El documento explica conceptos básicos de geometría relacionados con la circunferencia, incluyendo definiciones de radio, cuerda, diámetro, arco, ángulo del centro, ángulo inscrito y propiedades de ángulos formados en y con la circunferencia. Luego, presenta 30 ejercicios prácticos sobre medición de ángulos y relaciones entre ellos en circunferencias dadas, con sus respectivas soluciones.

1. ´ANGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA
1. Definamos...
Circunferencia: dado un punto O y una distancia r, se
llama circunferencia de centro O y radio r al conjunto
de todos los puntos del plano que est´an a la distancia
r del punto O.
O
r
C(O, r)
Radio: trazo cuyos extremos son el centro de la circunferencia y un
punto de ´esta (OA).
Cuerda: trazo cuyos extremos son dos puntos de una circunferencia
(DE).
Di´ametro: cuerda que contiene al centro de la circunferencia (BC).
Secante: recta que intersecta en dos puntos a la circunferencia (PQ)
Tangente: recta que intersecta a la circunferencia en un solo punto
(TM). T punto de tangencia.
O
A
T
QP
D E
CB
Arco: es una parte de la circunferencia determinada por dos puntos
distintos de ella (CE).
´Angulo del Centro: Es todo ´angulo interior cuyo v´ertice
es el centro de la circunferencia y sus lados son radios de
la misma ( FOE).
´Angulo Inscrito: Es todo ´angulo cuyo v´ertice es un punto
de la circunferencia y parte de sus rayos son cuerdas de
´esta ( FDE)
O D
E
F
´Angulo Externo: Es todo ´angulo formado por secantes
fuera de la circunferencia ( ADB).
´Angulo Interno: Es todo ´angulo formado por cuerdas al
interior de la circunferencia ( ACB).
O
C
A
B
D
1
GUÍA PRACTICA: N° 1

2. 2. Propiedades
Con respecto a los ´angulos que se forman al interior de una circunferen-
cia, se cumple que
1. En toda circunferencia la medida angular de un arco es igual a la
medida del ´angulo del centro que subtiende dicho arco.
D
E
O
DE= DOE = α
α
2. Todo ´angulo inscrito en una circunferencia tiene como medida la mitad
del ´angulo del centro que subtiende el mismo arco.
A B
O
α
2
= β
α
β
Ojo 1 Si β es un ´angulo inscrito que sub-
tiende el AB y AB es di´ametro, entonces
β = 90.
A B
O
¡
β
2

3. 3. Todo ´angulo interno a una circunferencia tiene como medida la semi-
suma entre los arcos comprendidos por las cuerdas que lo forman.
AB
CD
γ
γ
AB + CD
2
= CED = γ
4. Todo ´angulo externo a una circunferencia tiene como medida la semi-
diferencia entre los arcos comprendidos por las secantes que lo forman.
δE
A
B
C
D
AB − CD
2
= CED = δ
Ojo 2 En todo cuadril´atero inscrito en una circunferencia, los ´angulos opues-
tos son suplementarios.
Ojo 3 La recta tangente a una circunferencia es perpendicular al radio en
el punto de tangencia.
α
β
γ δ
α + γ = β + δ = 180o
O
T
L
OT ⊥ L
3

4. 3. Ejercicios
Sin calculadora. Marcar s´olo 1 alternativa.
1. ¿Cu´al de las siguientes opciones es falsa?
a) El di´ametro de una circunferencia es el doble de su radio.
b) La mayor cuerda de una circunferencia es el di´ametro.
c) En circunferencias congruentes los radios son congruentes.
d) Al cortarse dos cuerdas en el centro de la circunferencia forman
´angulos del centro.
e) Por tres puntos cualesquiera siempre pasa una circunferencia.
2. En la circunferencia de centro O, AC es diametro. Si β = 20o, entonces
el valor de α es
a) 10o
b) 20o
c) 40o
d) 80o
e) 140
O
α
A
C
B
β
¢
3. En la circunferencia de centro O y di´ametro BC de la figura, ¿cu´anto
mide el BCA?
a) 22o
b) 34o
c) 36o
d) 44o
e) 68o
£
O
68o
A B
C
4

