2 la topografia_en_la_ingenieria

LA TOPOGRAFÍA EN LA INGENIERÍA
Ing. HUGO YAIR OROZCO DUEÑAS
Esp. Ingeniería de Vías Terrestres
Universidad del Cauca
Facultad de Ingeniería Civil
Popayán 2007

La Topografía en la Ingeniería Ing. Hugo Yair Orozco Dueñas 2
CAPITULO I
1. GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA
La Trigonometría y la Geometría son bases fundamentales de la Topografía, por tal motivo, se recordaran
algunos conceptos básicos de las mismas, que en forma general, serán los más aplicados durante el
desarrollo de esta materia, tanto para los análisis de los ejercicios como para los cálculos de
coordenadas y cálculos topográficos en general.
1.1. GEOMETRÍA.
DEFINICIÓN 1:
“Si la suma de las medidas de los 2 ángulos es
180º, entonces diremos que los ángulos son
SUPLEMENTARIOS y que cada uno es
suplemento del otro.”
Un ángulo con medida igual a 180º se llama
LLANO.
Figura No. 1. Ángulos Suplementarios.
DEFINICIÓN 2:
“Si la suma de las medidas de sus 2 ángulos es de
90º, entonces los ángulos se llaman
COMPLEMENTARIOS y cada uno de ellos es
complemento del otro. ”
• Un ángulo con medida menor que 90º se
llama AGUDO.
• Un ángulo con medida mayor que 90º se
llama OBTUSO.
• Un ángulo con medida igual a 90º se llama
RECTO.
Figura No. 2. Ángulos Complementarios.
DEFINICIÓN 3:
“Dos ángulos son opuestos por el vértice si sus
lados forman dos pares de rayos opuestos.”
TEOREMA I:
“Dos ángulos opuestos por el vértice son
CONGRUENTES (iguales).”
Figura No. 3. Ángulos Opuestos por el Vértice.
TEOREMA II:
“Para todo triángulo la suma de las medidas de los
ángulos internos es 180º.”
Figura No. 4. Suma de Ángulos Internos.
β + α = 90
β α
β + α + τ = 180
τ
α
β
β
α
β + α = 180

TEOREMA III:
“Un ángulo externo de un triángulo es igual a la
suma de los ángulos internos NO contiguos.”
Figura No. 5. Suma de Ángulos Internos Vs Externos.
TEOREMA IV:
“Teorema del triángulo ISÓSCELES. Si dos lados
de un triángulo son congruentes, entonces los
ángulos opuestos a estos lados son congruentes.”
Figura No. 6. Triángulo Isósceles.
DEFINICIÓN:
Para todo triangulo cualesquiera que este sea, cada uno de sus lados debe ser menor que la suma de los
otros dos. De esta forma se asegura que las longitudes medidas en campo corresponden realmente a un
triangulo. El mismo chequeo sirve si los datos son asumidos para la realización de ejercicios.
CACULO DE ÁREAS:
A continuación se relacionan las fórmulas más utilizadas con relación al cálculo de áreas de figuras
geométricas conocidas.
i. CUADRADO:
Es una figura formada por cuatro segmentos que se
intersecan únicamente en sus extremos, estableciendo
cuatro ángulos rectos y cuatro lados congruentes.
Adicionalmente los cuatro vértices deben ser coplanarios.
Su área es igual al cuadrado de la longitud de su lado.
Figura No. 7. Cuadrado y su área.
ii. RECTANGULO:
Es una figura formada por cuatro segmentos que se
intersecan únicamente en sus extremos, estableciendo
cuatro ángulos rectos. Adicionalmente los cuatro vértices
deben ser coplanarios.
Su área es igual al producto de su base por su altura.
Figura No. 8. Rectángulo y su área.
h
b
A ×
=
a
a
A ×
=
a
a
a
b c
β + α = τ
α
τ
β
b
h

iii. TRAPECIO:
Es una figura formada por cuatro segmentos que se intersecan únicamente en sus extremos y al menos
dos de sus lados son paralelos. Adicionalmente los cuatro vértices deben ser coplanarios.
Su área es igual al producto entre la suma de sus bases por la mitad de su altura.
Figura No. 9. Trapecios ysu área.
iv. TRIANGULO:
Es una figura formada por tres segmentos (lados) que se intersecan únicamente en sus extremos
(vértices), determinando a su vez tres ángulos. Adicionalmente los tres vértices deben ser coplanarios.
Los tipos de triángulos más conocidos son:
? El triángulo Equilátero es aquel que tiene sus tres lados congruentes.
? El triángulo Escaleno es aquel que tiene tres lados no congruentes.
? El triángulo Equiángulo es aquel que tiene tres ángulos congruentes.
? El triángulo Isósceles es aquel que tiene dos lados congruentes. El otro lado es la base.
Figura No. 10. Triángulos y sus datos.
Para el caso específico del triangulo, y con base en las dos figuras anteriores se tiene la posibilidad de
tres fórmulas para el cálculo del área:
b.
2
h
c
A
×
=
a. ( ) ( ) ( )
c
S
b
S
a
S
S
A −
×
−
×
−
×
=
Donde:
S = Semiperimetro del triángulo. =
( )
2
c
b
a +
+
a, b, c = Lados del Triángulo.
c.
( )
2
α
sen
b
a
A
×
×
=
( )
h
b
b
A ×
+
=
2
2
1 ( ) h
b
b
A ×
+
=
2
2
1
b1
h
b2
b1
h
b2
a b
c
α
a b
c
h

