distibucion de weibull

1. DISTRIBUCION
WEIBULL
DOCENTE: Bravo Burgos, Enzo Aldo
INTEGRANTES:
Diaz Alcalde, María Nancy
Morocho Julón, Mary Nataly
Quiliche Cachay, Marisol Jhanina
Yopla Carrasco, Juan Carlos.

2. Indice
1 . HISTORIA
2 . A U TORES
3. DEFIN ICION
4. CA RA CTERISTICA S
5. ESTA DISTICA S
6. LIMITA CION ES
7. A PLICA CION ES

3. HISTORIA
La distribución Weibull fue desarrollada en 1951 por
Waloddi Weibull , quien fue un
ingeniero mecánico que trabajó en la industria sueca de
rodamientos. Durante su carrera, se interesó en el estudio
de la resistencia de los materiales y la fiabilidad de los
componentes mecánicos. En la década de 1930, comenzó a
investigar la distribución de probabilidad de los tiempos de
falla de los rodamientos, que son componentes críticos en la
maquinaria industrial.
Aunque Weibull fue quien desarrolló y formalizó esta
distribucion , tambien recibio el aporte de otros autores .

4. Edward J.Gumbel: Propuso una
distribución de probabilidad para
modelar la distribución de los
valores extremos de una muestra
( forma especial de la distribución
de Weibull).
Leonard D. R. Cox:
Desarrolló el modelo de
regresión de riesgos
proporcionales, que utiliza la
distribución de Weibull
como modelo para la
supervivencia de los
individuos.
AUTORESQUE CONTRIBUYERON CON LA DISTRIBUCIÓN WEIBULL
Arnoldo Frigessi: Propuso la
distribución de Weibull
generalizada. La cual es útil para
modelar datos que no se ajustan
bien a la distribución de Weibull
estándar.
Ross Corotis: desarrolló un
método basado en la idea de
que la variabilidad de los datos
se puede utilizar para estimar
los parámetros de la
distribución de Weibull de
manera más precisa

5. DISTRIBUCIÓN DE WEIBULL
DEFINICIÓN
La distribución de Weibull es una distribución
de probabilidad continua que se utiliza para
modelar la vida útil de un producto o
componente. Fue propuesta por el ingeniero
sueco Waloddi Weibull en la década de 1950y se
ha utilizado ampliamente en ingeniería,
ciencias de la salud, finanzas y otros campos
donde se necesita modelar la duración de un
eventoola tasa defallas deun sistema.

6. CARACTERÍSTICAS
1.LA VARIABLE ALEATORIA
Es el tiempo de vida o tiempo de falla de un sistema, que puede tomar valores (+) en el rango [0, ∞].La
distribución de Weibull se caracteriza por dos parámetros: de forma (k) y de escala (λ).
PA
RÁMETRODEF
O
R
M
A
:Denotado por "β",es un valor (+) que determina la forma de la curva de la
distribución.
• β < 1,la función de densidad de probabilidad es
cóncava hacia arriba, lo que significa que la tasa de
falla disminuye con el tiempo.
• β >1,la función de densidad de probabilidad es convexa hacia
arriba, lo que significa que la tasa de falla aumenta con el tiempo.
•Cuando β =1, la distribución se reduce a una
distribución exponencial.

7. Denotado"γ", es un valor real que desplaza la distribución hacia la derecha o la
izquierda en el eje del tiempo.
•Si γ es mayor, el tiempo medio hasta la ocurrencia del
evento es mayor y, por lo tanto, el sistema es más
confiable.
PARÁMETRODEESCALA
•Si γ es menor, el tiempo medio hasta las ocurrencias del
evento es menor y, por lo tanto, el sistema es menos
confiable.

8. 2. FUNCION DE LA PROBABILIDAD
La función de probabilidad de la distribución de Weibull es:
f(x; λ, k) = (k/λ) * (x/λ)^(k-1) * e^(-(x/λ)^k)
Donde::
•x es la variable aleatoria que se distribuye de
acuerdo a la distribución de Weibull.
•λ es el parámetro deescala y k es el parámetro deforma
, ambos son positivos.
•ees la constante matemática e= 2.71828...que
representa la base del logaritmo natural.

