Este documento introduce los conceptos de límites laterales, límites al infinito y límites indeterminados con ejercicios prácticos. Explica que cuando una función se aproxima a un valor por la derecha o izquierda puede tender a valores diferentes, dando lugar a un límite indeterminado. También define límites al infinito y cómo calcularlos para funciones polinómicas evaluando el término de mayor grado. Finalmente, presenta ejemplos de cálculo de límites laterales, al infinito e indeterminados 0/0.
Explicación y presentación de ejemplos del concepto del límite. Incluye estudio de los métodos númerico, gráfico y algebraico para hallar el límite de una función. Curso Cálculo I. Dr. Juan R. Mejías Ortiz.
Resúmen hecho por Calculisto.com para la matéria de límites, sea para el curso de cálculo diferencial y integral o para el de matemáticas, ese es de lejos el mejor resúmen, con todas las fórmulas y explicaciones cortas y directas
Explicación y presentación de ejemplos del concepto del límite. Incluye estudio de los métodos númerico, gráfico y algebraico para hallar el límite de una función. Curso Cálculo I. Dr. Juan R. Mejías Ortiz.
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EL MERCADO LABORAL EN EL SEMESTRE EUROPEO. COMPARATIVA.ManfredNolte
Hoy repasaremos a uña de caballo otro reciente documento de la Comisión (SWD-2024) que lleva por título ‘Análisis de países sobre la convergencia social en línea con las características del Marco de Convergencia Social (SCF)’.
“La teoría de la producción sostiene que en un proceso productivo que se caracteriza por tener factores fijos (corto plazo), al aumentar el uso del factor variable, a partir de cierta tasa de producción
1. Objetivo : Introducir el concepto de límites laterales, limites al
infinito y límites indeterminados con ejercicios prácticos
1
Profesora: María Soledad Pavez
2. 2
Existen funciones que
representan algunas
discontinuidades,
consideremos la
siguiente gráfica en la
que existe una
discontinuidad cuando
x=3
Observemos que cuando
x se aproxima a 3 por la
derecha, función tiende
hacia 2
Pero cuando x se
aproxima a 3 por la
izquierda , la función
tiende hacia 1
3. 3
Utilizando la notación de límite cuando x tiende a 3 por la derecha es igual a
2 y límite de f(x) cuando x tiende a tres por la izquierda, es igual a 1.
La diferencia en la notación cuando x tiende por la derecha se usa el
superíndice + , asimismo se representa límite por la izquierda, pero
utilizando el signo menos.
En este caso el límite no existe, son diferentes valores por derecha e izquierda
4. 4
Verifique si existe el límite con los límites laterales (derecha e izquierda)
1)
2)
6. tiempo
(años)
clientes
f
¿Cuál es el máximo número esperado de
clientes al cual se tiende en
el largo plazo?
Analicemos Límites al
infinito…
¿ ?
¿ ?
50
t
Entonces: 50
)
(
lim
t
f
t
Esto es un límite al infinito, que nos indica a qué valor se
aproxima la función cuando t crece indefinidamente.
6
7. Límites al infinito
7
Si los valores de la función f (x) tienden al número L
cuando x aumenta indefinidamente, se escribe:
lim ( )
x
f x L
De manera similar, valores de la función f (x) tienden
al número M cuando x disminuye indefinidamente,
se escribe:
lim ( )
x
f x M
8. Por ejemplo….
8
y = f (x)
y
y = L
y = M M
L
lim ( )
x
f x L
lim ( )
x
f x M
x
10. límite al infinito para funciones polinómicas
10
1
1 1 0
( ) n n
n n
f x a x a x a x a
lim ( ) lim n
n
x x
f x a x
Es decir, para hallar el límite de un polinomio en el
infinito, se halla el límite del término de mayor grado
(término dominante).
Ejemplos: a)
3
2 59
lim
3 6
x
x x
b) )
5
( 2
4
lim
x
x
x
x
12. Sabemos que para n > 0, , ¿cuál es el valor
de los siguientes límites?
Interrogante . . . . .
12
n
x
x
lim
n
x x
1
lim
n
x x
1
lim
Teorema : Teorema : Sea n un número racional positivo, y si xt están
definidos entonces
13. Interrogante . . . . .
13
También tenemos:
Por , Tenemos que tener cuidado con la definición de la potencia de los números
negativos. En particular:
14. LIMITES EN EL INFINITO
m
n
m
n
m
n
b
a
bx
ax
m
n
x
0
/
...
...
lim
14
TIPO 4
TRES PASOS
•FACTORIZAR MAXIMA POTENCIA
•SIMPLIFICAR
•EVALUAR EN EL INFINITO
FÓRMULA GENERAL
CASO ∞
25. LÍMITES : Indeterminación 0/0
Si en el cálculo del límite de una fracción el denominador es cero,
se puede en algunos casos simplificar la fracción y calcular el
límite.
h
h
h
2
2
lim
0
x
x
x
x
x
2
2
1
2
lim
Ejemplo: Resolver los siguientes limites con indeterminación 0/0
Regla: Para resolver este tipo de indeterminación 0/0, se debe
Factorizar tanto denominador como denominador y simplificar luego
remplazar el limites.