5. 4. En la circunferencia de centro O de la figura, BOA = 70o y
COB = 40o. ¿Cu´anto mide el ´angulo ABC?
a) 10o
b) 20o
c) 15o
d) 30o
e) 25o
¤
O
A B
C
5. En la circunferencia de centro O, se cumple que BA∼=DC y AD + CB= 3 BA.
Entonces la medida del α es
a) 45o
b) 60o
c) 72o
d) 84o
e) 90o
¥
O
α
A
B
C
D
6. AC y BE son di´ametros de la circunferencia de centro O (fig. 2). Si
BOA = 2 COB, entonces el CDB mide
a) 30o
b) 35o
c) 45o
d) 600o
e) 120o
¦
O
A B
C
D
E
5

6. 7. En la figura, TPQ = 140o y QRP = 15o. ¿Cu´anto mide el PQT?
a) 15o
b) 20o
c) 25o
d) 30o
e) 35o
P Q
RT
8. AC es di´ametro de la circunferencia de centro O. ¿Cu´anto mide el
´angulo BCA?
a) 15o
b) 25o
c) 35o
d) 55o
e) 70o
§
O
A C
B
55o
9. En la figura, PT es tangente a la circunferencia de centro O, en T.
¿Cu´anto mide el OPT?
a) 10o
b) 20o
c) 30o
d) 40o
e) 50o
¨
O
T
P
40o
6

7. 10. En la circunferencia de centro O de la figura, PA y PB son tangentes
en A y B, respectivamente. ¿Cu´anto mide el ´angulo BCA?
a) 25o
b) 50o
c) 65o
d) 100o
e) 130o
©
OC
B
A
P50o
11. En la figura, el cuadrilatero ABCD esta inscrito en la circunferencia.
Si β = 145o y α = β − δ, entonces γ =
a) 35o
b) 45o
c) 55o
d) 60o
e) 70o
αA
β
B
γ
C
δ
D
12. AC y BD son di´ametros de la circunferencia de centro O. Si el ´angulo
DOC mide 80o, ¿cu´anto mide el ´angulo ABO?
a) 20o
b) 30o
c) 40o
d) 45o
e) 50o
O
A B
CD
7

8. 13. En la circunferencia de centro O y di´ametro DB de la figura, ¿cu´anto
mide el ´angulo COA si DCO = 30o y DAO = 40o?
a) 70o
b) 100o
c) 125o
d) 140o
e) 160o
O
D B
C
A
14. O y O son los centros de las circunferencias de la figura. Si DAC =
40o, ¿cu´anto mide el ´angulo ACD?
a) 10o
b) 20o
c) 25o
d) 40o
e) 50o
O O
A
B
C
D
15. O es centro de la circunferencia de la figura, y QROP es cuadrado.
¿Cu´anto mide el ´angulo RSP?
a) 22,5o
b) 30o
c) 45o
d) 60o
e) 50o
O
P
R
S
Q
8

9. 16. En la circunferencia de centro O de la figura, ¿cu´anto mide el ´angulo
OPR?
a) 35o
b) 40o
c) 45o
d) 50o
e) 70o
O
T Q
P
R
70o
17. En la figura, O es el centro de la circunferencia. Si ORQ = 36o y
ROP = 54o, ¿cu´anto mide el RTP?
a) 63o
b) 72o
c) 108o
d) 117o
e) 144o
O
T
Q
P
R
18. En la circunferencia de centro O de la figura, BAC + BDC = 80o.
Entonces, el BOC mide
a) falta informaci´on.
b) 80o
c) 60o
d) 40o
e) 20o
O
DA
CB
9

