Este documento resume la teoría del desarrollo cognitivo de Jean Piaget, incluyendo sus métodos de investigación, conceptos clave como los esquemas y estadios, y experimentos relacionados con la comprensión del número cardinal y ordinal en niños. Dividió el desarrollo en cuatro estadios principales (inteligencia sensoriomotriz, preoperacional, operaciones concretas y operaciones formales) basados en la capacidad creciente de los niños para pensar lógicamente y resolver problemas.

1. COORDINACIÓN
DE
LOS ASPECTOS
CARDINAL Y ORDINAL
DEL
NÚMERO NATURAL
Antonio Díaz Lozano
Isabel Jiménez Cuenca
Elena González Garzón
Álvaro Marín Renuncio
Javier Valdelvira Valdelvira
1º B Educación Primaria
Internacional

2. ÍNDICE
1. Introducción ……………………………………………………………… 3
2. Jean Piaget ……………………...………………………………………... 4
• Método ………………………………..……………………………… 4
• Teoría ………………………………………………………………… 5
• Etapas del desarrollo de la inteligencia ………………………..……... 6
3. Experimentos referentes al aspecto cardinal del número …….................... 9
4. Experimentos referentes al aspecto ordinal del número ………………….. 11
5. Consecuencias de carácter didáctico ……………………………………... 13
6. Teorías constructivistas del aprendizaje matemático ……………………. 14

3. INTRODUCCIÓN
El principal interés de Piaget se centra en el área cognoscitiva y, en un sentido más
amplio, en las relaciones que se forman entre el individuo conocedor y el mundo que
trata de conocer. El autor se considera a sí mismo como un epistemólogo genético, con
lo que podemos entender que se interesa por conocer e investigar el origen y la
naturaleza del conocimiento y como se da éste a través del desarrollo.
Para Piaget, los principios de la lógica comienzan a desarrollarse antes que el
lenguaje y se generan a través de las acciones sensoriales y motrices del bebé en
interacción con el medio.
“El lenguaje es una condición necesaria pero no suficiente de la construcción de
las operaciones lógicas. Es necesaria, ya que sin el sistema de expresión simbólica que
constituye el lenguaje, las operaciones permanecerían en estado de acciones sucesivas
sin jamás integrarse en sistemas simultáneos o capaces de englobar simultáneamente
un conjunto de transformaciones solidarias. Sin el lenguaje, por otra parte, las
operaciones no podrían dejar de ser individuales e ignorarían, por consiguiente, la
regulación que resulta del intercambio individual y de la cooperación. En este doble
sentido de la condensación simbólica y de la regulación social, el lenguaje es
indispensable para la elaboración del pensamiento. Entre el lenguaje y el pensamiento
existe así un círculo genético tal, que uno de los dos términos se apoya necesariamente
en el otro, en una formación solidaria y en una perpetua acción recíproca. Pero ambos
dependen, en definitiva, de la inteligencia en sí que, por su parte, es anterior al
lenguaje e independiente de él.”
Piaget, J. (1964) Six Etudes de Psychologie
(Trad. 1967 Seis Estudios de Psicología Barcelona: Ed. Seix Barral)

