Material ANUAL UNI

2. MARCO TEÓRICO
GEOMETRÍA
 PUNTOS NOTABLES II:
SEMANA 15
 ORTOCENTRO
 CIRCUNCENTRO

3. OBJETIVOS
 Definir y ubicar al Ortocentro y Circuncentro en el triángulo.
 Reconocer los teoremas relacionados con el Ortocentro y Circuncentro.
 Aplicar los teoremas en problemas tipo admisión UNI.

4. PUNTOS NOTABLES II
• ORTOCENTRO
• CIRCUNCENTRO
• TEOREMAS.
En Quimica, la geometría
molecular trigonal plana es
un tipo de geometría
molecular con un átomo en el
centro y tres átomos en las
esquinas de un triángulo,
llamados átomos periféricos,
todo ellos en el mismo plano.
𝐴
𝐶
𝐵 𝑂
En este mecanismo de transformación de
movimiento de circular a lineal.
A, B y C son posiciones diferentes del extremo
de la biela, donde el punto O resulta ser el
circuncentro del △ABC.

5. En todo triángulo el ortocentro es aquel
punto de concurrencia de las alturas o de
sus respectivas prolongaciones.
ORTOCENTRO
A
B
C
R
P
Q
Si 𝐴𝑃 y 𝐵𝑅 son alturas:
𝐶𝑄: Altura
H: Ortocentro
H
• Si ∆ABC es
acutángulo:
H ∈ R. interior
• Para demostrar que 𝜃 = 90°
• Se observa que HPCR es inscriptible,
por caso frecuente:
𝑚∡𝑅𝐻𝐶 = 𝑚∡𝑅𝑃𝐶 = 𝛼
DEMOSTRACIÓN
A
B
C
R
P
Q
𝜃
𝛼
𝛼
𝛼
• ABPR es inscriptible:
𝑚∡𝐵𝐴𝑅 = 𝑚∡𝑅𝑃𝐶 = 𝛼
• AQHR es inscriptible:
→ 𝜃 = 90°
H

6. ORTOCENTRO
En un triángulo obtusángulo
A
B
C
H
En un triángulo rectángulo
En este caso las alturas AP, BR y CS no se
cortan; pero sus prolongaciones si se cortan en
el punto H.
A
B C
P
R
S
R
En este caso el punto de
concurrencia (punto en
común) es el vértice B.
H: Ortocentro de la región triangular ABC B: Ortocentro de la región
triangular ABC
Si H es Ortocentro de la región
triangular ABC.
Entonces la ceviana que pasa por H,
debe ser la altura del triángulo.
A
B
C
H
R
TEOREMA

7. Sea H Ortocentro de la región
triangular ABC, calcule 𝐴𝑄.
30°
45°
A
B
C
Q
H
45°
45°
45°
30°
A
B
C
Q
H
4
2
2 2 3
R
P
 Como H es Ortocentro, entonces
por dicho punto deben pasar las
alturas BR y AP.
 Luego completamos las medidas
angulares.
 En el ∆QRH: 𝐻𝑅 = 2 𝑦 𝑅𝑄 = 2 3
 En el ∆𝐴𝑅𝐻: 𝐴𝑅 = 2
TEOREMA
Cepre uni 𝟐𝟎𝟐𝟎 − 𝟐
APLICACIÓN
4
𝑃𝑖𝑑𝑒𝑛 ∶ 𝐴𝑄
RESOLUCIÓN:
A
B
C
H
R
𝜃 = 90°
𝜃
∴ 𝑨𝑸 = 𝟐 + 𝟐 𝟑
Cuando tenemos al ortocentro,se sugiere
trazar la altura que contiene a dicho punto
𝑆𝑖 𝐻: 𝑂𝑟𝑡𝑜𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜
𝑑𝑒𝑙 ∆𝐴𝐵𝐶

8. A
B
C
H
A
B
C
𝜃
H
α
• Si H es ortocentro:
𝜃 + 𝛼 = 180°
• Si H es ortocentro:
𝜃
α
𝜃 = 𝛼
TEOREMA
DEMOSTRACIÓN
Si en gráfico anterior si:
𝛼 = 4𝜃, calcule 𝜃.
Como 𝜃 + 𝛼 = 180°
Entonces
𝜃 + 4𝜃 = 180°
5𝜃 = 180°
∴ 𝜽 = 𝟑𝟔°
α
P
Q
A
B
C
𝜃
α
• Para demostrar que 𝜃 + 𝛼 = 180°,
aprovechamos que H es ortocentro,
prolongamos𝐴𝐻 y 𝐶𝐻.
• 𝐴𝑃 y 𝐶𝑄 : Alturas.
H
• Entonces HQBP es inscriptible, por
caso frecuente:
∴ 𝜃 + 𝛼 = 180°

