1. volumen de cuerpos
Geométricos

2. “No entre aquí quien no
sepa geometría”
• Esta frase se podía leer encima de la
puerta de entrada a la Academia de
Platón (siglo IV A.C.) donde se
reunían a discutir problemas de
filosofía, lógica, política, arte, etc.

3. CUERPOS SÓLIDOS
• Un cuerpo sólido es todo lo que ocupa
lugar en el espacio.
• Los cuerpos geométricos pueden ser
de dos clases: o formados por caras
planas (poliedros), o teniendo alguna o
todas sus caras curvas (cuerpos
redondos).

4. Ángulos diedros
Dos planos que se cortan, dividen el espacio en
cuatro regiones. Cada una de ellas se llama ángulo
diedro o simplemente diedro. Las caras del diedro
son los semiplanos que lo determinan y la recta
común a las dos caras se llama arista.

5. • Si son tres planos los que se cortan, se le llama
triedro, si cuatro, tetraedro, si cinco,
pentaedro, etc.
• Al punto común se le llama vértice.

6. ORTOEDRO:
• -Un ortoedro o cuboide es un
paralelepípedo ortogonal, es decir,
cuyas caras forman entre sí ángulos
diedros rectos. Los ortoedros
son prismas rectangulares rectos, y
también
son llamados paralelepípedos
rectangulares.

7. Volumen del ortoedro
• Ortoedro
Para calcular el volumen de los ortoedros
h multiplicamos el largo (a) por el ancho (b)
por alto (h).
B b
a V = a ·b ·h V = B ·h
• Cubo
El cubo es un ortoedro particular, cuyas caras
son cuadrados iguales.
a El volumen de un cubo es igual al cubo de
la medida de la arista.
a V = a ·a ·a = a3
a
IMAGEN FINAL

8. Volumen de los prismas
El volumen de cualquier prisma se calcula multiplicando el área de
la base, B, por su altura, h.
Si el polígono de la base es regular, su área se
p·a
calcula aplicando la fórmula B = , siendo p
2
el perímetro de la base y a su apotema.
V=B·h
Ejercicio. Calcular el volumen del prisma de la figura.
Perímetro de la base, p = 5 · 6 cm = 30 cm.
Apotema: Por Pitágoras, 52 = a2 + 32
a2 = 52 – 32 = 25 – 9 = 16 a = 4 cm.
m
a
5c
p · a 30 · 4
3 cm Área de la base: B = = cm 2 = 60 cm 2
2 2
Volumen: V = B · h = 60 · 8 cm3 = 480 cm3 IMAGEN FINAL

9. Volumen de las pirámides
El volumen de una pirámide es igual a un
tercio del área de la base por la altura.
Vprisma B·h
B·h V pirámide = =
V= 3 3
3
Si el polígono de la base es regular, su área se calcula aplicando la
p·a
fórmula B = , siendo p el perímetro de la base y a su apotema.
2
IMGEN FINAL

10. Volumen de las pirámides: Ejercicio
Calcular el volumen de la pirámide cuyas dimensiones
se indican en la figura.
Perímetro de la base: p = 5 · 12 cm = 60 cm.
Apotema de la base: aplicando Pitágoras,
a2 = 102 – 62 = 64 a = 8 cm.
cm
a
10
6 cm
cm
p · a 60 · 8
Área de la base: B = = cm 2 = 240 cm 2 h
20
2 2
Altura h: nuevamente aplicamos Pitágoras,
10 cm
h = 20 – 10 = 300
2 2 2 h = 300 = 17,32 cm
1 1
Volumen: V= B · h = · 240 · 17,32 cm 3 = 1385,6 cm 3
3 3
IMAGEN FINAL

11. Definición
Se llaman cuerpos de revolución
a los que se obtienen al girar una
figura plana, alrededor de un eje.
Cada uno de los infinitos planos
que contienen al eje divide en
dos partes simétricas a la figura.
Por eso se llaman planos de
simetría.

