidió cambiar el 3 por un 4. Señala ambos nueves (unidades y decenas) y
dice que si se les suma 1 harían 10, por lo tanto no se pueden cambiar.
0
/6 /3 /9 /9 / 1
0 /6 /4 /9 /9
- Shakeel de 12 años dio la siguiente respuesta dado que “99 y 1 hacían
100“.
0 6 3 1 00
Brown también nos muestra los ejemplos de María y Kim, ambas de 13 años,
quienes al pedirles que sumaran 10 a 3597, nos dieron el resultado 35917
objetando que 10+7 son 17.
3.4.6. DESCOMPOSICIONES.
Otra característica fundamental para la comprensión del valor relativo es la
facilidad para reorganizar o descomponer un número. Es necesario saber
realizar correctamente la descomposición de un número para saber cual es su
valor relativo.
Flournoy, Brandt y McGregor (1963) realizaron un estudio a 106 chicos de 13
años en el que percibieron que los niños tenían dificultades para resolver
cuestiones de este tipo:
¿Qué significa 25 centenas y 4 decenas? -- menos del 25% de estos
dieron la respuesta correcta
APU (Azusa Pacific University - California) planteó a niños de 11 años la
siguiente cuestión:
“7 centenas, 5 decenas y 12 unidades hacen un total de?” -- a lo que
solo el 60% dio la respuesta correcta mientras que el 20% respondió 7512.
Las dificultades de comprensión de la descomposición de un número revisten
particular importancia para la sustracción.
3.4.8. ESTIMACIÓN Y APROXIMACIÓN (CON NÚMEROS
ENTEROS).
Debido a la facilidad con la que hoy en día se usan las calculadoras, parece
probable que la enseñanza deje de hacer tanto hincapié en el cálculo con
lápiz y papel, y lo haga en técnicas para usar eficazmente la calculadora. Una
de estas técnicas se basa en estimar el tamaño aproximado del resultado
esperado, con el fin de detectar errores al manejar la calculadora. Los niños se
están acostumbrando a usar la calculadora de forma que, alguna vez, se

6. equivoquen al escribir la cuenta en la calculadora y no obtengan el resultado
correcto pero ellos ni siquiera se den cuenta de ello. Por lo tanto, se debe
fomentar la práctica.
La capacidad de estimación del niño depende de que primero haya
comprendido correctamente el significado del valor relativo.
Ginsburg realizó un experimento con el que pretendía demostrar cómo una
niña había adquirido la comprensión del valor relativo, aunque su rendimiento
en los procedimientos normales de cálculo era mediocre.
La entrevistadora dictó algunos números para que Jane los sumase. La niña
escribió:
6
79
163
940
2342
15700
Indicando que sumaría llevando de izquierda a derecha.
El entrevistador le preguntó a Jane qué valor creía que iba a obtener,
aproximadamente. Como respuesta, Jane dio el resultado exacto.
El entrevistador le preguntó como había llegado a esa respuesta. Jane explicó
cómo lo había hecho: los 15700 ya eran 15000, y los 2342 eran 2000, por lo que
ya sumaban 17000; y que el resto de números probablemente sumarían más
de 1000.
Se realizó un experimento parecido con 15 niños de Inglaterra y del País de
Gales. Se les pidió que sumaran 1056+672 con una calculadora, operación
que casi todos realizaron correctamente. Después se les pidió que razonaran
su respuesta, y sólo unos pocos contestaron con lógica.
Entre estas respuestas se observó que existía una tendencia al redondeo por
defecto en lugar de por exceso, es decir, aproximar 97 a 90 en lugar de a 100.
Se dedujo que los niños no estaban usando las reglas del cálculo aproximado,
en las que se utilizan aproximaciones de una o dos cifras significativas. Por el
contrario, estaban tratando de usar los métodos tradicionales de lápiz y papel,
pero comenzando de izquierda a derecha. Esto explicaría que, por ejemplo,
en vez de multiplicar 30 x 56, multiplicara 3 x 56.
