El documento describe las desigualdades y los intervalos en matemáticas. Explica los diferentes tipos de desigualdades como <, >, ≤, ≥ y sus significados. También describe las propiedades de las desigualdades como la transitividad y las operaciones de adición, sustracción, multiplicación y división. Finalmente, define los diferentes tipos de intervalos como cerrados, abiertos y semiabiertos usando corchetes y paréntesis.

1. KAREN KLEVER MONTERO

2.  En matemáticas, una desigualdad es una relación que se da
entre dos valores cuando estos son distintos (en caso de ser
iguales, lo que se tiene es una igualdad).
 Si los valores en cuestión son elementos de un conjunto
ordenado, como los enteros o los reales, entonces pueden ser
comparados.
 En las desigualdades se utilizan los siguientes símbolos:
 < > ≤ ≥ ≪ ≫

3.  < Menor que
 > Mayor que
 ≥ Mayor o igual que
 ≤ Menor o igual que
 ≫ Mucho mayor que
 ≪ Mucho menor que
 ≠ No es igual a

4.  La notación a < b significa a es menor que b;
 La notación a > b significa a es mayor que b;
 estas relaciones se conocen
como desigualdades estrictas, puesto que a no
puede ser igual a b; también puede leerse
como "estrictamente menor que" o
"estrictamente mayor que".

5.  La notación a ≤ b significa a es menor o igual
que b;
 La notación a ≥ b significa a es mayor o igual
que b;
Estos tipos de desigualdades reciben el nombre
de desigualdades amplias (o no estrictas).

6.  La notación a ≪ b significa a es mucho menor
que b;
 La notación a ≫ b significa a es mucho mayor
que b;
Esta relación indica por lo general una diferencia
de varios órdenes de magnitud.

7.  La notación a ≠ b significa que a no es
igual a b. Tal expresión no indica si uno es
mayor que el otro, o siquiera si son
comparables.

8.  Las desigualdades están gobernadas por las siguientes
propiedades. Notar que, para las propiedades
transitividad, adición, sustracción, multiplicación y
división, la propiedad también se mantiene si los
símbolos de desigualdad estricta (< y >) son
reemplazados por sus correspondientes símbolos de
desigualdad no estricta (≤ y ≥).

9.  Para números reales arbitrarios a, b y c:
 Si a > b y b > c entonces a > c.
 Si a < b y b < c entonces a < c.
 Si a > b y b = c entonces a > c.
 Si a < b y b = c entonces a < c.
 Ejemplo:
 Si 12 < 15 y 15 < 23, entonces 12 < 23
 Si 9 > 5 y 5 = (3 + 2) entonces 9 > (3 +2)

10.  Para números reales arbitrarios a, b y c:
 Si a < b entonces a + c < b + c
 Y a − c < b − c.
 Si a > b entonces a + c > b + c
 Y a − c > b − c.
 Ejemplo:
 Si 789 < 987 y aplicamos la propiedad
adicionando 143 resulta así:
 789 + 143 < 987 + 143
 932 < 1130

11.  Para números reales arbitrarios a y b,
y c diferente de cero:
 Si c es positivo y a < b entonces ac < bc
 y a/c < b/c.
 Si c es negativo y a < b entonces ac > bc
 y a/c > b/c.

12.  Para números reales arbitrarios a y b:
 Si a < b entonces −a > −b.
 Si a > b entonces −a < −b.
 Ejemplo:
 Si 45 < 86 entonces -45 > -86
 Si 70 > 49 entonces -70 < -49
 Cambia el sentido de la desigualdad.

