Este documento explica las desigualdades de primer grado en una variable, incluyendo las propiedades de las desigualdades y cómo resolver inecuaciones enteras, literales y fraccionarias. Se definen las desigualdades absolutas y condicionales, y se describen los pasos para resolver inecuaciones transponiendo términos, reduciendo y despejando la variable incógnita considerando las propiedades de las desigualdades. Se proveen ejemplos para ilustrar cada tipo de resolución.
1) El documento introduce conceptos sobre desigualdades y inecuaciones de primer grado con una incógnita, incluyendo las propiedades de desigualdades absolutas y condicionales.
2) Se explican cinco propiedades clave de las desigualdades como que no cambian de sentido al agregar o restar un mismo número a ambos lados.
3) El documento proporciona ejemplos para ilustrar cada propiedad discutida.
El documento trata sobre desigualdades y su aplicación en inecuaciones de primer grado. Explica los símbolos utilizados para denotar desigualdades como <, >, ≤, ≥ y cómo resolver inecuaciones mediante la aplicación de propiedades como sumar o restar un número a ambos lados. También cubre el concepto de intervalos y su uso para expresar el conjunto de soluciones de una inecuación.
Una inecuación es una desigualdad con una o más incógnitas donde se demuestran ciertos valores de las incógnitas. Las propiedades de las desigualdades, como añadir o multiplicar el mismo número a ambos lados, determinan si el sentido de la desigualdad cambia o no. Para resolver una inecuación, se aplican estas propiedades para encontrar los valores de las incógnitas que la satisfacen.
El documento describe las desigualdades y los intervalos en matemáticas. Explica los diferentes tipos de desigualdades como <, >, ≤, ≥ y sus significados. También describe las propiedades de las desigualdades como la transitividad y las operaciones de adición, sustracción, multiplicación y división. Finalmente, define los diferentes tipos de intervalos como cerrados, abiertos y semiabiertos usando corchetes y paréntesis.
Este documento trata sobre las inecuaciones. Explica que una inecuación es una desigualdad que contiene una o más variables. Detalla los pasos para resolver inecuaciones de primer grado, como aplicar propiedades de equivalencia para simplificar la expresión hasta obtener la variable aislada, y determinar el intervalo de soluciones. También cubre conceptos clave como propiedades de las desigualdades y ejemplos de resolución de inecuaciones.
El documento presenta información sobre la solución de inecuaciones lineales con una sola variable. Explica conceptos como desigualdad, inecuación, propiedades de las desigualdades y métodos para resolver inecuaciones lineales como despejar la variable, agrupar términos y considerar cuándo cambia el sentido de la desigualdad. Incluye ejemplos resueltos paso a paso para ilustrar los métodos.
El documento presenta una guía sobre la solución de inecuaciones lineales con una variable. Explica conceptos como desigualdades, inecuaciones, propiedades de las desigualdades y métodos para resolver inecuaciones lineales de una variable, como despejar la variable, agrupar términos y considerar cuando cambia el sentido de la desigualdad. Proporciona ejemplos resueltos paso a paso para ilustrar los métodos.
1) El documento introduce conceptos sobre desigualdades y inecuaciones de primer grado con una incógnita, incluyendo las propiedades de desigualdades absolutas y condicionales.
2) Se explican cinco propiedades clave de las desigualdades como que no cambian de sentido al agregar o restar un mismo número a ambos lados.
3) El documento proporciona ejemplos para ilustrar cada propiedad discutida.
El documento trata sobre desigualdades y su aplicación en inecuaciones de primer grado. Explica los símbolos utilizados para denotar desigualdades como <, >, ≤, ≥ y cómo resolver inecuaciones mediante la aplicación de propiedades como sumar o restar un número a ambos lados. También cubre el concepto de intervalos y su uso para expresar el conjunto de soluciones de una inecuación.
Una inecuación es una desigualdad con una o más incógnitas donde se demuestran ciertos valores de las incógnitas. Las propiedades de las desigualdades, como añadir o multiplicar el mismo número a ambos lados, determinan si el sentido de la desigualdad cambia o no. Para resolver una inecuación, se aplican estas propiedades para encontrar los valores de las incógnitas que la satisfacen.
El documento describe las desigualdades y los intervalos en matemáticas. Explica los diferentes tipos de desigualdades como <, >, ≤, ≥ y sus significados. También describe las propiedades de las desigualdades como la transitividad y las operaciones de adición, sustracción, multiplicación y división. Finalmente, define los diferentes tipos de intervalos como cerrados, abiertos y semiabiertos usando corchetes y paréntesis.
Este documento trata sobre las inecuaciones. Explica que una inecuación es una desigualdad que contiene una o más variables. Detalla los pasos para resolver inecuaciones de primer grado, como aplicar propiedades de equivalencia para simplificar la expresión hasta obtener la variable aislada, y determinar el intervalo de soluciones. También cubre conceptos clave como propiedades de las desigualdades y ejemplos de resolución de inecuaciones.
El documento presenta información sobre la solución de inecuaciones lineales con una sola variable. Explica conceptos como desigualdad, inecuación, propiedades de las desigualdades y métodos para resolver inecuaciones lineales como despejar la variable, agrupar términos y considerar cuándo cambia el sentido de la desigualdad. Incluye ejemplos resueltos paso a paso para ilustrar los métodos.
El documento presenta una guía sobre la solución de inecuaciones lineales con una variable. Explica conceptos como desigualdades, inecuaciones, propiedades de las desigualdades y métodos para resolver inecuaciones lineales de una variable, como despejar la variable, agrupar términos y considerar cuando cambia el sentido de la desigualdad. Proporciona ejemplos resueltos paso a paso para ilustrar los métodos.
Este documento describe las desigualdades lineales, incluyendo su definición, miembros, términos, signos, propiedades y cómo resolverlas. Explica que una desigualdad compara dos cantidades que no son iguales y consta de dos miembros y términos. También cubre cómo resolver desigualdades lineales aplicando propiedades como la suma, resta, multiplicación y división, y proporciona ejemplos resueltos.
El documento define intervalos, desigualdades e inecuaciones. Explica que un intervalo es un conjunto de números reales comprendidos entre dos extremos, y clasifica intervalos en abiertos, cerrados y semiabiertos. Luego, define una desigualdad como una expresión algebraica relacionada por signos de comparación, y explica propiedades de desigualdades como sumar o multiplicar términos. Finalmente, introduce el valor absoluto y sus propiedades.
El documento habla sobre conceptos básicos de álgebra como literales, incógnitas, variantes y constantes. Explica que las literales representan valores conocidos mientras que las incógnitas representan valores desconocidos. También define los diferentes tipos de términos algebraicos como monomios, términos enteros, fraccionarios, racionales e irracionales. Por último, describe operaciones fundamentales como suma, resta, multiplicación, división y radicación de polinomios.
Este documento presenta conceptos básicos sobre desigualdades e inecuaciones lineales. Explica qué son las desigualdades y cómo se representan con símbolos como >, <, ≥, ≤. También define intervalos en los números reales y cómo se pueden representar gráficamente y con notación. Finalmente, proporciona ejemplos de cómo calcular la unión e intersección de conjuntos e intervalos.
El documento describe las propiedades de las desigualdades y los diferentes tipos de intervalos. Explica que las desigualdades mantienen su sentido al sumar o restar un mismo número o multiplicar o dividir por una cantidad positiva, pero cambian de sentido al multiplicar o dividir por una cantidad negativa. Define ocho tipos de intervalos usando notación matemática como [a,b], (a,b), [a,+∞), dependiendo de si son abiertos o cerrados por la izquierda o derecha.
Este documento trata sobre álgebra y operaciones con polinomios. Explica que el álgebra involucra relaciones numéricas con cantidades desconocidas llamadas variables. Define expresiones algebraicas, monomios, binomios, trinomios y polinomios. También cubre el valor numérico de expresiones al sustituir valores y las operaciones de suma y resta entre monomios semejantes.
