1. MATEMÁTICAS APLICADAS AL DERECHO

2. DAVID CIENFUEGOS SALGADO
~ MATEMATICAS
APLICADAS AL DERECHO
Segunda edición
11
EDITORIAL PORRÚA
AV. REPÚBLICA ARGENTINA 15
MÉXICO, 2010

3. Primera edición, 2004
Copyringbt lO 2010,
DAVID C1ENFUEGOS SALGADO
Eutimio Pinzón 6,
39020, Chilpancingo, Gro.
Esta edición y sus características son propiedad de
EDITORIAL PORRÚA. SA de CV 8
Av. República Argentina 15 altos, col. Centro, 06020, México, DF
www.porrua.com
Queda hecho el depósito que marca la ley
Derechos reservados
ISBN 970-07-4616-2
IMPRESO EN MExICO
PRINTED IN MEXICO

4. 1. MATEMÁTICA Y DERECHO
La historia del hombre no seria la misma si la matemática no hubiera sido
desarrollada. Esta ciencia exacta ha proporcionado muchos de los ele­mentos
necesarios para la evolución cultural del hombre: desde los ins­trumentos
necesarios para establecer el trueque o cambio de mercancias,
basta la resolución de los problemas técnicos que lanzarian al género hu­mano
a la conquista del espacio. La matemática, al igual que el derecho,
está presente en la mayoría de las actividades realizadas cotidianamente.
Davis y Hersh, al hablarnos de la utilidad que representa la matemática
en el mundo moderno aseveraron que para un astrónomo o fisico, las ma­temáticas
son útiles porque son el idioma de las ciencias, para un inge­niero
civil son útiles porque facilitan la construcción de puentes, para un
profesor de matemáticas son útiles puesto que le permite recibir su paga
mensual, para un editor son útiles ya que le permiten vender libros.' En
este contexto, por qué no pensar que las matemáticas son útiles al aboga­do
porque le permiten realizar los cálculos que el estudio, interpretación
y aplicación correcta del derecho exigen.
En la escuela aprendemos a contar y medir. Estos procesos se realizan
a través de la utilización de un conjunto de simbolos con algunas reglas de
escritura. Sin embargo con frecuencia descubrimos que solamente aque­llos
alumnos que poseen ciertas aptitudes, se salvan de obtener malas ca­lificaciones,
puesto que logran captar la estructura lógica de la ciencia
matemática. ¿Cómo evitar que un porcentaje considerable de alumnos re­prueben
en matemática? ¿Como evitar el disgusto y repulsión hacia la
matemática? Y tratándose de la carrera de licenciado en derecho, ¿cómo
formar un profesional capaz de' entender y solucionar los problemas cuan­titativos
derivados del estudio, interpretación y aplicación del derecho?
Estas preguntas se contestan por el hecho, innegable, de que el maestro
siempre enseña el modo en que se hacen las cosas, en este caso las ope­raciones
matemáticas, y los alumnos lo aceptan sin cuestionar por qué.
Se requiere un cambio en esta situación, la doctrina matemática francesa
considera que es preciso situar al alumno en presencia de situaciones
1 Perera, Mariano, Historia e historia de matemáticas, México: Grupo Editorial Iberoa·
mericano, 1994. p. 75.
1

5. 2 Matem6licos aplicadas 01 Derecho • David Cienfuegos Salgado
matemáticas variadas (contextos diferentes) y hacerlo participar activa­mente
en el descuhrimiento de ciertos resultados, de ciertas propiedades
y estructuras. En el presente caso, el curso de Matemáticas aplicadas al
derecha no debe ser ni un monólogo del profesor, ni un diálogo de éste
último con determinado alumno en particular. El curso debe desarrollarse
con la participación activa de la mayoria de los alumnos, de todos si es
posible. Esto implica dejar un poco la didáctica tradicional para situarse
ahora el docente, como un coordinador del grupo, como un colaborador
más en la tarea que representa la construcción de nuevos conocimientos.
Con frecuencia se piensa que las matemáticas y el derecho son disci­plinas
que chocan, que son incompatibles. Esto es falso, toda vez que la
matemática aplicada al derecho constituye uno de los auxiliares princi­pales
en su estudio, interpretación y aplicación. Basta señalar que la
ciencia matemática provee al derecho de los métodos, técnicas y herra­mientas
necesarias para determinar cuantitativamente las repercusiones
jurídicas de un determinado comportamiento: cálculo de términos, pla­zos,
intereses, penas, beneficios, honorarios, salarios, actualizaciones,
prestaciones, asignación de curules, etcétera. El conocimiento de cómo
se realizan estos cálculos, es necesario e indispensable, para cualquier
profesional del derecho, cualquiera que sea su actividad: abogado litigan­te,
asesor jurídico, juez, administrador, legislador, etcétera.
Esta importancia aumenta cuando descubrimos que en áreas común­mente
atribuidas a los estudiosos del derecho, han proliferado profesio­nales
de oLras áreas, tales (;01110 contadores, ingenieros, actuarios, admi­nistradores
de empresas, licenciados en relaciones industriales, etc. Estos
profesionales, a pesar de carecer de los conocimientos jurídicos necesa­rios,
han desplazado a los egresados de las escuelas y facultades de dere­cho,
quienes por falta de una adecuada preparación en el conocimiento
de la ciencia matemática, han pasado a desempeñar funciones secunda­rias.
Esta situación debe cambiar; creo firmemente que ese es el objetivo
que tuvieron en mente quienes decidieron incluir la asignatura de Mate­máticas
aplicadas al derecho en la currícula de estudios superiores de la
Facultad de Derecho de la Universidad Nacional Autónoma de México.
El actual programa2 difiere sustancialmente de los anteriores." apre-
2 Aprobado por el H. Consejo Técnico de la Facultad de Derecho en su sesión del Bde
julio de 1997.
3 Aprobados por el H. Consejo Técnico, en sesiones de 26 de septiembre de 1994 y pu~
blicado en el Boletín de Jo Facultad de Derecho, número 71, primera quincena de octubre de
1994; y, del 30 de marzo, 14, 15 Y19 de abril, 9 y 21 de junio de 1993; aprobados por la Co­misión
de Trabajo Académico del H. Consejo Universitario en sus sesiones del 15 y 29 de ju­nio
de 1993; aprobados por el H. Consejo Universitario en su sesión del 2 de septiembre de
1993. Vid. Planes y programas de estudio d(J la Facultad de Derecho. GuaIto semestre, Facul­tad
de Derecho, UNAM, pp. 328-333.

6. Introducción 3
ciándose que se suprimieron temas que poco o en nada podían corres­ponderse
con el nombre de la asignatura, aprobándose en cambio modW­caciones
que enriquecen sustancialmente la cultura del estudiante en de­recho.
Considero que el contenido del programa de la asignatura Matemáti­cas
Aplicadas al Derecho es muy ambicioso; sin embargo es preciso reco­nocer
que estamos ante una asignatura sumamente necesaria. Durante el
III Coloquio Internacional de Filosofía e Historia de las Matemáticas
(UNAM, 22-26 de junio de 1992) Felipe Tirado Segura' hizo alusión a la
problemática de la materia al señalar:
Hay indicadores que permiten apreciar que la enseñanza de las matemáticas
a nivel básico (primaria y secundaria) tiene muy baja eficiencia. En una in­vestigación
con 897 estudiantes pertenecientes a 21 universidades, se e'ncon­tró
que respondiendo a un cuestionario de opción múltiple, el 15% no pudo
indicar a cuánto equivale 48 x 3, el 46% no pudo identificar el resultado de
dividir 50 entre 0.2 y el 61% no reconoció a que porcentaje equivale 50 en
un total de 250. En otra investigación, todos los encuestados tenían estudios
de posgrado terminados en distintas disciplinas, alrededor de tres cuartas
partes (76%) de ellos se dedicaban de tiempo completo a la investigación o a
la docencia a nivel de posgrado, es decir, personas que tenían probado éxito
escolar, que corresponden a la élite de la élite en la pirámide de escolaridad,
que son profesores de los profesores; con esta muestra se encontró que el
17.8% no pudieron identificar el resultado de dividir 50 entre 0.2, el 27.4%
no identificó el porcentaje de 40 sobre 200, el 39.6% no reconoció el princi~
pio para despejar una incógnita en una ecuación simple y el 45.2% parece
no comprender cual es el significado del valor "1[".
Es evidente que la asignatura no viene a cubrir tales lagunas, pues
ello implica revisar los temas que en el área especifica se han explicitado
al alumno desde la educación básica. Sin embargo, sí permite que el fu­turo
profesional del derecho identifique los instrumentos y procedimien­tos
matemáticos que le permitirán desarrollar su labor, tan preciada para
la sociedad de hoy dia, en forma más adecuada. La presente obra va
acompañada de abundantes ejercicios y prácticas que permitirán al estu­diante
adquirir y mejorar su habilidad mental y afianzar los conocimien­tos
obtenidos.
Estas páginas iniciales constituyen un repaso de conocimientos que
el estudiante suele adquirir durante su formación básica, mismos que, se­guramente,
ha relegado al olvido, pero que adquieren vítal importancia
en el contexto de la asignatura que se trata.
4 Tirado Segura, Felipe, "La enseñanza de las matemáticas básicas, la historia como es·
tructura curricular", en Mathesis, Vol. IX, no. 4, noviembre 1993, p. 434 Yss.

7. 4 Matem6licas aplicadas al Derecho • David Cienfuegos Salgado
11. LA MATEMÁTICA
En este contexto introductorio vale la pena cuestionamos ¿Qué es la
matemática? La matemática suele ser caracterizada como la ciencia que
se encarga del estudia de cantidades y formas, sus propiedades y relacio­nes,
valiéndose de la utilización de números y simbolos. Aristóteles se
habia referido a ella como la ciencia de la cantidad; y Descartes, siglos
después la llamaría ciencia del orden y de la medida. Sin embargo, es
mucho más que eso, puesto que abarca uno de los fundamentos científi­cos
más importantes: el método de razonamiento deductivo, del cual ha­blaremos
más adelante. Lancelot Hagben afirmó que la matemática es un
método que permite descubrir y expresar, de la manera más económica
posible, reglas útiles de razonamiento correcto sobre cálculos, medidas y
formas. La matemática, en tanto expresión del conocimiento humano, es
ciencia, puesto que refleja la voluntad activa, la razón contemplativa y el
deseo de perfección estética. Cualquier ciencia es activídad social, lo
cual significa que su sistema de conceptos, técnicas y criterios de valida­ción
de enunciados son compartidos y aceptados en el seno de un grupo
social determinado. Pero el caso de la matemática es singular, es una
ciencia exacta, pero sus aplicaciones se extienden a todas las ramas del
conocimiento. Como señaló Bell: es la reina y la sirvienta de las ciencias.
La matemática es el lenguaje de las ciencias.
Los elementos básícos de la matemática son: lógica e intuición, análi­sis
y construcción, generalidad y particularidad. Como puede advertirse
las diferencias de opinión para definirla surgen porque se subrayan di­versos
tópicos: para unos lo formal, abstracto y puro son elementos de
primer orden, mientras que para otros lo son sus aplicaciones y los usos
de la misma. Baldar señala que la ciencia matemática tiene por objeto el
estudio tanto de las magnitudes como de las cantidades, que son las va­riaciones
de aquélla en el tiempo y en el espacio (estados particulares).
En el presente trabajo tomaremos como definición la siguiente: Es la
ciencia de los fundamentos que trata las estructuras, formas, magnitudes
y relaciones numéricas del pensamiento. Lo anterior sin desmerecer otras
definiciones. También conviene señalar que es frecuente la utilización
del plural: matemáticas, que suele considerarse correcto, tal y como lo es.
En la presente obra se utiliza, indistintamente, tanto el singular como el
plural.
III. HISTORIA DE LA MATEMÁTICA
La historia de la matemática no puede entenderse sin la idea y con­cepto
de número; la referencia primordial que tenemos acerca de las ma-

