Este documento presenta diferentes distribuciones de probabilidad continuas, incluyendo la distribución uniforme, normal, exponencial y beta. Explica las propiedades de cada distribución y proporciona ejemplos numéricos para ilustrar cómo calcular probabilidades usando estas distribuciones.

2. Distribuciones de
probabilidad Continuas
Prof. Claudia Retamoso Llamas

3. Esta distribución se
caracteriza por una función
de densidad que es plana,
por lo cual la probabilidad es
uniforme en un intervalo
cerrado [A,B].
Distribución Uniforme
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4. Ejemplo 1
Suponga que el tiempo máximo que se puede reservar una sala de conferencias
grande de cierta empresa son cuatro horas. Con mucha frecuencia tienen
conferencias extensas y breves. De hecho, se puede suponer que la duración X de
una conferencia tienen una distribución uniforme en el intervalo [0,4]. a) ¿Cuál es
la función de densidad de probabilidad? y b) ¿Cuál es la probabilidad de cualquier
conferencia dure al menos 3 horas?
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a) Función de probabilidad
b) Probabilidad que dure al menos 3
horas

5. Distribución Normal
La distribución de probabilidad continua más importante en todo el campo de
la estadística es la distribución normal. Su gráfica, denominada curva normal,
es la curva en forma de campana, la cual describe de manera aproximada
muchos fenómenos que ocurren en la naturaleza, la industria y la
investigación.
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6. Propiedades de la curva normal:
1. La moda, que es el punto sobre el eje horizontal donde la curva
tiene su punto máximo, ocurre en x = m.
2. La curva es simétrica alrededor de un eje vertical a través de la
media m.
3. La curva tiene sus puntos de inflexión en x = m ± s, es cóncava hacía
abajo si m - s < X < m + s.
4. La curva normal se aproxima al eje horizontal de manera asintótica,
conforme nos alejamos de la media en cualquier dirección
5. El área total bajo la curva y sobre el eje horizontal es igual a uno.
Se supone que la media (m) y la desviación estándar (s) se
conocen, pero más adelante se definen a partir de la
información previa de investigación

7. Distribución Normal Estándar
Original
Transformada

8. Ejemplo 2
a) La probabilidad a la izquierda de k es igual a:
1 – 0.3015 = 0.6985. Utilizando la función
inversa de la distribución estándar normal en
Microsoft Excel, se obtiene:
INV.NORM.ESTAND(0.6985), entonces k = 0.52
Dada una distribución normal estándar, calcule el valor de k tal que:
a) P( Z > k ) = 0.3015
b) P( k < Z < -0.18 ) = 0.4197
b) Se determina el área a la izquierda de -0.18
(acumulada = 1) en Microsoft Excel así:
=DISTR.NORM.ESTAND.N(-0.18;1) lo que nos da
0.4286. A el área hasta -0.18 le restamos
0.4197 y obtenemos: 0.4286 – 0.4197 = 0.0089.
Aplicamos la inversa de esa probabilidad y
obtenemos k así: INV.NORM.ESTAND(0.0089),
entonces k = -2.37
z
z

9. Ejemplo 3
Cierto tipo de batería de almacenamiento dura, en promedio, 3.0
años, con una desviación estándar de 0.5 años. Suponga que la
duración de la batería se distribuye normalmente y calcule la
probabilidad de que una batería determinada dure menos de 2.3
años.
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En Microsoft Excel se realiza
=DISTR.NORM.ESTAND.N(-1.4;1) = 0.0808
P ( X < 2.3 ) = P ( Z < -1.4) = 0.0808

10. Distribución Exponencial
Existen muchas aplicaciones de la distribución normal, pero para otros casos
se aplican distribuciones de probabilidad diferentes, como la distribución
gamma y la distribución exponencial. La distribución exponencial es un caso
especial de la distribución gamma donde a = 1. Estas distribuciones
desempeñan un papel importante en la teoría de colas y en problemas de
confiabilidad.
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11. Ejemplo 4
Suponga que un sistema contiene cierto tipo de componente cuyo tiempo de
operación antes de fallar, en años, está dado por T. La variable aleatoria T se
modela bien mediante la distribución exponencial con tiempo medio de
operación antes de fallar b = 5. Si se instalan 5 de estos componentes en
diferentes sistemas, ¿cuál es la probabilidad de que al final de 8 años al menos
dos aún funcionen?
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12. Distribución Beta
La función de distribución de probabilidades beta está dada por:

13. Ejercicios distribución uniforme y normal
Walpole et al. (2012)

17. Ejercicios distribución exponencial y
beta Walpole et al. (2012)

18. Distribuciones de
probabilidad Continuas
Prof. Claudia Retamoso Llamas