asintotas, limites y graficas

1. PROGRAMA NACIONAL DE FORMACIÓN
INSTRUMENTACIÓN Y CONTROL
PROFESOR: JULIO C BARRETO G TRAYECTO INICIAL MATEMÁTICA
TEMA IV
FORMA INDETERMINADA ∞/∞, LÍMITES AL INFINITO, LÍMITES INFINITOS,
ASÍNTOTAS, GRÁFICAS CON LÍMITES.
LIMITES INDETERMINADOS
Una indeterminación no significa que el límite no exista o no se pueda determinar,
sino que la aplicación de las propiedades de los límites tal como las hemos
enunciadas no son válidas.
En estos casos hay que efectuar operaciones particulares para resolver cada una de
las indeterminaciones (Factor común, trinomio, diferencia de cuadrados, Ruffini,
conjugada entre otras).
CON INFINITO Y CERO
0
0

k

0
k
0

k
0
0




0

   k si 0k  k 
0
0
Es una forma indeterminada.


Es una forma indeterminada.
.  Es una forma indeterminada. 0 Es una forma indeterminada
0
0 Es una forma indeterminada. 0
 Es una forma indeterminada.

2. TEMA IV: LÍMITES AL INFINITO LÌMITES INFINITOS ASÍNTOTAS Y GRÁFICAS
PROFESOR: JULIO C BARRETO G 2 MATEMÁTICA
FORMA INDETERMINADA ∞/∞
Si se trata de funciones potenciales dividimos todos los sumandos por la x elevada al
mayor exponente. Por ejemplo calculemos los siguientes límites:
1.
75
32


 x
x
lím
x
Solución: Notemos que a medida que x se hace grande ( x ), 32 x se hace
grande y 75 x se hacen grande, en tal sentido el límite presenta una forma indeterminada
∞/∞. Ahora, dividamos tanto el numerador y denominador entre el mayor exponente de los
polinomios que en este caso es 1, o sea ,x por tanto:
5
2
05
02
7
5
3
2
7
5
3
2
75
32
75
32
75
32





















x
xlím
xx
x
xx
x
lím
x
x
x
x
lím
x
x
lím
xxxx
2.
7
1
2


 x
x
lím
x
Solución: Notemos que a medida que x se hace grande ( x ), 1x se hace grande
y 72
x se hacen grande, en tal sentido el límite presenta una forma indeterminada ∞/∞.
Ahora, dividamos tanto el numerador y denominador entre el mayor exponente de los
polinomios que en este caso es 1, o sea ,
2
x por tanto:
0
1
0
01
00
7
1
11
7
1
11
7
1
7
1
7
1
2
2
22
2
22
2
2
2
2





















x
xxlím
xx
x
xx
x
lím
x
x
x
x
lím
x
x
lím
xxxx
3. 34
25
32
xx
xx
lím
x 



3. TEMA IV: LÍMITES AL INFINITO LÌMITES INFINITOS ASÍNTOTAS Y GRÁFICAS
PROFESOR: JULIO C BARRETO G 3 MATEMÁTICA
Solucion: Notemos que a medida que x se hace grande ( x ), 25
32 xx  se hace
grande y 34
xx  se hace grande, en tal sentido el límite presenta una forma indeterminada
∞/∞. Ahora, dividamos tanto el numerador y denominador entre el mayor exponente de los
polinomios que en este caso es 5, por tanto:




















0
2
00
02
11
3
2
11
3
2
32
32
2
3
5
34
5
25
34
25
xx
xlím
x
xx
x
xx
lím
xx
xx
lím
x
xx
En general ocurre que:























kn
kn
kn
b
a
bxbxbxbxb
axaxaxaxa
lím
k
n
k
k
k
k
n
n
n
n
x
si,
si,0
si,
01
2
2
1
1
01
2
2
1
1


Ejercicios: Calcule los siguientes límites:
a)
b)

4. TEMA IV: LÍMITES AL INFINITO LÌMITES INFINITOS ASÍNTOTAS Y GRÁFICAS
PROFESOR: JULIO C BARRETO G 4 MATEMÁTICA
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l)