8. Introducción 5
temáticas es precisamente la de este concepto. Es difícil determinar en
que momento aparece el conocimiento del número y su desarrollo, pues­to
que la idea de número es el principal concepto matemático, además
del más antiguo. Es dificil también, si no imposible, intentar reconstruir
los momentos y hechos que el hombre tuvo que pasar para llegar a la so­lución
de los problemas de medir y contar. Es precisamente esto lo que
motiva el surgimiento de la matemática: la existencia de ciertos proble­mas
y la necesidad de resolverlos. Si estableciéramos tales problemas por
períodos históricos tendríamos que entre el 3500 a. C. y el 500 a. C. el
problema era contar y medir; de 500 a. C. al siglo [[ d. C. lo era el realizar
operaciones con números para contar y medir indirectamente; en el si­glo
III el problema era optimizar algoritmos de las operaciones; para el
siglo VIll había que generalizar procesos de solución de problemas de
aritmética; para el siglo XVIl los problemas estaban relacionados con la
construcción utilizando regla y compás y la relación entre dos variables;
en el siglo XVIIl el problema es la generalización del método axiomático.
Todas estas situaciones problemáticas estaban relacionadas con activida­des
tales como el comercio, las áreas de cultivo, la astronomía, la cons­trucción
de templos, el cálculo de áreas, la navegación, la construcción
de armas, la fisica, la termodinámica, la representación geométrica, los
juegos de azar, etcétera.
Las matemáticas, como ciencia, habrían de aparecer hacía los siglos v
y IV a. C., Eric T. Bell establece siete períodos en la evolución de las ma­temáticas:
a) de la época más remota a la antigua Babilonia y Egipto, in­clusive;
b) la contribución griega, desde cerca de 600 años a.C., hasta
aproximadamente el año 300 de nuestra era, siendo la mejor en los si­glos
IV y III a. c.; e) los pueblos orientales y semíticos -hindú, chino,
persa, musulmán, judío, etc.-en parte antes y en parte después del se­gundo
período y extendiéndose hasta el cuarto período; d) Europa du­rante
el Renacimiento y la Reforma, aproximadamente los siglos xv y XVI;
e) los siglos XVIl y XVIII; fJ el siglo XIX y, g) el siglo xx.5
Poco abundaremos sobre el tema que representa la historia de las ma­temáticas,
remitiendo al autor referido a quienes se encuentren interesa­dos
en tal tópico. Si señalaremos, en cambio, que hacia 2500 a. C. los co­merciantes
sumerios estaban familiarizados con pesos y medidas, con la
aritmética necesaria para ejercer una usura despiadada y con los equiva­lentes
de lo que hoy llamamos títulos de crédito. Los pueblos antiguos
habrían de probar diferentes métodos y sistemas numéricos antes de que
se desarrollara la matemática tal y como la conocemos hoy.
El contacta entre Oriente y Grecia hizo que los griegos estuvieran al
5 Bell, E. T.. Historia de las matemóticas, México: Fondo de Cultura Económica, 1985.
pp. 25 Y ss.

9. 6 Matemáticas aplicadas al Derecho • David Cienfuegos Salgado
corriente de los conocimientos mesopotámicos en matemática y astrono­mía.
De esta forma, la matemática fue sometida entonces a las discusio­nes
filosóficas que florecieron en las ciudades griegas, y que alcanzarían
el punto más elevado (la tendencia axiomático-deductiva) con la teoría
del continuo geométrico de Eudoxio y los Elementos de Euclides. En la
cultura griega se formalizaron los conocimientos de la geometria y los oro
denamientos lógicos.
Después de los griegos, fue el pueblo árabe el difusor de los conoci­mientos,
debido a su actividad comercial; un ejemplo de ello es el siste­ma
de numeración desarrollado en la India, que fue conocido en Europa
gracias a las caravanas de comerciantes y a la dominación árabe. Los ára­bes
realizaron mediciones astronómicas y se les conoce como creadores
del álgebra. Durante casi veinte siglos el peso de los conceptos griegos re:
trasa la evolución matemática: para los siglos XVII y XVIll, los ideales de
cristalización axiomática y de deducción sistemática desaparecen para
dar paso a la geometria analítica y al cálculo diferencial e integral. En el
siglo XIX la necesidad de consolidar y el deseo de una mayor seguridad
en la extensión de la enseñanza superior, que babía impulsado la Revolu­ción
francesa, condujo a una revisión de los fundamentos de la nueva
matemática, en particular del cálculo diferencial e integral, así como del
concepto fundamental de límite.
La mayoria de tales problemas no tenían un origen,ni una expresión
juridica. Sin embargo la producción de mecanismos de razonamiento que
surgirían en el seno de la comnnidad matemática adquieren pronto una
proyección más amplia al servir a otras disciplinas, entre las cuales en­contramos
al derecho. Líneas atrás y grosso modo la evolución de la ma­temática
ha sido expuesta.- Corresponde ahora tratar un tema pospuesto
en párrafos anteriores: el método deductivo. Para ello abordaremos la
cuestión de la lógica matemática.
IV. LÓGICA MATEMÁTICA
El hombre requirió desde el principio de la civilización de procesos
que le permitieran comprender y obtener conclusiones precisas para
transformarse a sí mismo y a su entorno natural. Este proceso, que marca
la diferencia con respecto de los demás seres vivos, es la capacidad de ra­zonamiento.
En el ánimo de perfeccionar esta capacidad la historia de las
diversas culturas nos da cuenta de cómo se ínició el estudio de los me-
6 Además del autor anotado en la cHa anterior, para conocer un poco de la evolución
de la aritmética, remito al lector interesado a: Perelman, Y. l., Aritmética recreativa. México:
Ediciones de Cultura Popular, 1984, pp. 257·260.

10. Introducción 7
dios para desarrollarla. Hemos señalado en forma somera la evolución de
la matemática, y la lógica se encuentra íntimamente ligada a ésta.
En la Grecia antigua destacó Aristóteles' a quíen se le considera el
padre de la lógica. Sus aportaciones permanecieron hasta el siglo XIX,
cuando se inicia el desarrollo moderno de la lógica con George Boole y
Augustus de Margan. Después de ellos se distinguen en el estudio de la
lógica matemática: G. Peana, Bertrand Russell, Alfred Tarskí y otros que
han enriquecido esta ciencia de modo tal que en la actualidad la lógica
matemática es una rama importante del saber humano que tiene aplica­ción
en diversas áreas de conocimiento como la cibernética, la computa­ción,
la electricidad, la psicología, la filosofía, etcétera,a sin dejar de lado
la profesíón jurídica,
Puede definirse a la lógica como el estudio de los métodos y princi­pios
usados para distinguir el razonamiento correcto del incorrecto.9 En
el ámbito jurídico, que a nosotros interesa, la lógica es un instrumento
importante para la interpretación y aplicación del derecho. Por ello, ana­lizaremos
en forma somera los razonamíentos lógicos inductivo, deducti­vo
y analógico, destacando que strietu sensu no se trata de métodos sino
de formas de pensamiento o razonamiento, aunque han sido denomina­dos
como métodos por numerosos autores, como podrá apreciarse a con­tinuación.
V. RAZONAMIENTO INDUCTIVO
Es la forma de razonamiento en la que, a partir de un número de ob­servaciones
particulares, se concluyen leyes generales. Como señala Pon­ce
de León, el método inductivo, considera una seríe de fenómenos o co­nocimientos
particulares para llegar a conclusiones generales. Esta forma
de razonamiento es más usual en el trabajo de laboratorio donde se ob­servan
y experimentan diversos hechos propios de la física, la química,
la biología, la psicología, etcétera. En el ámbito jurídico encontramos que
el método inductivo se puede instrumentar de muy diversas formas, pero
principalmente mediante las técnicas de análisis y presentación de casos,
de procesos jurídicos, de resoluciones jurisdiccionales y jurisprudencia­les,
etcétera. lO
7 (384-322 a.C.) Sus obras sobre lógica son un conjunto de trabajos que siglos más larde
se conocieron bajo el nombre común de Órganon.
8 Se recomienda la lectura para estos temas de: Jasso Gutiérrez. Pedro, Lógica matemá­tica,
México: McGraw-Hill, 1990.
9 Copi, frving M" Introducción a la lógica, México: Alpa CorreaL 1989, p. 3:
10 Ponee de León Armenta. Luis. Metodología del derecho, México: Porroa, 1996, p. 73.

11. 8 Matem6ticos aplicadas al Derecho· David Cienfuegos Salgado
Tal razonamiento nos hace pensar que lo que concluimos no es del
todo verdadero. pero sí hace muy probable la conclusión. Podemos decir
que sin comprobar que se cumple para todos los casos posibles. "induci­mos"
o aceptamos su generalización.
Ejemplo:
Carlos viaja por el estado de Guerrero. y al pasar por la ciudad de
Chilapa advierte que la mayoria de los habitantes tienen rasgos simi­lares:
baja estatura, morenos y de pelo oscuro; al continuar su reco­rrido
por Zitlala. Tlapa y Atlixtac (tres poblaciones de la misma zona
en el estado de Guerrero) observa que tales rasgos físicos se repiten
en la mayoría de los habitantes. Más tarde, al regresar a la ciudad de
México. y platicar con un compañero. le dice que los habitantes de la
región que visitó en el estado de Guerrero son en su mayoria de baja
estatura, morenos y de pelo oscuro.
En este razonamiento Carlos hizo varias observaciones de casos par­ticulares
y a partir de éstos obtuvo una generalidad. Mencionaremos que
en..f!gdo_razonamiento induétivo, la conclusión no se prueba, pero se
hace más probab!3-
Otros ejemplos de razonamiento inductivo:
o) Si conocemos de diversos casos en que agentes de tránsito de
determinada población han extorsionado a conductores no residentes
de la misma. concluimos que los agentes de tránsito de esa población
son corruptos.
b) Si varias personas han sido lesionadas en sus derechos por
miembros de una corporación policíaca, concluimos que los miem­bros
de tal corporación son abusivos y prepotentes.
e) Si acudimos a ver una película peruana y en ella aparece mucha
violencia. y después vemos otra del mismo país donde también apa­rece
demasiada violencia. podemos concluir que en las películas pe­ruanas
aparece roucha violencia.
Las conclusiones a las cuales arribamos en los casos anteriores pue­den
no ser válídas. puesto que nuestra referencia se límita a pocos casos
particulares. Sin embargo. nos hemos aproximado a cierta realídad. pues­to
que nuestra referencia para obtener una probable "ley" fueron precisa­mente
casos reales.
VI. RAZONAMIENTO DEDUCTIVO
Es la forma de razonamiento en que concluimos ciertos principios o
conocimientos particulares a partir de principios o conocimientos gene-

12. Introducción 9
rales. Esta forma de pensamiento es ideal para realizar investigaciones en
las ciencias formales. En materia juridica, señala Ponce de León, el méto­do
deductivo se realiza principalmente mediante las técnicas de aplica­ción
de las normas jurídicas generales a casos concretos.11
Ejemplos:
Todos los Estados democráticos tienen una constitución política
México es un Estado democrático
Conclusión: México tiene una constitución palitica.
Todos los mexicanos mayores de edad tienen derecho de voto
José es mexicano mayor de edad
Conclusión: José tiene derecho de voto.
Notamos que en los ejemplos anteriores se concluyen ciertas cuestio­nes
particulares a partir de otras generales. En estos casos no se trata de
pro~bles "leyes", puesto que son precisamente generalizaciones las que
hemo",utilizado para obtener una conclusión particular. Notemos que
mientra~ el razonamiento inductivo se parte de lo particular para lle­gar
a lo generalf en el Ifazonamiento deductivo partimos de lo general
para arribar a una conclusión particularj
El razonamiento deductivo tiene un marcado interés para el derecho,
pues durante mucho tiempo esta forma se ha aplicado en la resolución
de casos. Ello mediante el uso de silogismos en las resoluciones judicia­les.
Aunque no puede predicarse que esa sea la forma adecuada de reso­lución
de problemas, lo cierto es que el uso de silogismos ilustra a la per­fección
el razonamiento de los operadores jurídIcos tradicionales.Wn
silogismo es llLfazonamiento deductivo en el que se infiere una conclu-
- sión de dos premisas."
El ejemplo clásico lo constituye:
Premisa mayor: Todos los hombres son mortales
Premisa menor: Sócrates es un hombre
Conclusión: Sócrates es mortal
En el ámbito jurídico la pr~isa may-or ~ una norma general y la
premisa menor es la conducta desarrollada por un individuo que preten­de
someterse a examen. La contrastación entre ambas premisas dará por
resultado un juicio de valor de determinada conducta.
Los silogismos son ampliamente utilizados en ef derecho, especial­mente
en los rubros de interpretación y argumentación jurídicas.
11 Ponce de León, Metod%gIo de/ derecho, p. 73.
1.2 Copi, Introducción a /0 lógico, p. 205.

