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1Integral
indefinida
Capítulo 1
En este capítulo se definirá el concepto matemático de integral de tal manera que el
estudiante empiece a conocer lentamente el proceso u operación de «integración»,
mostrándole además la relación que existe entre esta operación de integración y la
operación «inversa» de derivación, a la cual llamaremos «primitivación».
En general, este proceso es más complicado que el de la derivación y debemos ser
más cautelosos y pacientes con los métodos que se expongan, los cuales nos
permitirán, cuando sea posible, obtener la primitiva o antiderivada de un gran nú-
mero de funciones.
Iniciamos el capítulo presentando las definiciones correspondientes a la función
primitiva, para posteriormente hacer el estudio de la regla de sustitución o cambio
de variable, quizás el método de integración más importante, ya que en cualquiera
de los otros métodos, por lo general, en algún paso intermedio se hace uso de dicha
regla.
Al finalizar el capítulo ilustramos con algunos ejemplos sencillos una primera apli-
cación de la integral indefinida a las ecuaciones diferenciales y a la física.
Módulo1
Función primitiva o antiderivada
Módulo2
Integral indefinida
Módulo3
Regla de sustitución o cambio de
variable
Módulo4
Algunas aplicaciones de la inte-
gral indefinida
Ejercicios
Módulos 1 al 4
La ley de caída de Galileo establece que todos los cuerpos caen en el mismo tiempo desde la misma
altura, independientemente de su peso.
22
23Elementos básicos de cálculo integral y series
1Funciónprimitivaoantiderivada
Contenidos del módulo
Objetivos del módulo
Preguntas básicas
Introducción
1.1 Función primitiva o antiderivada
1.2Teorema 1
1. Presentar el concepto más importante de la integral indefinida, la primitivación o
antiderivada, y sus nexos con la derivación de funciones.
1. Se puede demostrar, usando métodos de integración, que la función
3
2
( )
25
x
f x
x
=
+
tiene las siguientes primitivas:
2 3 2 2 1 2
1
1
( ) ( 25) 25( 25) ,
3
F x x x C= + − + +
2 2 1 2 2 3 2
2
2
( ) ( 25) ( 25) .
3
F x x x x C= + − + +
Demuestre que F1
(x) = F2
(x).
En el capítulo 3 del texto Elementos básicos de cálculo diferencial hemos estudia-
do el siguiente problema: dada una función F(x), hallar su función derivada f (x),
esto es, ( ) ( ).F x f x′ = En este módulo consideraremos el problema inverso: dada la
función f (x), se precisa hallar otra función F(x) cuya derivada coincida con f (x).
Esta función F que tratamos de buscar se llama primitiva o antiderivada de f (x).
Gabrielle Émile le Tournelle de Breteuil
Émile le Tournelle, conocida como la
marquesa de Châtelet, estudió a Newton y
Leibniz, tradujo al francés los Principia de
Newton y contribuyó a divulgar los concep-
tos del cálculo diferencial e integral.
Émile, nacida en 1706 y fallecida en 1749,
no respondía al prototipo de belleza de su
época pues ya de niña era muy alta (1,65
m) y tenía las manos y los pies grandes. Tal
vez por esto su padre, pensando que no
iba a casarse, se preocupó de que recibiese
una excelente educación. Sin embargo, a
los diecinueve años se casó con el marqués
de Châtelet y suspendió temporalmente sus
estudios, pero los reanudó a los veintisiete
años, después del nacimiento de su tercer
hijo.
En los salones de su residencia, en vez de
frivolizar con conversaciones intrascenden-
tes, Émile y sus invitados deliberaban con
ardor sobre problemas matemáticos. A
tanto llegó su pasión por esta actividad
académica que mandó que le confeccio-
naran unas ropas de hombre, y con sus
piernas enfundadas en calzas y calzones
logró entrar vitoreada por sus colegas en
el café Gradot de París, en donde se reunían
matemáticos y científicos y al cual se le había
prohibido la entrada por ser mujer.
Émile le Torunelle escribió Las instituciones
de la física, libro que contiene uno de los
capítulos más interesantes sobre cálculo
infinitesimal.
24
1.1 Funciónprimitivaoantiderivada
Definición
Sea f una función definida en un intervalo I. Una función F (x) se llama primitiva o
antiderivada de f (x) en I si F es diferenciable y ( ) ( )F x f x′ = para todo x en I.
Ejemplo1
Sea 3 2
( ) 4 8 4 5.f x x x x= + − +
Son primitivas de f (x) las siguientes funciones:
4 3 2
1
8
( ) 2 5 6
3
F x x x x x= + − + − ,
4 3 2
2
8
( ) 2 5 4.
3
F x x x x x= + − + +
En efecto,
3 2
1 2( ) ( ) 4 8 4 5 ( ).F x F x x x x f x′ ′= = + − + =
Ejemplo2
Sea ( ) sec .f x x=
Son primitivas de f (x) las siguientes funciones:
1 2( ) ln(sec tan ) 3, ( ) ln(sec tan ) 2.F x x x F x x x= + + = + −
En efecto,
1 2( ) ( ) (ln (sec tan ) 3) (ln (sec tan ) 2).x xF x F x D x x D x x′ ′= = + + = + −
1
(sec tan )
sec tan
xD x x
x x
= +
+
(RD26)
21
(sec tan sec )
sec tan
x x x
x x
= ⋅ ⋅ +
+
(RD15yRD13)
1
sec (tan sec )
sec tan
x x x
x x
= ⋅ +
+
sec ( ).x f x= =
Observación
En los ejemplos anteriores es fácil ver que si una función dada f (x) tiene función
primitiva F(x) ésta no es única. Así, en el ejemplo 1 las funciones F1
(x) y F2
(x)
figuran como funciones primitivas de f (x), o en general, cualquier función de la
Capítulo 1: Integral indefinida
Vea el módulo 1 del programa
de televisión Elementos básicos
de cálculo integral y series
25Elementos básicos de cálculo integral y series
forma 4 3 28
( ) 2 5 ,
3
F x x x x x C= + − + + donde C es una constante, es también pri-
mitiva de f (x).
Por otra parte, puede demostrarse que las funciones de la forma
4 3 28
( ) 2 5
3
F x x x x x C= + − + + abarcan todas las funciones primitivas de
3 2
( ) 4 8 4 5,f x x x x= + − + lo cual se deduce fácilmente del siguiente teorema.
1.2 Teorema 1
Si F1
(x) y F2
(x) son dos funciones primitivas de f (x) en un intervalo I, entonces la
diferencia entre ellas es una constante.
Demostración
Designemos por 1 2( ) ( ) ( ).x F x F xϕ = − (1)
Como F1
(x) y F2
(x) son dos funciones primitivas de f (x) en un intervalo I, se tiene,
de acuerdo con la definición,
1 ( ) ( ),F x f x′ = (2)
2 ( ) ( ).F x f x′ = (3)
Ahora, de (1), (2) y (3), se tiene 1 2( ) ( ) ( ) 0.x F x F xϕ ′ ′′ = − =
En conclusión, ( ) 0,xϕ′ = y de acuerdo con el ejercicio 19 del módulo 28 del texto
Elementos básicos de cálculo diferencial, se deduce que existe una constante C
tal que ( ) ,x Cϕ = es decir, 1 2( ) ( ) ( ) .x F x F x Cϕ = − =
Observación
Del teorema anterior se deduce que si F(x) es una primitiva de f (x), entonces
( ) ( )G x F x C= + también lo es, y G(x) así definida se denomina primitiva más
general de f.
Módulo 1: Función primitiva o antiderivada
26
27Elementos básicos de cálculo integral y series
2Integralindefinida
Contenidos del módulo
Objetivos del módulo
Preguntas básicas
Introducción
2.1 Integral indefinida
2.2 Primeras fórmulas de integración
1. Presentar las propiedades de la integral indefinida o primeras fórmulas de integra-
ción y su demostración simple con base en las fórmulas de derivación correspon-
dientes, y mostrar cómo usarlas en la solución de ejercicios.
2. Construir, usando las reglas básicas de derivación y diferenciales, una primera
tabla de integrales.
Diga si las siguientes igualdades son verdaderas o falsas:
1. ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) .f x g x dx f x dx g x dx⋅ = ⋅∫ ∫ ∫ Justifique su respuesta.
2.
( )( )
( ) ( )
f x dxf x
dx
g x g x dx
=
∫
∫
∫
. Justifique su respuesta.
En el módulo 1 definimos la primitiva o antiderivada de una función f, y también la
primitiva más general de f. Esta última es la que se conoce como la integral indefini-
da de f. En este módulo mostraremos que en muchos casos puede ser calculada
mediante la operación «inversa» de la derivación, la cual llamaremos
antidiferenciación o integración.
Arquímedes de Siracusa
Arquímedes, considerado por muchos
como el más grande de los matemáticos de
la antigüedad, nació en el año 287 a.C. y
murió en el 212. Pasó casi toda su vida en
su ciudad natal de Siracusa, aunque se sabe
que visitó Egipto al menos en una ocasión.
La fama de Arquímedes se basa fun-
damentalmente en sus numerosos descu-
brimientos matemáticos. Halló, por ejemplo,
un valor aproximado del número pi con un
error muy pequeño. Calculó volúmenes y
áreas, algunos muy difíciles, entre ellos el
volumen de la esfera, y demostró el siguiente
resultado fundamental del que se sentía
particularmente orgulloso: «Los volúmenes
de un cono, de una semiesfera y de un
cilindro, todos de la misma altura y radio,
se encuentran en la razón 1:2:3». Consi-
derado este teorema con la perspectiva que
nos da la historia, era verdaderamente un
resultado excepcional para la época. La
pureza de su matemática en las obras De la
esfera y del cilindro, De los conoides y
esferoides, De las espirales, y la originalidad
de sus nuevas ideas (método de exhaución,
cuadratura del segmento de parábola), en
las que se puede ver el germen del cálculo
infinitesimal de Newton y Leibniz, se unen y
se complementan armoniosamente con sus
trabajos sobre estática e hidrodinámica,
poniendo de manifiesto cómo las dos
matemáticas (la pura y la aplicada) se
complementan mutuamente, de manera que
Escuche el audio ¡Eureka! Arquí-
medes y el cálculo integral en su
multimedia de Elementos básicos
de cálculo integral y series.
28
2.1 Integral indefinida
Definición
Si F(x) es una función primitiva de f (x), la expresión F(x) + C se llama integral
indefinida de la función f (x) y se denota por el símbolo ( ) .f x dx∫ Esto es:
( ) ( ) .f x dx F x C= +∫
En este caso f (x) se llama integrando (o función bajo el signo de integral), C se llama
constante de integración y dx indica que la variable de integración es la letra x.
Observaciones
1. El significado geométrico de la integral indefinida es una familia de curvas,
una para cada valor de C.
2. Toda función continua f (x) en el intervalo [ , ]a b tiene una función primitiva
y por consiguiente una integral indefinida. Sin embargo, no siempre es po-
sible encontrar la integral indefinida (primitiva más general) de una función
continua en [ , ]a b como sucede por ejemplo con la función 4
( ) 1f x x= + .
Más adelante estudiaremos métodos que permiten determinar las funciones
primitivas (y por consiguiente las integrales indefinidas) de ciertas clases de
funciones.
3. De la definición anterior podemos deducir lo siguiente:
a. La derivada de una integral indefinida es igual al integrando. Es decir,
( ) ( ),
d
f x dx f x
dx
=∫
o también,
( )( ) ( ) .d f x dx f x dx=∫
b. Como ( ) ( ),F x f x′ = entonces ( ) ( ) .dF x f x dx=
Por tanto, ( ) ( ) .dF x F x C= +∫
De acuerdo con la observación 3, podemos obtener fórmulas de integración a partir
de las fórmulas de diferenciación. Usaremos las siguientes fórmulas que aparecen
en el teorema 1 y cuya igualdad podemos comprobar mediante la derivación; es
decir, se puede verificar que la derivada del segundo miembro es igual a la derivada
delprimermiembro.