9. 3.FUNCIÓN ACUMULADA DE PROBABILIDAD DE lA DISTRIBUCIÓN DE
WEIBULL
La función acumulada de probabilidad (F(x)) de la distribución de Weibull se define como:
F(x) = 1 - exp[-(x*λ)^k]
Donde:
•x es la variable aleatoria continua. •λ es el parámetro de escala. •k es el parámetro de forma.
F(x) ≤ a x ,Esto quiere decir F(x) es la probabilidad acumulada de que el evento de interés precede antes o en
el momento x.
laformadeladistribucion acumuladadependedelosvaloresdelosparámetrosdeescalay
formal
•Si k >1,la F(x) aumenta rápidamente al principio y
luego se estabiliza a medida que x aumenta. •Si k < 1,la F(x) aumenta más lentamente al principio
y luego se estabiliza
•Si k = 1,la distribución de Weibull se reduce a
la distribución exponencial

10. ESTADÍSTICOS
•k es el parámetro de forma. •Γ es la función gamma.
La función gamma está definida como: Γ(z) = ∫0^∞t^(z-1)*e^(-t) dt
Donde z es un número complejo y es igual , z = 1 + 1/k.
•Cuando k > 1,la (μ) > λ , la distribución tiene una
cola larga.
•Cuando k = 1,la distribución se reduce a una
distribución exponencial, y la(μ) =λ.
•Cuando k < 1,la(μ) < λ, la distribución tiene
una cola corta.
LAMEDIA(μ):
En la distribución de Weibull ,está dada por la fórmula:
μ = λ * Γ(1 + 1/k)

11. LAVARIANZADELADISTRIBUCIÓNWEIBULL:
Dependedesusdosparámetros:laforma(k)ylaescala(λ).
Lavarianzasecalculacomo:
σ^2 = λ² * [Γ(1 + 2/k) - (Γ(1 + 1/k))^2]
dondeΓeslafuncióngamma.
Si k<1,ladistribuciónesmásdispersaysuvarianzaserámayor.La
escalaλtambiéninfluyeenlavarianza,siendomayorlavarianza
cuantomayorseaλ.

12. ESTIMACIÓN DE LOS PARÁMETROS DE L A DISTRIBUCIÓN
DE WEIBULL
Parasuestimaciónseutilizamétodos,talescomolosmétodosdemáxima
verosimilitud yel delosmomentos.
Método de máxima verosimilitud
Consiste en encontrar los valores de los parámetros que
maximizan la función de verosimilitud de los datos.
La función de verosimilitud es:L(θ| x)=∏[f(x_i |θ)]
Donde θ representa los parámetros a estimar (kyλ), x_i son los datos
observados y f es la función de densidad de la distribución de Weibull.
Método de los momentos
Consiste en igualar los momentos teóricos de la distribución de
Weibull a los momentos observados de los datos.
Por ejemplo, el primer momento teórico es:
μ_1 =λΓ(1+1/k)
Donde Γ esla función gamma.

13. LIMITACIONES DE LA DISTRIBUCIÓN DE WEIBULL
Ladistribución deWeibull nosiempreesapropiadaparamodelarciertosfenómenosdebidoa
lassiguienteslimitaciones:
No puede modelar eventos :
Con tasasdefallaconstantealolargodel
tiempo,puestosoloseutilizaparamodelar
eventoscontasasdefallaquecambianconel
tiempo.
Con duracionesinfinitas,debidoaqueasume
queladuracióndeleventoesfinita.
Con interrupcionesyreiniciado, pues
supone que la duración del evento es
continuaynotieneinterrupciones.
Que dependandefactoresexternos,
solomodelaeventosquedependen
únicamentedeltiempo.
No monótonos,solo modela eventos que tienen
una tasa de falla creciente o decreciente a
medida que el tiempo avanza.

14. La distribución de Weibull se ha utilizado
ampliamente en ingeniería, ciencias aplicadas y en
otros campos donde se requiere modelar la
duración de los tiempos de falla de los
componentes. Su flexibilidad y capacidad para
ajustarse
empíricos
a una amplia variedad de datos
la convierten en una herramienta
valiosa para la toma de decisiones y la
planificación del mantenimiento.
APLICACIONES DE LA
DISTRIBUCIÓN DE WEIBULL

15. DISEÑO
ESTRUCTURAL:
Se usa para
para modelar la
resistencia a la fractura
y la fatiga de los
materiales
estructurales.
ANALISIS DE
CONFIABILIDAD:
Se utiliza en la
determinación de la
probabilidad de que
una estructura falle en
función a diversos
factores, como la edad,
el uso y la carga.
ESTUDIOS DE VIDA
UTIL:
permite determinar la
duración de la vida
útil de una estructura
en función de diversos
factores, como la carga
y la exposición a los
elementos.
EVALUACION DE LA
SEGURIDAD:
Se usa
para determinar la
probabilidad de que una
estructura falle y se
puedan tomar medidas
preventivas.En
estructuras existentes,
como puentes y edificios
EN INGENIERIA CIVIL

16. En otras ciencias:
FIABILIDAD:
Se utiliza para modelar la
tasa de fallas de equipos y
sistemas en ingeniería.
CIENCIA DE MATERIALES:
Se utiliza para modelar la resistencia de los
materiales a la fractura y la fatiga, en la
evaluación de la seguridad y la fiabilidad de las
estructuras, como puentes, presas y edificios.
MEDICINA:
Se utiliza en estudios
clínicos para
modelar la
supervivencia de los
pacientes con
enfermedades
crónicas y
terminales.

