El documento explica las progresiones aritméticas y geométricas, detallando sus definiciones, características, y ejemplos de sucesiones. Se describen fórmulas recursivas y explícitas para calcular términos, así como propiedades relacionadas con la suma de términos y su relación entre sí. Además, se incluyen ejemplos de sucesiones finitas e infinitas y se presentan fórmulas para calcular la suma de los términos de ambas progresiones.

1. PROGRESIONESPROGRESIONES
ARITMÉTICASARITMÉTICAS
PROGRESIONESPROGRESIONES
GEOMÉTRICASGEOMÉTRICAS
SUCESIONESSUCESIONES

2. Es una lista de
elementos
dispuestos en
orden.
SUCESIÓN

3. 3; 6; 9; 12; 15;... A cada término se le sumó 3
para obtener el siguiente.
EJEMPLOS 2; 6; 18; 54; 162;...
A cada término se le
multiplicó por 3 para obtener
el siguiente.
1; 4; 9; 16; 25;...
A cada término se
le sumó un impar
consecutivo a partir
del 3.
5; 6; 8; 11; 15;...
A cada término se le sumó
un natural consecutivo a
partir del 1.

4. La sucesión
1, 0, 0 ,1, 0, 1, 0, 0,1,1,1
Es finita y
con elementos
repetidos
La sucesión
2, 7, 12 ,17, 22, 27…
Es infinita y cada término
después del primero
se obtiene sumando 5
al anterior.

5. EXISTEN DOS CLASES
DE FÓRMULAS PARA DEFINIR
LAS SUCESIONES
RECURSIVA EXPLÍCITA
Se refieren al término
anterior y precisan
de un término inicial
para quedar bien
definidas.
Se escribe una fórmula
que depende
únicamente de su
número de posición.

6. Sucesiones definidas por recurrencia
Son las sucesiones en las que cada término se
obtiene del anterior o de los anteriores, mediante una
relación dada.
Ejemplo
a1 = 0
Condiciones a2 = 1
an = 3an – 2 – a n – 1

7. Calculamos los 6 primeros términos
de la sucesión dada.
a3 = 3 a1 – a2 = 3 (0) – 1 = – 1
a4 = 3 a2 – a3 = 3 (1) – (–1) = 4
a5 = 3 a3 – a4 = 3 (–1) – 4 = – 7
a6 = 3 a4 – a5 = 3 (4) – (–7) = 19
El conjunto solución es
{an} = {0; 1; – 1 ; 4; – 7; 19}

8. Sucesiones definidas en forma explícita
Son las sucesiones en las que cada término se
obtiene aplicando una fórmula que depende únicamente
de su número de posición.
Ejemplo
Fórmula an = n²
a1 = 1²=1 a2 = 2²=4 a3 = 3²=9
Son los tres primeros términos de la sucesión.

9. PROGRESIÓN ARITMÉTICA
Consideremos la sucesión cuyo término
general está dado por an= 3 n + 2
{an} = {5; 8; 11; 14; 17; 20; 23, ... }
Vemos que cada término de esta
sucesión es igual al anterior más 3.

10. Es una sucesión de números reales tales
que cada término es igual al anterior
más un número constante, llamado razón
o diferencia.
PROGRESIÓN ARITMÉTICA
Término general: an
Elementos
Primer término: a1
Razón: d
Número de términos: n

11. Primer término: a1 = 5
Razón : d = 3
Número de términos: 7
Término general: an = 5 +(n -1) 3
+3 +3 +3 +3 +3+3
Es una P.A. con 7 términos
5 8 11 14 17 20 23
EN RESUMEN

12. TÉRMINO GENERAL DE UNA P.A.
a4
= a3
+ d = a2
+ d + d = a1
+ 3d → 4to. término
a1
→ 1er. término
a2
= a1
+ d → 2do término
a3
= a2
+ d = a1
+ d + d → 3er. término
an
= a1
+ (n –1) d → término general

13. PROPIEDAD
LA SUMA DE LOS TÉRMINOS
EQUIDISTANTES DE LOS EXTREMOS ES
IGUAL A LA SUMA DE LOS EXTREMOS (n par)
O AL PROMEDIO DE ÉSTOS (n impar).
2,5,8,11,14,17,20 2+20= 5+17= 8+ 14= 2.11= 22
n impar
3,5,7,9,11,13,15,17 3+17= 5+15= 7+ 13= 9+ 11= 20
n par

14. Suma de los términos de una P.A.
S = a1 + a2 + . . . +an-1+ an
S = an + an-1+. . . +a2 + a1
Escribimos la suma de las dos maneras siguientes y sumamos
miembro a miembro:
Por la propiedad anterior . . .
2S = (a1+an)+ (a2+an-1)...+(an+a1)
S = n (a1+an)/2

15. PROGRESIÓN GEOMÉTRICA
Consideremos la sucesión cuyo término
general está dado por an= 3. 2n-1
{an} = {3; 6; 12; 24; 48; 96; ... }
Vemos que cada término de esta
sucesión es igual al anterior por 2.

16. Es una sucesión de números reales tales
que cada término es igual al anterior por
un número constante, llamado razón.
PROGRESIÓN GEOMÉTRICA
Término general: an
Elementos
Primer término: a1
Razón: r
Número de términos: n

17. Primer término: a1 = 3
Razón : r = 2
Número de términos: 7
Término general: an = 3. 2 n-1
x 2 x 2 x 2 x 2 x 2x 2
Es una P.G. con 7 términos
3 6 12 24 48 96 192
EN RESUMEN

18. TÉRMINO GENERAL DE UNA P.G.
a4
= a3
. r = a2
.r. r = a1
. r3
→ 4to. término
a1
→ 1er. término
a2
= a1
.r → 2do término
a3
= a2
. r = a1
.r. r = a 1 r2
→ 3er. término
an
= a1
.r n-1
→ término general

19. PROPIEDAD
EL PRODUCTO DE LOS TÉRMINOS
EQUIDISTANTES DE LOS EXTREMOS
ES IGUAL AL PRODUCTO DE LOS
EXTREMOS (n par) Y AL CUADRADO
DEL TÉRMINO CENTRAL (n impar).
2,6,18,54,162 2.162= 6.54= 18 2
= 324
n impar
3,6,12,24,48,96 3.96= 6.48= 12.24 = 288
n par

20. Suma de los términos de una P.G.
S = a1 + a2 + . . . +an-1+ an
S =a1 + a1r + a1r2
+ …..a1rn-1
Escribimos la suma de los términos de la P.G.
Multiplicamos ambos miembros por r.
S = a1 + a1r + . . . +a1rn-2
+a1r n-1
(1)
rS =a1r + a1r2
+ a1r3
+ ….+a1rn
(2)

21. r S – S= a1rn
-a1
Restamos (1) de (2) miembro a miembro
S = a1 (rn
- 1)/(r-1)
Si la P.G. es infinita y la razón es positiva y menor a 1…
S infinita = a1 /(1-r)