Capítulo 1: Integral indefinida
cada una actúa como estímulo y ayuda para
la otra y forman en conjunto una única y
bien definida línea de pensamiento.
Arquímedes fue además un genio de la
mecánica. Entre sus inventos más célebres
se encuentra el «tornillo de Arquímedes»,
utilizado en muchos países, entre ellos
España, para extraer agua de los pozos.
Construyó también planetarios que, pese a
la lejanía en el tiempo, eran tan populares
como lo son en la actualidad.
Sin embargo, no fueron sólo los inventos
«pacíficos» los que dieron a Arquímedes
su gran fama en la antigüedad, sino también
su contribución a la defensa de Siracusa
contra los romanos. Este matemático había
dotado al ejército de dicha ciudad de armas
muy modernas, las cuales causaron el
desconcierto total entre los soldados
romanos. Los historiadores de la época
no describen los «espejos ustorios»
(espejos cóncavos que, puestos de frente
al Sol, reflejan sus rayos y los reúnen en el
punto llamado foco, produciendo un calor
capaz de quemar, fundir y hasta volatilizar
los cuerpos allí colocados), pero sí lo hacen
los posteriores. Fueron mencionados por
primera vez por Galeno (el más destacado
médico de aquellos tiempos, después de
Hipócrates). Si realmente existieron, debió
tratarse de alguna especie de espejo
parabólico. Según cuenta la leyenda,
durante el asedio de las tropas romanas a
Siracusa, en el año 213 a.C., fueron
capaces de concentrar los rayos de sol en
una zona muy reducida, que de esta forma,
dirigidos hacia la armada romana,
provocaron el incendio de las naves.
Arquímedes los situó de forma que los
rayos llegaran paralelos al eje y que, una
vez concentrados, apuntaran a las velas de
los barcos enemigos. Muy pronto los
romanos vieron atónitos cómo las velas de
sus barcos ardían como por arte de magia.
29Elementos básicos de cálculo integral y series
2.2 Primeras fórmulas de integración
Teorema 1
1F : .dx x C= +∫
2F : ( ) ( ) ,af x dx a f x dx=∫ ∫ siendo a una constante.
[ ]3 1 2 1 2F : ( ) ( ) ( ) ( ) .f x f x dx f x dx f x dx+ = +∫ ∫ ∫
Generalización:
[ ]1 2 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .n nf x f x f x dx f x dx f x dx+ + + = + +∫ ∫ ∫… …
1
4F : ,
1
n
n x
x dx C
n
+
= +
+∫ si 1n ≠ − y n real.
El ejemplo siguiente ilustra la manera de usar las fórmulas anteriores en el proceso
de integración.
Ejemplo1
Resuelva cada una de las siguientes integrales indefinidas:
a.
2
( ) , , ,kx px t dx k p t+ +∫ constantes.
b. ( )3
3 4 .w w dw+∫
c.
2
2
3
1
.x dx
x
⎛ ⎞
+⎜ ⎟
⎝ ⎠
∫
Solución
a. 2 2
3
2
2
3 2
1 2 3 4
3 2
( ) (F )
(F )
( ) (F )
3 2
,
3 2
kx px t dx kx dx pxdx t dx
k x dx p xdx t dx
x x
k C p C t x C
x x
k p tx C
+ + = + +
= + +
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= + + + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
= + + +
∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
donde 1 2 3C kC pC tC= + + .
Módulo 2: Integral indefinida
Vea el módulo 2 del programa
de televisión Elementos básicos
de cálculo integral y series
El ejército de Siracusa fue así capaz de
destruir la armada de los invasores.
Experimentalmente se ha demostrado que
la leyenda es creíble, como probó en 1747
el conde de Bufón (Georges Louis Leclerc,
1707-1788, naturalista francés, autor de
uno de los primeros tratados globales de
historia de la biología y la geología no
basados en la Biblia). Sin embargo, Siracusa
cayó en manos romanas a causa de una
traición y Arquímedes fue asesinado. El
general romano Marcelo, a modo de
desagravio, mandó erigir para Arquímedes
una tumba sobre la cual se veía una esfera
circunscrita por un cilindro que simbolizaba,
de acuerdo con sus deseos, su teorema
favorito sobre los volúmenes del cono, el
cilindro y la esfera. Cuando Cicerón visitó
Sicilia pudo ver todavía el monumento que
se ha perdido para la historia.
Aunque no de una manera explícita,
Arquímedes contribuyó a la aplicación de
las matemáticas. En efecto, en su obra
Equilibrio trató el problema de la palanca,
que, junto a la cuña, el plano inclinado, el
rodillo y la polea, componía la colección de
las sencillas máquinas utilizadas en la
antigüedad para construcciones tan
asombrosas como las pirámides de Egipto,
los templos griegos y los acueductos
romanos. Se sirvió libremente de la noción
de baricentro o centro de gravedad de un
cuerpo como si la conociese y le fuese
familiar. Casi dieciocho siglos más tarde
Galileo Galilei y el matemático holandés
Simón Stevin construyeron la teoría de la
estática, esto es, una teoría del equilibrio
para complicados sistemas mecánicos.
30
b. ( ) 11
32
11
32
11
32
3 4
32
3
2 3
11
1 2 4
1 2
3
3 4 (3 4 )
3 4 (F yF )
3 4 (F )
1 1
1 1
2 3
2 3 3 4
2 3 .
w w dw w w dw
w dw w dw
w w
C C
w C w C
w w w w C
++
+ = +
= +
⎡ ⎤⎡ ⎤
⎢ ⎥⎢ ⎥
= + + +⎢ ⎥⎢ ⎥
⎢ ⎥⎢ ⎥+ +
⎣ ⎦ ⎣ ⎦
= + + +
= + +
∫ ∫
∫ ∫
Como 1 23 4C C+ es una constante arbitraria, la hemos denotado por C.
Al aplicar la F3
para cada ( )if x dx∫ aparece una constante Ci
. Entonces
podemos evaluar cada ( )if x dx∫ sin escribir la constante Ci
, pero al final
escribimos C para indicar la suma de todas las constantes.
c.
5 2
3 3
5 2
3 3
8 1
3 3
2
2 4
3
4
5
1
( 2 )
2
3
3 .
5 4
x dx x x x dx
x
x dx x dx x dx
x
x x C
−
−
⎛ ⎞
+ = + +⎜ ⎟
⎝ ⎠
= + +
= + + +
∫ ∫
∫ ∫ ∫
Capítulo 1: Integral indefinida
31Elementos básicos de cálculo integral y series
3Regla de sustitución o cambio de
variable
Contenidos del módulo
Objetivos del módulo
Preguntas básicas
Introducción
3.1 Teorema 1: Regla de sustitución o cambio de variable
3.2 Ejemplos ilustrativos del uso de la regla
1. Enunciar y demostrar la regla de sustitución y hacer notar que es uno de los
métodos más importantes en el cálculo de integrales indefinidas.
2. Ilustrar con ejemplos el uso de la regla de sustitución.
1. En el módulo 2 se calculó la integral
2
2
3
1
x dx
x
⎛ ⎞
+⎜ ⎟
⎝ ⎠
∫ desarrollando el binomio al
cuadrado y usando las fórmulas del teorema 1. ¿Cómo sepodría evaluar la integral
( )
40
5 3x dx+ ⋅∫ ?
Las primeras fórmulas de integración en el teorema del módulo anterior permiten
evaluar o calcular la integral indefinida de un número muy limitado de funciones.
Supongamos ahora que deseamos determinar la integral indefinida 2 3
3 1 .x x dx+∫
En este caso ninguna de las fórmulas de integración nos permite calcular en forma
directa la primitiva de 2 3
( ) 3 1,f x x x= + aunque sabemos que dicha primitiva
existe. Daremos una regla llamada integración por sustitución o integración por
cambio de variable, por medio de la cual podemos evaluar muchas integrales inde-
finidas que no pueden calcularse en forma directa.
Jacques (Jacob) Bernoulli
Jacques Bernoulli nació el 27 de diciembre
de 1654 en Basilea, Suiza, y falleció el 16 de
agosto de 1705 en la misma ciudad. Jacob
era hermano de Johann (o Jean) Bernoulli
y tío de Daniel Bernoulli, otros dos
matemáticos de renombre que hicieron
aportes importantes al primitivo desarrollo
del cálculo. Obtuvo el grado de teología en
Basilea en el año 1676 y recibió enseñanzas
en matemáticas y astronomía contra los
deseos de sus padres.
En los años 1676 y 1682 Jacques Bernoulli
viajó a lo largo de Francia, Inglaterra y los
países nórdicos, y luego se reunió en
Inglaterra con Robert Boyle (uno de los
fundadores de la química moderna) y
Robert Hooke (conocido por su estudio de
la elasticidad). Después retornó a Suiza y
enseñó mecánica y matemáticas en la
Universidad de Basilea.
En una disputa matemática con su hermano
Johann inventó el cálculo de las variaciones.
También trabajó en la teoría de la
probabilidad. La «distribución de Bernoulli»,
la «ecuación diferencial de Bernoulli» y los
«números de Bernoulli» fueron deno-
minados así en su honor. Muchas de sus
publicaciones fueron sobre series finitas.
Jacques Bernoulli fue el primero en usar el
término integral en el año 1690. Utilizó
tempranamente las coordenadas polares y
descubrió el isócrono, o curva que se
forma al caer verticalmente un cuerpo con
velocidad uniforme. Estudió la espiral
equiangular o logarítmica (que aparece en
la naturaleza en lugares muy dispares, como
telas de araña, conchas, disposiciones de
semillas, espirales de nebulosas...). Tan
orgulloso estaba de haber descubierto que
la espiral permanece igual a sí misma bajo
tantas transformaciones geométricas que
pidió fuese grabada en su lápida junto a la
expresión «eadem mutata resurgo»
(«aunque cambiado, resurgiré»). Y así se
puede ver en la tumba del matemático en
Basilea, aunque con una salvedad: el
32
3.1 Teorema 1: Regla de sustitución o cambio de variable
Sea u = g(x) una función diferenciable cuyo rango es un intervalo I, y sea f una
función definida en I y F una primitiva de f en I. Entonces:
( ( )) ( ) ( ) ( ) ( ( )) .f g x g x dx f u du F u C F g x C′ = = + = +∫ ∫
Demostración
Puesto que u = g(x), y como el rango de g es I, se concluye entonces que u está en
I. Como F es una primitiva de f en I, se tiene que ( ) ( )F x f x′ = para todo x en I.
En particular, ( ) ( )F u f u′ = ó ( ) ( ).
d
F u f u
du
= (1)
De aquí se tiene que ( ) ( ) .f u du F u C= +∫ (2)
Ahora, ( ( )) ( ),F g x F u= y derivando en ambos miembros con respecto a x se tiene:
( ( )) ( )
( ) · (regla dela cadena)
( ) · (sustituyendo la ecuación (1))
( ( )) ( ).
d d
F g x F u
dx dx
d du
F u
du dx
du
f u
dx
f g x g x
=
=
=
′=
De esta última igualdad se sigue que F(g(x)) es una primitiva de ( ( )) ( ),f g x g x′ y por
tanto ( ( )) ( ) ( ( )) ,f g x g x dx F g x C′ = +∫ (3)
y como u = g(x),
( ( )) ( ) ( ) .f g x g x dx F u C′ = +∫ (4)
De la igualdad entre (2) y (4) resultan las dos primeras igualdades del teorema. La
última igualdad se obtiene de comparar (3) y (4).
Observación
La regla de sustitución es uno de los métodos más importantes del cálculo de
integrales indefinidas. Inclusive, cuando se utiliza cualquier otro método por lo
general en los pasos intermedios recurrimos a la regla de sustitución.