4. JEAN PIAGET (1896-1980)
Jean Piaget es considerado uno de los pilares de la Psicología del desarrollo
infantil. Se inició en el campo de la Biología y estuvo muy interesado por la forma en la
que los organismos se adaptan a su medio ambiente.
Nació en Neuchatel, Suiza, el 9 de agosto de 1896, publicó su primer ensayo
científico a los diez años de edad y ganó prestigio internacional por sus estudios sobre
los moluscos, con los que recibió su título de doctor en 1917, a los 21 años.
Posteriormente pasó un tiempo en París donde elaboró pruebas de razonamiento para
niños, encontrando así lo que fue la pasión de su vida: el crecimiento intelectual de los
niños.
Desde temprana edad fue nombrado director de estudios en el Instituto
J.J.Rousseau en Ginebra, donde continuó sus estudios sobre la Psicología del
pensamiento. En 1940 fue profesor de esta materia en la Universidad de Ginebra y en
1952 fue maestro de Psicología Infantil en La Sorbona de París, fundando
posteriormente un Centro de Epistemología Genética.
Desde 1920 empezó a aplicar sus conocimientos para investigar la adaptación del
ser humano a su medio y realizó junto con su esposa minuciosas observaciones:
anotando las conductas de sus pequeños hijos, logró adentrarse en el proceso que sigue
cada niño en su desarrollo.
Su vida fue prolífica en la acumulación de datos publicados a través de múltiples
libros y conferencias, pues además de investigador era un gran escritor. Fue colaborador
en la UNESCO y en asuntos educativos de su propio país. Murió en 1980.
Método:
El método básico de investigación de Piaget se basa en la observación y la
experimentación.
Piaget estuvo muy interesado en la epistemología, rama de la filosofía que estudia
el conocimiento. Piaget propone una epistemología genética como respuesta al
problema más general de la epistemología. El conocimiento no se adquiere por
deducciones lógico-matemáticas ni por generalizaciones a partir de observaciones
sistemáticas, sino por el desarrollo de la inteligencia.
El desarrollo cognitivo se despega en el niño a través de estadios o subestadios
hasta llegar a las operaciones formales. La experiencia proporciona información a los
niños, quienes la manejan para llegar a conclusiones que, a su vez, sirven de premisas
para nuevas deducciones, y así sucesivamente hasta llegar a un conjunto de estructuras
mentales que permiten afrontar con eficacia y de manera creativa el medio.

5. Teoría:
Piaget propone que el desarrollo humano se produce a través de una serie de
estadios cualitativamente diferentes.
Para entender su teoría hay que tener en cuenta algunos conceptos clave:
• La estructura de la arquitectura de la inteligencia: La estructura se
puede considerar la forma en la que está organizada la experiencia a partir
de los elementos más simples hasta los más complejos. Sus elementos son:
- La acción: Es el elemento básico, la materia prima de todo
conocimiento.
- El esquema: Es una subestructura dinámicamente organizada que
tiene la función de repetición, generalización y diferenciación. Es
un conjunto de acciones dinámicamente organizadas.
- Los estadios: Son procesos cognitivos que utilizan un tipo
específico de esquemas predominantemente.
• Las invariantes funcionales: Son dos:
- Organización: Tendencia del organismo a sistematizar sus
procesos cognitivos en sistemas coherentes.
- Adaptación: Capacidad que tiene el organismo para adaptarse a las
condiciones y exigencias del medio ambiente. Esto puede hacerse
mediante dos procesos:
* Asimilación: Es el modo en que el organismo se enfrenta a un
estímulo del que ya tiene ejemplares organizados cognitivamente.
*Acomodación: Implica que se modifica la organización actual
de los elementos cognitivos como respuesta a las demandas del medio.
En este proceso se cambian los esquemas ya existentes para adaptarlos
a los requerimientos del ambiente, lo que lleva a la equilibración (si
los esquemas ya existentes son inadecuados para enfrentarse a las
nuevas situaciones, la mente del niño se encuentra sin equilibrio, lo que
impulsa a buscar de nuevo el equilibrio cambiando uno o más
esquemas. Es a través de este proceso de desequilibrio y equilibración
como el niño avanza en su proceso cognitivo).