Este documento define conjuntos, operaciones con conjuntos como la unión, y describe los números reales, desigualdades, valor absoluto y desigualdades con valor absoluto. Define un conjunto como una colección de elementos de la misma naturaleza y puede tener elementos finitos o infinitos. Describe la operación de unión de conjuntos y cómo se representa gráficamente. Explica que los números reales incluyen números racionales e irracionales y presenta ejemplos. Define desigualdades estrictas y no estrictas y su notación. Describe el valor
Este documento describe los intervalos, desigualdades y el valor absoluto. Explica los diferentes tipos de intervalos como abiertos, cerrados y semiabiertos. También define las desigualdades e inecuaciones y muestra ejemplos de cómo resolverlas. Finalmente, presenta las propiedades del valor absoluto y cómo usarlas para resolver ecuaciones e inecuaciones que involucran valor absoluto.
Este documento explica las igualdades, desigualdades, ecuaciones e inecuaciones. Define las propiedades de las desigualdades y cómo se resuelven las inecuaciones lineales de primer grado aplicando estas propiedades. Proporciona ejemplos de cómo resolver inecuaciones mediante la adición, sustracción, multiplicación y división de ambos lados para despejar la incógnita. Finalmente, presenta ejercicios de práctica para resolver diferentes tipos de inecuaciones de primer grado.
El documento presenta conceptos básicos sobre números reales y desigualdades. Explica que los números reales tienen una propiedad de orden que permite establecer relaciones como a=b, a>b o a<b. También define intervalos como subconjuntos de números reales, incluyendo intervalos cerrados, abiertos y semicerrados/semicerrados. Finalmente, presenta algunos ejemplos y problemas para practicar el uso de desigualdades.
El documento presenta los conceptos fundamentales sobre desigualdades, propiedades de las desigualdades, intervalos e inecuaciones de primer y segundo grado. Explica las propiedades de las desigualdades al sumar, restar, multiplicar y dividir sus términos, así como el cambio de sentido cuando se multiplica o divide por un número negativo. También define intervalos, inecuaciones y valor absoluto, concluyendo con ejemplos y propiedades de este último.
Este documento proporciona una introducción a las desigualdades y los intervalos. Explica las diferentes simbologías de las desigualdades como >, <, ≥ y ≤. Luego describe las propiedades de las desigualdades como la adición, sustracción, multiplicación y división de términos. Finalmente, introduce los diferentes tipos de intervalos como cerrados, abiertos y semiabiertos, y cómo representarlos gráficamente. El documento incluye ejemplos para ilustrar cada concepto.
Presentación de desigualdades racionales, para apoyo al reforzamiento escolar a estudiantes de Educación Media de Nicaragua. Esta presentación es un pequeño esbozo de la solución de desigualdades cuadráticas y desigualdades racionales utilizando el método de las raíces, la cual debe estar acompañada de una buena práctica de resolución de ejercicios. Se recomienda consultar la bibliografía expuesta al final de la presentación.
Este documento trata sobre desigualdades e inecuaciones de primer grado. Explica que una desigualdad expresa una relación de no igualdad entre dos expresiones, y que se representa con símbolos como <, >, ≤, ≥. Luego, introduce el concepto de inecuación, que es una desigualdad que contiene una o más incógnitas. Finalmente, explica cómo resolver inecuaciones de primer grado con una o dos incógnitas aplicando propiedades de las desigualdades.
Este documento explica cómo resolver desigualdades algebraicas mediante la comparación de expresiones utilizando símbolos de desigualdad como >, <, ≥ o ≤. Proporciona un ejemplo resolviendo 4 - 2x ≤ 7 y muestra dos formas de llegar a la solución x ≥ -3/2.
Este documento resume diferentes tipos de ecuaciones y cómo resolverlas. Explica ecuaciones de primer grado, segundo grado completas e incompletas, bicuadradas, con fracciones algebraicas, irracionales y logarítmicas. También cubre inecuaciones de primer grado y segundo grado, resolviéndolas de manera similar a las ecuaciones pero dando como resultado un intervalo. Proporciona ejemplos para ilustrar cada tipo.
El documento explica los conceptos básicos de conjuntos y operaciones entre conjuntos como la unión, intersección, diferencia y producto cartesiano. También introduce los números reales como el conjunto formado por los números racionales e irracionales, y cómo pueden representarse en una recta numérica. Finalmente, define las desigualdades, valor absoluto y cómo resolver desigualdades de valor absoluto.
Este documento describe conceptos básicos de los números reales y las inecuaciones lineales. Introduce la recta real, sus características y elementos como la dirección positiva y negativa. Explica que los números reales incluyen enteros, fracciones y números irracionales. Luego define desigualdades, intervalos y las propiedades de las inecuaciones lineales como ax + b < 0.
Este documento describe una finca de recreo y producción ubicada a 5 km del municipio de Guatavita, Colombia. La finca tiene una casa principal, cercas de alambre de púas, agua, energía eléctrica y vías de acceso. Cuenta con pastos naturales, tanques de agua y una vista espectacular del Embalse de Tomine. Se ofrece por un valor de $700.000.000 e incluye fotografías de la propiedad.
SlideShare es un sitio web que permite a los usuarios subir y compartir presentaciones, documentos y otros archivos de forma gratuita. Los usuarios pueden evaluar, comentar y compartir el contenido subido. SlideShare también ofrece una función llamada Zipcasts que permite transmitir presentaciones en vivo con audio y video. El sitio web ha crecido en popularidad desde su lanzamiento en 2006 y actualmente recibe alrededor de 12 millones de visitas al mes.
Este documento describe las desigualdades lineales, incluyendo su definición, miembros, términos, signos, propiedades y cómo resolverlas. Explica que una desigualdad compara dos cantidades que no son iguales y consta de dos miembros y términos. También cubre cómo resolver desigualdades lineales aplicando propiedades como la suma, resta, multiplicación y división, y proporciona ejemplos resueltos.
El documento define intervalos, desigualdades e inecuaciones. Explica que un intervalo es un conjunto de números reales comprendidos entre dos extremos, y clasifica intervalos en abiertos, cerrados y semiabiertos. Luego, define una desigualdad como una expresión algebraica relacionada por signos de comparación, y explica propiedades de desigualdades como sumar o multiplicar términos. Finalmente, introduce el valor absoluto y sus propiedades.
El documento habla sobre conceptos básicos de álgebra como literales, incógnitas, variantes y constantes. Explica que las literales representan valores conocidos mientras que las incógnitas representan valores desconocidos. También define los diferentes tipos de términos algebraicos como monomios, términos enteros, fraccionarios, racionales e irracionales. Por último, describe operaciones fundamentales como suma, resta, multiplicación, división y radicación de polinomios.
Este documento presenta conceptos básicos sobre desigualdades e inecuaciones lineales. Explica qué son las desigualdades y cómo se representan con símbolos como >, <, ≥, ≤. También define intervalos en los números reales y cómo se pueden representar gráficamente y con notación. Finalmente, proporciona ejemplos de cómo calcular la unión e intersección de conjuntos e intervalos.
El documento describe las propiedades de las desigualdades y los diferentes tipos de intervalos. Explica que las desigualdades mantienen su sentido al sumar o restar un mismo número o multiplicar o dividir por una cantidad positiva, pero cambian de sentido al multiplicar o dividir por una cantidad negativa. Define ocho tipos de intervalos usando notación matemática como [a,b], (a,b), [a,+∞), dependiendo de si son abiertos o cerrados por la izquierda o derecha.