13. 10 Matemáticas aplicados al Derecho • David Cicnfuegos Salgado
VII. RAZONAMIENTO ANALÓGICO
Es la forma de pensamiento en la cual la conclusión tiene el mismo
grado de particularidad o generalidad que sus premisas. Esta forma de ra­zonar
es considerada por algunos autores como una derivación del pen­samiento
inductivo, por la discutible certeza de sus conclusiones. Como
menciona Ponce de León, este método consiste en la comparación de fe­nómenos
por sus semejanzas y diferencias, yendo de lo conocido a lo
desconocido. En el contexto jurídico puede aplicarse en la modificación
legislativa y en la elaboración de normas jurídicas, para lo cual conviene
siempre considerar la experiencia normativa en el tiempo y en el espa­cio,
situación que origina la comparación histórica y la comparación so­ciolÓgica.
13
En este método se obtienen conclusiones estableciendo analogías o
comparaciones y es el que utilizamos cotidianamente en nuestras deci­siones.
Citando a Alejandro pfander, Garda Máynez14 señala que el esquema
del razonamiento analógico puede expresarse de la siguiente manera:
Q es P
·s es análogo a Q
S es P
Utilizando el razonamiento analógico podemos llegar a conclusiones
como las que siguen:
o) Concluimos que los abogados egresados de la Universidad Z son
excelentes, porque anteriormente hemos tratado con abogados egresados
de la Universidad Z que eran de una elevada excelencia académica.
b) Si el anuncio de una conferencia del maestro X atrae nuestra aten­ción,
concluimos que disfrutaremos de ella, en virtud de que hemos asis­tido
y disfrutado otras conferencias suyas.
Ninguno de estos razonamientos es seguro, pues es posible que no to­dos
los abogados egresados de la Universidad Z sean excelentes o que la
última conferencia del maestro X sea aburrida.
Llevando al campo jurídico el razonamiento analógico habremos de
señalar que suele utilizarse para atribuir consecuencias a aquellos casos
que no tienen de manera expresa atribuida una consecuencia pero que
guardan cierta identidad con los supuestos regulados. Las reglas exigi­das
para este razonamiento son: o) la primera premisa de un argumento
por analogía formula una afirmación ace~ca del ejemplo usado como
13 Ponee de León, Metodología del derecho, p. 74.
14 Garda Máynez, Eduardo. .Lógica del raciocinio jurídico. za ed' J México: Fontarnara,
1997, p. 156.

14. Introducción 11
analogía; y b) la segunda premisa afirma que el ejemplo de la primera
premisa es similar al caso acerca del cual el argumento extrae la con­clusión.
Ahora bien, debe considerarse que las analogías no requieren que el
ejemplo usado como una analogía sea absolutamente igual al caso de la
conclusión, y sólo requieren de similitudes relevantes. Sólo puede haber
analogía cuando entre dos casos o ejemplos comparados no existan dife­rencias
relevantes
Debe señalarse que esta forma de razonamiento jurídico se justifica
por referencia a la voluntad del legislador, es decir. se considera, ante el
silencio del legislador, que éste ha querido dar el mismo tratamiento a
dos hipótesis parecidas. de lo contrario hubiera realizado una manifesta­ción
expresa de su voluntad en otro sentido. Entendido de tal forma, el
argumento analógico consiste en la aplicación de una norma a un su­puesto
de hecho no previsto en la misma. pero con el que guarde cierta
semejanza. La semejanza que justifica la aplicación analógica de una nor­ma
concurre cuando el supuesto de hecho no regulado comparte con el
regulado precisamente el elemento qué constituye la ratio legis de la nor­ma.
Por ello. aplicar analógicamente una norma supone la previa identifi­cación
del principio (ratio) que la fundamenta. En todo caso, se afirma
que aun cuando se revista con ropajes interpretativos, la analogía supone
la creación de una norma nueva, y en consonancia con ello está expresa­mente
prohibida para las normas penales. las excepcionales y las de ám­bito
temporal.
Conviene referirnos a continuación a la corrección del lenguaje. en
tanto que suele convenirse que expresa la claridad del pensamiento. La
literatura nos ha legado numerosas recomendaciones sobre el arte de re­dactar,
es decir. de expresar ideas. de trasmitir información.
VIl!. PROPOSICIONES LÓGICAS
Las expresiones de nuestro lenguaje. por medio de las cuales nos co-municamos,
pueden ser clasificadas en tres categorías:
a) proposiciones lógicas,
b) proposiciones abiertas, y
e) expresiones indeterminadas.
Las proposiciones lógicas, son expresiones que pueden ser calificadas
con valor de verdad o falsedad pero no ambas. Podemos referirnos a ellas
simplemente como proposición.

15. 12
Ejemplos:
Motem6ticos aplicados al Derecho • David Cienfuegos Salgado
..
P~oposición Valor de verdad
El artículo 1° constitucional protege específicamente el derecho Falso ¡3. ser inteligente.
Los artículos. 27 y 123 constitucionales contienen derechos Verdadero sociales.
El curso de Lógica III forma parte del vigente Plan de Falso Estudios de la Facultad de Derecho de la UNAM.
La Constitución política mexicana vigente fue promulgada Verdadero en 1917.
IX. PROPOSICIONES ABIERTAS
Las proposiciones abiertas son expresiones del lenguaje que incluyen
variables. Tales proposiciones abiertas se transforman en proposiciones
lógicas cuando son sustituidas sus variables.
Una variable es un simbolo que representa varios objetos.
Ejemplo:
Consideremos que en un concurso sobre Derecho Internacional PÚ­blico
participan equipos de estudiantes representando a Bélgica, Canadá,
México, Rusia, Suecia, Suiza y Tailandia. Los primeros lugares son obte­nidos
por los equipos suizo y mexicano; por tal razón reciben un premio.
Así, el enunciado,
El equipo mexicano recibió un premio,
es una proposición verdadera, y
El equipo tailandés recibió un premio,
es una proposición falsa.
Si nos referimos a un equipo de estudiantes indeterminado, y afir­mamos,
X recibió un premio,
no tendremos una proposición verdadera o falsa en general, aunque si pode­mos
garantizar que cuando coloquemos algún equipo participante en lugar
de "X" se obtendrá una proposición lógica, que puede ser falsa o verdadera.
Una expresión.como
X recibió un premio
es una proposición abierta. Y en la proposición abierta anterior "X" es una
variable y los equipos que representa forman su dominio correspondiente.

16. Introducción
Z es ministro de la Suprema Corte
de Justicia de la Nación
c;: es un diputado al Congreso de la
Unión
Cbilpancingo es la ciudad capital
del Estado de #
K es profesora de la Facultad de
Derecho de la UNAM.
Variable
z
#
K
Nombres de mexicanos
Nombres de mexicanos
Nombres de los estados de la
República Mexicana
Nombres de mexicanas
13
En el cuadro anterior y para los casos de Z, c;: y K el dominio de las va­riables
puede ser incluso más amplio: el de cualquier nombre de persona.
~l (Fl
(¡Al (1)
(Al (fl
tn)
(el ( )
(cJ ( )
X. EXPRESIONES INDETERMINADAS
Son expresiones que no son proposiciones lógicas ni proposiciones
abiertas.
Ejemplos:
·Buenas noches.
El rector de la UNAM.
¿Quién eres tú?
¿Cómo estás?
APRENDIZAJE Y AUTOEVALUACIÓN
1. Escribir en el primer paréntesis de cada una de las siguientes expre­siones
una A si se trata de una proposición l,ógica, una B si es una
proposición abierta y una C si es una expresión indeterminada. En el
caso de las proposiciones lógicas escribe si es verdadera o falsa en el
segundo paréntesis.
a) La luna es un planeta.
b) La B es la segunda letra mayúscula del alfabeto español.
e) Ernesto Zedilla es el presidente número 75 de México.
d) El libro del alumno.
e) X es cuadrúpedo.
fJ El libro El coronel no tiene quien le escriba.

17. 14 Matemáticas aplicadas al Derecho· David Cienfuegos Salgado
g} ¡Auxilio!
hJ Estoy reprobando.
iJ El derecho es un instrumento de control social.
jJ La soberanía es un elemento integrante del Estado.
kJ La sanción del delito de robo.
1J Toda persona tiene derechos.
mJ Ñ es una letra del alfabeto español.
nJ + es el símbolo de la sustracción.
oJ M es una persona de sexo masculino.
pJ $ es el símbolo de pesos. .
q) Z es un título de libro.
(el( )
(el( )
(¡) [V)
(A) (1:')
(:.l( )
U) (vi'
(~( )
~,,) (1=)
(e¡ ( )
(t;) (.1
(eJ ( )
2. Especifica las variables y sus respectivos dominios de cada una de
las proposiciones a,biertas del ejercicio anterior.
3. Escribe cinco proposiciones lógicas, 5 abiertas y 5 expresiones inde­terminadas.
4. En la inauguración de un bufete jurídico, tres colegas de trabajo,..e!Ji..
cenciado Bajo, la licenciada Grande y el licenciado Delgado se dieron
cuenta de' que las tres características que correspondían a--;;s apelli-.
dos podían ser aplicadas al físico de cada uno de ellos.
-De todas formas, ninguno tiene la característica que se espera de su
apellido- señaló enseguida el más espigado de los compañeros, elli­cenciado
Bajo.
¿Que características físicas poseen los tres colegas?
5. Los abogados del bufete jurídico Alumnos &' asociados deciden que
por cada año de experiencia van a ir aumentando en ocho el número
de asuntos aceptados. Al finalizar el octavo año de labores, comprue-ban
que durante ese año han aceptado 158 asuntos. .
¿Cuántos asuntos habían aceptado el primer año?
6. ¿Cuántas posibilidades hay de cambiar $500.00 (Quinientos pesos)
en billetes, teniendo en cuenta que existen billetes en las siguientes
denominaciones: 500, 200, lOO, 50, 20, 10.
7. ¿Cuántas posibilidades existen de cambiar $50.00 (Cincuenta pesos)
en monedas, teniendo en cuenta que existen monedas de 50, 20, 5, l.
I 2 ,o $"
8. Los alumnos del grupo 0034, cuarto semestre, de la Facultad de !!Jere­cho
(donde ningún grupo cuenta con más de 30 alumnos), realizaron
un examen de Matem6ticos aplicadas al derecho. La 38 parte de los
alumnos obtuvieron una MB, la cuarta parte obtuvo una B y la sexta'~
parte una S. Dos octavas partes de los alumnos que realizaron el exa­men
lo reprobaron.
¿Cuántos alumnos obtuvieron una MB?

18. Introducción 15
9. Las guerras nunca han traído más que dolor: con mucha frecuencia,
sólo ha habido perdedores y ningún ganador. Las familias que más
sufrían, sin embargo, eran las que estaban directamente implicadas.
Para muchos padres que debían ir al frente, la guerra se convertía en
un camino sin retorno.
Un futuro padre previó el destino que se le avecinaba y dispuso que
sus ahorros de 14,000 monedas de plata recayeran en su mujer y el
hijo que estaba en camino. Si se trataba de un varón, tendría derecho
a percibir el doble que la parte de la madre. Si era niña, sin embargo,
sólo debía recibir la mitad que la madre.
Como era de esperarse, el padre no regresó nunca de la guerra, y la
madre dió a luz a dos gemelos, un niño y una niña. ¿Cómo había que
repartir la herencia de acuerdo con los deseos del padre?
I <,

19. Anexo
ANEXO 1
PROGRAMA OFICIAL DE LA ASIGNATURA
MATEMÁTICAS APUGADAS AL DERECHO
GENERALIDADES DE LA MATERIA'
CLAVE:
SEMESTRE:
REQUISITOS:
NIVEL:
CRÉDITOS:
HORAS POR SEMANA:
HORAS DEL CURSO:
HORAS TEORÍA:
HORAS PRÁCTICA:
1411
Cuarto.
Acreditar Lexicología Jurídica,
Licenciatura.
Tres (Obligatoria)
Dos
Treinta
Quince
Quince
PROGRAMA DE LA ASIGNATURA
OBJ~lIVO GENERAL DEL CURSO
Al concluir éste, el alumno:
Identificará. explicará y analizará la relación de las matemáticas con
los aspectos normativos de las diferentes disciplinas jurídicas que requie­ran
para su interpretacióny aplicación el auxilio de éstas.
• Se recomienda la utilización de una máquina calculadora que además de las cualro
operaciones fundamentales, lenga como características el cálculo de la raíz cuadrada, cons­tantes,
memoria y exponenciación. El Programa de la asignatura Matemóticas aplicadas al
Derecho, con las modificaciones acordadas por el Consejo Técnico de la Facultad de Dere­cho
de la Universidad Nacional Autónoma de México, los días 28 de septiembre de 1994 y 8
de julio de 1997, liene como objeto principal que el alumno identifique, explique y analice
la realidad de los actos jurídicos en sus dimensiones matemáticas con el propósito de con­trastar
y manejar las fuentes reales del Derecho en forma cuantitativa. Para lograr esto, el
programa sigue un desarrollo lineal a efecto de familiarizar al alumno con las operaciones
matemáticas fundamentales y el ejercicio de tal conocimiento.
17