6. Etapas del desarrollo de la inteligencia:
1. Inteligencia sensorio-motriz (de 0 a 24 meses):
Durante este periodo, Piaget considera que la inteligencia se manifiesta en
patrones organizados de acciones motoras y sensoriales. La inteligencia en este estadio
es pre-simbólica, pre-representacional y pre-reflexiva. La adaptación se basa en
esquemas conductuales. La interiorización, la coordinación y el enriquecimiento de los
esquemas sensoriomotores proporcionan bases para el pensamiento operatorio. En esta
etapa se dan seis subperiodos:
1. Modificación de los reflejos incondicionados (de 0 a 1 mes): Los reflejos
E-R heredados se convierten en esquemas más flexibles y ricos conforme
asimilan los objetos y se acomodan a la realidad.
2. Reacciones circulares primarias mediante la adquisición de nuevos
hábitos (de 1 a 4 meses): Se aprenden esquemas nuevos,
fundamentalmente reacciones circulares. Los niños descubren
comportamientos de su propio cuerpo que tiene efectos gratificantes
(chuparse el dedo) y aprende a hacerlo de nuevo.
3. Reacciones circulares secundarias (de 4 a 8 meses): El niño presta
atención a algo que tiene lugar en el mundo exterior (por ejemplo, mover
el sonajero). Aparecen los primeros signos de un concepto rudimentario de
objeto; por ejemplo, el niño seguirá la pista de la trayectoria de un objeto
que acabamos de esconder.
4. Coordinación de los esquemas secundarios (de 8 a 12 meses): Aparece
por primera vez la inteligencia intencional. El niño puede anticipar un
acontecimiento ligado a una acción suya, que utiliza como un medio para
conseguir un fin más remoto (por ejemplo, tirar un sonajero para ver qué
ocurre). Tiene una noción de objeto mucho más desarrollada. El niño
buscará un objeto escondido, ya que sabe que el objeto sigue existiendo
aun cuando no pueda verlo.
5. Reacciones circulares terciarias. Descubrimiento de nuevos medios por
experimentación activa (de 12 a 18 meses):El niño explora el efecto del
comportamiento sobre el mundo en vez de limitarse a repetir un efecto
antiguo como antes. Utiliza esquemas nuevos inventados en el acto para
resolver problemas, en vez de usar esquemas más antiguos en el nuevo
contexto.
6. Descubrimiento de medios nuevos por combinación mental (de 18 a 24
meses): El niño adquiere la capacidad para representar el objeto por medio
de símbolos y la capacidad para actuar de acuerdo con esta realidad
simbólica interna. Las soluciones se intentan primero mentalmente. Existe
un desarrollo completo del concepto de objeto, pues el niño puede ahora
inferir la localización de un objeto oculto. También se adquiere la
capacidad de imitación diferida.

7. 2. Inteligencia preoperatorio (de 2 a 7 años):
Aunque el niño de tres o cuatro años puede pensar en términos simbólicos, sus
palabras e imágenes no están organizadas de forma lógica, por lo que no pueden
comprender ciertas reglas y operaciones. Como resultado, los niños preoperatorios no
han alcanzado aún la conservación. No comprenden que la cantidad de agua se conserva
cuando se pasa de un vaso alto y delgado a otro bajo y más amplio. En este estadio hay
dos etapas:
1. Preconceptual (de 2 a 4 años): Acaba de empezar la interiorización de
esquemas, pero no con representaciones. Los niños pueden hacer muchas
cosas, pero no pueden explicar cómo las hacen, ni decirle a otro cómo deben
hacerlas.
2. Intuitivo o funcional (de 5 a 7 años): Los niños entienden intuitivamente
ciertas relaciones funcionales, pero no la comprensión más profunda. Si
colocamos dos filas de monedas con siete monedas cada una, el niño dirá
que hay la misma cantidad en ambas filas, pero si colocamos una de las filas
en un montoncito, entonces el niño menor de siete años dirá que hay más en
la fina que en el montoncito. En contraste, un niño de siete años dirá que el
número de monedas es igual. A esta edad, la igualdad numérica es más
importante que la impresión visual.
3. Operaciones concretas (de 7 a 12 años):
Entre los siete y los doce años, los niños aprenden los diferentes conceptos de
conservación y comienzan a desarrollar otras manipulaciones lógicas. Pueden agrupar
objetos por su altura, su peso, o su color. Pueden realizar representaciones mentales de
una serie de acciones. En este estadio encontramos dos etapas:
1. De 8 a 9 años: Operaciones coordinadas en un sistema lógico. La
conservación se consolida de forma estable. Tienen convencimiento de que
las cantidades físicas no cambian pese a los cambios de aspecto. Un ejemplo
es la conservación de la cantidad continua. En este estadio el niño es capaz,
además, de justificar su respuesta.
2. De 10 a 12 años: En este estadio se consolidan las operaciones concretas en
un sistema equilibrado, pero el niño no puede pensar hipotéticamente sobre
todas las cosas que podrían hacerse en una situación determinada.

8. 4. Operaciones formales (de 12 años en adelante):
Los niños con edad superior a los 12 años pueden pensar de manera lógica sobre
proposiciones abstractas y probar las hipótesis de manera sistemática. Son conscientes
de lo hipotético, del futuro y los problemas ideológicos.
En esta etapa se abordan relaciones formalmente establecidas o hipótesis. La
lógica de este estadio es la lógica proposicional, en la cual lo que se entiende y
manipula son proposiciones o afirmaciones complejas. El lenguaje adquiere una
dimensión especial como representación del mundo, con el que se puede afirmar
cualquier cosa, verdadera o falsa, real o imaginaria; la realidad se convierte en una
posibilidad más entre muchas otras.
Los subestadios no están claramente marcados, pero alrededor de los 12 años los
niños muestran la capacidad de pensar hipotéticamente.