17. Ejemplo 1
Laduración en años ,de una batería es una variable aleatoria que tiene una distribución de Weibull con α =1.5y
β=2.Una batería se considera especial si esta entre el 10%de mayor duración .
a). ¿Cuantotiempo se espera que dure una batería elegida al azar ?
solución: a)E(x)=?
Donde :E(x)=β *Γ(1+1/α)
x: Laduración de una bateríaen años
x w(α =1.5 ;β=2)
Z(x)= 2 *Γ(1+1/1.5)=2*Γ(1.6667)=1,8056años
a). ¿Cuales la probabilidad de que dicha bateria siga
funcionando despues de dos años ?
solución: (k/λ) *(x/λ)^(k-1)*e^(-(x/λ)^k)
p(x=0)=(1.5/2)*(0/2)^(1.5-1)*e^(-(0/2)^1.5)=0
p(x=1)=(1.5/2)*(1/2)^(1.5-1)*e^(-(1/2)^1.5)=0.3724
p(x=2 )=(1.5/2)*(2/2)^(1.5-1)*e^(-(2/2)^1.5)=0.2759
p(x>2)=1-p(x≤2)
p(x>2)=1-0.6483
p(x>2)=0.3517
μ=λ*Γ(1+1/k)

18. Ejemplo 2
Se sabe que la distribucion del tiempo transcurrido antes de que se de un fallo en un sistema
hidraulico viene dado por una distribucion Weibull de parametros α=2 y β= 1/2.
a) Calcular su esperanza y su varianza.
b) ¿Para que valores de α y β una distribucion Weibull es equivalente a una exponencial de
parametro 5? Halla la esperanza y varianza de ambas distribuciones.
SOLUCION
a)
x= Tiempo transcurrido antes de fallar

19. b)

20. EN EXCEL
Calcular la probabilidad de una variable siguiendo la distribucion Weibull.
Evaluar en x= 90, parametro alfa igual a 15 y parametro beta igual a 98. Calcular
la funcion de distribucion acumulativa y la funcion de distribucion de
probabilidad.

21. Ejemplo 3
Un componente de una máquina tiene una vida útil que se distribuye según una distribución
Weibull con parámetros a=3yb=1000.¿Cuáles la probabilidad de que el componente falle antes de
los 800 ciclos de operación?
F(t)=1- exp[-(t/b)^a]
Entonces, la probabilidadde que el componente falle antes de los 800 ciclos es:
P(X<800) =F(800)=1- exp[-(800/1000)^3]=0.427
Por lo tanto, la probabilidad de que el componente falle antes de los 800 ciclos de operación es del 42.7%.

22. Si un granito rico en feldespato K, sufre procesos de erosión en la parte alta de una montaña
transportando los clastos a una cuenca en la parte baja, donde finalmente se depositará. Si la
vida útil del feldespato K es una variable aleatoria que tienes una distribución de Weibull con
alfa = 0.3 y beta =0.25, calculadas a partir de la distancia de la cuenca, la velocidad de
transporte, como del medio de transporte yel tiempo.
CALCULAR:
a. La vida media útil del feldespato.
b. La variación de la vida útil
c. La probabilidad de que el feldespato Kdure más de 200 horas
Ejemplo 4

23. Solución
a.
b.
c.

24. Conclusiones
La distribución de Weibull es muy adaptable, puede
abarcar a otras distribuciones como las
distribuciones Exponencial y Normal, además
puede trabajar pocos o muchos datos y en base a
ella se han desarrollado múltiples aplicaciones en
el ámbito de la Fiabilidad.

25. Referencias
Weibull, WA (1951).Una función de distribución estadísticade amplia aplicabilidad.
Revista de Mecánica Aplicada, 18(3), 293-297.
Ross, SM (2014). Introducción a la probabilidad y estadística para ingenieros y científicos.
Prensa Académica.
Gumbel, E
J(1958). Estadísticas de extremos. Prensa de la Universidad de Columbia.
Cox, DR (1972).Modelos de regresión y tablas de vida. Revista de la Real Sociedad
Estadística. Serie B (Metodológica), 34(2), 187-202.
Frigessi, A. (1984). La distribución generalizada de Weibull. Revista de hidrología, 74(1-4),
173-181.

26. GRACIAS