Este documento trata sobre álgebra y operaciones con polinomios. Explica que el álgebra involucra relaciones numéricas con cantidades desconocidas llamadas variables. Define expresiones algebraicas, monomios, binomios, trinomios y polinomios. También cubre el valor numérico de expresiones al sustituir valores y las operaciones de suma y resta entre monomios semejantes.
Este documento define conjuntos, operaciones con conjuntos como la unión, y describe los números reales, desigualdades, valor absoluto y desigualdades con valor absoluto. Define un conjunto como una colección de elementos de la misma naturaleza y puede tener elementos finitos o infinitos. Describe la operación de unión de conjuntos y cómo se representa gráficamente. Explica que los números reales incluyen números racionales e irracionales y presenta ejemplos. Define desigualdades estrictas y no estrictas y su notación. Describe el valor
Este documento describe los intervalos, desigualdades y el valor absoluto. Explica los diferentes tipos de intervalos como abiertos, cerrados y semiabiertos. También define las desigualdades e inecuaciones y muestra ejemplos de cómo resolverlas. Finalmente, presenta las propiedades del valor absoluto y cómo usarlas para resolver ecuaciones e inecuaciones que involucran valor absoluto.
Este documento explica las igualdades, desigualdades, ecuaciones e inecuaciones. Define las propiedades de las desigualdades y cómo se resuelven las inecuaciones lineales de primer grado aplicando estas propiedades. Proporciona ejemplos de cómo resolver inecuaciones mediante la adición, sustracción, multiplicación y división de ambos lados para despejar la incógnita. Finalmente, presenta ejercicios de práctica para resolver diferentes tipos de inecuaciones de primer grado.
El documento presenta conceptos básicos sobre números reales y desigualdades. Explica que los números reales tienen una propiedad de orden que permite establecer relaciones como a=b, a>b o a<b. También define intervalos como subconjuntos de números reales, incluyendo intervalos cerrados, abiertos y semicerrados/semicerrados. Finalmente, presenta algunos ejemplos y problemas para practicar el uso de desigualdades.
El documento presenta los conceptos fundamentales sobre desigualdades, propiedades de las desigualdades, intervalos e inecuaciones de primer y segundo grado. Explica las propiedades de las desigualdades al sumar, restar, multiplicar y dividir sus términos, así como el cambio de sentido cuando se multiplica o divide por un número negativo. También define intervalos, inecuaciones y valor absoluto, concluyendo con ejemplos y propiedades de este último.
Este documento proporciona una introducción a las desigualdades y los intervalos. Explica las diferentes simbologías de las desigualdades como >, <, ≥ y ≤. Luego describe las propiedades de las desigualdades como la adición, sustracción, multiplicación y división de términos. Finalmente, introduce los diferentes tipos de intervalos como cerrados, abiertos y semiabiertos, y cómo representarlos gráficamente. El documento incluye ejemplos para ilustrar cada concepto.
Presentación de desigualdades racionales, para apoyo al reforzamiento escolar a estudiantes de Educación Media de Nicaragua. Esta presentación es un pequeño esbozo de la solución de desigualdades cuadráticas y desigualdades racionales utilizando el método de las raíces, la cual debe estar acompañada de una buena práctica de resolución de ejercicios. Se recomienda consultar la bibliografía expuesta al final de la presentación.
Este documento trata sobre desigualdades e inecuaciones de primer grado. Explica que una desigualdad expresa una relación de no igualdad entre dos expresiones, y que se representa con símbolos como <, >, ≤, ≥. Luego, introduce el concepto de inecuación, que es una desigualdad que contiene una o más incógnitas. Finalmente, explica cómo resolver inecuaciones de primer grado con una o dos incógnitas aplicando propiedades de las desigualdades.
Este documento explica cómo resolver desigualdades algebraicas mediante la comparación de expresiones utilizando símbolos de desigualdad como >, <, ≥ o ≤. Proporciona un ejemplo resolviendo 4 - 2x ≤ 7 y muestra dos formas de llegar a la solución x ≥ -3/2.
Este documento resume diferentes tipos de ecuaciones y cómo resolverlas. Explica ecuaciones de primer grado, segundo grado completas e incompletas, bicuadradas, con fracciones algebraicas, irracionales y logarítmicas. También cubre inecuaciones de primer grado y segundo grado, resolviéndolas de manera similar a las ecuaciones pero dando como resultado un intervalo. Proporciona ejemplos para ilustrar cada tipo.
El documento explica los conceptos básicos de conjuntos y operaciones entre conjuntos como la unión, intersección, diferencia y producto cartesiano. También introduce los números reales como el conjunto formado por los números racionales e irracionales, y cómo pueden representarse en una recta numérica. Finalmente, define las desigualdades, valor absoluto y cómo resolver desigualdades de valor absoluto.
Este documento describe conceptos básicos de los números reales y las inecuaciones lineales. Introduce la recta real, sus características y elementos como la dirección positiva y negativa. Explica que los números reales incluyen enteros, fracciones y números irracionales. Luego define desigualdades, intervalos y las propiedades de las inecuaciones lineales como ax + b < 0.
Este documento describe una finca de recreo y producción ubicada a 5 km del municipio de Guatavita, Colombia. La finca tiene una casa principal, cercas de alambre de púas, agua, energía eléctrica y vías de acceso. Cuenta con pastos naturales, tanques de agua y una vista espectacular del Embalse de Tomine. Se ofrece por un valor de $700.000.000 e incluye fotografías de la propiedad.
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El documento presenta los pasos para peinarse, que incluyen analizar el problema de estar despeinada, los resultados esperados de estar peinada, los datos y restricciones disponibles como los utensilios de peinado, y los procesos necesarios de peinar, desenredar y recoger el cabello. Luego enumera nueve pasos específicos para peinarse que van desde buscar la peinilla y el cepillo, hasta peinar y desenredar el cabello, recogerlo con una moña, y hacer un gajo en la cola.
La bondad es la única ley de la vida y la única razón de la existencia. La maldad es un error temporal, mientras que la bondad es el camino seguro y tranquilo. Según Amado Nervo, la capacidad de bien que hay en el alma humana es desconcertante por su grandeza, y esa grandeza la tenemos todos en nuestro interior. Ser bondadoso cambiará sustancialmente la vida.
El documento presenta la visión del Sistema Universitario UNIMINUTO. Se reconocerá por su aporte a la formación en educación para el desarrollo, la alta calidad de sus programas académicos, y por su impacto en la cobertura y amplias relaciones nacionales e internacionales. Asimismo, se destacará por las vivencias espirituales y la presencia de Dios en el ámbito universitario.
El documento analiza el cortometraje UP de Pixar. Narra la historia de amor de una pareja desde su boda hasta la vejez y muerte, resaltando valores como el amor y la unión. Describe cómo la música cambia según los momentos de la historia. Finalmente, propone actividades didácticas basadas en la película para trabajar conceptos como el paso del tiempo, la imaginación, arriba y abajo, y los ritmos musicales.
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Este documento presenta cuatro ponencias sobre la crisis económica global de 2008-2009 y las respuestas de gobernanza internacional. La primera ponencia analiza las causas y efectos de la crisis así como posibles soluciones. La segunda examina los impactos de la crisis en América Latina. La tercera discute las preocupaciones sobre gobernanza dentro del G20. Y la cuarta explora la agenda emergente de gobernanza global y el papel del G20.
Los Arctic Monkeys regresaron a México para cerrar el escenario Capital del festival Corona Capital, tocando durante una hora y media temas de sus diferentes álbumes como parte de la promoción de su más reciente disco. La presentación incluyó sus éxitos más coreados como "Fluorescent Adolescent" e "I Bet That You Look Good on the Dance Floor" y contó con la participación especial de Miles Kane en la última canción, "505", dejando al público con ganas de más.
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Este documento presenta un mapa conceptual sobre variables en investigación desarrollado por María Verónica Ferrer. Incluye una bibliografía de varias fuentes en línea relacionadas con conceptos como variables, delimitación de problemas de investigación y marco teórico.
