Teoría y ejemplos de ejercicios y problemas con Números Racionales: Fracciones

1. Fracciones
Index
1. Términos de un fracción
2. Equivalencia de fracciones
3. Ampliación y simplificación de fracciones
4. Fracciones con el numerador mayor que el denominador
5. Reducción de fracciones a común denominador
6. Reducción de fracciones a mínimo común denominador
7. Comparación de fracciones
8. Suma y resta de fracciones
9. Multiplicación de fracciones
10. Fracciones inversas y opuestas
11. División de fracciones
12. Resolución de problemas
1

2. 1. Términos de una fracción
Fracciones
Las fracciones representan partes de una unidad.
Constan de dos términos:
 El numerador, que indica las partes iguales que
se toman de la unidad.
El denominador, que indica las partes iguales en que
se divide la unidad.
2
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3. 2. Fracciones equivalentes (I)
Fracciones
En las figuras: 1 2 3 4 5 3 6 9 1215
2 6
5 15
2 6
La parte coloreada de azul es la misma, luego 2
5 15 0,4
5
Dos fracciones son equivalentes cuando valen lo mismo.
6
0,4
También podemos observar que: 15
2 6
2 · 15 = 5 · 6
5 15
Los productos cruzados son iguales
Dos fracciones son equivalentes si los a c
productos del numerador de cada una de ellas a·d b·c
b d
por el denominador de la otra son iguales.
3
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4. 2. Fracciones equivalentes (II)
Fracciones
Observa las partes coloreadas de naranja que se representan:
3 6
y indican lo mismo.
4 8
6
8 3 6
y están en el mismo punto de la recta numérica.
0 1 4 8
3
4
3 : 4 = 0,75 3 6
y dan el mismo cociente.
6 : 8 = 0,75 4 8
3
de 16 = 12 3 6
4 y actúan sobre un número de la misma manera.
6 4 8
de 16 = 12
8
Cuando dos fracciones son equivalentes:
Indican lo mismo. Se representan en el mismo punto de la recta numérica.
Dan el mismo cociente. Actúan de la misma forma sobre un número.
4
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5. 2. Cómo comprobar si dos fracciones son equivalentes
Fracciones
Fíjate en las 64 casillas del tablero de ajedrez.
¿Qué parte del tablero ocupan las 16 figuras
blancas?
Puedes decirlo de muchas maneras:
16 8 4 2 1
64 32 16 8 4
Vamos a comprobar que estas fracciones son equivalentes mediante la
regla de los productos cruzados.
Observa: 16 8
16 32 64 8 512
64 32
8 4
8 16 32 4 128
32 16
Dos fracciones son equivalentes si los productos del numerador de cada una
de ellas por el denominador de la otra son iguales.
4 2
4 8 = 16 2
16 8
5
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6. 3. Ampliación y simplificación de fracciones (I)
Fracciones
12 12 2 24 12 3 36
Observa las fracciones: ...
16 16 2 32 16 3 48
12 24 36
16 32 48
24 36 12 12
Las fracciones , , ... equivalentes a son fracciones ampliadas de
32 48 16 16
12 12 : 2 6 12 : 4 3
Observa estas otras fracciones: ...
16 16 : 2 8 16 : 4 4
6 3 12 12
Las fracciones , , ... equivalentes a son fracciones reducidas de
8 4 16 16
Podemos obtener fracciones equivalentes a una fracción:
Multiplicando sus términos por un mismo número.
Dividiendo sus términos por un mismo número.
(Este número debe ser distinto de cero.)
6
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7. 3. Ampliación y simplificación de fracciones (II)
Fracciones
Observa las partes coloreadas de azul de las fracciones que se representan:
1 2 3
2 4 6
2 3 1
Las fracciones y son fracciones ampliadas de y equivalentes a ella.
4 6 2
Observa:
12 6 3
16 8 4
6 3 12
Las fracciones y son fracciones reducidas de y equivalentes a ella
8 4 16
12 12 : 2 6 12 : 4 3 Fracción irreducible:
Es evidente que:
16 16 : 2 8 16 : 4 4 no se puede reducir más.
