El documento define intervalos, desigualdades e inecuaciones. Explica que un intervalo es un conjunto de números reales comprendidos entre dos extremos, y clasifica intervalos en abiertos, cerrados y semiabiertos. Luego, define una desigualdad como una expresión algebraica relacionada por signos de comparación, y explica propiedades de desigualdades como sumar o multiplicar términos. Finalmente, introduce el valor absoluto y sus propiedades.

1. DESIGUALDADES
PERTENECIENTE A
JOEL COA-COA
MATEMATICA

2. DEFINICIONES
1. INTERVALO: ES EL CONJUNTO DE NÚMEROS REALES COMPRENDIDOS ENTRE
OTROS DOS DADOS: A Y B QUE SE DENOMINAN EXTREMOS DEL INTERVALO.
TAMBIÉN SE LLAMA INTERVALO AL SEGMENTO DETERMINADO POR LOS PUNTOS
A Y B QUE REPRESENTA UNA PORCIÓN DE LA RECTA REAL.
EJEMPLO
(2,5) ES UN INTERVALO DE EXTREMOS 2 Y 5 Y A ESTE PERTENECEN TODOS LOS
NÚMEROS COMPRENDIDOS ENTRE 2 Y 5 SIN INCLUIR SUS EXTREMOS.

3. CLASES DE INTERVALOS
• INTERVALOS ABIERTOS: (A,B): SON TODOS LOS NÚMEROS ENTRE A Y B SIN
INCLUIR SUS EXTREMOS.
• INTERVALOS CERRADOS: [A,B]: SON TODOS LOS NÚMEROS ENTRE A Y B
INCLUYENDO SUS EXTREMOS.
• INTERVALOS SEMIABIERTOS O SEMICERRADOS: [A,B) SON TODOS LOS
NÚMEROS ENTRE A Y B INCLUYENDO EL EXTREMO A.
• INTERVALOS INFINITOS: (A,∞) : SON TODOS LOS NÚMEROS MAYORES QUE A.

4. INECUACIÓN
2. INECUACIÓN ES TODA EXPRESIÓN EN LA QUE APARECE ALGUNO DE LOS
SÍMBOLOS ≤, ≥, < Ó > .
LAS DESIGUALDADES COMO LAS INECUACIONES SE PUEDEN CLASIFICAR EN:
VERDADERA: -5 >-10
ABSURDA: 3 <-2
INECUACIÓN: 5X-9 ≥2X+1
LAS SOLUCIONES DE LAS DESIGUALDADES SON INTERVALOS.

5. DESIGUALDADES
Una desigualdad es una expresión algebraica
relacionada por los signos
Mayor que (>)
Menor que (<)
Mayor o igual que (>)
Menor o igual que (≤)

6. PROPIEDADES DE LAS DESIGUALDADES
• SI A<B Y C UN NÚMERO REAL CUALQUIERA, ENTONCES A±C<B±C.
• SI A<B Y C UN NÚMERO REAL POSITIVO CUALQUIERA, ENTONCES A.C<B.C.
• SI A<B Y C UN NÚMERO REAL NEGATIVO CUALQUIERA, ENTONCES A.C>B.C.

7. PROPIEDADES DE LAS
DESIGUALDADES
1. SI A < B Y C < D → A + C < B + D.
EJ. 2 < 5
7 < 10
2 + 7 < 5 + 10
SI A > B Y C > D → A + C > B + D
EJ -3 > -5
4 > 1
-3 + 4 > -5 + 1
 SI DOS DESIGUALDADES DEL MISMO SENTIDO SE SUMAN MIEMBRO A MIEMBRO LA DESIGUALDAD NO
CAMBIA DE SENTIDO.

8. PROPIEDADES DE LAS
DESIGUALDADES
2. SI A < B , C Є R → A ± C < B ± C
EJ. - 4 < 7
- 4 + 2,5 < 7 + 2,5
-1,5 < 9,5
SI A > B , C Є R → A ± C > B ± C
EJ. 3 > -1
3 – 5 > -1 – 5
-2 > -3
SI SUMAMOS O RESTAMOS UN MISMO NÚMERO REAL A AMBOS
MIEMBROS DE LA DESIGUALDAD, LA DESIGUALDAD RESULTANTE
NO CAMBIA DE SENTIDO.

9. PROPIEDADES DE LAS
DESIGUALDADES
3. SI A < B , C > 0 → A.C < B.C , Y, A/C < B/C
EJ. 4 < 10 4 < 10
4 . 2 < 10. 2 4/2 < 10/2
8 < 20 2 < 5
SI A > B , C > 0 → A.C > B.C ,Y, A/C > B/C
EJ. 15 > 9 15 > 9
15 . 3 > 9 . 3 15/3 > 9/3
45 > 27 5 > 3
SI SE MULTIPLICA O DIVIDE A AMBOS MIEMBROS DE UNA DESIGUALDAD POR UN NÚMERO REAL POSITIVO LA
DESIGUALDAD RESULTANTE NO CAMBIA DE SENTIDO.