El documento resume la historia de Internet y la World Wide Web. Explica que Internet comenzó como una red militar estadounidense llamada ARPANET en 1969, y que la World Wide Web fue creada en 1989 como un sistema de hipertexto que utiliza Internet para transporte de información de forma gráfica. También describe las diferentes generaciones de la Web, incluyendo la Web 1.0 de solo lectura, la Web 2.0 colaborativa centrada en el usuario, y las Webs 3.0 y 4.0 que buscan enriquecer la comunicación y unir inteligencias respectivamente.
Daniel Defoe fue un escritor y periodista inglés nacido en 1660 que es mundialmente conocido por su novela Robinson Crusoe. Abandonó la iglesia para dedicarse al comercio y entró en el gobierno en 1695. Una de sus novelas más famosas fue Robinson Crusoe, publicada en 1719, que narra las aventuras de un náufrago durante 28 años en una isla desierta y su regreso a Inglaterra.
Herramientas tecnológicas de la información y comunicacióngallardito1996
Las tecnologías de la información y la comunicación (TIC), también llamadas nuevas tecnologías de la información y la comunicación (NTIC), se refieren a la informática y están estrechamente relacionadas con ella.
Tiene 10.000 M² de terreno. Casa principal con apartamento independiente y casa de invitados, dos entradas independientes, muros de piedra y teja española.
Este documento presenta información sobre organismos internacionales, nacionales y locales que trabajan para promover la equidad de género y los derechos de las mujeres. A nivel internacional se mencionan la Asamblea General de las Naciones Unidas y la Convención Interamericana para prevenir, sancionar y erradicar la violencia contra la mujer. A nivel nacional se menciona el Instituto de la Mujer en España. El documento también incluye una tabla comparativa sobre las estrategias de equidad de género implementadas en dos instituciones visitadas por los
EDUCACIÓN AMBIENTALectura dos modulo uno depaMax Neol
Este documento describe la crisis ambiental actual y el papel importante que juega la educación ambiental para abordar este desafío. Explica que la educación ambiental surgió en los años 1960 para promover una nueva comprensión de la relación entre los seres humanos, la sociedad y el medio ambiente. También destaca que aunque la educación ambiental es crucial, no es suficiente por sí sola y debe integrarse con políticas y gestiones gubernamentales más amplias para lograr un desarrollo sostenible.
Este documento presenta un resumen del syllabus de un curso en línea sobre Ciudadanía Digital para maestros. El curso consta de 5 unidades y 33 lecciones con el objetivo de que los maestros adquieran competencias en el uso de las TIC. Incluye información sobre pre-requisitos, resultados de aprendizaje, unidades temáticas, plan de actividades y criterios de evaluación. Los maestros tendrán 28 horas para completar las lecturas y actividades y 2 horas adicionales para una prueba de certificación final.
El documento describe un proyecto para fortalecer la lectura y escritura de estudiantes de primer grado a través del uso de las TIC. El proyecto usó un CD interactivo del cuento "Pinocho" para desarrollar la comprensión lectora, rompecabezas y actividades de escritura. Aunque solo había una computadora, los estudiantes mejoraron su lectura y aprendizaje mientras disfrutaban la herramienta. El proyecto mostró que las TIC pueden ser estimulantes para motivar a los estudiantes.
Este documento presenta conceptos básicos sobre inecuaciones y desigualdades, incluyendo:
1) La notación y significado de desigualdades como a > b, a < b, a ≥ b y a ≤ b.
2) Cómo resolver inecuaciones de primer grado mediante el traslado de términos y despeje de la variable.
3) Propiedades básicas de las desigualdades como a > b y b > c implica a > c.
Este documento define conceptos básicos relacionados con igualdades y desigualdades algebraicas. Explica que las igualdades pueden ser ecuaciones, fórmulas, identidades o equivalencias, dependiendo de si se cumplen para valores específicos o para todos los valores de las variables. También define desigualdades absolutas y condicionales, y clasifica las desigualdades según la ubicación y número de variables y la presencia de valor absoluto. Por último, explica cómo resolver desigualdades de primer grado sin variable en el denominador.
Este documento trata sobre desigualdades lineales en una variable. Explica cómo resolver desigualdades lineales mediante el uso de reglas como mover términos entre lados de la desigualdad sin cambiar el sentido, o cambiar el sentido al mover un término negativo. Proporciona ejemplos detallados de cómo aplicar estas reglas para encontrar el conjunto de soluciones de varias desigualdades lineales.
El documento habla sobre expresiones algebraicas, incluyendo definiciones de expresiones algebraicas, sumas algebraicas, restas algebraicas, multiplicaciones algebraicas, divisiones algebraicas, valores numéricos, y factorizaciones. Explica conceptos como monomios, polinomios, productos notables, y cómo realizar operaciones básicas con expresiones algebraicas.
El documento resume los conceptos básicos de las expresiones algebraicas, incluyendo: 1) definición de expresiones algebraicas y sus componentes; 2) las reglas para sumar, restar, multiplicar y dividir expresiones algebraicas; y 3) los conceptos de productos notables y factorización para simplificar expresiones algebraicas.
Este documento explica conceptos básicos de álgebra como expresiones algebraicas, sumas y restas de expresiones, multiplicación y división de monomios y polinomios, y productos notables. También describe cómo encontrar el valor numérico de una expresión algebraica sustituyendo valores en las variables y resolviendo las operaciones.
El documento explica conceptos básicos de álgebra como expresiones algebraicas, variables, dominio, operaciones (suma, resta, multiplicación, división), valor numérico, productos notables y factorización. Define una expresión algebraica como una combinación de letras y números unidos por operaciones matemáticas. Explica cada operación algebraica y cómo aplicarlas con ejemplos. También cubre conceptos como coeficientes, exponentes y valor numérico al sustituir valores en una expresión.
El documento habla sobre los números reales. Resume lo siguiente:
1) Los números reales incluyen números racionales e irracionales y representan todos los números en la recta numérica.
2) Las operaciones con conjuntos como unión, intersección y diferencia permiten manipular conjuntos matemáticos.
3) Las desigualdades matemáticas comparan expresiones algebraicas usando símbolos como <, >, ≤, ≥ y denotan valores desiguales.
El documento describe las expresiones algebraicas, incluyendo su definición como combinaciones de letras y números usando operaciones como suma, resta, multiplicación, división y potenciación. Explica cómo se pueden usar expresiones algebraicas para calcular áreas y volúmenes. También cubre conceptos como suma, resta, multiplicación y división de monomios y polinomios, y valor numérico de expresiones algebraicas.
Resolución de desigualdades de primer y segundo con.pptxHugoHernndez95
1) Las ecuaciones de primer grado se resuelven transponiendo términos para despejar la incógnita y obtener la solución como -b/a. 2) Las desigualdades se clasifican en absolutas y condicionales. 3) Para resolver ecuaciones de segundo grado se usa la fórmula general que depende del signo de la discriminante.
El documento presenta información sobre conjuntos matemáticos. Define un conjunto como una colección de elementos que comparten alguna propiedad. Explica dos métodos para definir conjuntos, el método de extensión que lista los elementos, y el método de comprensión que describe la propiedad que cumplen los elementos. También describe operaciones básicas con conjuntos como unión, intersección, diferencia y complemento.
Este documento presenta conceptos fundamentales sobre desigualdades y funciones en una unidad de cálculo diferencial. Introduce las propiedades de las desigualdades numéricas y las clases de intervalos. Explica las inecuaciones de una y dos variables, resolviendo ejemplos para ilustrar los procedimientos.