9. En un triángulo ABC, E es excentro
relativo a 𝐴𝐶 y H ortocentro.Si AHCE
es inscriptible, calcule m∢ABC.
RECORDAR
Cepre uni 𝟐𝟎𝟐𝟎 − 𝟐
APLICACIÓN
180°−2𝑥
90° − 𝑥
H
RESOLUCIÓN: Sea m∢𝐴𝐵𝐶 = 2𝑥
→ Piden 2𝑥
2𝑥
A
B
C
∴ 2𝑥 = 60°
𝑥 = 30°
• Como E es excentro:
m∢𝐴𝐸𝐶 = 90° −
2𝑥
2
m∢𝐴𝐸𝐶 = 90° − 𝑥
• Como H es ortocentro:
m∢𝐴𝐻𝐶 = 180° − 2𝑥
• Por dato: AHCE inscriptible
90° − 𝑥 + 180° − 2𝑥 = 180°
E

10. CIRCUNCENTRO
Es aquel punto de concurrencia de las
mediatrices de los lados de todo
triángulo.
A
B
C
ℒ1
ℒ3 ℒ2
Si ℒ1 y ℒ2 son mediatrices:
ℒ3 : mediatriz
O: Circuncentro
DEMOSTRACIÓN
A
B
C
ℒ1
ℒ3 ℒ2
• Desmostremos que ℒ3 es mediatriz
de 𝐴𝐵
• Se observa que △AOB es isósceles,
como OM es una mediana también
debe ser altura
𝑥 = 90°
𝑥
M
• Por el teorema de la mediatriz:
O
O 𝑂𝐴 = 𝑂𝐶 = 𝑅 𝑦 𝑂𝐶 = 𝑂𝐵 = 𝑅
𝑅
𝑅 𝑅
• Trazar una recta que divida al lado
AB en dos de igual longitud
• Por lo tanto por definición ℒ3 es
mediatriz de 𝐴𝐵
→

11. • Si ∆ABC es obtusángulo :
O ∈ R. exterior
• Si ∆ABC es rectángulo :
O ∈ ∆ABC
O
A
B
C
O
A
B
C
• Si la C esta circunscrita
al ∆ABC:
A
B
C
O
R
O: Circuncentro
R: Circunradio
OA=OB=OC=R
• Si ∆ABC es acutángulo:
O ∈ R. interior
R
R
R
También es el centro de una
circunferencia que contiene a los vértices
de un triángulo.
CIRCUNCENTRO
TENER PRESENTE:
La ubicación del Circuncentro depende del tipo de
triángulo. En el caso del triángulo rectángulo es el punto
medio de la hipotenusa
C
→
→ →

12. TEOREMA
Cepre uni 𝟐𝟎𝟐𝟎 − 𝟐
APLICACIÓN
Sea O Circuncentro de la región
triangular ABC, calcule 𝑥.
A
B
C
O
55°
22°
𝑥
55°
𝑥
O
A
B
C
𝑅 𝑅
110°
35°
88°
35°
• Luego por ángulo inscrito
𝑚𝐴𝐶 = 110°
• Por ángulo central
𝑚∡𝐴𝑂𝐶 = 110°
→ 𝑚∡𝑄𝑂𝐶 = 88°
• Como el ∆𝐴𝑂𝐶 es isósceles
𝑚∡𝑂𝐴𝐶 = 𝑚∡𝑂𝐶𝐴 = 35°
𝑥 = 35° + 22°
Q
A
B
C
O
R
C O: Circuncentro
R: Circunradio
OA=OB=OC=R
𝑃𝑖𝑑𝑒𝑛 ∶ 𝑥
RESOLUCIÓN:
∴ 𝒙 = 𝟓𝟕°

13. TEOREMA
A
B
C
𝜃
O
α
• Si O es Circuncentro:
𝛼 = 2𝜃
→
TEOREMA
A
B
C
𝜃
O
• Si O es Circuncentro:
𝛼 = 𝜃
𝐴𝑀 = 𝑀𝐶 = 𝑎
a a
α
M
→
TEOREMA
A
B
C
𝜃
P
α
• Si 𝛼 = 2𝜃 𝑦 𝐴𝑃 = 𝑃𝐶 = 𝑅
→ P es Circuncentro
𝑅 𝑅
𝑅

14. 𝑃𝑖𝑑𝑒𝑛 ∶ 𝑚∡𝐴𝐶𝐵 = 𝑥
RESOLUCIÓN:
𝑥
110°
70°
50°
A
B
C
O
P
RESOLUCIÓN:
Dato:
𝐴𝑃 = 𝐴𝑂 = 𝑅
R
R 100° R
• Como O es circuncentro:
m∢AOC = 100°
• Además R es Circunradio:
OC = R
• El ∆AOC es isósceles:
m∢OAC = 40°
• El ∆OAP es isósceles:
m∢AOP = 70°
m∢AOB = 110°
Teorema del circuncentro (O):
R
RECORDAR:
∴ 𝒙 = 𝟓𝟓°
40°
𝑥 =
110°
2
Del gráfico O es circuncentro del
∆ABC, si AP=AO. Calcule m∢ACB.
50°
A
B
C
O
P
Cepre uni 𝟐𝟎𝟐𝟎 − 𝟐
APLICACIÓN