Si multiplicamos o dividimos los términos de una fracción por
un mismo número, la fracción obtenida es equivalente a la dada.
6 12 18 6:6 1 irreducible
Son equivalentes:
18 36 54 18 : 6 3 7
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8. 3. Simplificación de fracciones
Fracciones
En la figuras siguientes, las partes coloreadas de azul son iguales.
Las fracciones que representan son equivalentes.
12 6 3
16 8 4
12 12 : 2 6 12 : 4 3
Observa que:
16 16 : 2 8 16 : 4 4
12 3
Hemos transformado la fracción en , que es equivalente a ella e irreducible.
16 4
Este proceso se denomina simplificación de fracciones.
Simplificar una fracción es convertirla en otra equivalente e irreducible. Para ello se
dividen los dos términos de la fracción por todos los divisores comunes de ambos.
Dividiendo por 10
Ejemplo: 240 24 3
3 y 5 son primos entre sí.
400 40 5
Dividiendo por 8
8
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9. 4. Fracciones con numerador mayor que el denominador
Fracciones
Las 22 fotos de igual tamaño ocupan mas de 2 hojas del álbum.
A estas fracciones
también se les llama
números mixtos
4 4
En concreto, 2 hojas completas y de otra. Esto se puede escribir así: 2
9 9
9
Si observamos que cada foto ocupa un noveno de hoja, una hoja completa será
9
9 9 4 22 4
Por tanto: + + = = 2
9 9 9 9 9
Para convertir una fracción en un número entero y otra fracción hay que dividir el
numerador entre el denominador.
22 4
En el caso de 22 : 9 = 2, resto 4. 2
9 9
53 5
Otro ejemplo: La fracción 4 , pues 53 : 12 = 4, resto 5.
12 12
9
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10. 4. Números mixtos
Fracciones
Hay fracciones que representan un número entero de unidades más una parte
fraccionaria. Son fracciones mayores que 1. La parte coloreada de la figura es:
9 4 4 1 1
2
4 4 4 4 4
9 1
Si divides: 9 : 4 = 2, resto 1 2
4 4
Podemos escribir una fracción mayor que 1, como suma de la parte entera y
de una fracción menor que 1:
9 1 1 1
2 El número 2 se escribe así: 2
4 4 4 4
Los números fraccionarios escritos de esta forma se llaman números mixtos.
Ejercicio resuelto:
41 1
Escribe como número mixto y 7 como fracción.
3 3 41 2 2
Dividiendo : 41 : 3 = 13 y resto 2 13 13
3 3 3
1 1 21 1 22
7 7
3 3 3 3 3
10
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11. 5. Reducción de fracciones a común denominador (I)
Fracciones
Tenemos las fracciones:
2 1 5
3 4 6
y queremos encontrar tres fracciones equivalente a cada una de ellas que tengan el
mismo denominador.
Escribimos fracciones equivalentes:
2 6 12 16 20
... Sus denominadores son múltiplos de 3.
3 9 18 24 30
1 4 6 7 9
... Sus denominadores son múltiplos de 4.
4 16 24 28 36
5 15 20 30 40
... Sus denominadores son múltiplos de 6.
6 18 24 36 48
Por tanto, el denominador común tiene que ser múltiplo de 3, 4 y 6 a la vez.
Por ejemplo, 24.
2 16 1 6 5 20
3 24 4 24 6 24
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12. 5. Reducción de fracciones a común denominador (II)
Fracciones
Para reducir fracciones a común denominador
Halla un múltiplo común a los denominadores.
Escribe las fracciones equivalentes con ese denominador.
Hay una forma directa de conseguir fracciones con común denominador.
2 1 5
Lo aplicamos a las fracciones:
3 4 6
Como 3 x 4 x 6 es múltiplos de 3, 4 y 6, se tendrá:.