Este documento contiene información sobre conjuntos, operaciones con conjuntos, números reales y propiedades de los números reales. Explica que un conjunto es una colección de elementos y que las operaciones con conjuntos como unión, intersección y diferencia permiten realizar operaciones entre conjuntos. También define los diferentes tipos de números reales como racionales, irracionales, algebraicos y trascendentales. Finalmente, presenta las propiedades de los números reales como conmutatividad, asociatividad e identidad.
Presentacion de la UNIDAD 1 por Veronica RagaUPTAEB
Esta es mi presentación sobre los números reales, desigualdades, valor absoluto y algunas operaciones con estos conceptos, espero sean de su agrado.
Por Verónica Raga PNFCP
Este documento presenta información sobre expresiones algebraicas, incluyendo sumas, restas, multiplicaciones, divisiones y factorizaciones. Explica conceptos como monomios, polinomios, coeficientes y leyes de los exponentes. Incluye ejemplos detallados de cada operación algebraica y conceptos como productos notables y factorización por productos notables. El objetivo es proporcionar una guía sobre diferentes temas básicos de álgebra.
1) El documento explica conceptos básicos sobre expresiones algebraicas como sumas, restas, multiplicaciones y divisiones de expresiones. 2) También cubre temas como el valor numérico de expresiones algebraicas, productos notables y factorización de expresiones. 3) Incluye ejemplos para ilustrar cada uno de los conceptos cubiertos.
Este documento presenta un resumen de diferentes tipos de igualdades, ecuaciones y desigualdades matemáticas. Comienza explicando las propiedades de las igualdades y luego describe ecuaciones y desigualdades de primer y segundo grado, incluyendo cómo resolverlas. También cubre inecuaciones racionales e inecuaciones de primer grado con dos variables.
1. Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Desigualdades Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa
1
MATEMÁTICAS BÁSICAS
DESIGUALDADES
DESIGUALDADES DE PRIMER GRADO EN UNA VARIABLE
La expresión ba ≠ significa que " a " no es igual a " b ".
Según los valores particulares de a y de b , puede tenerse ba > , que se lee “ a mayor que b ”, cuando
la diferencia ba − es positiva y ba < que se lee “ a menor que b ”, cuando la diferencia ba − es
negativa.
La notación ba ≥ , que se lee “ a es mayor o igual que b ”, significa que ba > o que ba = pero no
ambos. Por su parte, la notación ba ≤ que se lee “ a es menor o igual que b ”, significa que ba < o que
ba = pero no ambos.
Una desigualdad se obtiene al escribir dos expresiones numéricas o algebraicas relacionadas con alguno
de los símbolos ≥<> ,, o ≤.
Ejemplos de desigualdades:
1) 34 >
2) 10<a
3) 5≥b
4) 12
≤x
Lo mismo que en las igualdades, en toda desigualdad, los términos que están a la izquierda del signo
mayor o menor, forman el primer miembro de la desigualdad, y los términos de la derecha, forman el
segundo miembro.
De la definición de desigualdad, se deduce que:
• Todo número positivo es mayor que cero
• Todo número negativo es menor que cero
• Si dos números son negativos, es mayor el que tiene menor valor absoluto
• Si ba > entonces ab < .
Los signos > o < determinan dos sentidos opuestos en las desigualdades, dependiendo si el primer
miembro es mayor o menor que el segundo. Se dice que una desigualdad cambia de sentido, cuando el
miembro mayor se convierte en menor o viceversa.
Existen dos clases de desigualdades: las absolutas y las condicionales.
• Desigualdad absoluta es aquella que se verifica para cualquier valor que se atribuya a las literales
que figuran en ella. Por ejemplo: xx >+12
• Desigualdad condicional es aquella que sólo se verifica para ciertos valores de las literales. Por
ejemplo: 0153 >−x que solamente satisface para 5>x . En este caso se dice que 5 es el límite
de x .
2. Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Desigualdades Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa
2
Las desigualdades condicionales se llaman inecuaciones.
Sean ∈b,a R y 0≠a , una desigualdad de primer grado en una variable x se define como:
≤+
<+
≥+
>+
0
0
0
0
bax
bax
bax
bax
Propiedades de las desigualdades:
Sean c,b,a tres números reales.
I. Una desigualdad no cambia de sentido cuando se añade o se resta un mismo número a cada miembro
Esto es, si ba > , entonces se cumple que cbca +>+ .
Ejemplos.
1) Si a la desigualdad 37 > se le suma 2 a ambos miembros, entonces, se cumple que 2327 +>+ ,
ya que: 59 >
2) Si a la desigualdad 816 > se le resta 5 a ambos miembros, entonces, se cumple que 58516 −>− ,
ya que: 311 >
Consecuencia de esta propiedad, puede suprimirse un término en un miembro de una desigualdad,
teniendo cuidado de agregar en el otro miembro el término simétrico del suprimido. Es decir, se puede
pasar un término de un miembro a otro, cambiando su signo, porque esto equivale a sumar o restar una
misma cantidad a los dos miembros.
Ejemplo.
9348 −>− xx
4938 +−>− xx
II. Una desigualdad no cambia de sentido cuando se multiplican sus dos miembros por un mismo factor
positivo, o se dividen por un mismo divisor, también positivo.
Esto es, dado un número 0>c , si ba > entonces se cumple que cbca ⋅>⋅ y que
c
b
c
a
>
Ejemplos.
1) Si a la desigualdad 25 > se multiplica por 3 a ambos miembros, entonces, se cumple que 3235 ⋅>⋅ ,
ya que 615 >
2) Si a la desigualdad 2836 > se divide por 4 a ambos miembros, entonces, se cumple que
4
28
4
36
> ,
ya que 79 >
III. Una desigualdad cambia de sentido cuando se multiplican sus dos miembros por un mismo factor
negativo, o se dividen por un mismo divisor, también negativo.
Esto es, dado un número 0<c , si ba > entonces se cumple que cbca ⋅<⋅ y que
c
b
c
a
<
3. Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Desigualdades Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa
3
Ejemplos.
1) Si a la desigualdad 36 > se multiplica por 4− a ambos miembros, entonces, se cumple que
( ) ( )4346 −<− , ya que 1224 −<−
2) Si a la desigualdad 1016 > se divide por 2− a ambos miembros, entonces, se cumple que
2
10
2
16
−
<
−
, ya que 58 −<−
Consecuencia de la propiedad anterior pueden cambiarse todos los signos de una desigualdad, con tal
que se cambie el sentido de la misma; porque esto equivale a multiplicar sus dos miembros por -1.
Ejemplo.
xx 42186 −<+−
xx 42186 +−>−
INECUACIONES ENTERAS
Las inecuaciones son desigualdades entre expresiones algebraicas. A diferencia de las ecuaciones, que
sólo se verifican para algunos valores de la variable, las inecuaciones tienen infinitas soluciones. El
procedimiento para resolverlas es similar al de las ecuaciones, sólo que deben tenerse en cuenta las
propiedades de las desigualdades.
Para resolver una inecuación de primer grado se transponen los términos (pasar los términos de un
miembro a otro cambiando el signo equivale a aplicar la propiedad I) para que aquellos que contienen a
la incógnita queden en el primer miembro y los términos independientes en el otro. Finalmente, para
despejar la incógnita se divide por el valor del coeficiente, teniendo en cuenta la segunda o tercera
propiedad de las desigualdades, según el signo del coeficiente.
Ejemplos.
Resolver las siguientes inecuaciones enteras:
1) 8264 −>+ xx
Solución.
Se transponen términos:
6824 −−>− xx
se reducen los términos semejantes:
142 −>x
dividiendo por 2 :
7
2
14
−>⇒
−
> xx
2) 621052313 ++−≥−+− xxxx
Solución.
Se transponen términos:
261025313 −+−≥−−− xxxx
se reducen los términos semejantes:
63 −≥x
dividiendo por 3 :
2
3
6
−≥⇒
−
≥ xx
4. Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Desigualdades Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa
4
3) 10834365 −+>−+ xxx
Solución.