9. EXPERIMENTOS REFERENTES AL ASPECTO CARDINAL DEL NÚMERO.
“CONSERVACIÓN DEL NÚMERO”.
Para explorar la comprensión de la faceta cardinal que los niños poseen a ciertas
edades, Piaget, propone una serie de experimentos con los que, más adelante, creará o
dividirá a los niños de estas edades en los llamados “estadios”.
Como principal experimento tomaremos el de la correspondencia provocada entre
botellas y vasos. Colocando en una mesa seis botellitas y en una bandeja un juego de
vasos, estimulamos al niño a que iguale el número de botellitas cogiendo vasos de la
bandeja.
Dependiendo de la facilidad del niño para agrupar los conjuntos, y dependiendo
mayoritariamente del rendimiento de ejecución de los niños, Piaget establece tres
“estadios”:
• Estadio I: Comparación global sin formación de una correspondencia
biunívoca ni de una equivalencia duradera.
Estos niños simplemente tratan de hallar una colección parecida, sin tratar de
cuantificar los objetos en cada conjunto. Entre los 3 y los 5 años los niños no se
molestaban en contar ni emparejar cada objeto de la primera colección con los de la
segunda.
Podemos poner como ejemplo el de un niño de 4 años y 4 meses que colocó 13
flores muy juntas delante de 10 floreros. Para hacerle saber que estaba equivocado se le
invitó a poner cada flor en un florero. El niño se dio cuenta que sobraban tres flores.
De esta actitud podemos deducir que, en este primer estadio, los niños no son
capaces de igualar conjuntos dependiendo, por ejemplo, de su longitud. Es decir, el
hecho de que se pongan los dos conjuntos en una hilera y las hileras sean equidistantes,
para ellos supondrá el mismo número de objeto en los dos conjuntos.
• Estadio II: Correspondencia biunívoca sin equivalencia perdurable.
En este estadio los niños crean una segunda colección equivalente a la primera,
pero con un problema añadido: si uno de los conjuntos ocupa mayor espacio, éste sería
mayor.
Los niños en este estadio tienen edades comprendidas entre los 4 y los 6 años.
Podemos observar como un niño en este estadio puede conseguir equiparar los
conjuntos, pero si nosotros cogemos un conjunto y lo hacemos más grande

10. longitudinalmente hablando, el niño pensará que éste último es más grande.
Un claro ejemplo es el de un niño al que un entrevistador le muestra una hilera de
4 caramelos y él tiene otra totalmente igual, con la misma longitud. El niño se da cuenta
que las hileras tienen el mismo número de caramelos.
Acto seguido se le añade un caramelo más a la hilera del entrevistador y, al mismo
tiempo, se estira la hilera del niño, quedando más alargada la hilera del niño. Ante esta
situación, el niño piensa que por ser su hilera más larga contendrá más caramelos.
Finalmente se le hace contar al niño los caramelos de las dos hileras, pero éste, aun
habiendo contado un caramelo menos en su hilera, sigue prefiriendo la suya por tener
mayor longitud.
El niño en este estadio ha comprendido el aspecto cardinal del número, pudiendo
hallar espontáneamente alguna forma para emparejar los conjuntos, pero entiende que la
longitud es un rango superior a la hora de la cantidad de un conjunto respecto a otro.
• Estadio III: Equivalencia duradera.
La gran mayoría de los niños en este estadio supera los 5 años, y en este caso no
sólo son capaces de producir una colección de objetos igual en número a otra colección
dada, sino que están seguros de la equivalencia entre éstas, independientemente de su
disposición.
Un claro ejemplo para este estadio es el de un niño de 6 años y 2 meses al que se
le dejó agrupar una serie de objetos para igualar en número al conjunto dado
anteriormente. El niño sabía perfectamente que esa agrupación que había hecho era
exacta en número a la que le habían dado. A continuación se le agrupaba a parte un
conjunto, el niño sabía que, aunque se habían agrupado de otra manera, el conjunto que
él anteriormente había ordenado tenía el mismo número de objetos que el otro conjunto.
En este estadio están totalmente seguros de que si dos colecciones son iguales en
número, un cambio en la organización de las mismas no hace que varíe el número.
A estos experimentos les surgen críticas que veremos a continuación:
Donaldson alega que con estas técnicas se induce al niño al error. Hay una
predisposición a que el niño fracase a la hora de agrupar, ya que son sometidos a
diferentes cambios de organización de objetos.
Bryant, a su vez, afirma que los experimentos clásicos de conservación de Piaget
no proporcionan pruebas sólidas de comprensión de la propiedad invariable del número,
ya que la colección reordenada no es comparada consigo misma en un estado anterior.
Muchos investigadores han “entrenado” a los niños a dar respuestas acertadas,
aunque sus esfuerzos no siempre han tenido éxito.
Por último, Bryant puso de manifiesto que si los niños respondían a las preguntas
de los estadios anteriores, cada vez que se modificase la longitud de cada conjunto,
contestarían una cosa diferente, por eso él, propone un método de emparejamiento con
el que obtiene resultados positivos.