20. 18 Matemáticas aplicadas al Derecho • David Cienfuegos Salgado
1. ARITMÉTICA
OBJI:."'TIVO DE LA PRIMERA UNIDAD
Al concluir esta parte del curso, el alumno: Identificará los instru­mentos
básicos que le permiten efectuar los cálculos matemáticos
imprescindibles para la solución de los actos jurídicos con reper-cusiones
cuantitativas.
1.1. Sistemas matemáticos. Números y numerales. La interpretación práctica y
conceptual del sistema indoarábigo (posicional, exponencial y decimal).
1.2. Sistemas de unidades y su importancia.
1.3. Conjuntos.
1.4. Proporcionalidad.
1.5. Porcentaje.
1.6. Interés simple.
1. 7. Interés compuesto.
Tiempo Estimado: 10 horas
II. LA INFORMACIÓN FINANCIERA
OBJETIVO DE LA SEGUNDA UNIDAD
Al concluir esta parte del curso, el alumno: Analizará y aplicará la
información contenida en los registros contables y estados finan­cieros
que se derivan de ellos como elemento probatorio en proce­dimientos
jurídicos; además de interpretar las disposiciones que
estén relacionadas con la obligación de llevar registros contables.
2.1. Aspectos generales de la contabilidad.
2.2. Estados financieros.
2.3. Consecuencias jurídicas de la contabilidad.
2.4. La contabilidad y las matemáticas.
Tiempo Estimado: 5 horas
nI. MÉTODOS Y FACTORES DE ACTUALIZACIÓN
OBJETIVO DE LA TERCERA UNIDAD
Al concluir esta parte del curso, el alumno: Aplicará los índices y
factores de actualización para determinar los incrementos que su­fren
las multas, recargos, tarifas, etc., contemplados en los diver-sos
ordenamientos jurídicos en los casos que así se requieran.
3.1. Métodos para los cálculos inflacionarios.
3.2. Procedimiento para la actualización.
3.3. Cálculos para operaciones jurídicas.
Tiempo Estimado: 5 horas

21. Anexo
IV. ÁREAS DE LA CURRÍCULA QUE TIENEN EN SUS CONTENIDOS
NORMATIVIDAD CON REPERCUSIONES CUANTITATIVAS
OBJETIVO DE LA CUARTA UNIDAD
Al concluir esta parte del curso, el alumno: Aplicará los instru­mentos
matemáticos fundamentales de algunas disciplinas jurídi­cas
que conforman la currícula, que tengan repercusiones cuanti-tativas.
19
4.1. Área de Derecho fiscal.
4.1.1. Determinación de adeudos del contribuyente.
4.1.2. Determinación de contribuciones a cargo del contribuyente.
4.2. Área de Derecho penal.
4.2.1. Aplicación y ejecución de las penas y medidas de seguridad.
4.2.2. Determinación de fianzas y multas.
4.2.3. Aplicación de los heneficios de la libertad: condicional. bajo pala­bra
y bajo caución.
4.2.4. Beneficios de la libertad anlicipada.
a) Tratamiento preliberacional.
b) Libertad preparatoria.
e) Remisión parcial de la pena.
4.3. Área de Derecho procesal civil.
4.3.1. Gastos y costas conforme al arancel.
4.3.2. Juicio de conladores 443-VIlI del Código de Procedimientos Civiles
para el Distrito Federal; juicio sucesorio. daños y perjuicios, admi­nistración
de bienes.
4.4. Area de Derecho de la seguridad social.
4.4.1. Cálculo para la fijación de cuotas, de financiamiento para cada se­guro.
determinación de los riesgos de trabajo;
4.4.2. Cálculos para: pago de pensiones o indemnización en riesgos de tra­bajo
profesional o no profesional.
4.4.3. Cálculo para el otorgamiento de préstamos a corto plazo.
4.5. Area de Derecho del trabajo.
4.5.1. Indemnizaciones por: despido injusto. rescisión imputable al pa­trón.
4.5.2. Cálculos para el pago de: tiempo extraordinario, jubilaciones, in­demnizaciones.
4.5.3. Integración del salario: cálculo de prestaciones complementarias:
salario y especie.
4.5.4. Cálculos en la contratación colectiva y sus repercusiones en el pago
de cuolas del Institulo Mexicano del Seguro Social (IMSS). Instituto
del Fondo Nacional de la Vivienda para los Trabajadores (INFO­NAVIT).
Sistema de Ahorro para el Retiro (SAR).
4.5.5. Cálculo en la producción y su incidencia en la participación de los
trabajadores en las utilidades de la empresa.
4.6. Área de Derecho mercantil.
4.6.1. Títulos de crédito, contratos mercantiles, sociedades mercantiles.

22. 20 Malem6ticas aplicados al Derecho • David Cienfuegos Salgado
4.6.2. Inventario y balance, balance general (activo-patrimonio), análisis
de estados financieros, presupuesto.
4.6.3. Juicios mercantiles (ejecutivos y ordinarios), quiebras.
4.7. Área de Derecho aduanero.
Cálculo y determinación de los impuestos de comercio exterior (ad val0­rem,
específico, mixto), impuesto al valor agregado, impuesto sobre pro­ducción
y servicios, impuesto sobre automóviles nuevos, derechos.
Tiempo Estimado: 10 horas
BIBLIOGRAFíA BÁSICA
CANTÚ TREVIÑO, Jesús, Interés compuesto y anualidades, Editorial Banca y Co­mercio,
México, 1993.
CARRILLO ZARCE, Ignacio, Pr6cticas comerciales y documentación, Editorial Banca
y Comercio, México, 1993.
KUNE, Morris, Matem6ticas para los estudiantes de humanidades, Fondo de Cul­tura
Económica, México, 1992.
RAMÍREZ VALENZUELA, Alejandro, C61cu/os mercantiles, Editorial Limusa, México,
1992.
TORRES TORRIJA, Manuel. Manual de c61cuJos mercantiles, Editorial Trillas, Méxi­co,
1995.
BIBLIOGRAFÍA COMPLEMENTARIA
CARRONELL CHAURE, Vicente, Matem6ticas primer curso, Editorial Porrúa, México,
198!.
SESTllms, Andrés, Historia de las matem6ticas, Editorial Limusa, México, 1989.
SILVA y LAZO, Fundamentos de matemáticas, Editorial Limusa, México, 1990.
LARA APARICIO, Miguel, Antología de matemátícas, 2 t., UNAM, México, 1987.
SUGERENCIAS DIDÁCTICAS
Exposición del maestro.
Ejercicios dentro de clase.
Exposición audiovisual.
Trabajos de investigación.
Solución de casos prácticos por los alumnos.
Proyección de láminas y acetatos.
Conferencia por profesores invitados.
Ejercicios fuera de clase.
Otras: A elección del profesor.
El titular de la asignatura podrá de acuerdo con las sugerencias propuestas,
elegir aquellas que considere las más adecuadas para cumplir con los objetivos
de la materia, a fin de hacer más eficiente el proceso de enseñanza aprendizaje.
Asimismo, el maestro, en ejercicio de su libertad de cátedra, estará facuItado
para seleccionar de los contenidos que integran el" programa, aquéllos que consi-

23. Anexo 21
dere más relevantes o fundamentales y que por lo tanto deban ser expuestos por
él mismo, ya que dependiendo de la extensión del programa habrá temas que no
pueda explicar durante el semestre, pero éstos podrán ser desarrollados por los
alumnos mediante la vía de la investigación o por aquellas actividades extraesco~
lares que el maestro determine para cubrir la totalidad de los contenidos del pro­grama.
NOTA: El profesor utilizará en todos los temas ejemplos de aplicación rela­cionados
con la Ciencia y la Técnica Jurídica. Por ejemplo, podrá analizar la Teo­ría
de los Tres Círculos de Carda Máynez desde el punto de vista de la teoría de
los conjuntos o analizará la importancia jurídica de la existencia de los sistemas
de unidades.

24. l· · .. UnIdad 1
Aritmética
Objetivo particular: Al concluir esta parte del curso, el alumno:
Identificará los instrumentos básicos que le permitan efectuar los
cálculos matemáticos imprescindibles para la solución de los actos
jurídicos con repercusiones cuantitativas.
Aritmética
(De las voces griegas aritmos, número, e, jca, ciencia) Carl F. Causs
habia advertido ya, que la matemática es la reina de las ciencias, y a su
vez la aritmética es la reina de la matemática. Anteriormente se aceptaba
la subdivisión de la matemática en aritmética,~álgebrlLy_g!lQmetría,des­pués
en elemental y superior, así como matemática pura y matemática
aplicada; hoy día, se considera que estas subdivisiones ya no son propías
de su extensión. Se considera a la aritmética como el cálculo con núme­ros
en las formas de cálculo fundamentales, a saber, sumar, restar, multi­plicar,
dividir, potenciar, extraer raíces y logaritmar. En cuanto parte de
la matemática, se considera a la aritmética como la ciencia matemática
que tiene por objeto el estudio de los números. La idea de número consti­tuye
uno de los pilares fundamentales de la ciencia matemática moderna,
pues es a través de tal idea que podemos desarrollar y resolver cualquiera
de los problemas planteados en términos matemáticos.
1.1. SISTEMAS MATEMÁTICOS. NÚMERO y NUMERALES.
LA INTERPRETACIÓN PRÁCTICA Y CONCEPTUAL
DEL SISTEMA INDOARÁBICO
(POSICIONAL, EXPONENCIAL Y DECIMAL)
SISTEMAS MATEMÁTICOS
Pensar y razonar es la más valiosa facultad del hombre. El cerebro es
el instrumento único que nos sirve para pensar, aún cuando realmente
23

25. 24 Matemciticas aplicadas al Derecho a David Cienfuegos Salgado
no sabemos con precisión cómo funciona. Se señala que ninguna máqui­na
tiene el poder de procesamiento y capacidad que posee nuestro cere­bro,
pero seguimos sin comprender el proceso desarrollado para realizar
una adición o multiplicación.'
Si bien no sabemos cómo funciona nuestro cerebro, sí sabemos en
cambio que es una gran necesidad el aprender a utilizar y desarrollar la
valiosa capacidad de pensar, comprender, aprender o razonar; pues ello
permitirá nuevas ideas y avances en el campo del conocimiento humano,
en el que podemos contar al Derecho. Pero debemos también coincidir en
el hecho ineludible que hoy día la interdisciplina es un requisito indis­pensable
para el avance de cualquier área del conocimiento humano. La
biología, ciencia política, matemática, química, historia, sociología, filo­sofía,
etcétera, hoy día no realizan sus investigaciones sino a partir de fe­nómenos
que exigen ser estudiados desde distintos, y a veces precisos,
puntos de vista, que complementan el conocimiento realmente adquirido
o descubierto.
Como señala González Amado, en estos momentos, el conocimiento
de los principios de la ciencia y sus implicaciones debe ser una parte
esencial en la formación de cualquier persona que se autodenomine cul­ta.
Al referirse a la física, el mencionado autor expone: Hay una gran se­rie
de elementos en el método científico que son de gran valor en otros
aspectos de la vida. El primero y quizá el más destacado sea una visión
racional del mundo. Las cosas suceden de acuerdo con leyes, y por ello,
se pueden conocer y predecir. La física nos ayuda a pensar en términos
cuantitativos, lo que no implica, necesariamente, el utilizar matemáticas
más o menos complejas, sino más bien el tener una idea aproximada de
las órdenes de magnitud de las variables que intervienen en el problema.2
De ahí que recalquemos la importancia de la matemática en la formación
de cualquier profesionista.
Por otra parte, es preciso reconocer como el aspecto más importante
de la ciencia matemática el hecho incontestable de que nos indica cómo
razonar correctamente: saber cómo utilizar las ideas y el razonamiento
lógico para resolver problemas. El conocimiento de la matemática se apli-
1 El Fondo de Cultura Económica ha editado, en su colección "La ciencia para todos",
numerosos trabajos de divulgación sobre tales tópicos. Un ejemplo es: Berlanga, Ricardo,
Carlos B05Ch y Juan José Rivaud. Las matemáticas, perejil de todas Jas salsas. 411 erl., México:
FCE, 2003, 118 p. En el mismo tenor se encuentran libros como: Sagan, Cad, Miles de millo­nes.
Pensamientos de vida y mue.rte en la antesala del milenio, Barcelona, España: Ediciones
B, 1998; y. Fisher, Len, Cómo mojar una galleta. La ciencia en la vida cotidiana, Barcelona,
España: Mondadori, 2003.
2 González Amado, Roberto,. Física para juristas. economistas... y demós gente curiosa,
Barcelona, España: Crítica, Grijalbo Mondadori, 1996, p. 16.