Capítulo 1: Integral indefinida
cantero cometió un lapsus y en lugar de la
espiral logarítmica dibujó en la tumba una
espiral de Arquímedes. En su epitafio se
lee:
«Amado por su familia: Jacob Bernoulli, el
incomparable matemático, más de
dieciocho años profesor de la Universidad
de Basilea, miembro de las Reales
Academias de París y Berlín, famoso por
sus escritos, por una enfermedad crónica,
completamente lúcido hasta su muerte, en
el año de gracia de 1705, el 16 de agosto,
a la edad de 50 años y 6 meses, falleció
esperando la resurrección. Judith Stupan,
su mujer durante veinte años, ha erigido
un monumento junto con sus dos hijos al
marido y padre que tanto echan de menos».
Pero la historia de la espiral tiene más para
decir, porque un antiguo conocido,
miembro de una familia de genios
irrepetible, se maravilló tanto con esta curva
que la llamó «espiral maravillosa». Y no es
para menos, si tenemos en cuenta algunas
de las cosas que consiguió con la curva.
Veamos:
1. La expresó en polares mediante el
logaritmo
1
log ,
r
k c
=θ
donde c y k son constantes y θ es el ángulo
de giro (lo cual justifica su otro nombre de
«espiral logarítmica»).
2. También verificó que mientras que el
ángulo de giro aumenta en progresión
aritmética, el radio correspondiente lo hace
en progresión geométrica. Dicho de otra
manera: la separación de las espiras
aumenta al crecer el ángulo.
3. Verificó su autosemejanza (o sea que es
invariable), lo que la emparenta con los
fractales.
33Elementos básicos de cálculo integral y series
3.2 Ejemplos ilustrativos del uso de la regla
Los ejemplos siguientes ilustran el uso de la regla conjuntamente con las fórmulas
de integración presentadas en el módulo anterior.
Ejemplo1
Sea g(x) una función diferenciable. Demuestre que:
[ ]
[ ]
1
( )
( ) ( ) , 1,
1
n
n g x
g x g x dx C n n
n
+
′ = + ≠ −
+∫ real.
Solución
Sea u = g(x); entonces, ( )du g x dx′= .
Por tanto,
[ ]
[ ]
1
4
1
( ) ( ) ; 1
(por F )
1
( )
.
1
n n
n
n
g x g x dx u du n
u
C
n
g x
C
n
+
+
′ = ≠ −
= +
+
= +
+
∫ ∫
Ejemplo2
Calcule las siguientes integrales indefinidas:
a.
2
3
1
x dx
x +
∫ ; b.
2
1t t dt−∫ ; c.
1
.
x
dx
x
+
∫
Solución
a. Sea
3
1u x= + ; entonces, 2
3 ,du x dx= de donde
2 1
.
3
x dx du=
Luego
1 1
2 2
2
3
1 2
,
3 331
x dx du
u du u C
ux
−
= = = +
+
∫ ∫ ∫
y como 3
1,u x= + se tiene finalmente
1
2
2
3
3
2
( 1) .
31
x dx
x C
x
= + +
+
∫
b. Sea 1.u t= − (1)
Entonces, du dt= y 2 2
.t dt t du= (2)
De (1) se tiene que 1,t u= + y sustituyendo en el segundo miembro de (2)
obtenemos: 2 2
( 1) .t dt u du= +
Módulo 3: Regla de sustitución o cambio de variable
Vea el módulo 3 del programa
de televisión Elementos básicos
de cálculo integral y series
«El cálculo es así una puerta abierta
milagrosamente; aún las teorías físicas
más complejas y profundas llevan un
rastro de sus más simples ecuaciones
diferenciales y una huella de su
arquitectura global».
David Berlinski
34
Luego
5 3 1
2 2 2
7 5 3
2 2 2
7 5 3
2 2 2
2 2
1 ( 1)
( 2 )
2 4 2
7 5 3
2 4 2
( 1) ( 1) ( 1) .
7 5 3
t t dt u u du
u u u du
u u u C
t t t C
− = +
= + +
= + + +
= − + − + − +
∫ ∫
∫
Otra manera de calcular la integral anterior es haciendo la sustitución
2
1u t= − y 2 2 2
2 ( 1) .t dt u u du= + Verifique la solución.
c. Sea 1 ;u x= + entonces, ,
2
dx
du
x
= de donde 2 .dx x du=
Luego
3
2
3
2
3
1 4
·2
3
4
(1 )
3
4
(1 ) .
3
x
dx u du u C
x
x C
x C
+
= = +
= + +
= + +
∫ ∫
Capítulo 1: Integral indefinida
35Elementos básicos de cálculo integral y series
4Algunas aplicaciones de la integral
indefinida
Contenidos del módulo
Objetivos del módulo
Preguntas básicas
Introducción
4.1Algunas aplicaciones de la integral indefinida
4.1.1Aplicaciones a las ecuaciones diferenciales de primer orden
4.1.2Aplicaciones a la física: movimiento rectilíneo
1. Usar el método directo para resolver algunas ecuaciones diferenciales de primer
y segundo orden.
2. Usar el supuesto de que los cuerpos en caída libre sólo están bajo la acción de la
gravedad y de esta manera usar la integral indefinida para determinar la ecuación
de movimiento del objeto en cualquier tiempo t.
1. Demuestre que si f cf′ = para algún número x, entonces ( ) c x
f x k e ⋅
= ⋅ para
algún número k.
2. La ley del enfriamiento de Newton afirma que un objeto se enfría en razón
proporcional a la diferencia entre su temperatura y la temperatura ambiente.
DemuestrequelatemperaturaT(t)delobjetoeneltiempot,entérminosdesu temperatura
0T en el tiempo 0, y suponiendo que la temperatura ambiente A permanece cons-
tante, viene dada por la fórmula 0( ) ,c t
T t A T e ⋅
= + ⋅ en donde c es la constante de
proporcionalidad.
En el estudio de las ecuaciones diferenciales ordinarias a veces puede ser muy
difícil resolver una ecuación diferencial de primer orden, ya que no existe un método
general que pueda usarse en todos los casos. En este módulo ilustraremos con
algunos ejemplos sencillos el método directo de solución, dejando el tratamiento
completo para el curso de ecuaciones diferenciales ordinarias.
Igualmente, en las aplicaciones a la física supondremos que los objetos de estudio
están bajo la acción de la gravedad, y por medio de integraciones podemos conocer
la ecuación de movimiento del objeto y así responder preguntas relativas al movi-
miento.
Oliver Heaviside
El físico inglés Oliver Heaviside nació en
Londres en 1850 y murió en Torquay en
1925. Carente de formación universitaria,
Heaviside comenzó en el mundo laboral
trabajando como operador de telégrafos,
hasta que la sordera le obligó a abandonar
su empleo. Nunca alcanzó puesto aca-
démico alguno pese a haber recibido nume-
rosos honores y murió en la pobreza.
Heaviside solía trabajar sin colaboradores y
en soledad logró desarrollar gran parte de
los fundamentos matemáticos que
sustentan la teoría de la telegrafía y de los
circuitos eléctricos, formulando los ahora
familiares conceptos de impedancia,
autoinductancia y conductancia, y empleó
los números complejos en el análisis de las
redes de corrientes alternas varios años
antes de que otros lo hicieran. También
mostró cómo procede la transmisión de
señales auditivas a lo largo de cables y sin
sufrir distorsiones, proponiendo un método
consistente en utilizar una única línea
telefónica para canalizar diversas con-
versaciones simultáneamente (sistema
multiplex).
Como consecuencia del éxito de Guglielmo
Marconi (ingeniero electrotécnico italiano,
premiado con el Nobel y conocido como el
inventor del primer sistema práctico de
señales de radio) tras haber transmitido
señales de radio a través del Atlántico,
Heaviside sugirió en 1902 que en la zona
superior de la atmósfera tenía que existir
una capa reflectora, pues, de lo contrario,
la curvatura de la Tierra habría impedido la
recepción de las señales de radio. La
existencia de la capa de Heaviside (que
resultó ser la ionosfera, y a la cual se
denominó capa Kennelly-Heaviside porque
la predicción de su existencia fue realizada
también en 1902, en forma independiente,
por el ingeniero estadounidense Edwin
Kennelly) fue demostrada experimentalmen-
te veinte años después, de la mano del físico
36
4.1 Algunas aplicaciones de la integral indefinida
4.1.1 Aplicaciones a las ecuaciones diferenciales de primer orden
A la ecuación ( )
dy
f x
dx
= o al diferencial ( )dy f x dx= se le llama ecuación dife-
rencial de primer orden.
Resolver una ecuación diferencial es encontrar todas las funciones ( )y G x= que
satisfagan la ecuación diferencial.
Si y = F(x) es una primitiva de f (x), también lo es F(x) + C.
Entonces podemos decir que todas las funciones que satisfacen la ecuación dife-
rencial ( ),
dy
f x
dx
= cuando F es la primitiva de f, son de la forma:
y = F(x) + C. (1)
Esta ecuación se llama solución general de la ecuación diferencial.
En los problemas que incluyen ecuaciones diferenciales frecuentemente se desea
encontrar soluciones particulares y para ello se dan unas condiciones llamadas
condiciones iniciales o condiciones de frontera.
Así por ejemplo, resolver la ecuación 2 1,
dy
x
dx
= + tal que y = 3 cuando x = 1,
consiste en hallar la solución general y emplear luego la condición inicial para
encontrar el valor particular de C, obteniéndose así la solución particular que satis-
face la condición dada.
Para la ecuación del ejemplo anterior se puede verificar que 2
y x x C= + + es la
solución general. Como y = 3 cuando x = 1, resulta entonces que y = x2
+ x + 1 es una
solución particular.
Gráficamente, la solución general 2
y x x C= + + representa una familia de parábo-
las, una por cada valor de C (figura 4.1).
La solución particular y = x2
+ x + 1 es una parábola abierta hacia arriba y cuyo
vértice es el punto
1 3
,
2 4
⎛ ⎞
−⎜ ⎟
⎝ ⎠
.
Capítulo 1: Integral indefinida
y premio Nobel Edgard Victor Appleton.
A pesar de que casi todos los primeros
trabajos de Heaviside fueron ignorados, lo
que acentuó su amargura y retraimiento,
sus valiosas contribuciones fueron
reconocidas finalmente, cuando fue elegido
miembro de la Royal Society de Londres
en 1891. El último volumen de su Teoría
electromagnética, que no había llegado a
publicarse, fue destrozado por unos
ladrones, y sólo sabemos en la actualidad
que Heaviside trató de describir en el
volumen perdido una teoría unificada de
los campos, en la que combinaba
electromagnetismo y gravitación.
Heaviside quedó fascinado al leer el Tratado
sobre electricidad y magnetismo de
Maxwell. Comenzó a desarrollar sus propias
ideas sobre el tema y logró simplificar las
ecuaciones que proponía este famoso físico
usando un método de cálculo operacional
que él mismo desarrolló (de hecho, lo que
hoy llamamos ecuaciones de Maxwell son
la versión simplificada propuesta por
Heaviside). Sin embargo, los métodos de
Heaviside causaron gran controversia
entre sus contemporáneos y su validez
tardó algún tiempo en ser demostrada.
37Elementos básicos de cálculo integral y series
Figura 4.1
Ejemplo1
Sea la ecuación diferencial 2 .
dy
x
dx
= − (1)
a. Halle la solución general.
b. Halle la solución particular si y = 1 cuando x = 2.
Solución
a. De (1) tenemos que 2 ,dy xdx= − y si integramos en ambos lados de esta
última ecuación obtenemos:
2
1 2
2
2 1
( 2 ) ,
,
( ).
dy x dx
y C x C
y x C C
= −
+ = − +
= − + −
∫ ∫
Sea 2 1k C C= − ; entonces, 2
,y x k= − + (2), es la solución general de (1).
b. Si se sustituyen las condiciones iniciales en (2) se obtiene 1 4 ,k= − + de
donde k = 5.
Por tanto la solución particular a la ecuación diferencial es 2
5.y x= − +
La solución general es una familia de parábolas y una solución particular es la
parábola que pasa por el punto (2, 1) (figura 4.2).
Módulo 4: Algunas aplicaciones de la integral indefinida
Vea el módulo 4 del programa
de televisión Elementos básicos
de cálculo integral y series
«Arquímedes, uno de los más impor-
tantes de todos los matemáticos, fue el
hombre práctico de sentido común, el
Newton de su época, que poseía la
habilidad imaginativa y la perspicacia
para tratar la geometría y la mecánica, y
que incluso inventó el cálculo integral».