12. Cilindro
Es el cuerpo que se obtiene
al girar una vuelta completa
(360º) un rectángulo sobre
uno de sus lados.
generatriz
RADIO
altura
GENERATRIZ
radio
EJE GIRO

13. Desarrollo de un cilindro recto
El desarrollo de un cilindro recto es:
Un rectángulo de lados la altura del cilindro y la
longitud de la circunferencia de la base.
Dos círculos de radio el de la base.

14. Volumen del cilindro
• El volumen, V, de un
cilindro con una base de
radio r, y altura o
generatriz, h, es el área
de la base (un círculo)
por la altura, es decir:

15. El cilindro oblicuo
Si se corta un cilindro
recto por planos
paralelos no
perpendiculares al eje,
se obtiene un cilindro
oblicuo
La base de un cilindro
oblicuo no es un
círculo, es una elipse.

16. Cono
Es el cuerpo de revolución que se obtiene al girar un
triángulo
rectángulo sobre uno de sus catetos.
EJE GIRO
ge
GENERATRIZ
ne
eje giro
altura
ra
RADIO
triz
BASE
radio

17. Volumen del cono
• El volumen V del
cono de radio r y
altura h es 1/3 del
volumen del cilindro
con las mismas
dimensiones:

18. Desarrollo del cono
Está formado por :
Un segmento de circunferencia
Una circunferencia coincidente con
el segmento
( la longitud del segmento circular
ha de ser la misma que la longitud
de la circunferencia)

19. Tronco de cono
Es el cuerpo geométrico que
se obtiene al cortar un
cono por un plano paralelo
a la base.
También se obtiene un
tronco de cono al girar un
trapecio rectángulo
alrededor del lado
adyacente a los ángulos
rectos.
ABases = Π·r 2 + Π·r ' 2
Donde...
ALateral = Π·(r + r ' )·g
ATotal = ALateral + ABases

20. Desarrollo del tronco de
cono
• Está formado por:
• Un trapecio
simétrico
(isósceles)
• Dos
circunferencias
Donde...

21. Esfera
Si hacemos girar un semicírculo alrededor de su diámetro
se genera una esfera.
La esfera queda definida por el valor de su radio.
GENERATRIZ
CENTRO
diámetro
eje giro
RADIO
EJE DE GIRO

22. Propiedades en la
esfera
La intersección de una
esfera con un plano, es
un círculo.
El radio de la esfera, el
radio del círculo
intersección y la
distancia del centro de
la esfera al plano forman
un triángulo rectángulo.
(h2= C2+ c2) rectángulo
El triángulo
formado cumple el tª de

23. Superficie y Volumen de la esfera
La superficie de una
esfera de radio, r, es:
El volumen que
contiene una esfera
de radio, r, es:

24. Volumen del cilindro
Si el número de caras de un prisma crece indefinidamente, se transforma
en un cilindro.
El volumen del cilindro, como en el caso
del prisma, es igual al área de la base por
su altura.
h Como la base de un cilindro es un círculo, su
área es B = π · r2; por tanto:
r
V =π · r 2 · h
Ejemplo. Calcula el volumen de un cilindro de altura 18 cm y radio de la
base 5 cm.
V =π · r 2 · h V = π · 5 2 · 18 = 3,14 · 25 · 18 = 1413 cm 3

25. Volumen del cono
Si el número de caras de una pirámide crece indefinidamente, se transforma
en un cono.
El volumen del cono, lo mismo que en la pirámide,
es igual a un tercio del área de la base por la altura.
Como la base de un cono es un círculo, su área es
B = π · r2; por tanto:
π · r2 · h
V=
3
Ejemplo. El volumen de un cono de altura 12 cm y radio de la base 4 cm es:
π · r2 · h 3,14 · 4 2 · 12
V= V= = 200,96 cm 3
3 3