26. Unidad 1 • Aritmética 25
ca en las diferentes áreas en mayor o menor grado; en el campo del Dere­cho
no sólo ayuda al jurista a determinar aspectos cuantitativos de los
actos jurídicos, sino que dada su estrecha relación con la lógica y el len­guaje,
le facilita expresar sus ideas en el lenguaje preciso, requerido por
la legislación y su actividad profesional. Es por ello, que la búsqueda a
desarrollar en este programa de estudios debe privilegiar el razonamiento
lógico del futuro jurista.
Un concepto previo que nos puede introducir al estudio de la mate­mática
es precisamente el de,§.istema matemático. Un sistema matemáti­co
es un conjunto de elementos en el que participan una o más operacio­nes,
las cuales son reglas para combinar a dos elementos cualesquiera del
conjunto, y una serie de relaciones que satisfacen una serie de axiomas
determinados. Dicho en otras palabras, un sistema matemático es un con­junto
de elementos asociados con una o más operaciones y relaciones de­finidas
en el conjunto. Un ejemplo de sistema matemático es el conjunto
de números naturales junto con la operación de adición, ya que dicha
operación está definida en ese conjunto (la operación de un sistema debe
ser aplicable al conjunto del sistema). Otro ejemplo que se puede men­cionar
de sistema matemático es el conjunto de números racionales y las
operaciones que en él se definen: adición, sustracción, multiplicación,
potenciación y división; así como el conjunto de axiomas o propiedades
que los rigen.
NÚMEROS y NUMERALES
No se sabe con certeza cómo crearon y usaron el número las culturas
primitivas. Algunos aspectos de su utilidad y manejo se conocen a través
de papiros, tablillas de arcilla, códices diversos y el estudio directo en
torno a agrupaciones humanas poco evolucionadas. Lo más probable es
que la necesidad numérica apareciera con la necesidad práctica de contar
propiedades.
En cualquier área del conocimiento es factible encontrar, en las más
variadas formas, a los números: en la actividad administrativa es impor­tante
conocer la cantidad de recursos materiales con que se cuenta y asi
decidir lo que se debe adquirir; en la física para medir velocidades, ma­sas,
temperaturas, voltajes, etcétera; en la ingenieria para calcular las
fuerzas que existen en una construcción con el objeto de diseñar las es­tructuras
que las soporten; en la biologia para medir variaciones de tem­peratura
o acidez, etcétera; en las ciencias sociales es importante clasificar
caracteristicas sociales de las comunidades para después correlacionarlas
con fenómenos de grupo, etcétera. Como podemos ver el hombre utiliza
el número para contar, medir, clasificar y enumerar, y así expresar yen­tender
el medio que le rodea y facilitar sus actividades. La lista podria se-

27. 26 Matemólioos aplicadas al Derecho· David Cicnfuegos Salgado
guir, recordando que las direcciones postales, las licencias de manejar,
los teléfonos, las estadísticas, las cuentas de banco, las legislaciones, et­cétera,
involucran números de diferente forma."
Se entiende por número la idea o indicación de la cuantía de una
multiplicidad; numeral es el número en forma escrita, como cifra. Pode­mos
señalar que cualquier número es una expresión abstracta, una idea,
que representa una cantidad o un conjunto. El número es la expresión
abstracta y el numeral es el signo utilizado para representarla; el numeral
nos sirve para representar la idea de número. Asi, el numeral X represen­ta
la idea que los romanos tenían del número diez, actualmente 10 es el
numeral que nos sirve para representar la idea del número diez. No debe­mos
confundir al numeral con el valor representado. De igual forma no
debemos confundir al numeral que es el signo con la expresión que lo
denomina, puesto que esta varía de idioma a idioma; siete, seven, sept,
etcétera.
El número nace de la acción de contar, puesto que contar consiste en
asignar a cada objeto de un conjunto un número sucesivo. Este uso coti­diano
ha originado que confundamos el símbolo matemático que repre­senta
el número con el concepto mismo de número. Los símbolos matemá­ticos
son difíciles de comprender porque son símbolos que representan a
su vez otros simbolos. Para entender mejor veamos qué son los sistemas
de numeración.
Un sistema de numeración es un sistema utilizado para escribir nu­merales.
Peterson señala que por un sistema de numeración se entiende
un conjunto de símbolos que se usa de acuerdo con algún método para
asignar numerales, o símbolos numéricos, a los números.' Es decir, en
cuanto sistema se compone de un conjunto de reglas que sirven para ex­presar
y escribir los números. Cada civilización utilizó un numeral dis­tinto
para significar su idea de un determinado número. Existen diversos
sistemas de numeración: egipcio, romano, babilónico, maya. azteca, bina­rio,
chino. griego, etc. Es precisamente esta diversidad de sistemas numé­ricos
la que nos permite discernir la importancia que adquiere el contar
con un sistema aceptado universalmente. Esto lo podemos apreciar en la
siguiente tabla:
3 Abreu, José Luis y otros, Sistemas numéricos. México: Limusa, 1982, p. 17,
4 Pelerson, john A. y Joseph Hashisaki. Teoria de la aritmética, México: Limusa, Norie­ga
Editores, 1999, p. 16.

28. Unidad 1 • Aritmética 27
~1,'In ~aiábi~ó. ':n(ó.irl~há: BaBil nic
1 1 --- • I y
2 11 --::::- • • " yy
S V E I YYy
YY
10 X T ------ D -<.ó0
SO L t¡-t¡-T • • I -<..-<..
~-<..
La interpretación práctica y conceptual del sistema indoarábigo
En un principio, los sistemas de numeración surgen como respuesta
a la necesidad de estandarizar un sistema de control. En la actualidad el
sistema de numeración más extendido es el indoarábigo, llamado tam­bién
sistema numérico o sistema decimal.
Willerding5 señala que existen diversas teorias acerca del origen de
los numerales que integran este sistema numérico. Una de ellas. estable­ce
que se originó en la India y siendo una invención de los hindúes, los
numerales fueron traídos a España entre el siglo VIII o IX d.C. por los
árabes o moros y difundidos más tarde por Europa. Esta teoria se basa en
diversos símbolos encontrados en la India. Por ejemplo, en la siguiente
figura aparecen los símbolos descubiertos en las paredes de una cueva
dentro de una colina llamada Nana Ghat:
-- F ? ~
Uno Dos Cuatro Siete Nueve
Otros símbolos encontrados en la India son los de Nasik:
- --- 4- .'3 ~ 7 ~
Uno Dos Tres Cuatro Cinco Seis Siete Nueve
5 Willerding, Margaret F., "Los numerales indoarábigos", en Anta/ogIa de matemáticas [,
México: UNAM, 1983, pp. 53 Y ss,

29. 28 Matemólicas aplicadas al Derecho· David Cienfuegos Salgado
Hay que señalar que estos símbolos fueron inicialmente usados en
combinación con el concepto de valor de posición, puesto que los hin­dúes
poseían símbolos para denotar veinte y cuarenta. Los numerales, tal
y como los conocemos hoy aparecerían entre los siglos xv y XVI d.C. El
manuscrito europeo más antiguo en el cual aparecen símbolos muy pare­cidos
a nuestros numerales modernos fue escrito en España en 976 d.C.
Tales símbolos son:
lc?{')L78¡
El numeral "O" fue el último de los numerales inventado y el número
cero fue el último de los números descubiertos. Una de las propiedades
de este número, es que al ser añadido (sumado) a un número X, da de
nuevo el número X:
X+o=X
Atribuida su invención a los hindúes, el cero nos permite desarro­llar
la escritura decimal de los números. Sin cero el sistema indoarábigo
de numeración no hubiese sido más eficiente para los cómputos que los
sistemas egipcio o romano. El cero representa los conjuntos vacíos o
nulos o conjuntos que carecen de elementos, asi, el cero carece de va­lor.
La palabra cero proviene de la voz árabe ziffero, que significa lugar
vacío.
Durante muchos siglos se prefirió la notación romana a los signos in­doarábigos,
incluso en Florencia, en 1299, se prohibió a los mercaderes
su uso y se ordenó la escritura de los nombres verbales para los números
o la notación romana. En algunas partes se prohibió el uso de numerales
indoarábigos en la redacción de documentos oficiales.
El sistema indoarábigo como mencionamos es llamado también siste­ma
numérico decimal o de base diez. Se entiende por base de un sistema
de numeración el número de unidades de un orden que forman una uni­dad
del orden inmediato superior. Así, en el sistema decimal la base es
10 porque 10 unidades de primer orden forman una decena; diez decenas
forman una centena, etcétera. Son unidades de orden en el sistema deci­mal
la decena, centena, millar, decena de millar, centena de millar, mi­llón,
decena de millón, centena de millón, trillón, cuatrillón, quintillón,
etcétera.
Es conveniente señalar que en algunos países como Estados Unidos
de América, Francia y Alemania, se llama billón al millar de millones;
trillón a lo que conocemos como billón; cuatrillón al millar de billones,

30. Unidad 1 • Aritmética 29
etcétera. En nuestro caso, el billón representa un millón de millones; un
trillón, un millón de billones; un cuatrillón. un millón de trillones; etcé­tera.
Podemos señalar como características de este sistema de numeración,
las siguientes:
1. Para expresar cualquier número en forma escrita utiliza
diez símbolos.
H. Se trata de un sistema posicional, es decir, se aplica el
principio de posición para representar números. Esto signi­fica
que los numerales tienen dos valores: uno absoluto y
otro relativo.
III. Aplica también el principio aditivo, al sumarse los valores
relativos de cada cifra.
IV. Aplica el principio multiplicativo, al obtener el valor de
cada numeral multiplicando su valor absoluto por la po­tencia
que le corresponde de acuerdo con su posición.
V. Uso del cero, que representa ausencia de valor.
VI. Se ordenan las cifras en órdenes de unidades, clases y pe­ríodos.
El orden se determina por el lugar que ocupa la ci­fra
en la representación numérica, ubicándola de derecha
a izquierda. Cada tres órdenes de unidades forman una
clase y cada dos clases forman un período de numeración.
Los órdenes decimales se consideran a partir de la derecha
de las unidades, es decir, a la derecha del punto decimal y
algunos los denominan suhórdenes.
El sistema indoarábigo utiliza diez símbolos para representar en for­ma
escrita cualquier número, estos símbolos o numerales. que reciben el
nombre de guarismos o cifras son:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 O
uno dos tres cuatro cinco seis siete ocho nueve cero
Las cifras del 1 al 9 tienen un valor propio y reciben el nombre de ci­fras
significativas. mientras que el cero carece de valor. Un principio de
la numeración decimal escrita establece que toda cifra tiene dos valores:
uno absoluto y otro relativo. Absoluto es el valor que tiene el símbolo por
su figura; relativo es el que tiene el numeral o símbolo por el lugar que
ocupa.

31. 30 Matem6ticas aplicadas al Derecho e David Cienfuegos Salgado
Por ejemplo en el número
37577
el valor absoluto de los tres sietes es el mismo: siete unidades, pero el va­lor
relativo del siete de la derecha es 7 unidades de primer orden, el va­lor
relativo del siete de las decenas es 7xl0= 70 unidades del primer or­den;
el valor relativo del 7 de los millares es 7xl0xl0xl0=7000 unidades
del primer orden. El valor relativo del 3 es de 3xl0xl0xlOxl0=30000
unidades del primer orden. El valor relativo del 5 de las centenas es
5xl0xl0= 500 unidades del primer orden.
La equivalencia de valores relativos podemos representarla como:·
Posición 5 4 3 2 1 O
donde n es cualquier n x lOS n x 104 n x 103 n x 102 n x 101 n x 100 numeral
En el ejemplo de 37577, los cálculos quedarían:
37577 = (3 x 104) + (7 x 10') +
(3 x 10000) + (7 x 1000) +
= (30000) + (7000) +
(5 X lO') + (7 x 10]) + (7 x 10°)
(5 x 100) + (7 x 10) + (7 xl)
(500) + (70) + (7)
Del ejemplo anterior podemos servirnos para comprender que el sis­tema
decimal utiliza el principio posicional, es decir, toda cifra escrita a
la izquierda de otra, representa unidades diez veces mayores que la que
representa la anterior y viceversa, toda cifra escrita a la derecha de otra
representa unidades diez veces menores que las que representa la an­terior.
A continuación exponemos una tabla que nos muestra las cantidades
y su forma de agrupación en el sistema decimal:
6 No debe olvidarse que toda cantidad elevada a cero equivale a la unidad; y toda canti­dad
elevada al exponente uno es equivalente a la misma cantidad.