Herbert W. Turnbull
38
Figura 4.2
Ejemplo2
Encuentre la solución general a la ecuación diferencial
2
2
2 3.
d y
x
dx
= + (1)
Solución
A pesar de que esta ecuación no presenta la forma de una ecuación diferencial de
primer orden, puede ser transformada a una ecuación de dicha forma de la siguiente
manera:
Sea
dy
u
dx
= ; entonces
2
2
.
du d y
dx dx
=
Luego la ecuación (1) queda como sigue:
2 3,
du
x
dx
= +
de donde (2 3) .du x dx= +
Por tanto,
(2 3) .du x dx= +∫ ∫
Y resolviendo las integrales obtenemos:
( ) 2
3 ,u x x x k= + +
Es decir,
2
3
dy
u x x k
dx
= = + + o 2
( 3 ) .dy x x k dx= + +
Capítulo 1: Integral indefinida
39Elementos básicos de cálculo integral y series
Entonces
2
( 3 ) ,dy x x k dx= + +∫ ∫
y resolviendo las integrales obtenemos finalmente:
3 2
3
,
3 2
x x
y kx C= + + +
que es la solución general a la ecuación diferencial (1).
Observaciones
La ecuación diferencial del ejemplo anterior se llama ecuación diferencial de se-
gundo orden.
Para obtener la solución general fue necesario efectuar dos operaciones de integra-
ción, de ahí que aparezcan dos constantes arbitrarias. Si se quiere obtener una
solución particular es necesario dar dos condiciones iniciales.
Ejemplo3
En cualquier punto (x, y) de una curva se verifica que
2
2
2
1 ,
d y
x
dx
= − y la ecuación de
la recta tangente a la curva en el punto (1, 1) es 2 .y x= − Encuentre la ecuación de
la curva.
Solución
Debemos buscar una solución a la ecuación diferencial
2
2
2
1
d y
x
dx
= − con las si-
guientes condiciones iniciales:
a. y = 1 cuando x = 1.
b. 1
dy
dx
= − cuando x = 1 (puesto que la pendiente de 2y x= − es –1).
Sea ;
dy
u
dx
= entonces,
2
2
du d y
dx dx
= .
Luego
2
1 ,
du
x
dx
= −
de donde 2
(1 ) .du x dx= −
En consecuencia,
2
(1 ) ,du x dx= −∫ ∫
Módulo 4: Algunas aplicaciones de la integral indefinida
40
y por tanto,
3
( ) .
3
x
u x x C= − + (1)
Si reemplazamos u por
dy
dx
obtenemos:
3
,
3
dy x
u x C
dx
= = − +
de donde
3
.
3
x
dy x C dx
⎛ ⎞
= − +⎜ ⎟
⎝ ⎠
Entonces
3
,
3
x
dy x C dx
⎛ ⎞
= − +⎜ ⎟
⎝ ⎠
∫ ∫
y por tanto,
2 4
.
2 12
x x
y Cx k= − + + (2)
La ecuación (2) es la solución general. Para conocer los valores de C y k utilizamos
las condiciones iniciales.
Utilizando las condiciones iniciales b en (1) obtenemos:
1
1 1 ,
3
C− = − + de donde
5
.
3
C = −
Utilizando el valor de C y las condiciones iniciales a en (2) obtenemos:
1 1 5
1 1 ,
2 12 3
k
⎛ ⎞
= − + − +⎜ ⎟
⎝ ⎠
de donde
9
4
k = .
Entonces la ecuación de la curva que pasa por (1, 1) y cuya recta tangente tiene
pendiente –1 en dicho punto es
2 4
5 9
2 12 3 4
x x
y x= − − + .
4.1.2 Aplicaciones a la física: movimiento rectilíneo
En el módulo 20 del texto Elementos básicos de cálculo diferencial vimos que
cuando la ecuación de movimiento de un móvil está dada por ( ),s f t= la velocidad
instantánea está dada por ( ),
ds
v f t
dt
′= = y la aceleración instantánea por
2
2
( ).
d s dv
a f t
dtdt
′′= = =
Capítulo 1: Integral indefinida
41Elementos básicos de cálculo integral y series
Teniendo en cuenta aquel desarrollo, veamos ahora que es posible encontrar la
ecuación de movimiento de un móvil dada la velocidad o la aceleración.
Ejemplo1
Una piedra es lanzada verticalmente hacia arriba desde el suelo, con una velocidad
inicial de 20 m/s (figura 4.3). ¿Cuánto tiempo tardará la piedra en llegar al suelo y con
qué velocidad llegará? ¿Durante cuánto tiempo estará subiendo la piedra y qué tan
alto llegará? (utilice como aceleración de la gravedad 2
10 m/sg = ).
Solución
Sean s: la posición de la piedra al cabo de t segundos.
v: la velocidad de la piedra en t segundos.
:a g= − la aceleración de la gravedad, que consideramos constante.
Figura 4.3
Condiciones iniciales: 20 m/sv = cuando t = 0; s = 0 cuando t = 0.
Para simplificar la escritura prescindiremos inicialmente de las unidades y al final las
retomaremos.
Como 10,
dv
dt
= − se tiene que 10 .dv dt= − Por tanto, 10 ,dv dt= −∫ ∫ luego
10v t C= − + .
Si v = 20 cuando t = 0, entonces 20 10(0) ,C= − + de donde C = 20.
Por tanto, se tiene que la velocidad en cualquier instante es 10 20.v t= − + (1)
Pero ,
ds
v
dt
= y en consecuencia 10 20,
ds
t
dt
= − +
Módulo 4: Algunas aplicaciones de la integral indefinida
42
Capítulo 1: Integral indefinida
de donde
( 10 20) ,
( 10 20) ,
ds t dt
ds t dt
= − +
= − +∫ ∫
y por tanto
2
15 20s t t C= − + + .
Como s = 0 cuando t = 0, se deduce que C1
= 0. Es decir, la ecuación de movimiento
en cualquier instante t es 2
5 20 .s t t= − + (2)
De acuerdo con las ecuaciones (1) y (2) podemos obtener los resultados pedidos.
Tiempo para llegar al suelo y velocidad con que llegará:
Hacemos s = 0 en la ecuación (2). Entonces, 2
0 5 20 ,t t= − + de donde t = 0 ó
t = 4 s.
Es decir, t = 0 es en el momento de iniciarse el movimiento y t = 4 s es el
tiempo que demora la piedra en caer al suelo.
Si en (1) reemplazamos t = 4 s, obtenemos la velocidad con que la piedra llega
al suelo. Es decir,
10(4) 20 20,v = − + = − esto es, 20 m/s.v = −
Tiempo durante el cual está subiendo la piedra y máxima altura alcanzada:
Hacemos v = 0 en la ecuación (1). Entonces, 0 10 20,t= − + de donde t = 2 s,
y si este valor de t lo reemplazamos en (2) obtenemos la altura máxima alcan-
zada por la piedra, es decir,
2
5(2) 20(2) 20 m.s = − + =
43Elementos básicos de cálculo integral y series
Módulos 1 al 4
En los ejercicios 1 a 8 se dan las funciones f y F. Compruebe, usando derivación, que ( )F x es la primitiva más general
de ( )f x . ¿Qué fórmula de integración puede deducirse en cada caso?
1.
2
3
( ) = ;
1
x
f x
x+
31
( ) = ln (1 ) .
3
F x x C+ +
2. ( ) ln ;f x x= ( ) ln .F x x x x C= − +
3. 3
( ) ln ;f x x x=
4 41 1
( ) ln .
4 16
F x x x x C= − +
4. ( ) arctan ;f x x= 2
( ) arctan ln 1 .F x x x x C= ⋅ − + +
5. 2
1
( ) ;
4x
f x
e
=
+
21 1
( ) ln ( 4) .
4 8
x
F x x e C= − + +
6. 2
( ) ;x
f x x e−
= 2
( ) ( 2 2) .x
F x e x x C−
= − + + +
7. 2
( ) sen 2 ;f x x=
1 1
( ) sen 4 .
2 8
F x x x C= − +
8. 3
( ) ( 3) ;x
f x x e−
= +
31
( ) (3 10) .
9
x
F x x e C−
= − + +
En los ejercicios 9 a 13 encuentre la primitiva más general para la función dada.
9. 2
( ) 3 4 5.f x x x= + +
10. 2 3
1 3
( ) .f t
t t
= +
11. 3 2
( ) 1 .g x x x x= + − +
12. 2 2
2
( ) .
( 1)
x
h x
x
=
+
13. 1 2
( ) ( 1) .f x x= +
Capítulo 1: Integral indefinida
14. Calcule las siguientes integrales indefinidas:
a.
5
.x dx∫ b.
2
( ) .x x dx+∫
c. 2
1 4
2 .dx
x x x
⎛ ⎞
+ +⎜ ⎟
⎝ ⎠
∫ d.
3
2
( 1)
.
x
dx
x
+
∫
e. 2
1 .x x dx+∫ f.
2
3
.
1
t dt
t +
∫
g. 5 3
1 .w w dw+∫ h.
1 3 4
3 2
( 2)
.
r
dr
r
+
∫
i. 3 2
3 8 .x x dx−∫ j. 2
( 1) ( 2 8) .x x x dx+ + +∫
k.
2
3 2
( 2)
.
6 12 4
x
dx
x x x
+
+ + +
∫ l.
sen
.
x
dx
x
∫
m.
2 2
cos (cos ) sen .x x x dx⋅ ⋅∫ n.
2
sen (11 10) .x x dx⋅ −∫
o. sen (4 2) .x x
e e dx⋅ +∫ p.
3 3
cos .x x
e e dx⋅∫
q.
4tan
2
.
cos
x dx
e
x
⋅∫ r. 2
4 sen sen cos .x x x dx+ ⋅∫
s.
2
2
sen 4
.
4
x x
dx
x
+
+
∫ t.
2 3 8 3 9
( 5) cos [( 5) ] .x x x dx+ ⋅ +∫
u. 2 2
cos ( 4) sen ( 4) .x x x dx+ +∫ v. 1 .t t t dt+∫
w.
2
cos (ln 4 )
.
x
dx
x∫ x.
2 3
3 2
cos ( 2)
.
[sen ( 2)]
t t
dt
t
⋅ −
−∫
15. Encuentre la solución general de las siguientes ecuaciones diferenciales.
a.
3
3 2 5.
dy
x x
dx
= + − b.
2
(2 3) .
dy
x
dx
= +
c. .
dy
x y
dx
= d.
2
3 .
dy
xy
dx
=
En los ejercicios 16 a 19 halle la solución particular de las ecuaciones diferenciales dadas teniendo en cuenta las condiciones
iniciales.
16.
2
1, si 3 cuando 0.
dy
x x y x
dx
= + = − =
Ejercicios de los módulos 1 al 4
17.
4
, si 2 cuando 4.
dy dx
y x
y x
= = − =
18.
2
2
2
4(1 ) , si 2 y 1 cuando 1.
d y
x y y x
dx
′= − = = − = −
19.
2
2
2
1 , si 1 y 1 cuando 1.
d y
x y y x
dx
′= − = = − =
20. ¿Puede existir una curva que satisface las siguientes condiciones: cuando 0,x = entonces 0 y 1
dy
y
dx
= = y
2
2
0
d y
dx
= para todo x?
21. Encuentre la ecuación de la curva que pasa por el punto (1, 1) y cuya pendiente en el punto (x, y) es 2
3 2.x +
22. Encuentre la ecuación de la curva que pasa por los puntos (0, 3) y (1, 5) y satisface la ecuación diferencial
2
2
2
3 .
d y
x x
dx
= +
23. Una pelota se lanza verticalmente hacia arriba desde el suelo con una velocidad de 10 m/s. ¿Cuánto tiempo le tomará
llegar al suelo y con qué velocidad caerá? ¿Durante cuánto tiempo estará subiendo y qué tan alto llegará? (utilice
como gravedad 2
10m /s ).g =
24. Un hombre en un globo deja caer un zapato cuando se encuentra a 100 m de altura y está subiendo a razón de 10 m/s.
¿Cuánto tiempo tardará el zapato en llegar al suelo y con qué rapidez llegará? ¿Cuál es la distancia recorrida por el
zapato antes de caer?
