1) El documento presenta las definiciones y teoremas fundamentales sobre distribuciones de probabilidad, funciones de densidad y distribuciones multivariadas para variables aleatorias discretas y continuas. 2) Incluye conceptos como función de probabilidad, función de distribución, densidad de probabilidad, independencia estadística y distribuciones marginales y condicionales. 3) El objetivo es establecer las bases teóricas para modelar fenómenos estocásticos usando herramientas probabilísticas.

1. Modelos Estocásticos Distribuciones de Probabilidad y Densidades de Probabilidad SESIÓN 03

2. Variable Aleatoria 1 Definición 3.1 : Si  es un espacio de muestra con una medida de probabilidad y x es una función con valor real definida con respecto a los elementos de  , entonces x se denomina variable aleatoria : x:    Definición 3.2 : Si x es una variable aleatoria discreta, la función dada por f(x) = P( x = x) para cada x contenida en el intervalo de x se denomina función de probabilidad , o distribución de probabilidad , de x

3. Variable Aleatoria 2 Teorema 3.1 :  y  son  - Álgebra x es una función medible en  , ssi  B   , tenemos que: x -1 (B)   x -1 (B) = {    : x(  )  B}

4. Variable Aleatoria 3 Teorema 3.1 : Una función puede fungir como la distribución de probabilidad de una variable aleatoria discreta x sí y solo si sus valores, f(x), cumplen las condiciones f(x)  0 para cada valor contenido en su dominio;  x f(x) = 1, donde la sumatoria se extiende sobre todos los valores contenidos en su dominio

5. Variable Aleatoria 4 Definición 3.3 : Si x es una variable aleatoria discreta, la función dada por F (x) = P( x  x) =  t<x f(x) = 1, para -  < x <  donde f(t) es el valor de la distribución de probabilidad de x en t, recibe el nombre de función de distribución , o distribución acumulativa de x

6. Variable Aleatoria 5 Teorema 3.2 : Los valores, F(x), de la función de distribución de una variable aleatoria discreta x cumplen las condiciones F(-  ) = 0; F(  ) = 1; Si a < b, entonces F(a)  F(b) para dos números reales culaesquiera a y b Teorema 3.3 : Si el intervalo d una variable aleatoria x consta de los valores x 1 < x 2 x 3 < .. < x n , entonces f(x 1 ) = F (x 1 ) y f (x i ) = F(x i ) – F(x i -1 ), para i = 2, 3, …, n

7. Función de Densidad 1 Definición 3.4 : Una función con valores f(x), definida con respecto al conjunto d todos los números reales, se denomina función de densidad de probabilidad de la variable aleatoria continua x si y solo si para cualquier constante real a y b con a  b Teorema 3.4 : Si x es una variable aleatoria continua, y a y b son dos constantes reales con a  b, entonces P(a  x  b) = P(a  x < b) = P(a < x  b) = P(a < x < b)

8. Función de Densidad 2 Teorema 3.5 : Una función puede fungir como función de densidad de probabilidad de una variable aleatoria continua x si sus valores, f(x), satisfacen las condiciones f(x)  0, para -  < x <  La integral definida de la función de densidad coincide con la probabilidad de los mismos: la probabilidad de un intervalo es el área bajo la función de densidad.

9. Función de Densidad 3 Definición 3.5 : Si x es una variable aleatoria continua, la función dada por para -  < x <  donde f(t) es le valor de la función de densidad de probabilidad de x en t, se denomina función de distribución , o distribución acumulativa , de x F x (t) = P{  : x(  )  t}, t  

10. Función de Densidad 4 Teorema 3.6 : Si f(x) y F(x) son, respectivamente, valores de la densidad de probabilidad y la función de distribución de x en x, entonces: 0  F(t)  1,  t   P(a  x  b) = F(b) – F(a) Si a < b  F(a)  F(b) para dos constantes reales cualesquiera a y b con a  b y donde existe la derivada

11. Distribuciones Multivariadas 1 Definición 3.6 : Si x y y son variables aleatorias discretas, la función dada por f (x,y) = P( x = x, y = y) para cada pareja de valores (x,y) contenida en el rango de x y y se denomina función de probabilidad conjunta , o distribución de probabilidad conjunta , de x y y