2 2 (4 6) 48 1 1 (3 6) 18 5 5 (3 4) 60
3 3 (4 6) 72 4 4 (3 6) 72 6 6 (3 4) 72
Otro ejemplo: 3 3 5 15
3 2 4 4 5 20
Las fracciones: y
4 5 2 2 4 8
5 5 4 20
12
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13. 6. Mínimo común denominador
Fracciones
Vamos a ver otra forma de reducir fracciones con común denominador.
3 1 9 2
Lo aplicamos a las fracciones: y y
4 6 12 12
El denominador común tiene que ser múltiplo de 4 y de 6.
Múltiplos de 4: 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 ...
Múltiplos de 6: 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 ...
Múltiplos comunes: 12 24 36 ...
Escribimos:
El menor es 12. Se llama mínimo común múltiplo de 4 y 6. m.c.m. (4, 6) = 12
Puedes calcular el m.c.m. de varios números así:
Descompones los números en factores primos.
El m.c.m. es igual al producto de los factores primos comunes
y no comunes, elevados al mayor exponente.
Observa: El m.c.m. debe tener: el 22 por ser múltiplo de 4;
4 = 22
6=2 3 el 2 y el 3 por ser múltiplo de 6. El 2 ya está en 22.
Luego, m.cm. (4, 6) = 22 3 = 12
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14. 6. Reducción de fracciones a mínimo común denominador (I)
Fracciones
Para reducir fracciones a mínimo común denominador se elige
como denominador común el m.c.m. de los denominadores.
7 5 3
Lo aplicamos a las fracciones: , y
10 12 8
Descomponemos los denominadores en factores primos:
10 = 2 5 12 = 22 3 8 = 23
m.cm. (10, 12, 8) = 23 3 5 = 120
El mínimo común denominador será 120.
7 ? 5 ? 3 ?
10 120 12 120 8 120
12 10 15
Luego:
7 ?
84 5 ?
50 3 ?
45
10 120 12 120 8 120
14
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15. 6. Reducción de fracciones a mínimo común denominador (II)
Fracciones
24 60 54
, y
1 5 3 72 72 72
Las fracciones , y son equivalentes a: reduciendo
3 6 4 4 10 9
, y
12 12 12
El denominador 12 es el menor de los denominadores comunes, y coincide con el
mínimo común múltiplo de 3, 6 y 4.
Para calcular el mínimo común denominador de varias fracciones se procede como
sigue: 1º. Se calcula el mínimo común múltiplo de los denominadores.
2º. Los numeradores de cada fracción se multiplicarán por el cociente
entre ese m.c.m. y los denominadores respectivos.
7 5 2
Veamos otro ejemplo: Reducir a mínimo común denominador , y
8 12 3
1º Como 8 = 23, 12 = 3 · 22 y 3 = 3, el m.c.m. (8, 12, 3) = 23 · 3 = 24
2º. Dividimos 24 entre 8, 12 y 3: 7 7·3 21
24 : 8 = 3
5 5·22 10 8 24 24
24 : 12 = 2
12 24 24
2 2 · 8 16
24 : 3 = 8
3 24 24
15
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16. 7. Comparación de fracciones
Fracciones
Con el mismo denominador:
3 Si dos fracciones tienen el
5 3
8 mismo denominador, es mayor
5 8 8
8 la que tiene mayor numerador
Con el mismo numerador:
4 Si dos fracciones tienen el
4 4
5 mismo numerador, es mayor
4 5 7
7 la que tiene menor denominador
Con numeradores y denominadores distintos:
5 4 Para comparar dos
Comparamos: y
6 5 fracciones cualquiera
5 25 4 24 se reducen a común
Reducimos a común denominador: denominador.
6 30 5 30
25 24 5 4 Será mayor la que tenga
Como nuevo mayor numerador.
30 30 6 5
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17. 8. Suma y resta de fracciones
Fracciones
Con el mismo denominador: Se suman los
Suma numeradores
2 1 2 1 3
+
5 5 5 5
Se restan los
Resta numeradores
5 2 5 2 3
7 7 7 7
En ambos casos se deja el mismo denominador.