25. Si los frenos de un carro pueden darle una aceleración negativa constante de 30 m/s, ¿cuál es la velocidad máxima
a la que puede ir si es necesario parar el carro dentro de 90 m después de aplicados los frenos?
En los ejercicios 26 a 29 halle la ecuación de una partícula que se mueve en línea recta y en donde , , ya v s t son la
aceleración, velocidad, espacio y tiempo, respectivamente.
26. 2 3 , 1 y 1 cuando 0.a t s v t= + = = =
27. 100, 1 y 1 cuando 0.a s v t= = = =
28. 2 1 y 2 cuando 1.a s v s= + = =
29. 2
3 , 1 y 2 cuando 1.a t t v s t= − = = =
Capítulo 1: Integral indefinida

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Ca2 cap01

  • 1. 1Integral indefinida Capítulo 1 En este capítulo se definirá el concepto matemático de integral de tal manera que el estudiante empiece a conocer lentamente el proceso u operación de «integración», mostrándole además la relación que existe entre esta operación de integración y la operación «inversa» de derivación, a la cual llamaremos «primitivación». En general, este proceso es más complicado que el de la derivación y debemos ser más cautelosos y pacientes con los métodos que se expongan, los cuales nos permitirán, cuando sea posible, obtener la primitiva o antiderivada de un gran nú- mero de funciones. Iniciamos el capítulo presentando las definiciones correspondientes a la función primitiva, para posteriormente hacer el estudio de la regla de sustitución o cambio de variable, quizás el método de integración más importante, ya que en cualquiera de los otros métodos, por lo general, en algún paso intermedio se hace uso de dicha regla. Al finalizar el capítulo ilustramos con algunos ejemplos sencillos una primera apli- cación de la integral indefinida a las ecuaciones diferenciales y a la física. Módulo1 Función primitiva o antiderivada Módulo2 Integral indefinida Módulo3 Regla de sustitución o cambio de variable Módulo4 Algunas aplicaciones de la inte- gral indefinida Ejercicios Módulos 1 al 4 La ley de caída de Galileo establece que todos los cuerpos caen en el mismo tiempo desde la misma altura, independientemente de su peso.
  • 2. 22
  • 3. 23Elementos básicos de cálculo integral y series 1Funciónprimitivaoantiderivada Contenidos del módulo Objetivos del módulo Preguntas básicas Introducción 1.1 Función primitiva o antiderivada 1.2Teorema 1 1. Presentar el concepto más importante de la integral indefinida, la primitivación o antiderivada, y sus nexos con la derivación de funciones. 1. Se puede demostrar, usando métodos de integración, que la función 3 2 ( ) 25 x f x x = + tiene las siguientes primitivas: 2 3 2 2 1 2 1 1 ( ) ( 25) 25( 25) , 3 F x x x C= + − + + 2 2 1 2 2 3 2 2 2 ( ) ( 25) ( 25) . 3 F x x x x C= + − + + Demuestre que F1 (x) = F2 (x). En el capítulo 3 del texto Elementos básicos de cálculo diferencial hemos estudia- do el siguiente problema: dada una función F(x), hallar su función derivada f (x), esto es, ( ) ( ).F x f x′ = En este módulo consideraremos el problema inverso: dada la función f (x), se precisa hallar otra función F(x) cuya derivada coincida con f (x). Esta función F que tratamos de buscar se llama primitiva o antiderivada de f (x). Gabrielle Émile le Tournelle de Breteuil Émile le Tournelle, conocida como la marquesa de Châtelet, estudió a Newton y Leibniz, tradujo al francés los Principia de Newton y contribuyó a divulgar los concep- tos del cálculo diferencial e integral. Émile, nacida en 1706 y fallecida en 1749, no respondía al prototipo de belleza de su época pues ya de niña era muy alta (1,65 m) y tenía las manos y los pies grandes. Tal vez por esto su padre, pensando que no iba a casarse, se preocupó de que recibiese una excelente educación. Sin embargo, a los diecinueve años se casó con el marqués de Châtelet y suspendió temporalmente sus estudios, pero los reanudó a los veintisiete años, después del nacimiento de su tercer hijo. En los salones de su residencia, en vez de frivolizar con conversaciones intrascenden- tes, Émile y sus invitados deliberaban con ardor sobre problemas matemáticos. A tanto llegó su pasión por esta actividad académica que mandó que le confeccio- naran unas ropas de hombre, y con sus piernas enfundadas en calzas y calzones logró entrar vitoreada por sus colegas en el café Gradot de París, en donde se reunían matemáticos y científicos y al cual se le había prohibido la entrada por ser mujer. Émile le Torunelle escribió Las instituciones de la física, libro que contiene uno de los capítulos más interesantes sobre cálculo infinitesimal.
  • 4. 24 1.1 Funciónprimitivaoantiderivada Definición Sea f una función definida en un intervalo I. Una función F (x) se llama primitiva o antiderivada de f (x) en I si F es diferenciable y ( ) ( )F x f x′ = para todo x en I. Ejemplo1 Sea 3 2 ( ) 4 8 4 5.f x x x x= + − + Son primitivas de f (x) las siguientes funciones: 4 3 2 1 8 ( ) 2 5 6 3 F x x x x x= + − + − , 4 3 2 2 8 ( ) 2 5 4. 3 F x x x x x= + − + + En efecto, 3 2 1 2( ) ( ) 4 8 4 5 ( ).F x F x x x x f x′ ′= = + − + = Ejemplo2 Sea ( ) sec .f x x= Son primitivas de f (x) las siguientes funciones: 1 2( ) ln(sec tan ) 3, ( ) ln(sec tan ) 2.F x x x F x x x= + + = + − En efecto, 1 2( ) ( ) (ln (sec tan ) 3) (ln (sec tan ) 2).x xF x F x D x x D x x′ ′= = + + = + − 1 (sec tan ) sec tan xD x x x x = + + (RD26) 21 (sec tan sec ) sec tan x x x x x = ⋅ ⋅ + + (RD15yRD13) 1 sec (tan sec ) sec tan x x x x x = ⋅ + + sec ( ).x f x= = Observación En los ejemplos anteriores es fácil ver que si una función dada f (x) tiene función primitiva F(x) ésta no es única. Así, en el ejemplo 1 las funciones F1 (x) y F2 (x) figuran como funciones primitivas de f (x), o en general, cualquier función de la Capítulo 1: Integral indefinida Vea el módulo 1 del programa de televisión Elementos básicos de cálculo integral y series
  • 5. 25Elementos básicos de cálculo integral y series forma 4 3 28 ( ) 2 5 , 3 F x x x x x C= + − + + donde C es una constante, es también pri- mitiva de f (x). Por otra parte, puede demostrarse que las funciones de la forma 4 3 28 ( ) 2 5 3 F x x x x x C= + − + + abarcan todas las funciones primitivas de 3 2 ( ) 4 8 4 5,f x x x x= + − + lo cual se deduce fácilmente del siguiente teorema. 1.2 Teorema 1 Si F1 (x) y F2 (x) son dos funciones primitivas de f (x) en un intervalo I, entonces la diferencia entre ellas es una constante. Demostración Designemos por 1 2( ) ( ) ( ).x F x F xϕ = − (1) Como F1 (x) y F2 (x) son dos funciones primitivas de f (x) en un intervalo I, se tiene, de acuerdo con la definición, 1 ( ) ( ),F x f x′ = (2) 2 ( ) ( ).F x f x′ = (3) Ahora, de (1), (2) y (3), se tiene 1 2( ) ( ) ( ) 0.x F x F xϕ ′ ′′ = − = En conclusión, ( ) 0,xϕ′ = y de acuerdo con el ejercicio 19 del módulo 28 del texto Elementos básicos de cálculo diferencial, se deduce que existe una constante C tal que ( ) ,x Cϕ = es decir, 1 2( ) ( ) ( ) .x F x F x Cϕ = − = Observación Del teorema anterior se deduce que si F(x) es una primitiva de f (x), entonces ( ) ( )G x F x C= + también lo es, y G(x) así definida se denomina primitiva más general de f. Módulo 1: Función primitiva o antiderivada
  • 6. 26
  • 7. 27Elementos básicos de cálculo integral y series 2Integralindefinida Contenidos del módulo Objetivos del módulo Preguntas básicas Introducción 2.1 Integral indefinida 2.2 Primeras fórmulas de integración 1. Presentar las propiedades de la integral indefinida o primeras fórmulas de integra- ción y su demostración simple con base en las fórmulas de derivación correspon- dientes, y mostrar cómo usarlas en la solución de ejercicios. 2. Construir, usando las reglas básicas de derivación y diferenciales, una primera tabla de integrales. Diga si las siguientes igualdades son verdaderas o falsas: 1. ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) .f x g x dx f x dx g x dx⋅ = ⋅∫ ∫ ∫ Justifique su respuesta. 2. ( )( ) ( ) ( ) f x dxf x dx g x g x dx = ∫ ∫ ∫ . Justifique su respuesta. En el módulo 1 definimos la primitiva o antiderivada de una función f, y también la primitiva más general de f. Esta última es la que se conoce como la integral indefini- da de f. En este módulo mostraremos que en muchos casos puede ser calculada mediante la operación «inversa» de la derivación, la cual llamaremos antidiferenciación o integración. Arquímedes de Siracusa Arquímedes, considerado por muchos como el más grande de los matemáticos de la antigüedad, nació en el año 287 a.C. y murió en el 212. Pasó casi toda su vida en su ciudad natal de Siracusa, aunque se sabe que visitó Egipto al menos en una ocasión. La fama de Arquímedes se basa fun- damentalmente en sus numerosos descu- brimientos matemáticos. Halló, por ejemplo, un valor aproximado del número pi con un error muy pequeño. Calculó volúmenes y áreas, algunos muy difíciles, entre ellos el volumen de la esfera, y demostró el siguiente resultado fundamental del que se sentía particularmente orgulloso: «Los volúmenes de un cono, de una semiesfera y de un cilindro, todos de la misma altura y radio, se encuentran en la razón 1:2:3». Consi- derado este teorema con la perspectiva que nos da la historia, era verdaderamente un resultado excepcional para la época. La pureza de su matemática en las obras De la esfera y del cilindro, De los conoides y esferoides, De las espirales, y la originalidad de sus nuevas ideas (método de exhaución, cuadratura del segmento de parábola), en las que se puede ver el germen del cálculo infinitesimal de Newton y Leibniz, se unen y se complementan armoniosamente con sus trabajos sobre estática e hidrodinámica, poniendo de manifiesto cómo las dos matemáticas (la pura y la aplicada) se complementan mutuamente, de manera que Escuche el audio ¡Eureka! Arquí- medes y el cálculo integral en su multimedia de Elementos básicos de cálculo integral y series.
