Este documento presenta varios conceptos y propiedades de la teoría de conjuntos, incluyendo: 1) definiciones de conjuntos como el conjunto de números naturales pares y el conjunto de números primos, 2) propiedades de uniones y intersecciones de conjuntos, 3) relaciones entre conjuntos como inclusión, 4) diferencias simétricas de conjuntos, y 5) filtros y ultrafiltros sobre conjuntos. Se plantean numerosos ejercicios para probar estas propiedades y relaciones.

1. Verdadero o falso:
1. .
2. .
3. El único conjunto que es subconjunto de todos los conjuntos es el vacío.
4. .
5. .
6. .
7. .
8. .
Sea el conjunto de los números naturales pares ( ). Escriba
intensionalmente; más precisamente, encuentre una propiedad , distinta de `` es
par'', tal que .
Sea el conjunto de los números primos (un primo es un entero mayor que cuyo
único divisor mayor que es él mismo). Escriba a intensionalmente.
Muestre que .
Pruebe las siguientes propiedades de la unión y la intersección:
1. ; .
2. si y sólo si ; si y sólo si .
3. , si y sólo si ; , si y sólo si .
4. si y sólo si .
.
Muestre que si y sólo si .
¿Verdadero o falso? (dar una prueba o un contraejemplo):
1. Si para todo se tiene , entonces .
2. Si existe un tal que , entonces .

2. 3. .
4. Si y y son disyuntos, entonces (¿puede debilitar
las hipótesis?).
5. .
6. si y sólo si .
7. .
Dados dos conjuntos y , definimos su diferencia simétrica así:
.
1. Muestre que .
2. Muestre que .
3. Muestre que la operación es conmutativa y asociativa.
4. ¿Qué conjunto es ?
5. ¿Qué conjunto es ?
6. ¿Si , qué conjunto es ?
7. Muestre que .
8. Muestre que si y sólo si .
Sean . Mostrar las siguientes igualdades:
1. .
2. .
3. .
Compare los siguiente pares de conjuntos de acuerdo a la relación (piense antes en
ejemplos con conjuntos pequeños, después intente demostrar en general las contenencias
que cree que siempre valen):

3. 1. Vs. .
2. Vs. .
3. Vs. .
4. Vs. .
Ejercicios de uniones e intersecciones generalizadas:
1. Muestre que .
2. Dado , sea . ¿Qué conjunto es ?
3. ¿Qué conjunto es ?
4. Muestre que .
Muestre que si tiene elementos (para un número natural), entonces tiene
elementos [AYUDA: Piense en un subconjunto de como una sucesión ordenada de
ceros y unos].
Definición (filtro): Sea un conjunto no vacío. Un filtro sobre es un conjunto
que cumple las siguientes propiedades:
es cerrado bajo intersección finita: Si , entonces .
es cerrado bajo superconjunto: Siempre que y , .
1. El filtro cofinito o de Fréchet: Sea es un conjunto finito
(aquí , de modo que ). Por ejemplo , pero
para , . Muestre que
es un filtro sobre el conjunto de los números naturales.

4. 2. Dé otro ejemplo de un filtro sobre .
3. Diremos que un filtro sobre es ultrafiltro si para todo , ó
. ¿Es el ejemplo que dio un ultrafiltro? ¿Es el filtro de Fréchet un
ultrafiltro?
El axioma de separación, que asumiremos, afirma lo siguiente: Dado un conjunto y
una propiedad conjuntista (esto es, que sólo utiliza y símbolos lógicos), existe un
conjunto tal que (esto es, para todo , pertenece a
si y solo si ( pertenece a y tiene la propiedad )). En otras palabras, es el
conjunto de los elementos de con la propiedad . Muestre que tal conjunto es único,
es decir, que si existe tal que , entonces .
Utilice el axioma de separación y la paradoja de Russell para mostrar que no existe el
conjunto de todos los conjuntos.