5. TEMA IV: LÍMITES AL INFINITO LÌMITES INFINITOS ASÍNTOTAS Y GRÁFICAS
PROFESOR: JULIO C BARRETO G 5 MATEMÁTICA
LÍMITES INFINITOS
DEFINICIÓN: Sea f una función definida en todo número real de un intervalo abierto
que contiene a c (salvo posiblemente, en el propio c ). Definimos las expresiones:
ASINTOTAS
ASÍNTOTA VERTICAL: Si   

xf
ax
lim o bien   

xf
ax
lim entonces la recta vertical
de ecuación ax  es una asíntota vertical.
ASÍNTOTA HORIZONTAL: Si   bxf
x


lim o bien   bxf
x


lim entonces la recta de
ecuación by  es una asíntota horizontal.
ASÍNTOTA OBLICUA: Llamaremos asíntota oblicua de la curva (grafico de f ), a la
recta de ecuación ,bcxy  si
 
x
xf
c
x 
 lim y   .lim cxxfd
x


1. Calcular las asíntotas de las siguientes funciones:
a)  
2
22



x
x
xf
Solución: Veamos primero si tiene asíntota horizontal y para ello revisamos el siguiente
límite: 


 2
2
lim
2
x
x
x
(Comprobarlo). Así, la función no tiene asíntota horizontal. Ahora
revisemos si tiene asíntota vertical, tomando en cuenta que  2 RDomf calculamos
el siguiente límite: 


 2
2
lim
2
2 x
x
x
(Comprobarlo). De donde obtenemos que la asíntota
vertical es la recta .2x Para hallar la asíntota oblicua, la cual existe ya que el grado del
numerador es una unidad mayor que el grado del denominador.
cx
xf

)(lim
cx
xf

)(lim

6. TEMA IV: LÍMITES AL INFINITO LÌMITES INFINITOS ASÍNTOTAS Y GRÁFICAS
PROFESOR: JULIO C BARRETO G 6 MATEMÁTICA
NOTA: Las asíntotas horizontales y oblicuas son incompatibles. Si hay unas no puede
haber de las otras. Así, 12
2
lim
2



 x
x
x
c
x
(Comprobarlo)
2
2
2
lim1
2
2
lim 2
22













 xx
x
x
x
x
b
xx
(Comprobarlo)
Y la ecuación de esta recta oblicua a la grafica de la función es: .2 xy
CONTINUIDAD EN UN PUNTO
Una función f es continua en c si se satisfacen:
EJEMPLO: Estudiar la continuidad de la función  
5
5


x
x
xf en los puntos 2x y
.5x
Solución:
Continuidad de la función en el punto .2x
1. Existe  ,af esto debido a que  .5 RDomf El valor de 2x forma
parte del dominio de la función y es:   .
3
10
3
10
52
25
2 




f
2. Existe  ,lim
2
xf
x
y como los límites de las funciones del numerador y del
denominador existen podemos aplicar la propiedad del cociente de límites para hallar
el valor de limite así:
 
.
3
10
3
10
52
25
5lim
5lim
5
5
lim
2
2
2











 x
x
x
x
x
x
x
3. Además, notemos que:   .
5
5
lim2
2 

 x
x
f
x
Vemos que se cumplen las 3 condiciones luego la función es continua en el punto .2x










)()(lim
)(lim
)(
cfxf
existexf
definidaestacf
cx
cx

7. TEMA IV: LÍMITES AL INFINITO LÌMITES INFINITOS ASÍNTOTAS Y GRÁFICAS
PROFESOR: JULIO C BARRETO G 7 MATEMÁTICA
a. Continuidad de la función en el punto .5x
No existe  ,af esto debido a que  .5 RDomf El valor de 5x no forma parte
del dominio de la función. Es decir,  5f no existe y por tanto la función es discontinua. Si
calculamos  ,lim
5
xf
x
tenemos que: .
0
25
5
5
lim
5

 x
x
x
Así, la recta de ecuación
5x es una asíntota vertical y la función tiene una discontinuidad de salto infinito allí.
NOTA: Las funciones racionales tendrán una discontinuidad de salto infinito en aquellos
valores de x donde no estén definidas. Veamos la figura:
CONTINUIDAD EN UN INTERVALO ABIERTO: Si es continua en cada punto del
Intervalo. Una función continua en la recta de los números reales enteros   , es
continua en todas partes.
DEFINICIÓN DE CONTINUIDAD EN UN INTERVALO CERRADO: Una función
f es continua en un intervalo cerrado  ba, si es continua en el Intervalo abierto  ba, y
en los extremos. La función f es continua por la derecha en a y continúa por la izquierda en
.b Es decir: )()(lim)()(lim bfxfyafxf
bxax
 