12. Distribuciones Multivariadas 2 Teorema 3.7 : Una función bivariada puede fungir como la distribución de probabilidad conjunta de una pareja de variables aleatorias discretas x y y si y solo si sus valores, f(x,y), cumplen las condiciones: f(x,y)  0 para cada pareja de valores (x,y) contenida en su dominio  x  y f(x,y) = 1, donde la sumatoria doble se extiende sobre tods las posibles parejas de valores (x,y) contenidas en su dominio

13. Distribuciones Multivariadas 3 Definición 3.7 : Si x y y son variables aleatorias discretas, la función dada por F(x,y) = P( x  x, y  y) =  s  x  t  y f(s,t) para -  < x <  ; -  < y <  donde f(s,t) es el valor de la distribución de probabilidad conjunta de x y y en (s,t), se denomina función de distribución conjunta , o distribución acumulativa conjunta , de x y y

14. Distribuciones Multivariadas 4 Definición 3.8 : Una función bivariada con valores f(x,y), definida sobre el plano xy, recibe el nombre de función de densidad de probabilidad conjunta de las variables aleatorias continuas x y y si solo si P[( x , y )]  A =  A f(x,y)dxdy para una región A cualquiera del plano xy

15. Distribuciones Multivariadas 5 Teorema 3.8 : Una función bivariada puede servir como función de densidad de probabilidad conjunta de una pareja de variables aleatorias continuas x y y si sus valores, f(x,y), satisfacen las condiciones f(x,y)  0, para -  < x <  , -  < y <  ;  f(x,y)dxdy = 1

16. Distribuciones Multivariadas 6 Teorema 3.8 : Decimos que una función de distribución es continua si  f(x,y) t.q. f(x,y)  0, y Entonces se puede obtener la función de densidad a partir de la distribución

17. Distribuciones Multivariadas 7 Definición 3.9 : Si x y y son variables aleatorias continuas, la función dada por para -  < x <  , -  < y <  ; donde f(s,t) es el valor de la densidad de probabilidad conjunta de x y y en (s,t), se llama función de distribución conjunta de x y y

18. Distribuciones Marginales 1 Definición 3.10 : Si x y y son variables aleatorias discretas y f(x,y) es el valor de la distribución de probabilidad conjunta en (x,y), la función dada por g(x) =  y f(x,y) para cada x contenida en el intervalo de x, se denomina distribución marginal de x . En forma respectiva, la función dada por h(y) =  x f(x,y) para cada y contenida en el intervalo de y, recibe el nombre de distribución marginal de y

19. Distribuciones Marginales 2 Definición 3.11 : Si x y y son variables aleatorias continuas y f(x,y) es el valor de su densidad de probabilidad conjunta en (x,y), la función dada por para -  < x <  , se denomina densidad marginal de x . En forma respectiva, la función dada por para -  < x <  , recibe el nombre de densidad marginal de y

20. Distribuciones Marginales 3 Definición 3.12 : Si f(x,y) es el valor de la distribución de probabilidad conjunta de las variables aleatorias discretas x y y en (x,y) y h(y) es el valor de distribución marginal de y en y, la función dada por h(y)  0 para cada x contenida en el rango de x , se denomina distribución condicional de x dada y = y. En forma respectiva, si g(x) es el valor de la distribución marginal de x en x, la función dada por g(x)  0 para cada y contenida en el rango de y , se denomina distribución condicional de y dada x = x.

21. Distribuciones Marginales 4 Definición 3.13 : Si f(x,y) es el valor de la densidad conjunta de las variables aleatorias discretas x y y en (x,y) y h(y) es el valor de la densidad marginal de y en y, la función dada por h(y)  0 para -  < x <  , se denomina densidad condicional de x dada y = y. En forma respectiva, si g(x) es el valor de la densidad marginal de x en x, la función dada por g(x)  0 para -  < x <  , se denomina distribución condicional de y dada x = x.

22. Distribuciones Marginales 5 Definición 3.14 : Si f(x 1 , x 2 ,…x n ) es el valor de la distribución de probabilidad conjunta de las n variables aleatorias discretas x 1 , x 2 , …x n en (x 1 ,x 2 ,..x n ) y f i (x i ) es el valor de la distribución marginal de x i para i = 1,2,…n, estas variables aleatorias sonindependientes si y solo si f(x 1 , x 2 ,…x n ) = f 1 (x 1 )* f 2 (x 2 )* … f n (x n ) para todos los valores (x 1 , x 2 ,…x n ) contenidos en su rango