Con este experimento se demuestra que para comprobar que una solución es
razonable debemos haber aprendido primero los principios de valor relativo.
3.4.9. CONSECUENCIAS PARA LA DIDÁCTICA. REQUISITOS
PREVIOS Y TRABAJOS INICIALES.
Ronshausen dice que antes de presentar el principio de valor relativo al escolar
de primaria, éste debería ser capaz de hacer lo siguiente:
1. El niño debe conocer la cardinalidad de los números de 0 a 9. Debe
saber seleccionar, por ejemplo, un conjunto de 5 objetos, aunque sean
de diferentes formas y tamaños. De igual modo, cuando oye “siete”
sabe construir un conjunto con siete objetos.
2. Sabe contar de uno a diez tanto rutinaria como racionalmente. Es decir,
no solo contar de memoria, sino entendiendo lo que esta diciendo.
3. Sabe leer los símbolos de 0 a 9; así por ejemplo, si ve el número “8” sabe
leer “ocho”.

7. 4. Es capaz de asociar los símbolos con conjuntos. Así, si ve un conjunto
con cuatro objetos, sabe relacionarlo con el símbolo “4”. De igual
modo, si se le da un símbolo, por ejemplo “6”, sabe seleccionar de entre
una colección de conjuntos aquel que tiene seis elementos.
5. El niño sabe escribir los símbolos de 0 a 9 cuando oye sus nombres o
cuando ve un conjunto.
Una vez que el niño es capaz de hacer esto, se le puede presentar la noción
de “diez” en sentido cardinal, oral y simbólico. Ahora el niño necesita adquirir
experiencia práctica en la agrupación de decenas.
Por ejemplo, se puede dar al niño un conjunto de 15 lápices, y luego un papel
en el que tiene que escribir, en una casilla las decenas y en otra las unidades.
Para saber las decenas que hay, el niño hace grupos de 10 lápices.
El Centro de Matemáticas ILEA Abbey Wood (1975) dio a conocer directrices
para desarrollar las nociones de valor relativo correspondientes a decenas y
centenas.
1. Formar haces/grupos de lápices en decenas y unidades. Poner 10 bolas
en una bolsa, para formar decenas. Además adquirir el hábito de
agrupar los materiales con las unidades a la derecha de las decenas.
2. Unir objetos en decenas y unidades. Por ejemplo, poniendo cuentas en
un hilo hasta que haya diez.
3. Actividades con aparatos estructurales, como los bloques Dienes Base
10, en los que los cubos individuales siguen siendo distinguibles, pero son
inseparables.
4. En la siguiente etapa se trabaja con objetos que representan una
decena, pero en los que no vienen diferenciadas las unidades; por
ejemplo, una tira de cartulina.
5. De este modo, el niño puede distinguir las decenas de las unidades,
bien si unas se colocan en el lado derecho o en el izquierdo.
6. El niño se encuentra preparado para utilizar un ábaco.
Es necesario que el niño pase por todas estas etapas para que pueda
entender el significado del valor relativo.
Por el contrario, para Ronshausen se puede conseguir lo mismo en una sola
etapa: la formación de haces, de grupos.
Ronshausen realizó un experimento en el que puso a niños de 6 y 7 años a
realizar actividades de formación de haces. Como resultado, observó que los
niños mejoraron su destreza y capacidad.
Todo esto es aplicable a números tridígitos y polidígitos.
De Magne realizó un experimento en el que mostraba como una niña
captaba la idea de valor posicional. Al principio del experimento, la niña
utilizaba los bloques Dienes Base 10 para trabajar; representaba con los
bloques el número que se le pedía, y si se le mostraban unos bloques sabía
decir que número era. Finalmente logró trabajar sin ellos, ya que podía
hacerse una imagen mental de lo que se le pedía.