10. 19. En la figura, BCA = 40o y CDB = 30o. ¿Cu´anto mide el ABC?
a) 60o
b) 90o
c) 100o
d) 120o
e) 110o
O
D
A
C
B
20. En la figura, BD es di´ametro y CBD = 16o. ¿Cu´anto mide el
CAB?
a) 74o
b) 64o
c) 45o
d) 32o
e) 16o
D
A
C B
21. En la figura, CB//DA. Si CD= 80o, entonces ¿cu´al(es) de las siguien-
tes afirmaciones es (son) siempre verdadera(s)?
I) BCA = 40o
II) BEA = 80o
III) DA= 100o
a) S´olo I
b) S´olo II
c) S´olo I y II
d) S´olo II y III
e) I, II y III
D A
C B
E
10

11. 22. O es centro de la circunferencia de la figura, QOP = ROQ =
SOR y RSO = 72o. ¿Cu´anto mide el ´angulo PTQ?
a) 54o
b) 36o
c) 35o
d) 27o
e) 18o
P
Q R
S
T
O
23. BC es un cuarto de circunferencia con centro en A. Si BD = AB,
entonces el CAD mide
a) 15o
b) 30o
c) 45o
d) 60o
e) 75o
D
C
A B24. En la figura, la circunferencia tiene centro en O. El valor del ´angulo x es
a) 12,25o
b) 12,5o
c) 25o
d) 37,50o
e) 50o
O
C
D
B
A
a
x
50o
a
11

12. 25. En la circunferencia de centro O, ABO = 2 BOA. ¿Cu´anto mide el
´angulo OAB?
a) 36o
b) 45o
c) 60o
d) 72o
e) 90o
O
BA
O
26. En la circunferencia de centro O de la figura, se puede conocer el valor
de α si:
(1) BOA = 2α
(2) ABO = α
a) (1) por s´ı sola.
b) (2) por s´ı sola.
c) Ambas juntas, (1) y (2).
d) Cada una por si sola, (1) ´o (2).
e) Se requiere informaci´on adicional.
!
O
A
B
α
27. En la circunferencia de centro O de la figura, AD y BC son di´ametros.
Se puede conocer el valor de x si:
(1) CA= 110o
(2) BCA + BDA = 70o
a) (1) por s´ı sola.
b) (2) por s´ı sola.
c) Ambas juntas, (1) y (2).
d) Cada una por si sola, (1) ´o (2).
e) Se requiere informaci´on adicional.
O
DC
BA
x
12

13. 28. AB es di´ametro de la circunferencia de centro O. La medida del CBA
se puede determinar si:
(1) AB = 2AC
(2) BOC = 2 COA
a) (1) por s´ı sola.
b) (2) por s´ı sola.
c) Ambas juntas, (1) y (2).
d) Cada una por si sola, (1) ´o (2).
e) Se requiere informaci´on adicional.
#
O
B
A C
29. En la figura, el cuadril´atero ABCD est´a inscrito en la circunferencia.
Se puede saber la medida del CDA si:
(1) BCD = 180o
(2) DAB = 100o
a) (1) por s´ı sola.
b) (2) por s´ı sola.
c) Ambas juntas, (1) y (2).
d) Cada una por si sola, (1) ´o (2).
e) Se requiere informaci´on adicional.
$
O
BD
C
A
30. En la circunferencia de centro O de la figura, A y B son puntos de
tangencia. Se puede determinar la medida del BOA si:
(1) PBO = OAP
(2) BOA = 3 APB
a) (1) por s´ı sola.
b) (2) por s´ı sola.
c) Ambas juntas, (1) y (2).
d) Cada una por si sola, (1) ´o (2).
e) Se requiere informaci´on adicional.
%
O
B
A
P
13

14. 1 E 2 C 3 A 4 B 5 C
6 A 7 C 8 C 9 A 10 C
11 E 12 E 13 D 14 C 15 C
16 D 17 A 18 B 19 E 20 A
21 C 22 E 23 B 24 B 25 D
26 A 27 D 28 D 29 E 30 B
14