32. Unidad 1 • Aritmética 31
decenas de cuatrillón 10'000,000'000,000'000,000'000,000 1 x 1025
unidades de cuatrillón 1'000,000'000,000'000,000'000,000 1 x 1024
centenas de millar de trillón 100,000'000,000'000,000'000,000 1 x 1023
decenas de millar de trillón 10,000'000,000'000,000'000,000 1 x 1022
unidades de millar de trillón 1,000'000,000'000,000'000,000 1 x 1021
centenas de trillón 100'000,000'000,000'000,000 1 x 1020
decenas de trillón 10'000,000'000,000'000,000 1 x 1019
unidades de trillón 1'000,000'000,000'000,000 1 x 1018
centenas de millar de billón 100,000'000,000'000,000 1 x 1017
decenas de millar de billón 10,000'000,000'000,000 1 x 1016
unidades de millar de billón 1,000'000,000'000,000 1 x 1015
centenas de billón 100'000,000'000,000 1 x 101-1
decenas de billón 10'000,000'000,000 1 x 10t:l
unidades de billón 1'000,000'000,000 1 x 1012
centenas de millar de millón 100,000'000,000 1 x 1011
decenas de millar de millón 10,000'000,000 1 x 1010
unidades de millar de millón 1,000'000,000 1 x 109
centenas de millón 100'000,000 1 x 108
decenas de millón 10'000,000 1 x 107
unidades de millón 1'000,000 1 x 106
centenas de millar 100,000 1 X 105
decenas de millar 10,000 1 x 104
unidades de millar 1,000 1 x 103
centenas 100 1 x 102
decenas 10 1 x 101
unidades 1 1 x 10°
decimos 0.1 1 x 10-1
centésimos 0.01 1 x 10-2
milésimos 0.001 1 x 10-3
diezmilésimos 0.000,1 1 x 10-4
cienmilésimos 0.000,01 1 x 10-5
millonésimo 0.000,001 1 x lO-r,
diezmillonésimos 0.000,000,1 1 x 10-7
cienmillonésimos 0.000,000,01 1 x 10-8
milmillonésimos 0.000,000,001 1 x 10-9
diezmilmillonésimos 0.000,000,000,1 1 x 10-10
cienmilmillonésimos 0.000,000,000,01 1 x 10-11
billonésimos 0.000,000,000,001 1 x 10-12
diezbilloné~imos 0.000,000,000,000,1 1 x 10-13

33. 32 Matemáticas aplicadas al Derecho • David Cienfuegos Salgado
APRENDIZAJE Y AUTOEVALUACIÓN
Advertencia: Algunos de estos ejercicios tienen por objeto que el
alumno realice investigación, pues no son abordados en el presente texto.
1. ¿Qué entiendes por sistema matemático?
2. ¿Qué se entiende por números perfectos? Dé algunos ejemplos.
3. Desarrolle un ensayo acerca de la evolución que ba sufrido la mate­mática.
4. ¿Qué se entiende por números amigables? Dé ejemplos.
5. ¿Qué es un sistema de numeración?
6. Reflexiona acerca de la conveniencia de contar con un sistema de nu­meración
uniforme.
7. Analiza los principios fundamentales de algún sistema numérico.
8. En el sistema numérico indoarábigo, ¿cuál es la diferencia que existe
entre el valor absoluto y el relativo de un numeral?
9. Determine los valores absolutos y relativos de cada uno de los nume­rales
que integran las siguientes cantidades:
123
23.4560
3456
190.90
2347
7.80
45600
10.1200
28709.79
7893214
10. Represente los numerales utilizados en los sistemas de numeración
maya, babilónico, romano, chino, griego, egipcio, azteca y sumerio.
11. Represente las siguientes cantidades en diferentes sistemas de nume­ración:
3 9 13 18 25 27
39 55 89 99 123 208
225 500 510 555 678 1,308
4,566 2,456 28,007 35,000 1,000,000
12. Analice la evolución de los numerales indoarábigos.
13. En la tabla presentada al final de este tema, ubica los órdenes de uni­dades,
clases, períodos y grupos que integran los valores de las cifras
que comprendan hasta los trillones y hasta los cienmill~nésímos.

34. Unidad 1 • Arilrnétic8 33
14. Investiga los datos más relevantes de los matemáticos griegos y ára­bes.
15. En Lara Aparicio, Miguel, comp., Antología de Matemáticas, t. 1, Mé­xica,
UNAM, 1983, lee y elabora un resumen de los siguientes ensa­yos:
1) Hernández, Rosaura, Los números mágicos (Lo vida indígena y
los números). 2) Willerding, Margaret F., El misticismo de los núme­ros
y las supersticiones, Sistemas antiguos de numeración, y Los nu­merales
indoarábigos. 3) Dugas, René, Lo matem6tica, objeto de cultu­ra
y herramienta de trabajo.
16. Lee y escribe los siguientes números:
92384755864941948902099807.7
345974137798149823414544
789357895487987543780766541.34
380973477346978901789671290
7423769789423798789342789
76353637383930303356788708976
13789488954897898548978754897089
78789889779897234788734289703809234.76
1.2. SISTEMAS DE UNIDADES Y SU IMPORTANCIA
Como señalamos el número tiene su probable origen en la necesidad
de contar propiedades. De igual manera cuando se iniciá a comerciar sur­gió
una nueva necesidad: la de pesar y medir.
Varias unidades fueron adoptadas. según se tratara de una u otra ci­vilización
antigua. Asi, los pueblos que más aportes hicieron a los siste­mas
de unidades fueron los babilonios, los hebreos, los griegos y los ro­manos.
Las unidades de medida variaban, y derivaban, por regla general,
de partes del cuerpo humano. Para uniformarlos se utilizaron prototipos
que se guardaban en lugares seguros. Destacan entre estas unidades el
codo, el pie y la pulgada. El codo representa la distancia entre éste y la
punta del dedo anular. Baste decir en tal caso que mientras el codo real
griego equivalía a 0.524 metros, el codo hebreo era de 0.450 metros y el
griego, 0.309 metros.
La milla fue definida por los romanos como mil pasos, y con un total
de 5000 pies. En Inglaterra fue reformada, por decreto en el siglo XVI,
para que midiera los 5280.' Por su parte, la yarda parece que tuvo su
origen durante el reinado de Enrique 1 de Inglaterra. y representa la dis-
7 Torres, Alberto, Peso y medidas anUguas en México, México: Gobierno de Jalisco,
1967, p. 9.

35. 34 Matemáticas aplicadas al Derecho • David Cienfuegos Salgado
tancia entre su nariz y la punta del dedo pulgar. Las medidas de pesar es­tuvieron
basadas originalmente en el peso de granos de trigo o de alguna
otra semilla.
Es fácil deducir que, merced a estas formas de crear los sistemas de
medición, existía un caos cuando se trataba de realizar operaciones co­merciales
con estas unidades. Éste fue el motivo para que más tarde se
pensara en uniformar todas las unidades y subordinarlas a un sistema
único que permitiera que los intercambios se realizaran más rápidamente
y con mayor seguridad para las partes que intervinieran. Sería al triunfo
de la Revolución Francesa cuando se daría este paso, con el estableci­miento
del sistema métrico decimal.
SISTEMA MÉTRICO
El sistema métrico es un sistema de medidas o unidades que se fun­damenta
en el metro como unidad de longitud. Surge a instancias de la
Asamblea Constituyente francesa, la cual, en 1790 ordenó a la Academia
de Ciencias de París que estudiara el establecimiento de un sistema sim­ple
y uniforme que pudiera ser adoptado por los demás países. Más tarde
y basado en la distancia entre uno de los polos de la Tierra y el ecuador,
y también en algunas propiedades simples del agua ordinaria, el sistema
métrico emergió de la revolución francesa en toda su simplicidad: consis­tente,
comprensible y decimalmente corriente."
Recibe además el adjetivo decimal debido a que los múltiplos y sub­múltiplos
de las unidades bases aumentan o disminuyen conforme a po­tencias
de diez.
Las unidades bases empleadas en el sistema métrico decimal son:
Longitud Superficie Volumen Capacidad Masa
Metro Metro cuadrado Metro Cúbico Litro Gramo
m m' m' 1 g
Metro. Del griego métron "medida". En el sentido de 'unidad de lon­gitud'
se deriva del francés métre 'metro (unidad de longitud)' (1790 o
8 Al lector interesado recomendamos un excelente libro que naITa las vicisitudes histó­ricas
por las que habrían de pasar Pierre- Fran¡;ois Méchain y Jean-Baptiste-}oseph Delam­bre
en el periplo iniciado para establecer la medida hase del sistema métrico. Se trata de:
Alder, Kan. Lo medida de todas Jos cosas, Madrid. España: Taurus, 2003, 496 p. También re·
sulta de interés-la lectura de la obra: KuJa. Witold, Las medidas y Jos hombres, 3D. erl., Méxi­co:
Siglo Veintiuno Editores, 1998, 462 p.

36. Unidad 1 • Aritmética 35
1791).9 El metro patrón es una barra de platino iridiado cuya longitud se
consideraba equivalente a la diezmillonésima parte de un cuadrante de
meridiano terrestre (después se demostró que esta definición era erró­nea).
Sobre este metro patrón se construyeron todos los demás en dife­rentes
formas y materiales. Pero a pesar de todas estas formas y materia­les
empleados, todos los metros tenían la misma longitud que el metro
patrón en París. Además se establecieron reglas para subdividirlo y mul­tiplicarlo,
de diez en diez hasta el infinito. La notación del metro es:
m
Metro cuadrado. El metro cuadrado es una unidad de superficie. Las
unidades de superficie son cuadrados de diferentes tamaños, que se eli­gieron
para medir las superficies de las figuras planas. El metro cuadrado
es un cuadrado que mide un metro por cada lado. La notación del metro
cuadrado es ésta:
m'
1m'=lmxlm
Metro cúbico. Es la extensión sólida que se toma como unidad fun­damental
de volumen. El metro cuadrado es un cubo que tiene un me­tro
de largo, un metro de ancho y un metro de alto. Se escribe con la no­tación:
m'
9 G6mez de Silva, Guido, Breve diccionario etimológico de la lengua española, México:
El Colegio de México, Fondo de Cultura Económica. 1988, p. 454.

37. 36 Malem6ticos aplicadas al Derecho· David Cienfuegos Salgado
Litro. Del francés litre 'litro', modificación del anticuado litron, medi­da
antigua de capacidad. Unidad de volumen y capacidad en el sistema
métrico decimal, igual a un decimetro cúbico.'" Se escribe como:
Gramo. Del griego grámmo 'un peso pequeño' y del francés gramme
'gramo'.11 Es la unidad fundamental de peso y masa. Un gramo es la mi­lésima
parte de 1 kilogramo (kg). Se define como la masa de un centíme­tro
cúbico de agua destilada, a su máxima densidad, a la temperatura de
4° centígrados. Su notacián es:
g
Los múltiplos y submúltiplos de las unidades del sistema métrico
son siempre decimales, utilizándose prefijos griegos para los primeros
(deca-, hecta-, kilo-, miría-, etcétera) y latinos para los segundos (deci-,
centí-, mili-, etcétera). aun y cuando en ocasiones se combinan.
Múltiplos y submúltiplos de uuidades
E Exa 1,000,000,000,000,000,000 d deci 0.1
P Peta 1,000,000,000,000,000 e centí 0.01
T Tera 1,000,000,000,000 m mili 0.001
G Giga 1,000,000,000 J-L micro 0.000,001
M Mega 1,000,000 n nano 0.000,000,001
Ma Miria 10,000 p pico 0.000,000,000,001
K Kilo 1,000 [ [emto 0.000,000,000,000,001
H Hecto 100 a atto 0.000,000,000,000,000,001
D Deca 10
Como señalamos, el sistema métrico decimal de pesas y medidas tie­ne
por unidades básicas para longitud, el metro; para el peso, el gramo;
para volumen, el metro cúbico; para superficie, el metro cuadrado y para
capacidad, el litro. Pero es preciso destacar que las unidades de medida
no han permanecido invariables, desde que aparecen en 1795. Asi, el me­tro,
por ejemplo, ha cambiado de definición, pues mientras en 1795 era
10 ,Ibidem, p. 419.
11 Ibidem, p. 328.

38. Unidad 1 • Arilmélica 37
una fracción del meridiano terrestre; en 1799 se convirtió en el "patrón
de los archivos"; en 1899 en el "prototipo de platino iridio"; en 1960 era
"longitudes 1,650,763.73 de onda en el vacío del Kripton 86", y para
1983 era la longitud del trayecto recorrido en el vacío por la luz durante
una fracción 1/299792458 de segundo.
El único que se ha mantenido desde sus ya remotos origenes como
un patrón materializado por el hombre, ha sido el de masa (peso) que ha
salido airoso de todos los intentos de cambio que se han pret~ndido
hacer. Todavía su concepción física original no ha sido superada aún
con las ventajas que en la actualidad, puede proporcionar el adelanto
cíentífico. 12
En 1960, la II Conferencia General de Pesos y Medidas cambió el
nombre a Sistema Internacional de Unidades (SI) al antiguo sistema mé­trico.
Este SI es una versión modificada del sistema métrico, establecida
mediante acuerdos internacionales con el objeto de fijar las relaciones
mutuas y lógicas necesarias para establecer un estándar entre todas las
mediciones efectuadas por la ciencia, la industria, el comercio y cuales­quiera
otras actividades que así lo requieran.
Actualmente el 80% de los países se valen de este sistema de unida­des.
Los demás, que usan aún el sistema británico o inglés, que incluye
pies, libras, galones, etcétera, se disponen a adoptar el sistema interna­cional
de unídades.
En 1971 el Reino Unido, Irlanda y Singapur adoptaron el sistema mé­trico
decimal comprometiéndose a adoptar en lapsos relativamente cor­tos
el sistema internacional y abandonar el antiguo sistema británico (li­bras,
pies, etcétera). Estados Unidos, Myanmar (antigua Birmania) y
Liberia todavía se mantienen fuera del sistema métrico decimal. La revi­sión
del sistema de medidas no parece tener importancia en el conoci­miento
público. A pesar del Acta firmada por el presidente estadouni­dense
Ronald Reagan en 1988 -documento que especifica que el sistema
métrico es el preferido de medidas para el comercio y el tráfico de mer­cancías
en Estados Unidos-, los signos de las carreteras están todavía en
millas, la gente compra el pescado por libras y mide la temperatura en
grados Fahrenheit. Se piensa que el sistema internacional prevalecerá
en Estados Unidos con el transcurso del tiempo, pero por el momento no
se aprecian cambios significativos en tal sentido.
Algunos científicos se oponen al sistema métrico utilizando el argu­mento
de que se trata de un sistema decimal ya sobrepasado por el siste­ma
binario usado por las computadoras. Además científicos estadouni­denses
argumentan que cualquier otro sistema adoptado por Estados
12 Nava Taimes, Héctor, "El sistema métrico decimal" en Kumatc, Jesús, cooed., La cien~
cia en la Revolución Francesa, México: El Colegio Nacional, 1991, p. 163.