13.  Para números reales a y b distintos de cero,
ambos positivos o negativos a la vez:
 Si a < b entonces 1/a > 1/b.
 Si a > b entonces 1/a < 1/b.
 Si a y b son de distinto signo:
 Si a < b entonces 1/a < 1/b.
 Si a > b entonces 1/a > 1/b.
 Ejemplo:
 -8 < -3 entonces -1/8 > -1/3
 6 > -4 entonces 1/6 > -1/4

14.  Se puede definir el valor absoluto por medio de
desigualdades:
∣a∣ ≤ b si y solo si, -b ≤ a ≤ b
∣a∣ ≥ b si y solo si, a ≥ b ⋁ a ≤ -b
Ejemplo:
∣8∣ ≤ 17 si y solo si, -17 ≤ 8 ≤ 17
∣-12∣ ≥ 5 si y solo si, 12 ≥ 5 ⋁ 12 ≤ -5 y la
verdadera es 12 ≥ 5

15.  En matemática, una inecuación es
una desigualdad algebraica en la que aparecen
una o más incógnitas en los miembros de la
desigualdad. Si la desigualdad es del
tipo > o < se denomina inecuación en sentido
estricto y si es del tipo ≥ o ≤ se
denomina inecuación en sentido amplio.

16.  Del mismo modo en que se hace la diferencia
entre igualdad y ecuación, una inecuación que es
válida para todas las variables se
llama inecuación incondicional y las que son
válidas solo para algunos valores de las variables
se conocen como inecuaciones
condicionales. Los valores que verifican la
desigualdad, son sus soluciones.

17.  Según el número de incógnitas,
◦ De una incógnita. Ejemplo: x < 0
◦ De dos incógnitas. Ejemplo: x < y
◦ De tres incógnitas. Ejemplo: x < y + z
◦ etc.

18.  Según la potencia de la incógnita:
◦ De primer grado o lineal. Cuando el mayor exponente de la
incógnita de la inecuación es uno.
Ejemplo: x + 1 < 0
◦ De segundo grado o cuadrática. Cuando el mayor
exponente de cualquiera de sus incógnitas es dos. Ejemplo:
x2 + 1 < 0
◦ De tercer grado o cúbica. Cuando el mayor exponente de
cualquiera de sus incógnitas es tres. Ejemplo: x3 + x2 < 0
◦ etc.
 Nota: estas clasificaciones no son mutuamente excluyentes,
como se muestra en el último ejemplo

19.  Inecuaciones de segundo grado con una
incógnita
 Se expresan a través de cualquiera de las
desigualdades siguientes (con a, b y c números
reales, y a distinto de cero):
 ax2 + bx + c < 0
 ax2 + bx + c > 0
 ax2 + bx + c ≤ 0
 ax2 + bx + c ≥ 0

20.  Un intervalo (del latín intervallum) es
un conjunto comprendido entre dos valores.
Específicamente, un intervalo real es
un subconjunto conexo de la recta real , es
decir, una porción de recta entre dos valores
dados.

21.  El intervalo real I es la parte de R que verifica
la siguiente propiedad:
 Si a y b pertenecen a I con a ≤ b, entonces
para todo x tal que a ≤ x ≤ b , se tiene
que x pertenece a I
 Nota: I es el intervalo y R es el conjunto de
los números reales.

22.  Existen dos notaciones principales: en un
caso se utilizan corchetes y corchetes
invertidos, en el otro corchetes y paréntesis.
 [ ] ( ) ] [ [ ) ( ]

23.  Intervalo abierto
 No incluye los extremos.
 (a , b) o bien ]a , b[
 Notación conjuntista o en términos de
desigualdades:
 El intervalo (a , b), es aquel que para todo x
que pertenece al intervalo, a < x < b

24.  Intervalo cerrado
 Sí incluye los extremos.
 Que se indica: [a , b]
 Notación conjuntista o en términos de
desigualdades
 En el intervalo [a , b], es aquel que para todo x
que pertenece al intervalo, se representa
 a ≤ x ≤ b

25.  Intervalo semiabierto
 Incluye únicamente uno de los extremos.
 Con la notación [a , b) o bien [a , b[ indicamos.
 En notación conjuntista:
 [a ,b), para todo x que pertenece al intervalo, el
primer extremo está incluido así: a ≤ x < b
 Y con la notación (a , b] o bien ]a, b],
 En notación conjuntista:
 (a ,b], para todo x que pertenece al intervalo, el
primer extremo está incluido así: a < x ≤ b