Este documento explica los conceptos de grafo y dígrafo de Euler. Define un camino euleriano como un camino que pasa por cada arista una sola vez y un circuito euleriano como un camino cerrado que recorre cada arista exactamente una vez. Presenta los teoremas de Euler que establecen las condiciones para que exista un circuito euleriano en un grafo. Finalmente, muestra un ejemplo de cómo aplicar el algoritmo para construir un circuito euleriano en un grafo mediante la selección de un vértice aleatorio y el intento de cerrar la

1. Grafo y dígrafo
de Euler
Integrantes:
Osneider Acevedo Naranjo

2. Un circuito euleriano
 En la teoría de grafos, un camino
euleriano es un camino que pasa por cada
arista una y solo una vez.
 Un ciclo o circuito euleriano es un camino
cerrado que recorre cada arista exactamente
una vez. El problema de encontrar dichos
caminos fue discutido por primera vez
por Leonhard Euler, en el famoso problema
de los puentes de Königsberg.

3. Algoritmo para construir un grafo
de Euler
 Paso 1: verificar el teorema de Euler.
 Paso 2: escoger un vértice aleatorio.
 Paso 3: intentar cerrar trayectoria hasta
agotar los arcos.
 Paso 4: reconstruir el grafo.

4. Teoremas de Euler
 Teorema 1(grafos Euleriano)
 Si G es un grafo conexo y TODOS sus vértices
tienen grado PAR entonces existe un circuito de
Euler en G.
 Teorema 1(grafos Semieuleriano)
 Si G es un grafo conexo y tiene exactamente 2
vértices de grado impar y el restos de grado
PAR, entonces existe un recorrido de Euler en G.
cualquier recorrido de Euler debe comenzar en un
vértice de grado impar y terminar en otro

5. Ejemplo
Paso 1 : teorema de Euler.
todos los vértices tienen grado par,
entonces existe circuito de Euler
Paso 1 :Se cumple.
ningún vértice tiene grado impar
v1
v2
v3
v5
v4
v6
Paso 2: escoger un vértice aleatorio.
Paso 3: intentar cerrar trayectoria
hasta agotar los arcos.
grados
V1=4 V2=2
V4=2
V3=4
V5=2 V6=2
Trayectoria 1: {v1,v4,v3,v2,v1}
Trayectoria 2: {v3,v6,v5,v1,v3}
Trayectoria final: {v1,v4, v3,v6,v5,v1,v3,v2,v1}

6. Paso 4: reconstruir el grafo.
Trayectoria final:{v1,v4,v3,v6,v5,v1,v3,v2,v1}
v1
v4
v3
v2
v6v5

7. Dígrafo de Euler
v1 v2
v3
v4
v5v6
v7
Trayectoria 2: {v1,v3,v6,v1}
Trayectoria 1: {v6,v5,v4,v2,v1,v7,v6}
Paso 1 : teorema de Euler.
todos los vértices tienen grado par,
entonces existe circuito de Euler
grados
V1=4 V2=4 V3=4 V4=2
V5=4 V6=4 V7=2
Paso 1 :Se cumple.
ningún vértice tiene grado impar
Paso 2: escoger un vértice
aleatorio.
Paso 3: intentar cerrar trayectoria
hasta agotar los arcos.

8. Paso 4: reconstruir el grafo.
v1 v2
v3
v4
v5v6
v7
Trayectoria 1: : {v6,v5,v4,v2, v1,v3,v6,v1,v7,v6}

9. Gracias por su atención