39. 38 MatemóUcas aplicadas al Derecho • David Cienfuegos Salgado
Unidos tiene que encontrarse basado en el valor arbitrario de la veloci­dad
absoluta de la luz (300 millones de metros por segundo), y no utili­zar
el valor real que es de 299,972,458 metros por segundo.
La oposición al sistema creado en Francia hace ya dos siglos, se debe
a la siempre creciente necesidad de la mayor precisión. La barra de metal
inmune a la corrosión, que aparecía como una referencia inmutable al
peso, puede degradar su valor permanente por efecto de una simple par­tícula
microscópica de polvo o un átomo errante. Esto plantearía siempre
una interrogante acerca del valor absoluto y uníversal de las medidas
planteadas por este sistema.
Algunas de las unidades base del sistema internacional son:
Magnitud Unidad Abreviatura
Longitud metro m
Masa kilogramo kg
Tiempo segundo s
Corriente eléctrica amperio A
Temperatura grado Kelvin °K
Cantidad de substancia mole mol
Intensidad luminosa bujía o candela cd
Ángulo plano radián rad
Algunas de estas unidades tienen las siguíentes definiciones:
Metro: Es la dístancia que recorre la luz en el vacio durante
1/299,972,458 de segundo. Esta definición sustituye a la anteríor, que ex­presaba:
Es la longitud igual a 1,650,763.73 veces la longitud de onda en
el vacío de la radiación correspondiente a la transición entre los niveles
2Pl0 Y 5ds del átomo de Kriptón 86, que se refleja en su espectro como
una línea roja anaranjada.
Kilogramo: Es la masa determinada mediante un patrón estándar,
prototipo cilíndrico de aleación de platino e iridio, conservado en la Ofi­cina
Internacional de Pesos y Medidas de Sevres. Esta unidad sustitu­ye
la original de gramo y se constituye de manera irregular en la uni­dad
de masa del sistema: sin seguir las reglas de formación de las uni­dades.
Segundo: Es la duración de 912,963,177 ciclos de la radiación corres­pondiente
a la transición entre los dos niveles hipertinos del estado fun-

40. Unidad 1 • Aritmética 39
damental del átomo de Cesio 133. Esta definición sustituye a la antigua
que fijaba el segundo como la fracción 1/86,400 del día solar medio, pe­ríodo
que variaba en el transcurso de los años.
Amperío: Es la intensídad de una corriente constante que, mantenida
entre dos hilos conductores rectilíneos paralelos, de gran longitud y sec­ción
circular despreciable, a una distancia de un metro uno del otro en el
vacío, produce entre sus conductores una fuerza de 2 x 10-7 newton por
metro de longítud.
Kelvín: Es la unidad de temperatura termodinámica cuya magnitud
es la fracción 1/273.16 de la temperatura termodinámica del punto triple
del agua. (En el que la temperatura y la presión de sus estados sólido, lí­quido
y gaseoso se encuentran en equilibrio). (En escala Celsius corres­ponde
a 0.01° Cj.
Candela: Es la intensidad luminosa en la dirección perpendicular de
una superficie de 11,600,000 metros cuadrados de un cuerpo negro a la
temperatura de fusión del platino bajo la presión de 101.325 newton por
metro cuadrado.
Mol: Es la cantidad de sustancia de un sistema que contiene tantas
entidades fundamentales como átomos existentes en 0.012 kilogramos de
carbono 12.
Las unidades derivadas de este sistema internacional de unidades, no
son más que combinaciones de dos o más unidades de base:
Magnitud Unidad Abreviatura
.. . --
Área metro cuadrado m'
Volumen metro cúbico m'
Frecuencia hertzio Hz
Densidad kilogramo por metro cúbico Kglm'
Velocidad metro por segundo m/s
Velocidad angular radián por segundo radls
Aceleración metro por segundo cuadrado m/s'
Aceleración angular radián por segundo cuadrado rad/52
Medida volumétrica de caudal metro cúbico por segundo m3/s
A continuación se exponen los valores de los múltiplos y submúlti­plos
de las diferentes unidades de medición, según la magnitud específi-

41. 40 Matemáticas aplicados al Derecho· David Cienfucgos Salgado
ca: longitud, superficie, volumen, peso y capacidad. Asimismo se incluye
una tabla con las equivalencias métricas de las unidades de medida in­glesas
y norteamericanas.
Medidas de longitud
1 miriámetro (Mm) 10,000 m
1 kilómetro (Km) 1,000 m
1 hectómetro (Hm) 100 m
1 decámetro (Dm) 10 m
1 METRO (m) 1 m
1 decímetro (dm) 0.1 m
1 centímetro (cm) 0.01 m
1 milímetro (mm) 0.001 m
1 micra (o micrón, o micromilímetro)
0.000,001 m
0.001 mm
1 milimicra (o milimicrón)
0.000,000,001 m
0.000,001 mm
1 angstrom (A)
0.000,000,1 mm
0.000,1 1"
Medidas de superficie
1 miriámetro cuadrado (Mm') 100,000,000 m'
1 kilómetro cuadrado (Km') 1,000,000 m'
1 hectárea (Ha) o hectómetro cuadrado 10,000 m'
1 área (a.) o decámetro cuadrado 100 m'
1 METRO CUADRADO (m') 1 m'
1 decimetro cuadrado (dm') 0.01 m'
1 centímetro cuadrado (cmZ) 0.000,1 m'
1 milímetro cuadrado (rnm2 ) 0.000,001 m'

42. Unidlld 1 • Aritmética 41
;'~i-:
'......,l::,.•. ~
1 kilómetro cúbico
1 hectómetro cúbico
1 decámetro cúbico
1 METRO CÚBICO
1 decímetro cúbico
1 centímetro cúbico
1 milímetro cúbico
1,000,000,000 metros cúbicos
1,000,000 metros cúbicos
1,000 metros cúbicos
1 metro cúbico
0.001 metros cúbicos
0.000,001 metros cúbicos
0.000,000,001 metros cúbicos
1 tonelada métrica (T.)
1 quintal métrico (q.)
1 miriagramo (Mg)
1 kilogramo (Kg.)
1 hectogramo (Hg.)
1 decagramo (Dg.)
1 GRAMO (g.)
1 decigramo (dg.)
1 cenligramo (cg.)
1 miligramo (mg.)
1 quilate métrico
1000 Kg.
100 Kg.
10 Kg.
1 Kg.
1,000 g.
100 g.
10 g.
1 g.
0.1 g.
0.01 g.
0.001 g.
0.2 g.
200 mg
~ff~e~::~t1,ti~~~&fá~~>d~~fliá~í~(,;.::.t',._, _"""i"'.i':,o~-..~ ,;0". o"""" ,'0',_ :~;.~~~i.o _ "',,-., '-::1'&','.' -»
1 kilolitro (KI.)
1000 litros
1 metro cúbico
1 hectolitro (HI.)
1 decalitro (DI.)
1 LITRO (l.)
1 decilitro (dI.)
1 centilitro (eL)
1 mililitro (mI.)
100 litros
10 litros
1 litro
1 decímetro cúbico
0.1 litros
0.01 litros
0.001 litros

43. 42 Matemóticas aplicadas al Derecho • David Cicnfuegos Salgado
~"'!':'~"~:_-':M~i'ici~~' 'Ingles~ ~ _N~rt:~e~i':i'~,~~4~~t~q"UiV~le~les métricos)
. ", ." ',' -'. ',- ". ... , ..,. . .
Longitud
1 pulgada 2.54 cm.
1 pie (12 pulgadas) 30.48 cm.
1 yarda (3 pies) 0.914,402 m.
1 milla (US Statute Mile, 1760 yardas) 1.609 Km.
1 milla náutica internacional 1.852 Km.
1 milla náutica americana 1.853 Km.
1 legua (3 millas) 4.828 Km.
Superficie
1 pulgada cuadrada 6.451,626 centímetros cuadrados
1 pie cuadrado (144 pulgadas cuadradas) 0.092,903 metros cuadrados
1 yarda cuadrada 0.836,131 metros cuadrados
1 área (medida agraria) 0.404,7 Ha.
1 milla cuadrada 259 Ha. = 2.59 kilómetros cuadrados
Volumen
1 pulgada cúbica 16.387,162 centímetros cúbicos
1 pie cúbico 0.028,317 metros cúbicos
1 yarda cúbica 0.764,559 metros cúbicos
Capacidad (líquidos)
1 onza 0.029,573 1.
1 pinta 0.473,167 1.
1 quart [2 pintas) 0.946,333 1.
1 galón americano (4 quarts) 3.785,332 1.
1 galón imperial inglés 4.546,082 1.
Capacidad (áridos)
1 quart 0.110,120 DI.
1 peck 0.880,958 DI.
1 bushel (4 pecks) 3.523,83 DI.

44. Unidad 1 • Aritmética
Peso
43
1 onza
1 libra (16 onzas)
1 hundredweight (100 libras)
1 tonelada americana (2000 lb.)
1 tonelada inglesa (2240 lb.)
1 ooza troy (oro, plata, etcétera)
1 libra troy
28.349,53 g.
453.592,427 g.
45.36 Kg.
907.184,86 Kg.
1,016.04704 Kg.
31.1035 g.
373.2 g.
EL SISTEMA MÉTRICO DECIMAL EN MÉXICO
La estandarización de las medidas es más eficaz cuando los distintos
países coinciden en la importancia del sistema a utilizar. A continuación
presentamos en breve síntesis la adopción en nuestro país del sistema
métrico:13 .
En el México independiente, los primeros antecedentes para adoptar
el sistema métrico decimal los encontramos en la circular número 92.del
ministerio de fomento, de 20 de febrero de 1856, en el cual se establece
que en tanto no se dicte una medida general para la adopción en la Repú­blica
del sistema métrico decimal, se sujeten a él todos los directores de
caminos e ingenieros empleados por esa dependencia.
En el Congreso Constituyente de 1857 se pensó en establecer el siste­ma
métrico y el primer decreto que lo hace, fue dictado por Ignacio Co­monfort,
el 15 de marzo de 1857. En tal decreto se adopta el "sistema mé­trico
decimal francés" y se crea la Dirección General de Pesas y Medidas
de la República, organismo de carácter científico, dependiente del Minis­terio
de Fomento cuya atribución era la de propagar el nuevo sistema.
Más tarde, en marzo de 1861, Benito Juárez confirma el decreto ante­rior
y establece que la enseñanza del sistema métrico decimal en todos
los establecimiento de instrucción primaria y secundaria es obligatoria,
tratando con ello de implantar en la conciencia del educando las nocio­nes
de las nuevas medidas para que las generaciones futuras concibieran
su empleo de la manera más natural como fuere posible.14
Los siguientes gobernantes: Maximiliano de Habsburgo, Manuel Gon-
13 Remito a quien desee profundizar sobre el tema a Nava }aimes, Héctor, "El sistema
métrico decimal", op. cito
14 Véase los documentos que se anexan al final de esta unidad.

45. 44 Matemáticos aplicadas al Derecho • David Cienfucgos Salgado
zález y Porfirio Diaz, decretaron el uso obligatorio del sistema métrico
decimal, establecieron plazos y los prorrogaron bajo el argumentos sim­ple
de que México aún no estaba preparado para la adopción obligatoria
del sistema métrico, ni se había elaborado un plan para su admisión.
En 1883, el presidente Manuel González dio instrucciones al repre­sentante
de México en París para que solicitara información al Ministro
de Relaciones Exteriores de Francia, sobre los requisitos a cubrir para
que México se adhiriera al tratado de la Convención del Metro. El 4 de
agosto de 1890, siendo presidente Porfirio Díaz el encargado de negocios
de México en París comunica al ministro de Negocios Extranjeros de
Francia que: "Conforme a las instrucciones de mi gobierno, tengo el ho­nor
de hacer saber a vuestra excelencia que los Estados Unidos Mexica­nos,
se adhieren a la Convención Internacional del Metro".
El 30 de diciembre de 1890, el ministro de Negocios Extranjeros de
Francia comunica al presidente del Comité Internacional de Pesas y Me­didas
que México se adhiere a la Convención del Metro de 1875. Esta fe­cha
es la que se toma como oficial por los organismos internacionales. A
su vez el presidente del Comité Internacional lo notifica el 22 de enero
de 1891 a las partes signatarias del Tratado de la Convención. Ese mismo
año México participa en el sorteo de los prototipos del kilogramo, ha­biéndole
tocado en suerte el número 21, el cual llegó a nuestro país en
diciembre de 1891. Dos años más tarde, en 1893, se le asignó a México el
prototipo número 25 del metro, que originalmente se le había dado al
Observatorio Real de Bruselas. Dicho prototipo llegó a México en el año
de 1895.15
En nuestro país la Ley Federal sobre Metrología y Normalización
dispone que el Sistema General de Unidades de Medida es el único le­gal
y de uso obligatorio, señalando cuales son las unidades que lo inte­gran.
Además se preceptúa que las escuelas oficiales y particulares que
formen parte del sistema educativo nacional, deberán incluir en sus
programas de estudio la enseñanza del Sistema General de Unidades de
Medida.
UNIDADES AGRARIAS
Para la medición de predios destinados a la agricultura y la ganade­ría,
se utilizan las llamadas unidades agrarias, las cuales equivalen a de­terminadas
unidades de superficie. La unidad de las medidas agrarias es
el área, que equivale a un Dm' (100 m') y que se representa
A
15 Nava Jaimes. "El sistema métrico decimal", p. 162-164.