11. La conclusión a la que nos hacen llegar es que los niños aún no están capacitados
para responder con facilidad y acierto a estos los experimentos. Esto, posiblemente se
deba a la maduración de su cerebro para realizar este tipo de operaciones.
EXPERIMENTOS REFERENTES AL ASPECTO ORDINAL DEL NÚMERO.
“LA SERIACIÓN”.
Piaget también diseñó algunas tareas experimentales enfocadas hacia el aspecto
ordinal. Éste llevó a cabo una serie de experimentos de seriación con niños. Uno de los
problemas que se presentan con estos experimentos de seriación es que, en la mayoría
de los casos, él incorporaba a su colección de objetos una secuencia perceptual
subyacente. De este modo la primera tarea que tenía que realizar el niño consistía en
ordenar los objetos en secuencia de acuerdo con alguna propiedad física. Si la tarea ha
sido realizada eficientemente, muestra una facultad lógica que tiene relación con la
capacidad de afrontar una tarea sistemáticamente y de verificar su coherencia lógica.
La importancia de los experimentos de seriación reside en que se utilizan para
revelar si un niño puede relacionar el aspecto cardinal y ordinal.
“La seriación es una operación lógica que, a partir de un sistema de referencias,
permite establecer relaciones comparativas entre los elementos de un conjunto y
ordenarlos según sus deferencias, ya sea en forma decreciente o creciente.”
La seriación tiene dos propiedades fundamentales:
1. La reversibilidad, es la posibilidad de concebir simultáneamente dos
relaciones inversas. Consiste en considerar a cada elemento como mayor
que los siguientes y menor que los anteriores.
2. La transitividad, consiste en poder deducir la relación existente entre dos
elementos.
La seriación atraviesa una serie de etapas:
• Etapa I: Formar parejas de elementos, colocando uno pequeño y otro
grande. El niño también construye una escalera, centrándose en el extremo
superior y descuidando la línea base.
• Etapa II: Serie por ensayo y error. El niño consigue crear la serie, con
dificultad para ordenarlas de manera total.
• Etapa III: En esta etapa el niño tiene capacidad a la hora de realizar la
seriación de manera sistemática.
Piaget nos da como ejemplo una repuesta de estadio III, la de Shen, un niño de
seis años y medio, a quien se le había planteado una situación en la que intervenían diez
muñecas de diversas estaturas, juntamente con diez palitos de alturas también variables.