Con distinto denominador:
Se reducen antes a común denominador:
5 1 10 3 13 Para sumar o restar fracciones con
Suma
6 4 12 12 12 distinto denominador:
m.c.m (6, 4) = 12 · Se reducen a común denominador.
5 1 10 3 7
· Se suman o restan las fracciones
Resta obtenidas con el mismo denominador.
6 4 12 12 12
17
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18. 8. Suma y resta de fracciones. Ejercicios (I)
Fracciones
7 8 6
Ejercicio 1 Calcula:
11 11 11
Como tienen el mismo denominador, para operar se suman o restan los numeradores.
El numerador será el mismo.
Luego: 7 8 6 7 8 6 9
11 11 11 11 11
2 4 7
Ejercicio 2 Calcula:
9 5 10
Para sumarlas hay que reducirlas a común denominador:
Como 9 = 32, 5 = 5 y 10 = 2 · 5, el m.c.m (9, 5, 10) = 32 · 2 · 5 = 90.
Luego:
2 4 7 2 · 10 4 · 18 7·9 20 72 63 20 72 63 29
9 5 10 90 90 90 90 90 90 90 90
90 : 9 = 10 Observa que cada numerador se
90 : 5 = 18 multiplica por el cociente entre el m.c.m
90 : 10 = 9 (90) y los denominadores respectivos
18
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19. 8. Suma y resta de fracciones. Ejercicios (II)
Fracciones
13 11 5 17
Ejercicio 3 Calcula:
11 20 9 35
Calculamos el m.c.m de los denominadores:
Escritos en factores: 11 = 11, 20 = 22 · 5, 9 = 32 y 35 = 5 · 7
Luego, m.c.m (11, 20, 9, 35) = 11· 22 · 5 · 32 · 7 = 13860
Por tanto:
13 11 5 17 13·1260 11· 693 5·1540 17· 396
11 20 9 35 13860 13860 13860 13860
Observa: 13860 : 11 = 1260
13860 : 20 = 693
13860 : 9 = 1540
13860 : 35 = 396
Sumando o restando los numeradores, queda:
16380 7623 7700 6732 9725
13860 13860
19
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20. 8. Suma de un número entero y una fracción
Fracciones
1
Tenemos dos cuadrados completos y un cuarto de otro: 2
4
+ +
1 8 1 9
2 + + =
4 4 4 4
2·4 8
Observa que: 2
4 4
Para sumar un número entero y una fracción:
1º. Se expresa el número entero como fracción, multiplicado y dividiendo por
el denominador de la fracción.
2º. Se suman como dos fracciones de igual denominador.
Otro ejemplo
1 1 3·8 1 24 1 25
1 5 2 3
Calcula: 5 2 8 8 8 8 8 8 8
8
20
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21. 8. Resta de un número entero y una fracción
Fracciones
Tenemos un rectángulo completo y deseamos
5
quitarle cinco séptimos del mismo: 1
7
7
1 5 5
7
7 7
5 7 5 2
2
Luego: 1
7 7 7 7 7
Para restar un número entero y una fracción:
1º. Se expresa el número entero como fracción, multiplicado y dividiendo por
el denominador de la fracción.
2º. Se restan como dos fracciones de igual denominador.
9 9 9 3· 2 9 6 3
Otro ejemplo Calcula: 3 3
2 2 2 2 2 2 2
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22. 9. Multiplicación de fracciones
Fracciones
Un número natural por una fracción
Calculemos 5 veces 2 tercios:
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 5 2 10
5 = + + + + =
3 3 3 3 3 3 3 3 3
Para multiplicar un número natural por una fracción se multiplica
el número por el numerador; se deja el mismo denominador.
Producto de dos fracciones
Calculemos los 2 quintos de 3 cuartos:
3 2 3 2 3 2 6
4 5 4 5 4 5 20
El producto de dos fracciones es una fracción con:
El numerador igual al producto de los numeradores.