46. Unidad 1 • Aritmética 45
Esta unidad se define como la superficie de tierra en un cuadrado de
diez metros por cada lado. Tiene un múltiplo que es la hectárea que
equivale al Hm' (10,000 m') y se representa
ha
y un submúltiplo, la centiárea que equivale al m' y se representa
ca
Tenemos así:
1 ha
1 Hm'
= 100 a
= 100 Dm'
= 10,000 ca
= 10,000 m'
APRENDIZAJE Y AUTOEVALUACIÓN
Advertencia: Algunos de estos ejercicios tienen por objeto el realizar
investigación, pues no son abordados en el presente texto.
. 1. Describe brevemente la importancia de un sistema internacional de
pesas y medidas.
2. Realiza un cuadro con los múltiplos y submúltiplos de cada una de
las unidades del sistema métrico decimal.
3. En términos de la Ley Federal sobre Metrología y Normalización defi­ne
las voces acreditamiento, calibración, certificación, instrumentos
para medir, medir, medida materializada, manifestación, método,
normas mexicanas, normas oficiales mexicanas, organismos de certi­ficación,
organismos nacionales de normalización, patrón, patrón na­cional,
proceso, unidades de verificación y verificación. Y explica
respecto de cada una cuál es la importancia que tienen en el comer­cio
mexicano.
4. De acuerdo con las leyes mexicanas, ¿quién tiene a su cargo la con­servación
de los prototipos nacionales de unidades de medida, metro
y kilogramo, asignados por la Oficina Internacional de Pesas y Medi­das
a los Estados Unidos Mexicanos?
5. Analizar algunas de las normas oficiales mexicanas que tienen rela­ción
con el sistema internacional de unidades.
6. Investiga algunas otras definiciones para las unidades base del siste­ma
internacional de unidades.

47. 46 Matemáticas aplicadas al Derecho· David Cienfuegos Salgado
7. Cual es la diferencia entre Sistema Métrico Decimal y Sistema Inter­nacional
de Unidades.
8. Investiga sobre las unidades agrarias de superficie y su equivalencia,
así como los ordenamientos y normas mexicanas que se refieren a
aquéllas.
9. Convertir:
10 m. a cm. 23.4 kg. a mg. 22345 m. aromo
.18 km. a Hm. 345 mm. a Dm. 23.4 kg. a cg.
51.11 m. a Hm. 322 Hm. aromo 14 KI. a cl.
Expresa:
1 fi3. en cro3 , 23.4 cm3 , en mm3 . 12.3 croJ. en mm3 ,
1 Hms. a Dm'. 13.24 Km'. a cro3 , 236 Dm'. a mm3.
12 Hm'. a dm'. 124 Km'. a m'. 21.6 Dm'. a dm'.
10. Realiza las siguientes conversiones con los valores expresados en
el texto:
1434.5 m yd 34766 millas cm
34.23 tb cg 324 oz. Hg
435 ft km 12325 fl' m'
2345 m ft 12728 yd' cm2
1.3. CONJUNTOS
La lógica y la teoria de conjuntos representan un replanteamiento de
la ciencia matemática. Ambas teorias que se desarrollaron durante el si­glo
XIX forman parte de la llamada matemática moderna, cuya creación
surge de la búsqueda de un mayor rigor científico en la expresión de los
teoremas antes planteados.
La teoria de los' conjuntos nos es útil para analizar y resolver concep­tos
o problemas matemáticos, ya que se relaciona con la lógica y con el
entendimiento de ideas como infinito o finito. Es un campo abierto para
la investigación, y es un tema excesivamente amplio, por lo que aqui
abordaremos únicamente algunas nociones.
Conjunto es una colección como totalidad de objetos definidos y
distintos de nuestra intuición o nuestro pensamiento. Los objetos son
llamados los elementos (o miembros) del conjunto. Se dice que el con­junto
contiene a sus elementos, o bien que los elementos pertenecen al
conjunto.l6 No se concibe lo que es un conjunto si no imaginamos que
16 Fraenkel, Abraham A., Teoría de los.conjuntos y Jógico, México: UNAM, 1976, p. 13.

48. Unidad 1 • Arilmética 47
está formado por objetos: sus elementos. De la misma manera no ima­ginamos
que un objeto sea un elemento, si no forma parte de un con­junto.
Los conjuntos pueden expresarse de dos maneras: por extensión y
por comprensión.
Se expresan por extensión o lista cuando se enuncian o especifican
cada uno de los elementos de un conjunto. Ejemplo: El conjunto cuyos
elementos son: Álvaro Obregón, Coyoacán, Iztapalapa, Cuauhtémoc, Ve­nustiano
Carranza, Tlalpan, etcétera. Cuando un conjunto se expresa por
comprensión se enuncia una propiedad o atributo que caracterice a todos
los elementos del conjunto. En el caso anterior sería: El conjunto de dele­gaciones
políticas que integran el Distrito Federal.
Reglas a tomar en cuenta: .. .. ...
1. El conjunto debe estai'líiendefinido,
2. Los elementos de un conjunto son diferentes, cada elemento
es único. '... ,
3. El orden de los elementos de un conjunto. no lo afecta:
4. Para representar un conjunto generalmente se usa una letra
mayúscllÍa,
5. Se emplean sorchetes o llaves, dentro de las cuales se escri­ben
los elementos o se describe el conjunto por comprensión.
Los corcbetes significan "el conjunto cuyos elementos son".
Conjunto unitario: Es aquel conjunto que consta de un solo ele­mento.
Ejemplos:
{a}
{México}
{5}
{Constitución vigente de los Estados Unidos Mexicanos}
Conjunto vacío: Es aquel conjunto que no tiene elementos. Su nota-ción
es 0. .
Ejemplo:
Cuando nadie acude a una conferencia afirmamos que el conjunto de
asistentes a la conferencia es un conjunto vacío.
Otro ejemplo puede deducirse de un cuadro con las calificaciones
obtenidas por los alumnos de un grupo de Motemóticas aplicadas al de­recho:

49. 48 Motcm6ticas aplicadas al Derecho • David Cienfuegos Salgado
Amado MB Gerardo B Hilda MB
Benito B Celia MB Irma MB
Daniela B Eugenia B losé MB
Luisa B Rev B Alberto MB
Conjunto de alumnos que obtuvieron MB = {Amado, Celia, Hilda, Irma,
José, Alberto}
Conjunto de alumnos que obtuvieron B {Benito, Daniela, Luisa,
Gerardo, Eugenia, Rey}
Conjunto de alumnos que obtuvieron S {0}
Conjunto universal: Es el conjunto que contiene la totalidad de una
discusión o situación particular, y se representa con el símbolo U.
Subconjunto: Cuando todos los ele~entos de un conjunto A están
contenidos en otro conjunto (B), esta circunstancia se representa,
A e B (A es subconjunto de Bl
Un ejemplo de esta situación sería:
El conjunto Cámara de Senadores es un subconjunto del conjunto
Congreso de la Unión.
Conjuntos iguales: Dos conjuntos son iguales cuando contienen
exactamente los mismos elementos. La igualdad se indica por el símbolo
"=", que se lee "igual aH o "es igual a".
Ejemplo:
A = Congreso de la Unión
B = Cámara de Diputados, Cámara de Senadores
A = B
El conjunto A es igual al conjunto B
Puede advertirse que cuando dos conjuntos son iguales, todo elemen­to
del primer conjuriio pertenece al segundo, y todo elemento del segun­do
conjunto pertenece al primero.
Decir que dos o más conjuntos son iguales equivale a afirmar que
son, en realidad, el mismo conjunto. Esta igualdad matemática entre con­juntos
no debe confundirse con la qne usamos al decir "estos dos perros
son iguales", pues tan sólo queremos decir que los dos animales son muy
parecidos y no que son dos representaciones del mismo perro, no habla­mos
de una igualdad matemática."
17 Martínez Sánchez, Jorge, Conjuntos y funciones, México: ANUIES, Programa Nacional
de Formación de Profesores, 1973, p. 10.

50. Unidad 1 • Aritmética 49
Conjuntos desiguales: Para indicar que dos conjuntos no son iguales,
se emplea el símbolo "', que se lee "no es igual a".
Ejemplo:
A = alumnos de la asignatura de Ética
B = alumnos de la asignatura de Derecho Fiscal
A",B
El conjunto A no es igual al conjunto B (aunque es factible que se de
una igualdad, si los alumnos que concurren a las citadas asignaturas fue­ran
exactamente los mismos).
Esta última expresión recibe el nombre de desigualdad, donde A y B
simbolizan conjuntos diferentes.
Conjuntos ajenos: Son aquellos conjuntos que no tienen elementos
comunes. Algunos autores se refieren a estos conjuntos como disjuntos o
disyuntos.
Ejemplo:
A = {a,b,c,d,e,f}
B = {l, 3, 6, A, K}
Los conjuntos A y B son ajenos porque carecen de elementos comu­nes:
ninguno de los elementos del conjunto A se encuentra en el conjun­to
B (y por tanto viceversa).
OPERACIONES SOBRE CONJUNTOS
Existen cuatro tipos de operaciones fundamentales que podemos rea­lizar
en el ámbito de los conjuntos: la uníón, la intersección, el comple­mento
y la diferencia.
Unión de Conjuntos. Dados dos conjuntos A y B, se denomina unión
al conjunto constituido por aquellos elementos que pertenecen a A ó a B
(el símbolo E se lee como "pertenece a") y se anota:
A u B = {X, tal que X E A ó X E B}
Intersección de Conjuntos. Dados dos conjuntos A y B, se llama in­tersección
de ambos al conjunto formado por los elementos que pertene­cen
conjuntamente a A y B. Se denota:
A n B = {X, tal que X E A y X E B}
Complemento de un Conjunto. Dado un conjunto B y un subconjun­to
de él A, se llama complemento del conjunto A a aquel conjunto cuyos
elementos pertenecen a A pero no al subconjunto A (el símbolo E se lee

51. 50 Matem6ticas aplicadas al Derecha • David Cienfuegos Salgado
como "no pertenece a"). Si se refiere esta operación no a un conjunto B
sino al conjunto universal, aparece la siguiente expresión:
A' = CA = {X si X E U Y X ¡>; A}
Diferencia de Conjuntos. La diferencia de dos conjuntos A y B es el
conjunto formado por elementos que pertenecen al conjunto A, pero que
no pertenecen al B, y se expresa:
A-B = {X tal que X E A YX ¡>; >B}
Las operaciones de conjuntos y los conjuntos se pueden representar
de manera gráfica por medio de superficies limitadas por lineas curvas
cerradas llamadas Ideogramas o Diagramas de Euler Venn.
En el ámbito juridico las demostraciones por medio de operaciones
de conjuntos han sido más o menos comunes. La más representativa es la
que presenta Garcia Maynez en su Introducción al estudio del derecho.
Este autor utiliza tres circulas para significar tres conjuntos-conceptos:
a) el derecho formalmente vólido; que es el creado o reconocido por
la autoridad soberana.
b) el derecho intrínsecamente vólido; tradicionalmente llamado jus­to
o natural.
e) el derecho positivo; que es el derecho intrinseca, formal o social­mente
válido, cuando goza de mayor o menor eficacia.
DERECHO
POsmvo
Al combinar los tres conjuntos-conceptos con sus caracteristicas in­herentes,
se descubren siete posibilidades diferentes. Estas posibilidades
representan:
1) Derecho formalmente válido, sin posilividad ni valor intrinseco.
2) Derecho intrínsecamente valioso, dotado además de vigencia o va­lidez
formal, pero carente de positividad.
3) Derecho intrínsecamente válido, no reconocido por la autoridad
politica y desprovisto de eficacia.
4) Derecho formalmente válido, sin valor intrínseco, pero provisto de
facticidad. '