El documento presenta los conceptos básicos de la esperanza matemática, los momentos y la covarianza de variables aleatorias discretas y continuas. Define la esperanza matemática, los momentos de orden r con respecto al origen y la media, la varianza y la desviación estándar. También introduce la función generatriz de momentos, los momentos producto, y los teoremas relacionados con combinaciones lineales de variables aleatorias. Finalmente, explica la técnica de transformación de variables y la función generatriz de momentos para sumas de variables aleatorias independientes.

1. Modelos Estocásticos Esperanza Matemática SESIÓN 04

2. Esperanza Matemática 1 Definición 4.1 : Si x es una variable aleatoria discreta y f(x) es el valor de su distribución de probabilidad en x, el valor esperado de esta variable aleatoria es E(x) =  x x  f(x) En forma correspondiente, si x es una variable aleatoria continua y f(x) es el valor de su densidad de probabilidad en x, el valor esperado de esta variable aleatoria es

3. Esperanza Matemática 2 Teorema 4.1 : Si x es una variable aleatoria discreta y f(x) es el valor de su distribución de probabilidad en x, el valor esperado de la variable aleatoria g( x ) es E[g( x )] =  x g(x)  f(x) En forma correspondiente, si x es una variable aleatoria continua y f(x) es el valor de su densidad de probabilidad en x, el valor esperado de la variable aleatoria g( x ) es

4. Esperanza Matemática 3 Teorema 4.2 : Si a y b son constantes, entonces E(a x +b) =a E( x ) + b Teorema 4.3 : Si c 1 , c 2 ,…, y c n son constantes, entonces

5. Esperanza Matemática 4 Teorema 4.4 : Si x y y son variables aleatorias discretas y f(x,y) es el valor de su distribución de probabilidad conjunta en (x,y), el valor esperado de la variable aleatoria g( x , y ) es E[g( x,y )] =  x  y g(x,y)f(x,y) En forma correspondiente, si x y y son variables aleatorias continuas y f(x,y) es el valor de su densidad conjunta en (x,y), el valor esperado de la variable aleatoria g( x,y ) es

6. Esperanza Matemática 5 Teorema 4.5 : Si c 1 , c 2 ,…, y c n son constantes, entonces

7. Momentos 1 Definición 4.2 : El r-ésimo momento con respecto al origen de la variable aleatoria x , representado por  ’ r, , es el valor esperado de x r ; en forma simbólica se tiene para r = 0, 1, 2 ,3,…, cuando x es discreta y cuando x es continua

8. Momentos 2 Definición 4.3 :  ’ r se conoce como la media de la distribución de x, o simplemente la media de x, y está denotada por  Definición 4.4 : El r-’esimo momento con respecto a la media de la variable aleatoria x, denotado por  r, , es el valor esperado de (x-  ) r, simbólica se tiene para r = 0, 1, 2 ,3,…, cuando x es discreta y cuando x es continua

9. Momentos 3 Definición 4.5 :  2 se denomina varianza de la distribución de x , o simplemente varianza de x , y se representa mediante  2 , var ( x ) o V( x ). La raíz cuadrada positiva de la varianza recibe el nombre de desviación estándar y se representa por  ( x ) Teorema 4.6 :  2 =  ’ 2 -  2

10. Momentos 4 Teorema 4.7 : Si x tiene varianza  2 entonces var (a x +b) = a 2  2 Teorema 4.8 : ( Teorema de Tchebycheff ) Si  y  son, respectivamente, la media y la desviación estándar de la variable aleatoria x , entonces para una constante positiva k cualquiera la probabilidad es cuando menos 1 - 1/k 2 de que x tomará un valor contenido en k desviaciones estándar de la media; en forma simbólica se tiene, o

11. Función Generatriz de Momentos 1 Definición 4.6 : La función generatriz de momentos de la variable aleatoria x , donde exista, está dada por cuando x es discreta y cuando x es continua

12. Función Generatriz de Momentos 2 Teorema 4.9 : Teorema 4.10 : Si a y b son constantes, entonces

13. Momentos Producto 1 Definición 4.7 : El r-ésimo y s-ésimo momento producto con respecto al origen de las variables aleatorias x y y , representado por  ’ r,s , es el valor esperado de x r y s ; en forma simbólica, se tiene para r = 0, 1, 2,… y s = 0, 1, 2,…, cuando x y y son discretas y cuando x y y son continuas