12. El niño atribuía a la décima muñeca la primera posición, a la novena muñeca le atribuía
la segunda posición, a la octava le atribuía la tercera posición y así sucesivamente.
Otra respuesta propia del estadio III es la de Ald, un niño de seis años y medio que
fue sometido a un experimento que consistía en que el niño debía de disponer 19
palillos en escalera, estando éstos desordenados. Se puso una muñeca en el escalón doce
y se le preguntó a Ald cuántos escalones había subido, luego le preguntaron cuántos
escalones habían quedado atrás y cuántos escalones quedaban por subir. El niño acertó
todas las cuestiones.
Los niños del estadio II, por contraste, reconstruyeron la escalinata completa para
poder contestar a las dos últimas preguntas. Lo que define el estadio II de Piaget suele
ser la capacidad para manipular los números de modo versátil al objeto de resolver los
problemas.
Experimentos semejantes al anterior nos permiten una indicación aún más clara de
la asociación entre los aspectos cardinal y ordinal del número.
Los niños del estadio III comprenden edades entre los seis años y medio y los siete
años y medio, mientras que los niños del estadio II comprenden edades entre los cinco
años y medio y los siete años.
Según Piaget, para comprender de manera absoluta los números naturales y como
se han de aplicar, es necesario comprender tanto la faceta ordinal del número natural
como la cardinal. Tal comprensión se alcanza al mismo tiempo que se desarrollan otras
muchas operaciones lógicas entre los seis y los ocho años de edad.
Ente los cinco y los ocho años, el niño comienza a actuar de forma coherente por
referencia a números, en lugar de por referencia a colecciones particulares de objetos.

13. CONSECUENCIAS DE CARÁCTER DIDÁCTICO
Este trabajo ilustra al igual que Schaeffer, las dificultades con que tropieza el niño
en su comprensión del número natural y sus aplicaciones.
Se trataron de investigaciones que no tuvieron una aplicación directa en el terreno
educativo. Fueron estudios que pueden definirse como de carácter descriptivo y/o
explicativo.
Se ha demostrado en numerosas ocasiones que modificaciones en el diseño de las
tareas sin importancia puede provocar cambios importantes en la respuesta del niño. De
aquí se sigue que el logro de “conservación” en su definición piagetiana no deber ser
tenida como una gran divisoria, sino tan solo como un pasito más hacia una visión
completa.
No obstante, es inverosímil que un niño no responda como lo haría un adulto en
las tareas de conservación y seriación llegando a abstraer una noción coherente de
número, y seguirá teniendo que depender de los objetos.

14. TEORÍAS CONSTRUCTIVISTAS DEL APRENDIZAJE MATEMÁTICO
Todo aprendizaje constructivo supone una construcción que se realiza a través de
un proceso mental que conlleva la adquisición de un conocimiento nuevo. Pero en este
proceso no es sólo el nuevo conocimiento que se ha adquirido, sino la posibilidad de
construirlo y adquirir una nueva competencia que le permitirá generalizar, es decir,
aplicar lo ya conocido a una situación nueva.
El Modelo Constructivista está centrado en la persona y en sus experiencias
previas. Según Piaget, esta construcción se produce cuando el sujeto interactúa con el
objeto del conocimiento.
A diferencia del Conductismo, las interpretaciones cognitivas del aprendizaje
matemático consideran que aprender matemáticas es alterar las estructuras mentales,
insistiendo en el aprendizaje de conceptos.
Aunque al inicio de este trabajo se han expuesto los puntos más importantes del
recorrido profesional de Piaget, como son el método, la teoría o las etapas del desarrollo
de la inteligencia, cabe destacar de manera más específica algunos de los procesos ya
comentados.
En primer lugar, el sujeto tiene una estructura mental en la que encaja las
experiencias que ha vivido hasta el momento, percibiendo los problemas a los que se
enfrenta en función de dichas experiencias previas y buscando soluciones según sus
estructuras mentales. A este proceso Piaget lo denomina asimilación.
Cuando un alumno no puede explicar un determinado problema mediante
estructuras previas, se ve obligado a cambiarlas por otras que le sirvan para afrontar las
nuevas ideas. En este caso, el proceso es denominado acomodación.
Tanto el proceso de asimilación como el de acomodación se enmarcan en lo que
para Piaget es el proceso de equilibración.
El proceso de aprendizaje para los defensores de las teorías constructivistas no se
produce mediante una acumulación de conocimientos o mediante la descomposición de
los mismos, sino que requiere la formación de estructuras más amplias. Los alumnos
tienen que percibir lo que les plantea un problema y hacer suyo el criterio para justificar
la validez de una respuesta.
Para concluir, cabe destacar las aportaciones de Bruner y Ausubel, para quienes el
aprendizaje debía ser significativo para el que aprende y ser fruto de un proceso de
relación del alumno con los problemas, oponiéndose ambos al aprendizaje memorístico.