2. BINOMIO DE NEWTON Y
TRIÁNGULO DE PASCAL
Por:
Ing. Margarita Patiño
Jaramillo
Ing. Carlos enrique
Villa Arango

3. BINOMIO DE NEWTON
Y TRIÁNGULO DE
PASCAL

4. Competencia
Utilizar adecuadamente las expresiones algebraicas, sus propiedades básicas y
operaciones para resolver situaciones problema en distintos contextos.
Indicadores de logro:
Resuelve expresiones algebraicas utilizando las propiedades y operaciones
algebraicas.
En una situación específica: Realiza operaciones con polinomios.

5. TRIÁNGULO DE PASCAL
El triángulo de Pascal es un triángulo de números enteros, infinito y simétrico
cuyos ocho primeros renglones están representados en la tabla adjunta.
La idea y el interés del Triángulo de Pascal radican en su aplicación en
álgebra.
Composición del Triángulo de Pascal
El Triángulo se construye de la siguiente manera: sobre un papel, ojalá
cuadriculado, escribimos el número «1», centrado en la parte superior;
después, escribimos una serie de números «1» en las casillas situadas en
sentido diagonal descendente, a ambos lados; sumamos las parejas de cifras
situadas horizontalmente y separadas por una casilla en blanco (1 + 1), y el
resultado (2) lo escribimos debajo de dicha casilla; continuamos el proceso
escribiendo, en las casillas inferiores, la suma de las dos cifras situadas
sobre ellas (1 + 2 = 3)...

6. TRIÁNGULO DE PASCAL
El triángulo de Pascal es un triángulo de números enteros, infinito y simétrico cuyos
ocho primeros renglones están representados en la tabla de arriba.
El Triángulo de Pascal tiene muchas aplicaciones, entre ellas el desarrollo del Binomio d
e Newton en álgebra.

7. Las cifras registradas en las filas, tales como:
«1 2 1» y
revelan los coeficientes de los términos de los binomios:
a+b
a+b
2
3
=a
=a
2
3
+ 2ab + b
«1 3 3 1»
2
2
2
3
+ 3a b + 3ab + b
pues son los coeficientes de sus monomios y, además, se puede ampliar para
cualquier potencia del binomio a + b .
Relación entre el triángulo de Pascal y el binomio de Newton
La expresión que suministra las potencias de una suma se denomina Binomio
de Newton
En esta expresión, lo único que se desconoce son los coeficientes de los monomios.
a+b
0
El uno de la primera línea o renglón corresponde al único coeficiente de
(o término independiente), el segundo renglón corresponde a los coeficientes de
a + b y así sucesivamente.
=1

8. Los coeficientes de la forma desarrollada de
renglón «n + 1» del Triángulo de Pascal.
(a + b)n se encuentran en el
Lo visto para n = 2 y n = 3, también lo es para n = 0: (a + b)o = 1 = 1·aob0 y con
n = 1: (a + b)¹ = a + b = 1·a + 1·b.
Para obtener el resultado de cualquier valor de n ∈ N, se procede por inducción
matemática. Suponiendo que es cierto para un valor de n, deducimosn que lo es también
para n+1. En general el binomio de Newton se expresa como: a ± b
Con respecto a los exponentes vemos cómo el primer término del resultado es el primer
término del binomio elevado a la misma potencia del binomio, multiplicado por el
segundo término del binomio pero elevado a la cero que es 1. El segundo término de la
respuesta es el primer término del binomio con una potencia una unidad menor que el
anterior (n), multiplicado por el segundo término del binomio a una potencia una unidad
mayor que la que tiene en el anterior (1).

9. Con respecto a los exponentes vemos como el primer término del resultado es el primer término del
binomio elevado a la misma potencia del binomio, multiplicado por el segundo término del binomio
pero elevado a la cero que es 1. El segundo término de la respuesta es el primer término del binomio
con una potencia una unidad menor que el anterior (n), multiplicado por el segundo término del
binomio a una potencia una unidad mayor que la que tiene en el anterior (1).
El exponente de la a disminuye una unidad en cada término, mientras el exponente de la b aumenta
una unidad término a término, empezando con potencia cero.
Cuando el signo que separa los dos términos del binomio es menos, los signos del resultado van
alternados empezando con el más.
Observemos lo que sucede con n = 4.
El desarrollo de (a + b)4 consiste en el desarrollo de (a + b) (a + b)³.
Si sólo se escriben los coeficientes, obtenemos la siguiente suma:

10. Obviamente, aparecen las mismas cifras desplazadas en una posición: la suma
consiste en añadir a un coeficiente el coeficiente situado a su derecha, y esto es
justamente lo que se obtiene en el triángulo de Pascal.
Coeficientes del binomio de Newton

11. Ejemplo:
Desarrollemos el binomio:
a+b
7
Como vemos, n = 7 entonces desarrollamos el polinomio con los coeficientes de la
fila 8 correspondiente al grado 8 del triángulo de Pascal, los cuales son:
1 , 7 , 21 , 35 , 35 , 21 , 7 , 1
Sustituyendo en la serie de Newton:

12. Ejemplo:
Desarrollemos el binomio ( 2x+ 3 )5
Los coeficientes correspondientes a n = 5 según el triángulo de Pascal son:
1, 5, 10, 10, 5, 1
Por lo tanto:
( 2x+ 3 )5 = 1(2x)5(3)0 + 5(2x)4(3)1 + 10(2x)3(3)2 + 10(2x)2(3)3 + 5(2x)1(3)4 +
1(2x)0(3)55
= (1)32x5(1) + (5)16x4(3) + (10)8x3(9) + (10)4x2(27) + (5)2x(81) + (1)(1)(243)
= 32x5 + 240x4 + 720x3 + 1080x2 + 810x + 243