  • 8. 28 2.1 Integral indefinida Definición Si F(x) es una función primitiva de f (x), la expresión F(x) + C se llama integral indefinida de la función f (x) y se denota por el símbolo ( ) .f x dx∫ Esto es: ( ) ( ) .f x dx F x C= +∫ En este caso f (x) se llama integrando (o función bajo el signo de integral), C se llama constante de integración y dx indica que la variable de integración es la letra x. Observaciones 1. El significado geométrico de la integral indefinida es una familia de curvas, una para cada valor de C. 2. Toda función continua f (x) en el intervalo [ , ]a b tiene una función primitiva y por consiguiente una integral indefinida. Sin embargo, no siempre es po- sible encontrar la integral indefinida (primitiva más general) de una función continua en [ , ]a b como sucede por ejemplo con la función 4 ( ) 1f x x= + . Más adelante estudiaremos métodos que permiten determinar las funciones primitivas (y por consiguiente las integrales indefinidas) de ciertas clases de funciones. 3. De la definición anterior podemos deducir lo siguiente: a. La derivada de una integral indefinida es igual al integrando. Es decir, ( ) ( ), d f x dx f x dx =∫ o también, ( )( ) ( ) .d f x dx f x dx=∫ b. Como ( ) ( ),F x f x′ = entonces ( ) ( ) .dF x f x dx= Por tanto, ( ) ( ) .dF x F x C= +∫ De acuerdo con la observación 3, podemos obtener fórmulas de integración a partir de las fórmulas de diferenciación. Usaremos las siguientes fórmulas que aparecen en el teorema 1 y cuya igualdad podemos comprobar mediante la derivación; es decir, se puede verificar que la derivada del segundo miembro es igual a la derivada delprimermiembro. Capítulo 1: Integral indefinida cada una actúa como estímulo y ayuda para la otra y forman en conjunto una única y bien definida línea de pensamiento. Arquímedes fue además un genio de la mecánica. Entre sus inventos más célebres se encuentra el «tornillo de Arquímedes», utilizado en muchos países, entre ellos España, para extraer agua de los pozos. Construyó también planetarios que, pese a la lejanía en el tiempo, eran tan populares como lo son en la actualidad. Sin embargo, no fueron sólo los inventos «pacíficos» los que dieron a Arquímedes su gran fama en la antigüedad, sino también su contribución a la defensa de Siracusa contra los romanos. Este matemático había dotado al ejército de dicha ciudad de armas muy modernas, las cuales causaron el desconcierto total entre los soldados romanos. Los historiadores de la época no describen los «espejos ustorios» (espejos cóncavos que, puestos de frente al Sol, reflejan sus rayos y los reúnen en el punto llamado foco, produciendo un calor capaz de quemar, fundir y hasta volatilizar los cuerpos allí colocados), pero sí lo hacen los posteriores. Fueron mencionados por primera vez por Galeno (el más destacado médico de aquellos tiempos, después de Hipócrates). Si realmente existieron, debió tratarse de alguna especie de espejo parabólico. Según cuenta la leyenda, durante el asedio de las tropas romanas a Siracusa, en el año 213 a.C., fueron capaces de concentrar los rayos de sol en una zona muy reducida, que de esta forma, dirigidos hacia la armada romana, provocaron el incendio de las naves. Arquímedes los situó de forma que los rayos llegaran paralelos al eje y que, una vez concentrados, apuntaran a las velas de los barcos enemigos. Muy pronto los romanos vieron atónitos cómo las velas de sus barcos ardían como por arte de magia.
  • 9. 29Elementos básicos de cálculo integral y series 2.2 Primeras fórmulas de integración Teorema 1 1F : .dx x C= +∫ 2F : ( ) ( ) ,af x dx a f x dx=∫ ∫ siendo a una constante. [ ]3 1 2 1 2F : ( ) ( ) ( ) ( ) .f x f x dx f x dx f x dx+ = +∫ ∫ ∫ Generalización: [ ]1 2 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .n nf x f x f x dx f x dx f x dx+ + + = + +∫ ∫ ∫… … 1 4F : , 1 n n x x dx C n + = + +∫ si 1n ≠ − y n real. El ejemplo siguiente ilustra la manera de usar las fórmulas anteriores en el proceso de integración. Ejemplo1 Resuelva cada una de las siguientes integrales indefinidas: a. 2 ( ) , , ,kx px t dx k p t+ +∫ constantes. b. ( )3 3 4 .w w dw+∫ c. 2 2 3 1 .x dx x ⎛ ⎞ +⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∫ Solución a. 2 2 3 2 2 3 2 1 2 3 4 3 2 ( ) (F ) (F ) ( ) (F ) 3 2 , 3 2 kx px t dx kx dx pxdx t dx k x dx p xdx t dx x x k C p C t x C x x k p tx C + + = + + = + + ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = + + + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ = + + + ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ donde 1 2 3C kC pC tC= + + . Módulo 2: Integral indefinida Vea el módulo 2 del programa de televisión Elementos básicos de cálculo integral y series El ejército de Siracusa fue así capaz de destruir la armada de los invasores. Experimentalmente se ha demostrado que la leyenda es creíble, como probó en 1747 el conde de Bufón (Georges Louis Leclerc, 1707-1788, naturalista francés, autor de uno de los primeros tratados globales de historia de la biología y la geología no basados en la Biblia). Sin embargo, Siracusa cayó en manos romanas a causa de una traición y Arquímedes fue asesinado. El general romano Marcelo, a modo de desagravio, mandó erigir para Arquímedes una tumba sobre la cual se veía una esfera circunscrita por un cilindro que simbolizaba, de acuerdo con sus deseos, su teorema favorito sobre los volúmenes del cono, el cilindro y la esfera. Cuando Cicerón visitó Sicilia pudo ver todavía el monumento que se ha perdido para la historia. Aunque no de una manera explícita, Arquímedes contribuyó a la aplicación de las matemáticas. En efecto, en su obra Equilibrio trató el problema de la palanca, que, junto a la cuña, el plano inclinado, el rodillo y la polea, componía la colección de las sencillas máquinas utilizadas en la antigüedad para construcciones tan asombrosas como las pirámides de Egipto, los templos griegos y los acueductos romanos. Se sirvió libremente de la noción de baricentro o centro de gravedad de un cuerpo como si la conociese y le fuese familiar. Casi dieciocho siglos más tarde Galileo Galilei y el matemático holandés Simón Stevin construyeron la teoría de la estática, esto es, una teoría del equilibrio para complicados sistemas mecánicos.
  • 10. 30 b. ( ) 11 32 11 32 11 32 3 4 32 3 2 3 11 1 2 4 1 2 3 3 4 (3 4 ) 3 4 (F yF ) 3 4 (F ) 1 1 1 1 2 3 2 3 3 4 2 3 . w w dw w w dw w dw w dw w w C C w C w C w w w w C ++ + = + = + ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎢ ⎥ = + + +⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥+ + ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ = + + + = + + ∫ ∫ ∫ ∫ Como 1 23 4C C+ es una constante arbitraria, la hemos denotado por C. Al aplicar la F3 para cada ( )if x dx∫ aparece una constante Ci . Entonces podemos evaluar cada ( )if x dx∫ sin escribir la constante Ci , pero al final escribimos C para indicar la suma de todas las constantes. c. 5 2 3 3 5 2 3 3 8 1 3 3 2 2 4 3 4 5 1 ( 2 ) 2 3 3 . 5 4 x dx x x x dx x x dx x dx x dx x x x C − − ⎛ ⎞ + = + +⎜ ⎟ ⎝ ⎠ = + + = + + + ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ Capítulo 1: Integral indefinida
  • 11. 31Elementos básicos de cálculo integral y series 3Regla de sustitución o cambio de variable Contenidos del módulo Objetivos del módulo Preguntas básicas Introducción 3.1 Teorema 1: Regla de sustitución o cambio de variable 3.2 Ejemplos ilustrativos del uso de la regla 1. Enunciar y demostrar la regla de sustitución y hacer notar que es uno de los métodos más importantes en el cálculo de integrales indefinidas. 2. Ilustrar con ejemplos el uso de la regla de sustitución. 1. En el módulo 2 se calculó la integral 2 2 3 1 x dx x ⎛ ⎞ +⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∫ desarrollando el binomio al cuadrado y usando las fórmulas del teorema 1. ¿Cómo sepodría evaluar la integral ( ) 40 5 3x dx+ ⋅∫ ? Las primeras fórmulas de integración en el teorema del módulo anterior permiten evaluar o calcular la integral indefinida de un número muy limitado de funciones. Supongamos ahora que deseamos determinar la integral indefinida 2 3 3 1 .x x dx+∫ En este caso ninguna de las fórmulas de integración nos permite calcular en forma directa la primitiva de 2 3 ( ) 3 1,f x x x= + aunque sabemos que dicha primitiva existe. Daremos una regla llamada integración por sustitución o integración por cambio de variable, por medio de la cual podemos evaluar muchas integrales inde- finidas que no pueden calcularse en forma directa. Jacques (Jacob) Bernoulli Jacques Bernoulli nació el 27 de diciembre de 1654 en Basilea, Suiza, y falleció el 16 de agosto de 1705 en la misma ciudad. Jacob era hermano de Johann (o Jean) Bernoulli y tío de Daniel Bernoulli, otros dos matemáticos de renombre que hicieron aportes importantes al primitivo desarrollo del cálculo. Obtuvo el grado de teología en Basilea en el año 1676 y recibió enseñanzas en matemáticas y astronomía contra los deseos de sus padres. En los años 1676 y 1682 Jacques Bernoulli viajó a lo largo de Francia, Inglaterra y los países nórdicos, y luego se reunió en Inglaterra con Robert Boyle (uno de los fundadores de la química moderna) y Robert Hooke (conocido por su estudio de la elasticidad). Después retornó a Suiza y enseñó mecánica y matemáticas en la Universidad de Basilea. En una disputa matemática con su hermano Johann inventó el cálculo de las variaciones. También trabajó en la teoría de la probabilidad. La «distribución de Bernoulli», la «ecuación diferencial de Bernoulli» y los «números de Bernoulli» fueron deno- minados así en su honor. Muchas de sus publicaciones fueron sobre series finitas. Jacques Bernoulli fue el primero en usar el término integral en el año 1690. Utilizó tempranamente las coordenadas polares y descubrió el isócrono, o curva que se forma al caer verticalmente un cuerpo con velocidad uniforme. Estudió la espiral equiangular o logarítmica (que aparece en la naturaleza en lugares muy dispares, como telas de araña, conchas, disposiciones de semillas, espirales de nebulosas...). Tan orgulloso estaba de haber descubierto que la espiral permanece igual a sí misma bajo tantas transformaciones geométricas que pidió fuese grabada en su lápida junto a la expresión «eadem mutata resurgo» («aunque cambiado, resurgiré»). Y así se puede ver en la tumba del matemático en Basilea, aunque con una salvedad: el
  • 12. 32 3.1 Teorema 1: Regla de sustitución o cambio de variable Sea u = g(x) una función diferenciable cuyo rango es un intervalo I, y sea f una función definida en I y F una primitiva de f en I. Entonces: ( ( )) ( ) ( ) ( ) ( ( )) .f g x g x dx f u du F u C F g x C′ = = + = +∫ ∫ Demostración Puesto que u = g(x), y como el rango de g es I, se concluye entonces que u está en I. Como F es una primitiva de f en I, se tiene que ( ) ( )F x f x′ = para todo x en I. En particular, ( ) ( )F u f u′ = ó ( ) ( ). d F u f u du = (1) De aquí se tiene que ( ) ( ) .f u du F u C= +∫ (2) Ahora, ( ( )) ( ),F g x F u= y derivando en ambos miembros con respecto a x se tiene: ( ( )) ( ) ( ) · (regla dela cadena) ( ) · (sustituyendo la ecuación (1)) ( ( )) ( ). d d F g x F u dx dx d du F u du dx du f u dx f g x g x = = = ′= De esta última igualdad se sigue que F(g(x)) es una primitiva de ( ( )) ( ),f g x g x′ y por tanto ( ( )) ( ) ( ( )) ,f g x g x dx F g x C′ = +∫ (3) y como u = g(x), ( ( )) ( ) ( ) .f g x g x dx F u C′ = +∫ (4) De la igualdad entre (2) y (4) resultan las dos primeras igualdades del teorema. La última igualdad se obtiene de comparar (3) y (4). Observación La regla de sustitución es uno de los métodos más importantes del cálculo de integrales indefinidas. Inclusive, cuando se utiliza cualquier otro método por lo general en los pasos intermedios recurrimos a la regla de sustitución. Capítulo 1: Integral indefinida cantero cometió un lapsus y en lugar de la espiral logarítmica dibujó en la tumba una espiral de Arquímedes. En su epitafio se lee: «Amado por su familia: Jacob Bernoulli, el incomparable matemático, más de dieciocho años profesor de la Universidad de Basilea, miembro de las Reales Academias de París y Berlín, famoso por sus escritos, por una enfermedad crónica, completamente lúcido hasta su muerte, en el año de gracia de 1705, el 16 de agosto, a la edad de 50 años y 6 meses, falleció esperando la resurrección. Judith Stupan, su mujer durante veinte años, ha erigido un monumento junto con sus dos hijos al marido y padre que tanto echan de menos». Pero la historia de la espiral tiene más para decir, porque un antiguo conocido, miembro de una familia de genios irrepetible, se maravilló tanto con esta curva que la llamó «espiral maravillosa». Y no es para menos, si tenemos en cuenta algunas de las cosas que consiguió con la curva. Veamos: 1. La expresó en polares mediante el logaritmo 1 log , r k c =θ donde c y k son constantes y θ es el ángulo de giro (lo cual justifica su otro nombre de «espiral logarítmica»). 2. También verificó que mientras que el ángulo de giro aumenta en progresión aritmética, el radio correspondiente lo hace en progresión geométrica. Dicho de otra manera: la separación de las espiras aumenta al crecer el ángulo. 3. Verificó su autosemejanza (o sea que es invariable), lo que la emparenta con los fractales.