8. TEMA IV: LÍMITES AL INFINITO LÌMITES INFINITOS ASÍNTOTAS Y GRÁFICAS
PROFESOR: JULIO C BARRETO G 8 MATEMÁTICA
PROPIEDADES DE LA CONTINUIDAD: Si b es un número real y f y g son
continuas en ,cx  entonces las siguientes también son continuas en :c
MÚLTIPLO POR UN ESCALAR: bf SUMA O DIFERENCIA: gf 
PRODUCTO: fg COCIENTE:
g
f
, si   .0cg
Ejercicios: Hallar el dominio de definición de las siguientes funciones:
 2
3
2
a)


x
x
y
2
1
b)


x
y
PROPORCIONALIDAD INVERSA
Dos magnitudes x e y son inversamente proporcionales si se verifica que su producto es
constante. La función que relaciona estas magnitudes es del tipo:
x
k
ykxy 
Ejemplo: El tiempo t que tarda en llenarse un recipiente es inversamente proporcional al
caudal c (l/s) que arroja un grifo, pues, a más caudal, menos tiempo tarda en llenarse:
c
k
tktc 
El dominio de las funciones inversamente proporcionales es R – {0}, ya que el cociente k/0
no está definido. Su representación gráfica es una hipérbola (
x
k
y  )
Fecha:
X
Y

9. TEMA IV: LÍMITES AL INFINITO LÌMITES INFINITOS ASÍNTOTAS Y GRÁFICAS
PROFESOR: JULIO C BARRETO G 9 MATEMÁTICA
FUNCIONES RACIONALES
Las funciones racionales son del tipo  
 xQ
xP
y  donde  xP y  xQ son polinomios y
  .0xQ El dominio de una función racional está formado por todo R salvo los valores
que anulan el denominador (raíces de  xQ ).
Ejemplo:
1
12



x
x
y tiene como dominio R - {1} .
Las funciones racionales de la forma
dcx
bax
y


 son hipérbolas del tipo
x
k
y  (Hipérbola
equilátera) que posteriormente han sufrido un desplazamiento horizontal y vertical.
Ejercicios:
1. Representa y compara las funciones:
a)
x
y
3
1
 b)
13
1


x
y c)
23
1


x
y
2. Representa y compara las funciones:
a)
x
y
2
1
 b) 1
2
1

x
y c) 2
2
1

x
y
X
Y

10. TEMA IV: LÍMITES AL INFINITO LÌMITES INFINITOS ASÍNTOTAS Y GRÁFICAS
PROFESOR: JULIO C BARRETO G 10 MATEMÁTICA
3. Representa y compara las funciones:
a) 1
12
1



x
y b) 2
12
1



x
y
4. Representa la función
2
13



x
x
y (INDICACIÓN:
2
5
3
2
13





xx
x
d
r
c
d
D
)
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
 Barreto, J. (2014). La recta numérica y el plano cartesiano: Un estudio desde los
números naturales hasta los números complejos. Colección de Secundaria. (6).
https://www.createspace.com/5137020
 Dávila, Navarro, Carvajal: Introducción al Cálculo. Editorial McGraw-Hill. 1ed.
México.
 González, J., Ortiz, J., Acosta, A., Azocar, A. (1995). MATEMÁTICA I. Estudios
Generales. Tomo II. Sexta Edición. UNA. Caracas, Venezuela.
 Larson, Hostetler, Edwards. (1991). Calculus with Applications. Mc Graw Hill.
 Larson, R. Hostetler, R. (2006). Precálculo. Reverté.
 Leithold, L. (1992). El cálculo con geometría Analítica. Harla, México.
 Orellana, M. y Marqués, L. (1998). Funciones y representaciones gráficas.
Matemática I (175-176-177). Estudios generales. Módulo II. UNA Caracas,
Venezuela.
 Pestana, D. y otros (2007). Curso práctico de cálculo y precálculo. 2da edición.
Ariel. España.
 Pulcell, E. y Varberg, D. (1993). Cálculo con geometría analítica. Segunda edición,
Prentice Hall Hispanoamericana, S. A. México-Englewood cliffs.
 Saenz, J. (1995). Cálculo Diferencial para ciencias e ingeniería. Primera Edición.
Hipotenusa Barquisimeto- Venezuela.
 Stewart, J. Redlin, R. Watson S. (2006). Precálculo. 5ta Edición. Thomson.
 Tom Apóstol. (2005). Calculus. Cálculo con funciones de varias variables y álgebra
lineal, con aplicaciones a las ecuaciones diferenciales y a las probabilidades.
Editorial Reverté.