El denominador igual al producto de los denominadores
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23. 10. Fracciones opuestas e inversas
Fracciones
4
Dada la fracción , ¿qué fracción sumada con ella da 0? Dos fracciones
7 son opuestas cuando
4
Si se elige , la suma es: su suma es 0.
7 4 4 4 ( 4) 0
0
7 7 7 7
4 4
Las fracciones y se dice que son fracciones opuestas.
7 7
La fracción opuesta se obtiene cambiando de signo la fracción dada.
4
Dada la fracción , ¿qué fracción multiplicada por ella da 1? Dos fracciones
7
7 son inversas cuando
Si se elige , el producto es: su producto es 1.
4 4 7 4 7 28
1
7 4 7 4 28
4 7
Las fracciones y se dice que son fracciones inversas.
7 4
La fracción inversa se obtiene intercambiando los términos de la fracción dada.
23
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24. 11. División de fracciones (I)
Fracciones
Para dividir fracciones es de gran utilidad que las fracciones tengan el
mismo denominador.
1
¿Cuántos pinchos de de tortilla hay en 1 de tortilla?
8 2
1 1
2 8 1 1 4 1
: = : : 4 pinchos
2 8 8 8
1 5
¿Cuántos vasos de refresco de de litro pueden llenarse con una botella de
8 2
de litro?
Hemos reducido a
5 1 15 1 común denominador para dividir
: : 15 vasos
2 6 6 6 más cómodamente.
1 9
¿Cuántos vasos de leche de de litro pueden llenarse con una botella de de
4 8
litro?
9 1 9 2 9 9 1
: : Observa que 4
8 4 8 8 2 2 2
Pueden llenarse cuatro vasos y medio.
24
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25. 11. División de fracciones (II)
Fracciones
Contesta: ¿Qué número multiplicado por 8 da 24? ? · 8 = 24 ? =3
Observa que: ? · 8 = 24 ? = 24 : 8 ? =3
Está multiplicando Pasa dividiendo
? 2 3 ? 3 2
Por lo mismo: · es equivalente a :
? 5 11 ? 11 5
Luego, multiplicar por una fracción equivale a dividir por su inversa.
Y viceversa: dividir por una fracción equivale a multiplicar por su inversa.
? 3 2 ? 2 3 ? 2 5 3 5
Por tanto: : · · · ·
? 11 5 ? 5 11 ? 5 2 11 2
? 15 ?
? 15
En definitiva: · 1
?
? 22 ?
? 22
25
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26. 11. División de fracciones (III)
Fracciones
? 3 2 ?
? 3 5 15
Hemos visto que: : ·
? 11 5 ?
? 11 2 22
Luego: Para hallar el cociente de dos fracciones se multiplica la primera por la
fracción inversa de la segunda.
inversas
3 2 3 5 3·5 15
Por tanto: : ·
11 5 11 2 11 · 2 22
3 2 3·5 15 El producto cruzado
O bien: :
11 5 11 · 2 22 es más rápido
3 6 3 7 21
Ejemplo: : ·
5 7 5 6 30
inversas
3 6 3· 7 21
Utilizando el producto cruzado: :
5 7 5·6 30
26
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27. 12. Resolución de problemas (I) (1ª parte)
Fracciones
Problema: Un club de fútbol tiene dividida su temporada en cuatro partes. En la primera
juega la mitad del total de los partidos; en la segunda, la cuarta parte, y en la tercera, un
octavo. Para terminar la temporada le faltan todavía 6 partidos por jugar. ¿De cuántos partidos
consta la temporada de este club? ¿Cuántos partidos juega en cada parte de la temporada?
Primero: Hacer un dibujo
Podemos representar la temporada mediante una línea dividida en cuatro partes:
1 1 1
2 4 8
Faltan 6 partidos
Segundo: Utilizar fracciones
1 1 1
La fracción de partidos jugados es la suma Pero todavía “no sabemos”
2 4 8 sumar fracciones.