14. Momentos Producto 2 Definición 4.8 : El r-ésimo y s-ésimo momento producto con respecto a las medias respectivas de las variables aleatorias x y y , representado por  r,s , es el valor esperado de (x-  x ) r (y-  y ) s ; en forma simbólica, se tiene para r = 0, 1, 2,… y s = 0, 1, 2,…, cuando x y y son discretas y cuando x y y son continuas

15. Momentos Producto 3 Definición 4.9 :  1,1 recibe el nombre de covarianza de x y y , y se representa por medio de  x , y , cov ( x , y ) o C ( x , y ) Teorema 4.11:  x , y =  ’ 1,1 -  x  y Teorema 4.12: Si x y y son independientes, entonces E( xy ) = E( x ) E( y ) y  x , y = 0 Teorema 4.13: Si x 1 , x 2 , …y x n son independientes, entonces E( x 1 x 2 …x n ) = E( x 1 ) E( x 2 ) …E( x n )

16. Momentos de Combinaciones Lineales 1 Teorema 4.14: Si x 1 , x 2 , …y x n son variables aleatorias y donde a 1 , a 2 ,…a n son constantes, entonces donde la doble suma se extiende sobre todos los valores de i y j, de 1 a n, para los cuales i < j

17. Momentos de Combinaciones Lineales 2 Corolario: Si las variables aleatorias x 1 , x 2 , …y x n son independientes y entonces

18. Momentos de Combinaciones Lineales 3 Teorema 4.15: Si las variables aleatorias x 1 , x 2 , …y x n son independientes y y donde a 1 , a 2 ,…,a n , b 1 , b 2 ,…,b n son constantes, entonces

19. Momentos de Combinaciones Lineales 4 Corolario: Si las variables aleatorias x 1 , x 2 , …y x n son independientes y y entonces

20. Esperanzas Condicionales Definición 4.10: Si x es una variable aleatoria discreta y f(xly) es el valor de la distribución de probabilidad condicional de x dada y = y en x, la esperanza condicional de  ( x ) dada y = y es En forma correspondiente, si x es la variable aleatoria continua y f(xly) es el valor de la densidad de probabilidad condicional de x dada y = y en x, la esperanza condicional de  ( x ) dada y = y es

21. Técnica de Transformación: una variable Teorema 4.16 : Sea f(x) el valor de la densidad de probabilidad de la variable aleatoria continua x en x. Si la función dada por y = u(x) es diferenciable y creciente o decreciente para todos los valores contenidos en el rango de x para los cuales f(x)  0, entonces, para estos valores de x, la ecuación y = u(x) puede resolverse de manera única para cada x con el fin de producir x = w(y) y para los valores de y correspondientes la densidad de probabilidad de y = u( x ) está dada por g(y) = f[w(y)][w’(y)] siempre que u’ (x)  0. En cualquier parte, g(y) = 0

22. Técnica de Transformación: dos variables 1 Teorema 4.17 : Sea f(x 1 ,x 2 ) el valor de la densidad de probabilidad conjunta de las variables aleatorias continuas x 1 y x 2 en (x 1 ,x 2 ) . Si las funciones dadas por y 1 = u 1 (x 1 ,x 2 ) y y 2 = u 2 (x 1 ,x 2 ) son parcialmente diferenciables con respecto a x 1 y x 2 y representan una transformación biunívoca de todos los valores contenidos en el rango de x 1 y x 2 para los cuales f(x 1 ,x 2 ) = 0, entonces, para estos valores de x 1 y x 2 , las ecuaciones y 1 = u 1 (x 1 ,x 2 ) y y 2 = u 2 (x 1 ,x 2 ) pueden resolverse de manera única para cada x 1 y x 2 con el fin de producir x 1 = w 1 (y 1 , y 2 ) y x 2 = w 2 (y 1 , y 2 ), y para los valores correspondientes de y 1 y y 2 la densidad de probabilidad conjunta de y 1 = u 1 ( x1 , x 2 ) y y 2 = u 2 ( x1 , x 2 ) está dada por g (y 1 , y 2 ) = f [w 1 (y 1 , y 2 ), w 2 (y 1 , y 2 )] IJI

23. Técnica de Transformación: dos variables 2 Aquí, J es el Jacobiano de la transformación, dado por el determinante En cualquier otra parte, g(y 1 , y 2 ) = 0

24. Técnica de la Función Generatriz de Momentos Teorema 4.18 : Si x 1 , x 2 ,…, y x n , son variables aleatorias independientes y y = x 1 + x 2 +…+ x n , entonces donde M xi (t) es el valor de la función generatriz de momentos de x i en t