Este documento describe el movimiento curvilíneo y cómo definir la posición, velocidad y aceleración de una partícula que se mueve a lo largo de una curva. Explica que para definir la posición de la partícula en un momento dado se elige un sistema de referencia fijo y que la velocidad y aceleración se pueden calcular como derivadas del vector de posición con respecto al tiempo. También cubre cómo descomponer estos vectores en componentes rectangulares para facilitar los cálculos.

1. MOVIMIENTO CURVILINEO
Ing. Francisco Alfredo Díaz Manzano
Universidad de Oriente

2. VECTOR POSICIÓN, VELOCIDAD Y
ACELERACIÓN
• Cuando una partícula se mueve a lo largo de una curva
diferente a una línea recta, se afirma que describe un
movimiento curvilíneo.
• Para definir la posición P ocupada por la partícula en un
tiempo determinado t, se elige un sistema de referencia
fijo, tal como los ejes x, y, z que se muestran en la figura.

3. VECTOR POSICIÓN, VELOCIDAD Y
ACELERACIÓN
• Puesto que el vector r está caracterizado por su magnitud
r y su dirección con respecto a los ejes de referencia,
éste define por completo la posición de la partícula con
respecto a esos ejes; el vector r se conoce como el
vector de posición de la partícula en el tiempo t.
• el vector r que define la posición P ocupada por la misma
partícula en un tiempo posterior ∆t+t.
• El vector r que une a P y a ‘P representa el cambio en el
vector de posición durante el intervalo del tiempo t.

4. VECTOR POSICIÓN, VELOCIDAD Y
ACELERACIÓN

5. VECTOR POSICIÓN, VELOCIDAD Y
ACELERACIÓN
• ∆r representa un cambio de dirección, así como un
cambio de magnitud del vector de posición r.
• La velocidad promedio de la partícula sobre el intervalo
de tiempo t se define como el cociente de r y t.
• La velocidad instantánea de la partícula en el tiempo t se
obtiene al elegir intervalos de tiempo t cada vez más
cortos y, de manera correspondiente, incrementos
vectoriales r cada vez menores.

6. VECTOR POSICIÓN, VELOCIDAD Y
ACELERACIÓN
• Puesto que el vector de posición r depende del tiempo t,
se conoce como una función vectorial de la variable
escalar t y se denota mediante r(t).
• Extendiendo el concepto de derivada de una función
escalar que se presenta en cálculo elemental, el límite del
cociente ∆r/∆t se conoce como la derivada de la función
vectorial r(t).

7. VECTOR POSICIÓN, VELOCIDAD Y
ACELERACIÓN
• La magnitud v del vector v se conoce como la rapidez de
la partícula y es posible obtenerla al sustituir, en vez del
vector r. La magnitud de este vector representado por el
segmento de línea recta PP’. Sin embargo, la longitud del
segmento PP se acerca a la longitud s del arco PP
cuando t disminuye, por lo que se puede escribir

8. VECTOR POSICIÓN, VELOCIDAD Y
ACELERACIÓN

9. VECTOR POSICIÓN, VELOCIDAD Y
ACELERACIÓN
• Se observa que el proceso de definir la posición,
velocidad y la aceleración de una partícula en movimiento
curvilíneo es igual muy similar al movimiento rectilíneo,
por lo que podemos decir que:
• La aceleración promedio de la partícula sobre el intervalo
de tiempo ∆t se define como el cociente entre ∆v y ∆t.
Puesto que ∆v es un vector y ∆t un escalar, el cociente
∆v/ ∆t es un vector de la misma dirección que ∆v.
• La aceleración instantánea de la partícula en el tiempo t
se obtiene al tomar valores cada vez más y más
pequeños de ∆t y ∆v.

10. VECTOR POSICIÓN, VELOCIDAD Y
ACELERACIÓN
• Se observa que la aceleración a es tangente a la curva
descrita por la punta Q del vector v cuando este último se
dibuja desde un origen fijo O y que, en general, la aceleración
no es tangente a la trayectoria de la partícula. La curva
descrita por la punta de v se conoce como la hodógrafa del
movimiento.

11. COMPONENTES RECTANGULARES DE LA
VELOCIDAD Y LAACELERACIÓN
• Al descomponer el vector de posición r de la partícula en
componentes rectangulares, se escribe:
• donde las coordenadas x, y, z son funciones de t. Al
diferenciar dos veces, se obtiene:

12. COMPONENTES RECTANGULARES DE LA
VELOCIDAD Y LAACELERACIÓN

13. COMPONENTES RECTANGULARES DE LA
VELOCIDAD Y LAACELERACIÓN
• El uso de las componentes rectangulares para describir la
posición, la velocidad y la aceleración de una partícula
es en particular efectivo cuando la componente ax de la
aceleración sólo depende de t, x, y/o vx y de forma similar
para las aceleraciones en sus componentes
rectangulares correspondientes.
• En otras palabras, es posible considerar por separado el
movimiento de la partícula en dirección x, su movimiento
en la dirección y, y su movimiento en la dirección z.

14. MOVIMEINTO DE PROYECTILES
• En el caso del movimiento de un proyectil, por ejemplo,
se demuestra que las componentes de la aceleración
son:
• Integrando dos veces tenemos que:
• Estas ecuaciones muestran que el proyectil permanece
en el plano xy, que su movimiento en la dirección
horizontal es uniforme, y que su movimiento en la
dirección vertical es uniformemente acelerado.

15. EJEMPLO