Se transponen términos:
61034835 −−>−− xxx
se reducen los términos semejantes:
186 >− x
dividiendo por 6− y aplicando la tercera propiedad, la desigualdad cambia de sentido:
3
6
18
−<⇒
−
< xx
4) xxxxx 4234813610523 +++−>−−−−
Solución.
Se transponen términos:
6223413481053 ++++>−+−− xxxxx
se reducen los términos semejantes:
488 >− x
dividiendo por 8− y aplicando la tercera propiedad, la desigualdad cambia de sentido:
6
8
48
−<⇒
−
< xx
5) ( ) ( ) ( ) ( ) xxxxx ++++≤−++− 8241035341325
Solución.
Eliminando paréntesis:
xxxxx ++++≤−++− 328303201211510
Se transponen términos:
201153230831210 +−++≤−−−+ xxxxx
se reducen los términos semejantes:
9610 ≤x
dividiendo por 10:
5
48
10
96
≤⇒≤ xx
Una inecuación de primer grado literal es aquella que contiene otras expresiones literales aparte de la
incógnita, las cuales deben considerarse como valores constantes.
Para resolver inecuaciones literales se efectúa el mismo procedimiento aplicado en los ejemplos
anteriores. La variante es que cuando se tengan todos los términos que contengan a la incógnita en el
primer miembro de la inecuación, se factoriza para poder despejarla.
6) ( ) ( ) abaxabxxbax −+>−−− 56432
Eliminando paréntesis:
abaxabxbbxax −+>−+− 5561232
Se transponen términos:
babaxabxbxax 1255632 −−>−−−
factorizando x :
( ) babaabbax 1255632 −−>−−−
si ( ) 05632 >−−− abba , entonces la solución es
5632
125
−−−
−−
>
abba
baba
x
si ( ) 05632 <−−− abba , entonces la solución es
5632
125
−−−
−−
<
abba
baba
x
5. Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Desigualdades Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa
5
INECUACIONES FRACCIONARIAS
Para resolver una inecuación fraccionaria de primer grado, se multiplican sus dos miembros por el
mínimo común múltiplo de los denominadores con el objeto de eliminarlos y se reduce para convertirla en
una inecuación entera. Cuando el denominador contiene la incógnita, tiene que analizarse cuando es
tanto positiva como negativa. Para ambos casos debe obtenerse la respectiva intersección de las
restricciones. La solución de la inecuación, es la unión de los dos intervalos obtenidos.
Ejemplos.
Resolver las siguientes inecuaciones fraccionarias:
1)
3
7
5
4
3
1
5
2
−>+ xx
Se multiplican ambos miembros por el mínimo común múltiplo de los denominadores, que es 15:
−>
+
3
7
5
4
15
3
1
5
2
15 xx
se efectúan las operaciones para cada término:
351256 −>+ xx
se transponen términos:
635125 −−>− xx
Se reducen los términos semejantes:
417 −>− x
dividiendo por 7− y aplicando la tercera propiedad, la desigualdad cambia de sentido:
7
41
7
41
<⇒
−
−
< xx
2) xxx 3
2
1
5
2
8
3
2
4
5
−−≥−+
Se multiplican ambos miembros por el mínimo común múltiplo de los denominadores, que es 60 :
−−≥
−+ xxx 3
2
1
5
2
608
3
2
4
5
60
se efectúan las operaciones para cada término:
xxx 18030244804075 −−≥−+
se transponen términos:
48075301802440 +−−≥+− xxx
Se reducen los términos semejantes:
375196 ≥x
dividiendo por 196:
196
375
≥x
3) xxx
6
8
4
10
6
2
4
3
5
4
9
++>−+
Se multiplican ambos miembros por el mínimo común múltiplo de los denominadores, que es 12:
++>
−+ xxx
6
8
4
10
6
2
124
3
5
4
9
12
se efectúan las operaciones para cada término:
xxx 16304482027 ++>−+
6. Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Desigualdades Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa
6
se transponen términos:
48273016420 +−>−− xxx
Se reducen los términos semejantes:
510 >x
como la división por cero no está definida, entonces la expresión presenta un enunciado falso. Nótese
que simplificando la inecuación se llega a
2
5
3
5
4
7
3
5
+>− xx , expresión que es imposible que se cumpla.
4)
xx 4
1
6
8
3
5
6
7
−>+
Se multiplican ambos miembros por el mínimo común múltiplo de los denominadores, que es x12 :
Si 0>x se tiene:
−>
+
x
x
x
x
4
1
6
8
12
3
5
6
7
12
se efectúan las operaciones para cada término:
3162014 −>+ xx
se transponen términos:
1431620 −−>− xx
Se reducen los términos semejantes:
174 −>x
dividiendo por 4 :
4
17
−>x
dadas las restricciones 0>x y
4
17
−>x , su intersección es 0>x
Si 0<x entonces el resultado de la desigualdad cambia de sentido
4
17
−<x
dadas las restricciones 0<x y
4
17
−<x , su intersección es
4
17
−<x
la solución está dada por: ( )∞
−∞− ,, 0
4
17
∪
5)
xxxx 2
7
3
1
2
2
1
3
2
5
4
−−≤−−
Se multiplican ambos miembros por el mínimo común múltiplo de los denominadores, que es x30 :
Si 0>x se tiene:
−−≤
−−
xx
x
xx
x
2
7
3
1
230
2
1
3
2
5
4
30
se efectúan las operaciones para cada término:
1051060152024 −−≤−− xx
se transponen términos:
1524105106020 +−−−≤−− xx
Se reducen los términos semejantes:
12480 −≤− x
dividiendo por 80− y aplicando la tercera propiedad, la desigualdad cambia de sentido:
7. Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Desigualdades Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa
7
20
31
80
124
≥⇒
−
−
≥ xx
dadas las restricciones 0>x y
20
31
≥x , su intersección es
20
31
>x
Si 0<x entonces el resultado de la desigualdad cambia de sentido:
20
31
≤x
dadas las restricciones 0<x y
20
31
<x , su intersección es 0<x
Por lo tanto, la solución está dada por: ( )
∞∞− ,,
20
31
0 ∪
6) 03
5
2
>+
− x
Se multiplican ambos miembros por el mínimo común múltiplo de los denominadores, que es x−5 :
( ) ( )053
5
2
5 x
x
x −>
+
−
−
Si 05 >− x , que implica 5<x se tiene:
( ) 0352 >−+ x
se efectúan las operaciones para cada término:
03152 >−+ x
se transponen términos:
1523 −−>− x
Se reducen los términos semejantes:
173 −>− x
dividiendo por 3− y aplicando la tercera propiedad, la desigualdad cambia de sentido:
3
17
3
17
<⇒
−
−
< xx
dadas las restricciones 5<x y
3
17
<x , su intersección es 5<x
Si 05 <− x , que implica 5>x entonces el resultado de la desigualdad cambia de sentido
3
17
>x
dadas las restricciones 5>x y
3
17
>x , su intersección es
3
17
>x
Por lo tanto, la solución está dada por: ( )
∞∞− ,,
3
17
5 ∪
7) 1218
62
5
−<+
−x
Se multiplican ambos miembros por el mínimo común múltiplo de los denominadores, que es 62 −x :
( ) ( )( )126218
62
5
62 −−<
+
−
− x
x
x
Si 062 >−x , que implica 3>x se tiene:
( ) ( )( )126218625 −−<−+ xx
8. Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Desigualdades Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa
8
x21-1-2
2−>x
x21-1-2
2−>x
x0-2-6-8
21
125
−≤x
-4-10 x0-2-6-8
21
125
−≤x
-4-10
se efectúan las operaciones para cada término:
7224108365 +−<−+ xx
se transponen términos:
1085722436 +−<+ xx
Se reducen los términos semejantes:
17560 <x
dividiendo por 60 :
12
35
60
175
<⇒< xx
dadas las restricciones 3>x y
12
35
<x , su intersección es 3
12
35
<< x
Si 062 <−x , que implica 3<x entonces el resultado de la desigualdad cambia de sentido
12
35
>x
dadas las restricciones 3<x y
12
35
>x , no existe intersección
Por lo tanto, la solución está dada por: 3
12
35
<< x .