Habrá que buscar otra alternativa. Por ejemplo, podemos Si se sabe sumar fracciones
observar que el número de partidos debe ser múltiplo de 8. puede seguirse esa idea
27
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28. 12. Resolución de problemas (I) (2ª parte)
Fracciones
Problema: Un club de fútbol tiene dividida su temporada en cuatro partes. En la primera
juega la mitad del total de los partidos; en la segunda, la cuarta parte, y en la tercera, un
octavo. Para terminar la temporada le faltan todavía 6 partidos por jugar. ¿De cuántos partidos
consta la temporada de este club? ¿Cuántos partidos juega en cada parte de la temporada?
Después de jugar la mitad más la
Tercero: Volver al dibujo
cuarta parte, queda otra cuarta parte
1 1 1
2 4 8
Queda la mitad Faltan 6 partidos
Queda la cuarta parte
Cuarto: Volver a las fracciones
La cuarta parte es la mitad de la mitad. Y la octava parte es la mitad de la cuarta parte.
Luego, 6 es la mitad de la cuarta parte; esto es, la octava parte: ? : 8 = 6
El número buscado es 48. Esos son los partidos que juega el equipo
Comprueba que el resultado es correcto.
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29. 12. Resolución de problemas (II) (1ª parte)
Fracciones
Problema: A los ganadores de una competición se les premia regalándoles discos:
Al primero le regalan la mitad de los discos. Al segundo, la mitad que al primero.
Al tercero, la mitad que al segundo. Al cuarto, los 12 discos que quedan.
¿Cuántos discos se han regalado?
Primero: Tantear
Supongamos que se regalan 36 discos en total.
Así: Al primero le tocarían 18; al segundo, 9; al tercero, la mitad de nueve.
No puede ser (habría que romper un disco).
Segundo: Utilizar fracciones
Indiquemos con ? el total de discos: El primero recibe la mitad: ?
? 2
El segundo la mitad de la mitad, que es la cuarta parte:
1 ? 4
?
El tercero recibe la mitad que el segundo: de
2 4 8
? ? ? 4· ? 2· ? ? 7
Entre los tres han recibido: + + ?
2 4 8 8 8
1
Al cuarto le quedará lo que falta: ?
8
29
03/05/2012

30. 12. Resolución de problemas (II) (2ª parte)
Fracciones
Problema: A los ganadores de una competición se les premia regalándoles discos:
Al primero le regalan la mitad de los discos. Al segundo, la mitad que al primero.
Al tercero, la mitad que al segundo. Al cuarto, los 12 discos que quedan.
¿Cuántos discos se han regalado?
Tercero: Hacer cálculos
1
Teníamos que al cuarto le quedaba: ?
8
1 1
Como el cuarto recibe 12 discos, se tiene que: ? = 12 ? = 12 : = 96
8 8
El número de discos regalados es 96.
Cuarto: Comprobar el resultado
96
El primero recibe la mitad: 48
2
El segundo recibe la mitad que el primero: 24
El tercero, la mitad que el segundo: 12 El cuarto recibe 12 (96 : 8 = 12)
En total: 48 + 24 + 12 + 12 = 96
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31. 12. Técnicas y estrategias
Fracciones
PROBLEMA
En la biblioteca hay un estante con libros de aventuras. El jueves se prestaron 16
libros. El viernes se prestaron la mitad de los que quedaban. Después de este préstamo
quedaron 24 libros. ¿Cuántos libros de aventuras había en la biblioteca?
ELABORA UN DIAGRAMA
Se indica por N el número de libros que había antes de realizar ningún préstamo.
Jueves Viernes
Prestan 16 M
Prestan 2
N
Quedan N – 16 = M = 24
M
Quedan
EMPIEZA POR EL FINAL
2
M
Como la mitad de M son 24, se tiene: 24 M = 48
2
El jueves quedaron en la biblioteca 48 libros de aventuras.
N – 16 = 48 N = 64
COMPRUEBA EL RESULTADO
Había 64. Después del jueves: 64 – 16 = 48 La mitad es: 48 : 2 = 24
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