  • 13. 33Elementos básicos de cálculo integral y series 3.2 Ejemplos ilustrativos del uso de la regla Los ejemplos siguientes ilustran el uso de la regla conjuntamente con las fórmulas de integración presentadas en el módulo anterior. Ejemplo1 Sea g(x) una función diferenciable. Demuestre que: [ ] [ ] 1 ( ) ( ) ( ) , 1, 1 n n g x g x g x dx C n n n + ′ = + ≠ − +∫ real. Solución Sea u = g(x); entonces, ( )du g x dx′= . Por tanto, [ ] [ ] 1 4 1 ( ) ( ) ; 1 (por F ) 1 ( ) . 1 n n n n g x g x dx u du n u C n g x C n + + ′ = ≠ − = + + = + + ∫ ∫ Ejemplo2 Calcule las siguientes integrales indefinidas: a. 2 3 1 x dx x + ∫ ; b. 2 1t t dt−∫ ; c. 1 . x dx x + ∫ Solución a. Sea 3 1u x= + ; entonces, 2 3 ,du x dx= de donde 2 1 . 3 x dx du= Luego 1 1 2 2 2 3 1 2 , 3 331 x dx du u du u C ux − = = = + + ∫ ∫ ∫ y como 3 1,u x= + se tiene finalmente 1 2 2 3 3 2 ( 1) . 31 x dx x C x = + + + ∫ b. Sea 1.u t= − (1) Entonces, du dt= y 2 2 .t dt t du= (2) De (1) se tiene que 1,t u= + y sustituyendo en el segundo miembro de (2) obtenemos: 2 2 ( 1) .t dt u du= + Módulo 3: Regla de sustitución o cambio de variable Vea el módulo 3 del programa de televisión Elementos básicos de cálculo integral y series «El cálculo es así una puerta abierta milagrosamente; aún las teorías físicas más complejas y profundas llevan un rastro de sus más simples ecuaciones diferenciales y una huella de su arquitectura global». David Berlinski
  • 14. 34 Luego 5 3 1 2 2 2 7 5 3 2 2 2 7 5 3 2 2 2 2 2 1 ( 1) ( 2 ) 2 4 2 7 5 3 2 4 2 ( 1) ( 1) ( 1) . 7 5 3 t t dt u u du u u u du u u u C t t t C − = + = + + = + + + = − + − + − + ∫ ∫ ∫ Otra manera de calcular la integral anterior es haciendo la sustitución 2 1u t= − y 2 2 2 2 ( 1) .t dt u u du= + Verifique la solución. c. Sea 1 ;u x= + entonces, , 2 dx du x = de donde 2 .dx x du= Luego 3 2 3 2 3 1 4 ·2 3 4 (1 ) 3 4 (1 ) . 3 x dx u du u C x x C x C + = = + = + + = + + ∫ ∫ Capítulo 1: Integral indefinida
  • 15. 35Elementos básicos de cálculo integral y series 4Algunas aplicaciones de la integral indefinida Contenidos del módulo Objetivos del módulo Preguntas básicas Introducción 4.1Algunas aplicaciones de la integral indefinida 4.1.1Aplicaciones a las ecuaciones diferenciales de primer orden 4.1.2Aplicaciones a la física: movimiento rectilíneo 1. Usar el método directo para resolver algunas ecuaciones diferenciales de primer y segundo orden. 2. Usar el supuesto de que los cuerpos en caída libre sólo están bajo la acción de la gravedad y de esta manera usar la integral indefinida para determinar la ecuación de movimiento del objeto en cualquier tiempo t. 1. Demuestre que si f cf′ = para algún número x, entonces ( ) c x f x k e ⋅ = ⋅ para algún número k. 2. La ley del enfriamiento de Newton afirma que un objeto se enfría en razón proporcional a la diferencia entre su temperatura y la temperatura ambiente. DemuestrequelatemperaturaT(t)delobjetoeneltiempot,entérminosdesu temperatura 0T en el tiempo 0, y suponiendo que la temperatura ambiente A permanece cons- tante, viene dada por la fórmula 0( ) ,c t T t A T e ⋅ = + ⋅ en donde c es la constante de proporcionalidad. En el estudio de las ecuaciones diferenciales ordinarias a veces puede ser muy difícil resolver una ecuación diferencial de primer orden, ya que no existe un método general que pueda usarse en todos los casos. En este módulo ilustraremos con algunos ejemplos sencillos el método directo de solución, dejando el tratamiento completo para el curso de ecuaciones diferenciales ordinarias. Igualmente, en las aplicaciones a la física supondremos que los objetos de estudio están bajo la acción de la gravedad, y por medio de integraciones podemos conocer la ecuación de movimiento del objeto y así responder preguntas relativas al movi- miento. Oliver Heaviside El físico inglés Oliver Heaviside nació en Londres en 1850 y murió en Torquay en 1925. Carente de formación universitaria, Heaviside comenzó en el mundo laboral trabajando como operador de telégrafos, hasta que la sordera le obligó a abandonar su empleo. Nunca alcanzó puesto aca- démico alguno pese a haber recibido nume- rosos honores y murió en la pobreza. Heaviside solía trabajar sin colaboradores y en soledad logró desarrollar gran parte de los fundamentos matemáticos que sustentan la teoría de la telegrafía y de los circuitos eléctricos, formulando los ahora familiares conceptos de impedancia, autoinductancia y conductancia, y empleó los números complejos en el análisis de las redes de corrientes alternas varios años antes de que otros lo hicieran. También mostró cómo procede la transmisión de señales auditivas a lo largo de cables y sin sufrir distorsiones, proponiendo un método consistente en utilizar una única línea telefónica para canalizar diversas con- versaciones simultáneamente (sistema multiplex). Como consecuencia del éxito de Guglielmo Marconi (ingeniero electrotécnico italiano, premiado con el Nobel y conocido como el inventor del primer sistema práctico de señales de radio) tras haber transmitido señales de radio a través del Atlántico, Heaviside sugirió en 1902 que en la zona superior de la atmósfera tenía que existir una capa reflectora, pues, de lo contrario, la curvatura de la Tierra habría impedido la recepción de las señales de radio. La existencia de la capa de Heaviside (que resultó ser la ionosfera, y a la cual se denominó capa Kennelly-Heaviside porque la predicción de su existencia fue realizada también en 1902, en forma independiente, por el ingeniero estadounidense Edwin Kennelly) fue demostrada experimentalmen- te veinte años después, de la mano del físico
  • 16. 36 4.1 Algunas aplicaciones de la integral indefinida 4.1.1 Aplicaciones a las ecuaciones diferenciales de primer orden A la ecuación ( ) dy f x dx = o al diferencial ( )dy f x dx= se le llama ecuación dife- rencial de primer orden. Resolver una ecuación diferencial es encontrar todas las funciones ( )y G x= que satisfagan la ecuación diferencial. Si y = F(x) es una primitiva de f (x), también lo es F(x) + C. Entonces podemos decir que todas las funciones que satisfacen la ecuación dife- rencial ( ), dy f x dx = cuando F es la primitiva de f, son de la forma: y = F(x) + C. (1) Esta ecuación se llama solución general de la ecuación diferencial. En los problemas que incluyen ecuaciones diferenciales frecuentemente se desea encontrar soluciones particulares y para ello se dan unas condiciones llamadas condiciones iniciales o condiciones de frontera. Así por ejemplo, resolver la ecuación 2 1, dy x dx = + tal que y = 3 cuando x = 1, consiste en hallar la solución general y emplear luego la condición inicial para encontrar el valor particular de C, obteniéndose así la solución particular que satis- face la condición dada. Para la ecuación del ejemplo anterior se puede verificar que 2 y x x C= + + es la solución general. Como y = 3 cuando x = 1, resulta entonces que y = x2 + x + 1 es una solución particular. Gráficamente, la solución general 2 y x x C= + + representa una familia de parábo- las, una por cada valor de C (figura 4.1). La solución particular y = x2 + x + 1 es una parábola abierta hacia arriba y cuyo vértice es el punto 1 3 , 2 4 ⎛ ⎞ −⎜ ⎟ ⎝ ⎠ . Capítulo 1: Integral indefinida y premio Nobel Edgard Victor Appleton. A pesar de que casi todos los primeros trabajos de Heaviside fueron ignorados, lo que acentuó su amargura y retraimiento, sus valiosas contribuciones fueron reconocidas finalmente, cuando fue elegido miembro de la Royal Society de Londres en 1891. El último volumen de su Teoría electromagnética, que no había llegado a publicarse, fue destrozado por unos ladrones, y sólo sabemos en la actualidad que Heaviside trató de describir en el volumen perdido una teoría unificada de los campos, en la que combinaba electromagnetismo y gravitación. Heaviside quedó fascinado al leer el Tratado sobre electricidad y magnetismo de Maxwell. Comenzó a desarrollar sus propias ideas sobre el tema y logró simplificar las ecuaciones que proponía este famoso físico usando un método de cálculo operacional que él mismo desarrolló (de hecho, lo que hoy llamamos ecuaciones de Maxwell son la versión simplificada propuesta por Heaviside). Sin embargo, los métodos de Heaviside causaron gran controversia entre sus contemporáneos y su validez tardó algún tiempo en ser demostrada.