GRÁFICA DE UNA INECUACIÓN DE PRIMER GRADO
Resolver una inecuación es encontrar el conjunto de valores de x que cumplan la desigualdad. Gráficamente, la
solución de una inecuación de primer grado está representada por un intervalo del eje de las abscisas a partir de
un valor límite a . Si la solución es de la forma ax > , entonces la región será todos los números que estén a la
derecha de a sin incluirlo. Si la solución es de la forma ax ≥ , la región incluye al valor a . De la misma forma,
si la solución es de la forma ax < , entonces la región será todos los números que estén a la izquierda de a sin
incluirlo. Si la solución es de la forma ax ≤ , la región incluye al valor a . Dependiendo del tipo de desigualdad
el conjunto solución puede ser uno o dos intervalos, la totalidad de los números reales o el conjunto vacío.
Ejemplos.
Representar gráficamente la solución de las siguientes inecuaciones de primer grado:
1) ( ) ( )623214 +−>+ xx
Solución.
186244 −−>+ xx
418264 −−>+ xx
2010 −>x
10
20−
>x
2−>x
2) 5
4
11
8
3
5
2
9
7
4
3
++−≥−− xxx
++−≥
−− 5
4
11
8
3
5
12
2
9
7
4
3
12 xxx
6033962054849 ++−≥−− xxx
5496020339684 +−+≥−+− xxx
12521 ≥− x
9. Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Desigualdades Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa
9
21
125
−≤x
3)
xx 8
5
4
13
2
73
−<+−
si 0>x
−<
+−
x
x
x
x
8
5
4
13
8
2
73
8
5262824 −<+− xx
2452628 +−<− xx
192 <x
2
19
<x
dadas las restricciones 0>x y
2
19
<x , su intersección es
2
19
0 << x
Si 0<x entonces el resultado de la desigualdad cambia de sentido
2
19
>x
dadas las restricciones 0<x y
2
19
>x , no hay intersección.
Por lo tanto, la solución está dada por:
2
19
0 << x
DESIGUALDADES DE SEGUNDO GRADO EN UNA VARIABLE
Una desigualdad de segundo grado o desigualdad cuadrática, tiene la forma:
02
>++ cbxax o 02
≥++ cbxax o 02
<++ cbxax o 02
≤++ cbxax
donde b,a y c son números reales y 0≠a . Su solución generalmente representa un intervalo o la
unión de dos intervalos de números reales.
Para resolver una desigualdad cuadrática se usan los conceptos de número crítico y número de prueba.
Un número crítico de la desigualdad mencionada es una raíz real de la ecuación cuadrática
02
=++ cbxax .
x7531 9
2
19
0 << x
11-1 x7531 9
2
19
0 << x
11-1
10. Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Desigualdades Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa
10
Si 1r y 2r son números críticos y 21 rr < , entonces el polinomio cbxax ++2
sólo puede cambiar de
signo algebraico en 1r y 2r por la tanto el signo más o menos de cbxax ++2
será constante en cada
uno de los intervalos ( )1r,∞− , ( )21 r,r , ( )∞,r2 .
Para determinar si estos intervalos son o no solución de la inecuación, se evalúa con un número x de
prueba arbitrario en cbxax ++2
para cada intervalo. Los resultados obtenidos sirven para ubicar el
conjunto de soluciones de la desigualdad.
Un procedimiento sistemático para la resolución de inecuaciones cuadráticas es el siguiente:
1. Se trasladan todos los términos de la inecuación al miembro de la izquierda.
2. Se hallan los números críticos 1r y 2r de la ecuación cuadrática y se forman los intervalos ( )1r,∞− ,
( )21 r,r , ( )∞,r2 .
3. Se prueban con valores de fácil sustitución localizados en dichos intervalos para determinar cuáles
son los que satisfacen la desigualdad.
Ejemplos.
Resolver las siguientes inecuaciones:
1) 092
>−x
Solución.
92
=x
9±=x
3±=x
Los números críticos son:
31 =r y 32 −=r
los intervalos solución pueden ser ( )3−∞− , , ( )33,− y ( )∞,3
probando con tres números ubicados en esos intervalos para saber si cumplen la desigualdad :
para 4−=x del intervalo ( )3−∞− , se tiene: ( ) 0791694
2
>=−=−−
para 0=x del intervalo ( )33,− se tiene: 0990902
<−=−=−
para 4=x del intervalo ( )∞,3 se tiene: ( ) 0791694
2
>=−=−
Los valores que cumplen la desigualdad son el primero y el tercero, por lo que la solución es:
( ) ( )∞−∞− ,, 33 ∪ .
La gráfica de la parábola se ubica por arriba del eje x en los intervalos solución de la desigualdad porque
sus ordenadas son mayores que cero:
092
>−x
11. Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Desigualdades Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa
11
x1 432 5-1-2-3-4-5
5
25
35
y
20
15
10
30
6 7-6-7
-10
( ] [ )∞∞− ,, 33 ∪
2) 042
<−x
Solución.
42
=x
2±=x
2±=x
Los números críticos son:
21 =r y 22 −=r
los intervalos solución pueden ser ( )2−∞− , , ( )22,− y ( )∞,2
probando con tres números ubicados en esos intervalos para saber si cumplen la desigualdad 042
<−x :
para 5−=x del intervalo ( )2−∞− , se tiene: ( ) 02142545
2
>=−=−−
para 0=x del intervalo ( )22,− se tiene: 0440402
<−=−=−
para 5=x del intervalo ( )∞,2 se tiene: 021425452
>=−=−
El valor que cumple la desigualdad es el segundo, por lo que la solución es: ( )22,− .
La gráfica de la parábola se ubica por abajo del eje x en los intervalos solución de la desigualdad porque
sus ordenadas son menores que cero:
x1 432 5-1-2-3-4-5
5
25
35
40
y
20
15
10
30
6 7-6-7
( )22,−
3) xx 102 2
≥
Solución.
0102 2
≥− xx
12. Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Desigualdades Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa
12
0102 2
=− xx
( ) 0102 =−xx
Los números críticos son:
01 =r
5
2
10
1020102 2 ==⇒=⇒=− rxx
los intervalos solución pueden ser: ( ]0,∞− , [ ]50, y [ )∞,5
probando con tres números ubicados en esos intervalos para saber si cumplen la desigualdad 0102 2
>− xx :
para 1−=x del intervalo ( ]0,∞− se tiene: ( ) ( ) 01210211012
2
>=+=−−−
para 3=x del intervalo [ ]50, se tiene: ( ) ( ) 012301831032
2
<−=−=−
para 6=x del intervalo [ )∞,5 se tiene: ( ) ( ) 012607261062
2
>=−=−
Los valores que cumplen la desigualdad son el primero y el tercero, por lo que la solución es:
( ] [ )∞∞− ,, 50 ∪ .
La gráfica de la parábola se ubica por arriba del eje x en los intervalos solución de la desigualdad porque
sus ordenadas son mayores o iguales que cero:
x1 432 5-1-2-3-4-5
5
25
35
y
20
15
10
30
6 7-6-7
-15
( ) ( )∞∞− ,, 50 ∪
4) xx 123 2
−≤
Solución.