10. PROPIEDADES DE LAS
DESIGUALDADES
4. SI A < B , Y, C < 0 → A . C > B . C ,Y, A/C > B/C
EJ. 3 < 12 3 < 12
3 (-3) > 12 (-3) 3 / (-3) > 12/ (-3)
-9 > -36 -1 > -4
SI A > B , Y, C < 0 → A . C < B . C , Y, A/C < B/C
EJ. 3 > -4 3 > -4
3 (-2) < -4 (-2) 3 / (-2) < (-4) / (-2)
-6 < 8 -3/2 < 2
SI SE MULTIPLICA O DIVIDE A AMBOS MIEMBROS DE UNA DESIGUALDAD POR UN NÚMERO REAL NEGATIVO, LA
DESIGUALDAD RESULTANTE CAMBIA DE SENTIDO

11. PROPIEDADES DE LAS
DESIGUALDADES
5.A > O , Y, B > 0
A . B > 0
A < 0 ,Y, B < 0
EJ. 8 > 0 , Y , 7 > 0 -5 < 0 ,Y, -6 < 0
8 . 7 > 0 (-5)(-6) > 0
56 > 0 30 > 0
EL PRODUCTO DE DOS NÚMEROS REALES ES MAYOR QUE CERO SI AMBOS SON POSITIVOS O
AMBOS SON NEGATIVOS .

12. CLASIFICACIÓN DE DESIGUALDADES
•DESIGUALDADES LINEALES: SON LAS MÁS SENCILLAS PUESTO QUE
SOLAMENTE CONTIENEN LA VARIABLE A LA PRIMERA POTENCIA.
•DESIGUALDADES LINEALES DOBLES: SON DESIGUALDADES
LINEALES QUE CONTIENEN DOS SIGNOS DE COMPARACIÓN.
•DESIGUALDADES CUADRÁTICAS: COMO SU NOMBRE LO INDICA SON
AQUELLAS EN LAS QUE EN UNO DE SUS MIEMBROS O EN AMBOS APARECE UN
TÉRMINO CUADRÁTICO.
•DESIGUALDADES RACIONALES: SON AQUELLAS EN LAS QUE APARECEN
COCIENTES CON VARIABLE EN EL DENOMINADOR Y/O EN EL NUMERADOR.

13. SOLUCIÓN DE DESIGUALDADES
1. RESUELVA LA INECUACIÓN 2X+3>-2
LA SOLUCIÓN DE LA DESIGUALDAD ES EL INTERVALO ABIERTO (-1,∞)
2x+3>-2
2x>-2-3
2x>-1
x>-2/2
x>-1
desigualdad a solucionar
adicionando -3
Realizando la operación
dividiendo por 2
resolviendo la división

14. SOLUCIÓN DE DESIGUALDADES
-2<1-3x≤4 Desigualdad a solucionar
-2-1<-3x≤4-1 adicionando -1 a las tres expresiones
-3<-3x≤3 realizando las operaciones
-3/-3>x≥4/-3 dividiendo por -3 a las tres expresiones
-1>x≥-4/3 realizando la división
-4/3≤x<-1 La solución de la desigualdad es el
intervalo semiabierto [-4/3,-1)

15. SOLUCIÓN DE DESIGUALDADES
3+3x≤5x+1 Lado Izquierdo 5x+1<17+3x Lado derecho
3-1≤5x-3x Despeje de
incógnita
5x-3x <17-1 Despeje de
incógnita
2≤2x Solución de
términos
semejantes
2x <16 Solución de
términos
semejantes
1≤x Solución del lado
izquierdo
x <8 Solución del lado
derecho
La solución de la desigualdad es el intervalo semiabierto [1,8)

16. SOLUCIÓN DE DESIGUALDADES
4. RESUELVA LA INECUACIÓN 4X²+8X-1≤X²-6
ESTA DESIGUALDAD ES CUADRÁTICA POR TAL MOTIVO SE SOLUCIONA ASÍ:
4x²+8x-1≤x²-6 Desigualdad a Resolver
4x²+8x-1- x²+6 ≤0 Dejando a un lado el 0
3x²+8x+5 ≤0 Adicionan términos
semejantes
(3x+5)(x+1) ≤0 Factorizando el
polinomio
x=-5/3 y x=-1 Se hallan los ceros de los
factores
La solución de la inecuación es [-5/3,-1]

17. SOLUCIÓN DE DESIGUALDADES
• 5. RESUELVA LA INECUACIÓN
Desigualdad a Resolver
Sumando 2 en ambos lados
Resolviendo la Suma
indicada.
Eliminando términos
semejantes
x=1/3 y x=1 Se hallan los ceros de los
factores
La solución de la inecuación es el intervalo de los
2
1
1
−≥
−
+
x
x
2
1
1
−≥
−
+
x
x
02
1
1
≥+
−
+
x
x
0
1
221
≥
−
−++
x
xx
0
1
13
≥
−
−
x
x
[ )∞∪





∞−∈ ,1
3
1
,x

18. VALOR ABSOLUTO
• EL VALOR ABSOLUTO DE X DENOTADO POR |X| SE DEFINE COMO
• X SI X ≥ 0
• |X| =
• -X SI X < O
• EJ. |3| = 3 |-5| = -(-5) |8 - 14| = |-6|
• = 5 = -(-6)
• = 6
• EL VALOR ABSOLUTO DE UN NÚMERO ES SU DISTANCIA AL CERO SOBRE LA RECTA REAL

19. PROPIEDADES DELVALOR ABSOLUTO
• 2. |X| > A ↔ X > A Ó X < -A
• |X| ≥ A ↔ X ≥ A Ó X ≤ -A
• EJ. |3X + 2| > 5
• 3X + 2 > 5 Ó 3X + 2 < -5
• X > 1 X < -7/3
• SOLUCIÓN: (-∞,-7/3) (1, ∞)Ụ

20. PROPIEDADES DELVALOR ABSOLUTO
3. SI A, B Є R Y B DIFERENTE DE 0 →
I) |A.B|= |A| . |B|
II) A |A|
-- = ---
B |B|
III) |A| - |B| ≤ |A-B|