15. 𝟐𝟎𝟎𝟑 − 𝑰
EXAMEN UNI
𝐴) 6𝑚 B) 8𝑚 C) 12𝑚
D) 16𝑚 E) 20𝑚
RECORDAR
RESOLUCIÓN:
∴ 𝑥 = 8
Clave 𝑩
La suma de dos ángulos exteriores de un
triángulo miden 270° ; el lado mayor mide
48 m. Hallar la distancia del baricentro al
circuncentro
A
B
C
G
24 24
M
2𝑥
𝑥 𝛽
𝛼
Del dato
→ m∢𝐴𝐵𝐶 = 90°
G es baricentro
3𝑥 = 24
𝛼+𝛽 =270°
Lado mayor es 48
𝑃𝑖𝑑𝑒𝑛 ∶
• Por teorema en △ABC
𝛼 + 𝛽 = 180° + m∡𝐴𝐵𝐶
• En el triángulo rectángulo ABC
M es circuncentro
𝐴𝐶 = 48
• Trazar mediana relativa a la
hipotenusa
• Por teorema de la mediana relativa
a la hipotenusa en △ABC
Distancia del
baricentro al
circuncentro = 𝑥
O
A
B
C
• Si ∆ABC es
rectángulo :
O ∈ ∆ABC
270° = 180° + 𝑚∡𝐴𝐵𝐶

16. 𝛼
α
α
𝜃
α
A
B
C
H O
Si H :ortocentro y
O :circuncentro
𝛼 = 𝜃
A
B
C
H
P
Q
𝑥
𝑦
DEMOSTRACIÓN:
Si H es
ortocentro:
𝑥 = 𝑦
A
B
C
H
P
Q
𝑥
𝑦
Demostrar que: 𝑥 = 𝑦
• Como H es ortocentro:
m∢ABQ= m∢ACH=𝛼
• Por ∢inscrito (rebote):
m∢ACP=𝛼
• El ∆ACH es isósceles:
HQ=HP
∴ 𝑥 = 𝑦
RECORDAR:
C U R S O D E G E O M E T R Í A
TEOREMAS ADICIONALES
TEOREMA
→
→
TEOREMA

17. A
B
C
H O
Si H es ortocentro y
O circuncentro:
𝑎 = 2𝑏
b
c
c+b
a
b
DEMOSTRACIÓN:
Demostrar que: 𝑎 = 2𝑏
Trazamos la circunferencia
circunscrita para aprovechar el
teorema anterior y 𝑂𝑀 ⊥ 𝐵𝑃.
• En el rectángulo QMON:
MQ=b
• Como H es ortocentro:
si HM=c
HQ=QP= b + c
P
Q
M
H
O
A
B
C
a
b
N
• Como 𝑂𝑀 ⊥ 𝐵𝑃:
BM=MP
a + c = 2b + c
∴ a = 2b
RECORDAR:
TEOREMA

18. 𝟐𝟎𝟏𝟒 − 𝑰𝑰
EXAMEN UNI
𝐴) 2,5𝑚 B) 5𝑚 C) 6,5𝑚
D) 4𝑚 E) 3,5𝑚
TEOREMA
Se tiene un triángulo ABC inscrito en una
circunferencia de centro O , se traza el
diámetro AD. Si H es el ortocentro del
triángulo, hallar la distancia de O al lado AB,
sabiendo que el perímetro del cuadrilátero
HBDC es 30 m y la distancia de O al lado AC
es de 4 m.
M
D
H
N
A C
B
O
4
8
8
2𝑥
2𝑥
𝑥
RESOLUCIÓN:
∴ 𝑥 = 3,5
Clave 𝑬
• En el Δ ABC por teorema
→ 𝐵𝐻 = 8
• Se observa: 𝐵𝐻 ∥ 𝐷𝐶 𝑦 𝐵𝐻 = 𝐶𝐷
→ HBDC es un paralelogramo
• Del dato:
𝑃𝑖𝑑𝑒𝑛 ∶ 𝑥
• En el Δ ADC, por base media
→ 𝐶𝐷 = 8
• En el Δ ABD, por base media
𝐵𝐷 = 2(𝑂𝑀) = 2𝑥
𝐵𝐷 = 𝐻𝐶 = 2𝑥
8 + 2𝑥 + 8 + 2𝑥 = 30
Dato: perímetro de HBCD = 30
𝐵𝐻 = 2(𝑂𝑁)
𝐷𝐶 = 2(𝑂𝑁)
𝐵𝐻 = 2𝑂𝑀
→
A C
B
H
O
𝑎
2𝑎
M
Si H es
ortocentro y O es
circuncentro

19. Ahora inténtalo, te
planteamos el RETO
DEL TEMA
En el gráfico, ABCD es un paralelogramo y H es
ortocentro de ABD, Calcule mPL
𝐴) 40°
𝐷) 35° 𝐸) 32°
𝐵) 38° 𝐶) 36°
Recuerda que, cuando
tengas el ortocentro de un
triángulo, puedes
aprovechar la
concurrencia de alturas.
H
D
A
B C
L
70°
P

20. w w w. a c a d e m i a c e s a r v a l l e j o . e d u . p e