0123 2
≤+ xx
0123 2
=+ xx
( ) 0123 =+xx
Los números críticos son:
01 =r
4
3
12
1230123 2 −=
−
=⇒−=⇒=+ rxx
los intervalos solución pueden ser: ( ]4−∞− , , [ ]04,− y [ )∞,0
probando con tres números ubicados en esos intervalos para saber si cumplen la desigualdad :
para 5−=x del intervalo ( ]4−∞− , se tiene: ( ) ( ) 015607551253
2
>=−=−+−
0123 2
<+ xx
13. Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Desigualdades Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa
13
para 2−=x del intervalo [ ]04,− se tiene: ( ) ( ) 012241221223
2
<−=−=−+−
para 1=x del intervalo [ )∞,0 se tiene: ( ) ( ) 01512311213
2
>=+=+
El valor que cumple la desigualdad es el segundo, por lo que la solución es: [ ]04,− .
La gráfica de la parábola se ubica por abajo del eje x en los intervalos solución de la desigualdad porque
sus ordenadas son menores que cero:
x1 432 5-1-2-3-4-5
5
25
y
20
15
10
30
6 7-6-7
-15
[ ]04,−
5) xx 282
<−
Solución.
Trasponiendo términos: 0822
<−− xx
0822
=−− xx
821 −=−== c,b,a
Sustituyendo en la fórmula general se tiene:
( ) ( ) ( )( )
( ) 2
62
2
362
2
3242
12
81422
2
±
=
±
=
+±
=
−−−±−−
=x
Los números críticos son:
4
2
8
2
62
1 ==
+
=r
2
2
4
2
62
2 −=
−
=
−
=r
Nótese que la ecuación también puede factorizarse y los números críticos pueden obtenerse más rápidamente:
( )( ) 024 =+− xx
404 1 =⇒=− rx
202 2 −=⇒=+ rx
los intervalos solución pueden ser: ( )2−∞− , , ( )42,− y ( )∞,4
probando con tres números ubicados en esos intervalos para saber si cumplen la desigualdad 0822
<−− xx :
para 3−=x del intervalo ( )2−∞− , se tiene: ( ) ( ) 078698323
2
>=−+=−−−−
para 0=x del intervalo ( )42,− se tiene: ( ) 0880080202
<−=−+=−−
14. Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Desigualdades Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa
14
para 5=x del intervalo ( )∞,4 se tiene: ( ) 078102585252
>=−−=−−
Por lo tanto, el valor que cumple la desigualdad es el segundo, por lo que la solución es: ( )42,− .
La gráfica de la parábola se ubica por abajo del eje x en los intervalos solución de la desigualdad porque
sus ordenadas son menores que cero:
x1 432 5-1-2-3-4-5
5
25
35
y
20
15
10
30
6 7-6-7
( )42,−
6) 3042 2
≥+ xx
Solución.
Trasponiendo términos: 03042 2
≥−+ xx
Simplificando: 01522
≥−+ xx
01522
=−+ xx
( )( ) 035 =−+ xx
505 1 −=⇒=+ rx
303 2 =⇒=− rx
los intervalos solución pueden ser ( ]5−∞− , , [ ]35,− y [ )∞,3
probando con tres números ubicados en esos intervalos para saber si cumplen la desigualdad
03042 2
≥−+ xx :
para 6−=x del intervalo ( ]5−∞− , se tiene: ( ) ( ) 018302472306462
2
>=−−=−−+−
para 0=x del intervalo [ ]35,− se tiene: ( ) ( ) 0303000300402
2
<−=−−=−+
para 4=x del intervalo [ )∞,3 se tiene: ( ) ( ) 018301632304442
2
>=−+=−+
Los valores que cumplen la desigualdad son el primero y el tercero, por lo que la solución es:
( ] [ )∞−∞− ,, 35 ∪ .
La gráfica de la parábola se ubica por arriba del eje x en los intervalos solución de la desigualdad porque
sus ordenadas son mayores que cero:
15. Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Desigualdades Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa
15
x1 432 5-1-2-3-4-5
-10
y
5
10
15
6 7-6-7
-30
-25
-15
-20
( ] [ )∞−∞− ,, 35 ∪
7) 4
3
1
6
1 2
<+ xx
Solución.
( )46
3
1
6
1
6 2
<
+ xx
2422
<+ xx
Trasponiendo términos:
02422
<−+ xx
2421 −=== c,b,a
Sustituyendo en la fórmula general se tiene:
( ) ( )( )
( )12
241422
2
−−±−
=x
2
9642 +±−
=
2
1002 ±−
=
2
102±−
=
Los números críticos son:
4
2
8
2
102
1 ==
+−
=r
6
2
12
2
102
2 −=
−
=
−−
=r
los intervalos solución pueden ser ( )6−∞− , , ( )46,− y ( )∞,4
probando con tres números ubicados en esos intervalos para saber si cumplen la desigualdad
02422
<−+ xx :
para 7−=x del intervalo ( )6−∞− , se tiene: ( ) ( ) 01124144924727
2
>=−−=−−+−
para 0=x del intervalo ( )46,− se tiene: ( ) 0242400240202
<−=−−=−+
para 5=x del intervalo ( )∞,4 se tiene: ( ) ( ) 01124102524525
2
>=−+=−+
16. Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Desigualdades Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa
16
Por lo tanto, el valor que cumple la desigualdad es el segundo, por lo que la solución es: ( )46,− .
La gráfica de la parábola se ubica por abajo del eje x en los intervalos solución de la desigualdad porque
sus ordenadas son menores que cero:
x1 432 5-1-2-3-4-5
-10
20
y
5
10
15
6 7-6-7
-15
-20
( )46,−
8) xxxx 2125 22
+<+−
Solución.
Trasponiendo términos: 0144 2
<+− xx
0144 2
=+− xx
144 =−== c,b,a
Sustituyendo en la fórmula general se tiene:
( ) ( ) ( )( )
( ) 8
04
8
04
8
16164
42
14444
2
±
=
±
=
−±
=
−−±−−
=x
Los números críticos son:
2
1
8
4
8
04
1 ==
+
=r
2
1
8
4
8
04
2 ==
−
=r
los intervalos solución pueden ser
∞−
2
1
, y
∞,
2
1
probando con dos números ubicados en esos intervalos para saber si cumplen la desigualdad 0144 2
<+− xx :
para 0=x del intervalo
∞−
2
1
, se tiene: ( ) ( ) 010010404
2
>+−=+−
para 1=x del intervalo
∞,
2
1
se tiene: ( ) ( ) 0114411414
2
>=+−=+−
Ninguno de los valores que cumplen la desigualdad, por lo que no tiene solución.
Nótese como la desigualdad 0144 2
<+− xx se puede expresar como:
( ) ( ) 01222
2
<+− xx
17. Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Desigualdades Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa
17
Factorizando:
( ) 012
2
<−x
Puesto que el cuadrado de cualquier número real siempre es mayor o igual a cero, entonces se
comprueba que esta inecuación no tiene solución.
Toda la parábola se localiza por arriba del eje x , por eso no hay solución:
x21-1-2
4
8
2
y
7
6
5
3
3
9
-3
1
9) 543186 22
++−<++− xxxx
Solución.
Trasponiendo términos: 0443 2
<−+− xx
Convirtiendo esta desigualdad a un trinomio cuadrado perfecto, se tiene:
4
3
4
344304430443 2222
−>
−⇒−>+⇒>−+⇒<−+− xxxxxxxx
9
8
3
2
3
8
3
2
3
3
4
4
9
4
3
4
3
22
2
−>
−⇒−>
−⇒+−>
+−⇒ xxxx
Puesto que el cuadrado de cualquier número real siempre es mayor o igual a cero, entonces se trata de
una desigualdad absoluta.
Toda la parábola se localiza por abajo del eje x y su solución es cualquier número real:
-30
-10
y
-15
-20
-25
-45
x1 432 5-1-2-3-4-5 6-6-7
-35
-40