  • 17. 37Elementos básicos de cálculo integral y series Figura 4.1 Ejemplo1 Sea la ecuación diferencial 2 . dy x dx = − (1) a. Halle la solución general. b. Halle la solución particular si y = 1 cuando x = 2. Solución a. De (1) tenemos que 2 ,dy xdx= − y si integramos en ambos lados de esta última ecuación obtenemos: 2 1 2 2 2 1 ( 2 ) , , ( ). dy x dx y C x C y x C C = − + = − + = − + − ∫ ∫ Sea 2 1k C C= − ; entonces, 2 ,y x k= − + (2), es la solución general de (1). b. Si se sustituyen las condiciones iniciales en (2) se obtiene 1 4 ,k= − + de donde k = 5. Por tanto la solución particular a la ecuación diferencial es 2 5.y x= − + La solución general es una familia de parábolas y una solución particular es la parábola que pasa por el punto (2, 1) (figura 4.2). Módulo 4: Algunas aplicaciones de la integral indefinida Vea el módulo 4 del programa de televisión Elementos básicos de cálculo integral y series «Arquímedes, uno de los más impor- tantes de todos los matemáticos, fue el hombre práctico de sentido común, el Newton de su época, que poseía la habilidad imaginativa y la perspicacia para tratar la geometría y la mecánica, y que incluso inventó el cálculo integral». Herbert W. Turnbull
  • 18. 38 Figura 4.2 Ejemplo2 Encuentre la solución general a la ecuación diferencial 2 2 2 3. d y x dx = + (1) Solución A pesar de que esta ecuación no presenta la forma de una ecuación diferencial de primer orden, puede ser transformada a una ecuación de dicha forma de la siguiente manera: Sea dy u dx = ; entonces 2 2 . du d y dx dx = Luego la ecuación (1) queda como sigue: 2 3, du x dx = + de donde (2 3) .du x dx= + Por tanto, (2 3) .du x dx= +∫ ∫ Y resolviendo las integrales obtenemos: ( ) 2 3 ,u x x x k= + + Es decir, 2 3 dy u x x k dx = = + + o 2 ( 3 ) .dy x x k dx= + + Capítulo 1: Integral indefinida
  • 19. 39Elementos básicos de cálculo integral y series Entonces 2 ( 3 ) ,dy x x k dx= + +∫ ∫ y resolviendo las integrales obtenemos finalmente: 3 2 3 , 3 2 x x y kx C= + + + que es la solución general a la ecuación diferencial (1). Observaciones La ecuación diferencial del ejemplo anterior se llama ecuación diferencial de se- gundo orden. Para obtener la solución general fue necesario efectuar dos operaciones de integra- ción, de ahí que aparezcan dos constantes arbitrarias. Si se quiere obtener una solución particular es necesario dar dos condiciones iniciales. Ejemplo3 En cualquier punto (x, y) de una curva se verifica que 2 2 2 1 , d y x dx = − y la ecuación de la recta tangente a la curva en el punto (1, 1) es 2 .y x= − Encuentre la ecuación de la curva. Solución Debemos buscar una solución a la ecuación diferencial 2 2 2 1 d y x dx = − con las si- guientes condiciones iniciales: a. y = 1 cuando x = 1. b. 1 dy dx = − cuando x = 1 (puesto que la pendiente de 2y x= − es –1). Sea ; dy u dx = entonces, 2 2 du d y dx dx = . Luego 2 1 , du x dx = − de donde 2 (1 ) .du x dx= − En consecuencia, 2 (1 ) ,du x dx= −∫ ∫ Módulo 4: Algunas aplicaciones de la integral indefinida
  • 20. 40 y por tanto, 3 ( ) . 3 x u x x C= − + (1) Si reemplazamos u por dy dx obtenemos: 3 , 3 dy x u x C dx = = − + de donde 3 . 3 x dy x C dx ⎛ ⎞ = − +⎜ ⎟ ⎝ ⎠ Entonces 3 , 3 x dy x C dx ⎛ ⎞ = − +⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∫ ∫ y por tanto, 2 4 . 2 12 x x y Cx k= − + + (2) La ecuación (2) es la solución general. Para conocer los valores de C y k utilizamos las condiciones iniciales. Utilizando las condiciones iniciales b en (1) obtenemos: 1 1 1 , 3 C− = − + de donde 5 . 3 C = − Utilizando el valor de C y las condiciones iniciales a en (2) obtenemos: 1 1 5 1 1 , 2 12 3 k ⎛ ⎞ = − + − +⎜ ⎟ ⎝ ⎠ de donde 9 4 k = . Entonces la ecuación de la curva que pasa por (1, 1) y cuya recta tangente tiene pendiente –1 en dicho punto es 2 4 5 9 2 12 3 4 x x y x= − − + . 4.1.2 Aplicaciones a la física: movimiento rectilíneo En el módulo 20 del texto Elementos básicos de cálculo diferencial vimos que cuando la ecuación de movimiento de un móvil está dada por ( ),s f t= la velocidad instantánea está dada por ( ), ds v f t dt ′= = y la aceleración instantánea por 2 2 ( ). d s dv a f t dtdt ′′= = = Capítulo 1: Integral indefinida
  • 21. 41Elementos básicos de cálculo integral y series Teniendo en cuenta aquel desarrollo, veamos ahora que es posible encontrar la ecuación de movimiento de un móvil dada la velocidad o la aceleración. Ejemplo1 Una piedra es lanzada verticalmente hacia arriba desde el suelo, con una velocidad inicial de 20 m/s (figura 4.3). ¿Cuánto tiempo tardará la piedra en llegar al suelo y con qué velocidad llegará? ¿Durante cuánto tiempo estará subiendo la piedra y qué tan alto llegará? (utilice como aceleración de la gravedad 2 10 m/sg = ). Solución Sean s: la posición de la piedra al cabo de t segundos. v: la velocidad de la piedra en t segundos. :a g= − la aceleración de la gravedad, que consideramos constante. Figura 4.3 Condiciones iniciales: 20 m/sv = cuando t = 0; s = 0 cuando t = 0. Para simplificar la escritura prescindiremos inicialmente de las unidades y al final las retomaremos. Como 10, dv dt = − se tiene que 10 .dv dt= − Por tanto, 10 ,dv dt= −∫ ∫ luego 10v t C= − + . Si v = 20 cuando t = 0, entonces 20 10(0) ,C= − + de donde C = 20. Por tanto, se tiene que la velocidad en cualquier instante es 10 20.v t= − + (1) Pero , ds v dt = y en consecuencia 10 20, ds t dt = − + Módulo 4: Algunas aplicaciones de la integral indefinida
  • 22. 42 Capítulo 1: Integral indefinida de donde ( 10 20) , ( 10 20) , ds t dt ds t dt = − + = − +∫ ∫ y por tanto 2 15 20s t t C= − + + . Como s = 0 cuando t = 0, se deduce que C1 = 0. Es decir, la ecuación de movimiento en cualquier instante t es 2 5 20 .s t t= − + (2) De acuerdo con las ecuaciones (1) y (2) podemos obtener los resultados pedidos. Tiempo para llegar al suelo y velocidad con que llegará: Hacemos s = 0 en la ecuación (2). Entonces, 2 0 5 20 ,t t= − + de donde t = 0 ó t = 4 s. Es decir, t = 0 es en el momento de iniciarse el movimiento y t = 4 s es el tiempo que demora la piedra en caer al suelo. Si en (1) reemplazamos t = 4 s, obtenemos la velocidad con que la piedra llega al suelo. Es decir, 10(4) 20 20,v = − + = − esto es, 20 m/s.v = − Tiempo durante el cual está subiendo la piedra y máxima altura alcanzada: Hacemos v = 0 en la ecuación (1). Entonces, 0 10 20,t= − + de donde t = 2 s, y si este valor de t lo reemplazamos en (2) obtenemos la altura máxima alcan- zada por la piedra, es decir, 2 5(2) 20(2) 20 m.s = − + =
  • 23. 43Elementos básicos de cálculo integral y series Módulos 1 al 4 En los ejercicios 1 a 8 se dan las funciones f y F. Compruebe, usando derivación, que ( )F x es la primitiva más general de ( )f x . ¿Qué fórmula de integración puede deducirse en cada caso? 1. 2 3 ( ) = ; 1 x f x x+ 31 ( ) = ln (1 ) . 3 F x x C+ + 2. ( ) ln ;f x x= ( ) ln .F x x x x C= − + 3. 3 ( ) ln ;f x x x= 4 41 1 ( ) ln . 4 16 F x x x x C= − + 4. ( ) arctan ;f x x= 2 ( ) arctan ln 1 .F x x x x C= ⋅ − + + 5. 2 1 ( ) ; 4x f x e = + 21 1 ( ) ln ( 4) . 4 8 x F x x e C= − + + 6. 2 ( ) ;x f x x e− = 2 ( ) ( 2 2) .x F x e x x C− = − + + + 7. 2 ( ) sen 2 ;f x x= 1 1 ( ) sen 4 . 2 8 F x x x C= − + 8. 3 ( ) ( 3) ;x f x x e− = + 31 ( ) (3 10) . 9 x F x x e C− = − + + En los ejercicios 9 a 13 encuentre la primitiva más general para la función dada. 9. 2 ( ) 3 4 5.f x x x= + + 10. 2 3 1 3 ( ) .f t t t = + 11. 3 2 ( ) 1 .g x x x x= + − + 12. 2 2 2 ( ) . ( 1) x h x x = + 13. 1 2 ( ) ( 1) .f x x= + Capítulo 1: Integral indefinida
  • 24. 14. Calcule las siguientes integrales indefinidas: a. 5 .x dx∫ b. 2 ( ) .x x dx+∫ c. 2 1 4 2 .dx x x x ⎛ ⎞ + +⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∫ d. 3 2 ( 1) . x dx x + ∫ e. 2 1 .x x dx+∫ f. 2 3 . 1 t dt t + ∫ g. 5 3 1 .w w dw+∫ h. 1 3 4 3 2 ( 2) . r dr r + ∫ i. 3 2 3 8 .x x dx−∫ j. 2 ( 1) ( 2 8) .x x x dx+ + +∫ k. 2 3 2 ( 2) . 6 12 4 x dx x x x + + + + ∫ l. sen . x dx x ∫ m. 2 2 cos (cos ) sen .x x x dx⋅ ⋅∫ n. 2 sen (11 10) .x x dx⋅ −∫ o. sen (4 2) .x x e e dx⋅ +∫ p. 3 3 cos .x x e e dx⋅∫ q. 4tan 2 . cos x dx e x ⋅∫ r. 2 4 sen sen cos .x x x dx+ ⋅∫ s. 2 2 sen 4 . 4 x x dx x + + ∫ t. 2 3 8 3 9 ( 5) cos [( 5) ] .x x x dx+ ⋅ +∫ u. 2 2 cos ( 4) sen ( 4) .x x x dx+ +∫ v. 1 .t t t dt+∫ w. 2 cos (ln 4 ) . x dx x∫ x. 2 3 3 2 cos ( 2) . [sen ( 2)] t t dt t ⋅ − −∫ 15. Encuentre la solución general de las siguientes ecuaciones diferenciales. a. 3 3 2 5. dy x x dx = + − b. 2 (2 3) . dy x dx = + c. . dy x y dx = d. 2 3 . dy xy dx = En los ejercicios 16 a 19 halle la solución particular de las ecuaciones diferenciales dadas teniendo en cuenta las condiciones iniciales. 16. 2 1, si 3 cuando 0. dy x x y x dx = + = − = Ejercicios de los módulos 1 al 4
  • 25. 17. 4 , si 2 cuando 4. dy dx y x y x = = − = 18. 2 2 2 4(1 ) , si 2 y 1 cuando 1. d y x y y x dx ′= − = = − = − 19. 2 2 2 1 , si 1 y 1 cuando 1. d y x y y x dx ′= − = = − = 20. ¿Puede existir una curva que satisface las siguientes condiciones: cuando 0,x = entonces 0 y 1 dy y dx = = y 2 2 0 d y dx = para todo x? 21. Encuentre la ecuación de la curva que pasa por el punto (1, 1) y cuya pendiente en el punto (x, y) es 2 3 2.x + 22. Encuentre la ecuación de la curva que pasa por los puntos (0, 3) y (1, 5) y satisface la ecuación diferencial 2 2 2 3 . d y x x dx = + 23. Una pelota se lanza verticalmente hacia arriba desde el suelo con una velocidad de 10 m/s. ¿Cuánto tiempo le tomará llegar al suelo y con qué velocidad caerá? ¿Durante cuánto tiempo estará subiendo y qué tan alto llegará? (utilice como gravedad 2 10m /s ).g = 24. Un hombre en un globo deja caer un zapato cuando se encuentra a 100 m de altura y está subiendo a razón de 10 m/s. ¿Cuánto tiempo tardará el zapato en llegar al suelo y con qué rapidez llegará? ¿Cuál es la distancia recorrida por el zapato antes de caer? 25. Si los frenos de un carro pueden darle una aceleración negativa constante de 30 m/s, ¿cuál es la velocidad máxima a la que puede ir si es necesario parar el carro dentro de 90 m después de aplicados los frenos? En los ejercicios 26 a 29 halle la ecuación de una partícula que se mueve en línea recta y en donde , , ya v s t son la aceleración, velocidad, espacio y tiempo, respectivamente. 26. 2 3 , 1 y 1 cuando 0.a t s v t= + = = = 27. 100, 1 y 1 cuando 0.a s v t= = = = 28. 2 1 y 2 cuando 1.a s v s= + = = 29. 2 3 , 1 y 2 cuando 1.a t t v s t= − = = = Capítulo 1: Integral indefinida