26. Volumen de cuerpos redondos: Aplicación
Ejercicio. A partir de un tronco de encina se ha
construido el recipiente que muestra la figura.
¿Cuál es la capacidad del recipiente? ¿Cuánto pesa,
si 1 dm3 de madera de encina pesa 1,052 kg? R
La capacidad es la correspondiente al volumen del cono invertido, cuyas
dimensiones son: Altura: h = 15 cm. Radio de la base: r = 30 cm.
π · r2 · h 3,14 · 30 2 · 15
V= V= = 14 130 cm 3
3 3
14 130 cm3 = 14,13 dm3 = 14,13 litros. Capacidad: 14,13 litros
El peso es el correspondiente al volumen de madera de la parte maciza del
tronco: el cilindro menos el hueco del cono.
Altura del cilindro: h´ = 20 cm. Radio de su base: R = 30 + 3 = 33 cm.
Volumen: V´ = πR2h´ V´ = 3,14 · 332 · 20 = 68389,2 cm3 ≈ 68,39 dm3
Volumen de madera = V´ – V = 68,39 dm3 – 14,13 dm3 = 54,26 dm3
Peso: P = 1,052 · volumen = 1,052 · 54,26 = 57,08 kg Peso: 57,08 kg

27. Volumen de la esfera
El volumen de una semiesfera es igual a un tercio del volumen de un cilindro
cuya altura y diámetro de la base coinciden con el diámetro de la semiesfera:
Vesfera = 2 · Vsemiesfera
2 4
V = 2 · ·π · r 3 = ·π · r 3
3 3
1 1 1 2
Vsemiesfera = · Vcilindro = · B · h = · (π r 2 ) · (2r) = · π · r 3
3 3 3 3
El volumen de una esfera es igual a cuatro
tercios del número π por el cubo del radio. r
4
V = ·π · r 3
3

28. Volumen del tronco de pirámide
El volumen del tronco de pirámide se puede obtener haciendo la diferencia entre
el volumen de la pirámide completa y el volumen de la pirámide deficiente.
Pirámide Pirámide
completa deficiente
Tronco de
pirámide
Volumen de la pirámide Volumen de la pirámide
completa: deficiente:
B ·h B ·h
V1 = 1 1 V2= 2 2
3 3
El volumen del tronco de pirámide es: V = V1 – V2
B1 · h 1 B 2 · h 2
V= −
3 3

29. Volumen del tronco de cono
El volumen del tronco de cono se puede obtener haciendo la diferencia entre
el volumen del cono completo y el volumen del cono deficiente.
Cono Cono
completo r2 deficiente
Tronco
de cono
r1
Volumen del cono completo: Volumen del cono deficiente:
2
B ·h
2
π · r1 · h 1 B 2 · h 2 π · r2 · h 2
V1 = 1 1 = V2 = =
3 3 3 3
El volumen del tronco de cono es: V = V1 – V2
2 2
B ·h B ·h π · r1 · h 1 π · r2 · h 2
V= 1 1 − 2 2 = −
3 3 3 3

30. Resolución de problemas
PROBLEMA
Una serrería tiene que fabricar vigas de base cuadrada a partir de troncos cilíndricos
de madera de 6 m de largo y 70 cm de diámetro. ¿Cuáles son las dimensiones
aproximadas de la mayor viga que se puede serrar de cada tronco?
Hacer un dibujo e indicar los datos
Puede ser este:
70 cm
x
Plantear la ecuación x
Para que la viga sea la mayor posible, el diámetro tiene que ser la
diagonal del cuadrado.
Se tiene un triángulo rectángulo isósceles de hipotenusa 70 cm.
Llamando x a los catetos, por Pitágoras: x2 + x2 = 702
Resolver la ecuación
x2 + x2 = 702 2x2 = 4900 x2 = 2450 x = 2450 ≈ 49,50
Interpretar el resultado
Cada viga es un prisma cuadrangular de 6 m de altura y 49,50 cm de lado.