TEOREMA DE PITÁGORAS:
“En un triángulo RECTÁNGULO, el cuadrado de la
hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los
catetos.”
Figura No. 11. Triángulo Isósceles.
DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS:
Una vez conocidas las coordenadas (planas) de dos puntos la distancia más cercana entre ellos es una
línea recta, la cual se calcula mediante la siguiente expresión:
Figura No. 12. Distancia entre dos Puntos.
1.2. TRIGONOMETRÍA
En topografía, generalmente se debe conocer la información asociada a un triángulo para lo cual se
deben tener como mínimo tres datos. Ya que la geometría se queda un poco corta en estos aspectos, se
recurre a la trigonometría para poder suplir estas deficiencias.
En trigonometría se consideran dos tipos de triángulos: los rectángulos y los NO rectángulos.
Con base en la figura No. 13, la cual es un triángulo rectángulo, se reconocen las siguientes partes
constitutivas del mismo:
Figura No. 13. Triángulo Rectángulo.
P1 (X1 , Y1 )
P 2 (X2 , Y2 )
X
Y
Y1
Y2
X1
X2
d
a2
= b2
+ c2
a
c
b
a
b
c
α
( ) ( )2
1
2
2
1
2 Y
Y
X
X
d −
+
−
=

Llámese “a” y “b” Catetos y al lado “c” Hipotenusa, por lo tanto, por definición tenemos:
( )
c
a
hipotenusa
opuesto
cat
Sen =
=
.
α ( )
c
b
hipotenusa
adyacente
cat
Cos =
=
.
α ( )
b
a
adyacente
cat
opuesto
cat
Tan =
=
.
.
α
Para el caso de triángulos NO rectángulos el apoyo lo dan dos teoremas:
c
a
b
β
α
τ
Figura No. 14. Triángulo NO Rectángulo.
TEMA COSENO:
α
Cos
ab
b
a
c *
2
2
2
2
−
+
=
TEMA SENO:
a
Sen
b
Sen
c
Sen σ
β
α
=
=
Para unas demostraciones al momento del cálculo de las proyecciones de coordenadas, se necesitarán
la ayuda de identidades trigonométricas tales como:
( ) β
α
β
α
β
α Sen
Sen
Cos
Cos
Cos m
=
±
( ) α
β
β
α
β
α Cos
Sen
Cos
Sen
Sen ±
=
±
1.3. BIBLIOGRAFÍA
1. Moise, Edwin E. and Downs Jr., Floyd L.1986
Geometría Moderna.
Editorial Addison Wesley Iberoamerica.

CAPITULO II
2. NOCIONES GENERALES DE TOPOGRAFÍA
DEFINICIÓN: Es la ciencia y el arte cuyo fin es la descripción y representación detallada de cualquier
sector de la superficie terrestre mediante la medición de distancias verticales,
horizontales, ángulos entre rectas terrestres y la localización de puntos por medio de
distancias y ángulos previamente determinados.
Se deduce que la topografía necesita tanto de la ciencia como del arte que posee cada individuo para
desenvolverse con destreza al momento de la ejecución de trabajos topográficos.
2.1. OBJETIVOS DE LA TOPOGRAFÍA
1. Medir extensiones de tierra tomando la inform ación necesaria para poder representar sobre un
plano a escala, su forma y accidentes.
Información necesaria: - Linderos.
- Detalles (postes, árboles, casas, etc.)
- Propietario.
- Propietarios de las vecindades.
- Longitudes, ángulos, etc.
2. Elaborar mapas de la superficie terrestre, arriba y abajo del nivel del mar.
3. Trazar cartas de navegación aérea, terrestre y marítima, comúnmente llamadas rutas de viaje.
4. Crear bancos de datos con información y aprovechamiento dentro del ambiente físico. Como por
ejemplo parques naturales, etc.
5. Evaluar datos sobre tamaño, forma, gravedad y campo magnético de la tierra.
6. Preparar mapas de la luna y planetas del sistema solar.
A modo general este curso de topografía necesita de:
Figura No. 15. Diagrama general del curso de topografía.
Geometría
Trigonometría.
Principios
básicos Práctica y
sentido común
CURSO DE
TOPOGRAFÍA
Oportunidad de obtener
recursos adicionales.
Apoyo a ramas
afines:
§ Ingeniería Eléctrica.
§ Ingeniería Electrónica.
§ Ingeniería Ambiental.
§ Ingeniería Forestal.
§ Astronomía.
§ Geografía.
§ Ciencias Naturales.
§ Agroindustria.
§ Geotecnia.
§ Etc.
Conclusión
del curso:

2.2. LEVANTAMIENTOTOPOGRÁFICO
El trabajo realizado en topografía se le llama en forma técnica como Levantamiento Topográfico, el cual
es el conjunto de operaciones que tienen por objeto determinar la posición relativa de ciertos puntos en la
superficie terrestre, para posteriormente representarlas en un plano.
Un levantamiento topográfico consta de:
2.3. TIPOS DE LEVANTAMIENTOS
Existen tantos tipos de levantamientos tan especializados que una persona muy experimentada en una
de estas disciplinas específicas, puede tener muy poco contacto con las otras áreas. Aquellas personas
que busquen hacer carrera en topografía y cartografía, deberían conocer todas las fases de estas
materias, ya que todas están íntimamente relacionadas en la práctica moderna.
a. CONTROL: Es el conjunto de señalamientos tanto horizontales como verticales que sirven
como referencia para otros levantamientos.
b. CATASTRALES: Normalmente se trata de levantamientos cerrados, ejecutados con el objetivo de
fijar áreas y límites de propiedad o fronteras, los cuales son generalmente
utilizados para particiones y derechos de propiedad. El término catastral se aplica
generalmente a levantamientos de terrenos del estado.
c. TOPOGRÁFICOS: Determinan la ubicación de características o accidentes naturales y artificiales,
así como las elevaciones usadas en la elaboración de mapas, teniendo en cuenta
las tres dimensiones del terreno. Los levantamientos utilizan medidas realizadas
con equipo terrestre, como cintas de medición, Instrumentos Electrónicos para la
Medición de Distancias (IEMD), niveles y teodolitos e instrumentos de medición
total.
d. CONSTRUCCIÓN: Determinan la línea, la pendiente, las elevaciones de control, las posiciones
horizontales, las dimensiones y las configuraciones, para la localización de
edificios, presas, canales, avenidas, puentes, líneas de transmisión, en fin
cualquier obra civil. Se utiliza tanto en la etapa de diseño como de construcción y/o
I. Trabajo de campo Mediciones de ángulos y
distancias
II: Trabajo de oficina
- Procesos de cálculos de
distancias, ángulos,
coordenadas, radios,
elevaciones, áreas y volúmenes.
- Elaboración de planos y
memorias.
Diversos trabajos de
ingeniería.
En:
- Diseño.
- Construcción.
- Supervisión.
III. Aplicación.
Es medir detalladamente en el
campo la distancia y los
ángulos.
Memorias de Cálculo:
Introducción, antecedentes,
diagnóstico, procedimientos,
cálculos matemáticos y
conclusiones.
Es la parte más importante del
levantamiento topográfico, por
tal motivo se debe averiguar
para qué es el trabajo, en que
se va a utilizar y así planificar el
trabajo tanto de campo como de
oficina.

supervisión. También proporcionan datos elementales para calcular los pagos a los
contratistas.
e. DE RUTA: Se efectúan para planear, diseñar y construir carreteras, ferrocarriles, líneas de
tuberías y otros proyectos lineales, Estos normalmente comienzan en un punto de
control y pasan progresivam ente a otro, de la manera más directa posible permitida
por las condiciones del terreno.
f. HIDROGRÁFICOS: Definen la línea de playa y las profundidades de lagos, corrientes, océanos,
represas y otros cuerpos de agua, por medio de radares, sonares y/o por me
dios
satelitales. Los levantamientos marinos están asociados con industrias portuarias y
de fuera de la costa, así como con el ambiente marino, incluyendo investigaciones
y mediciones marinas.
g. MINEROS: Se efectúan en la superficie y abajo del nivel del terreno, con objeto de servir de
guía a los trabajos de excavación de túneles y otras operaciones asociadas con la
minería (Ej: orientar las conexiones de las chimeneas), incluyendo levantamientos
geofísicos para minerales y exploración de recursos de energía.
h. SOLARES: Determinan los límites de las propiedades, los derechos de acceso solar y la
ubicación de obstrucciones y colectores de acuerdo con los ángulos de inclinación
del sol.
i. INDUSTRIALES: Son levantamientos en los cuales se requiere de alineamientos ópticos y
procedimientos para realizar mediciones extremadamente precisas, dada la
ubicación de las maquinarias utilizadas procesos de manufactura donde se
requieren pequeñas tolerancias.
j. CARTOGRÁFICOS: Se usan para obtener puntos de control a partir de mapas y cartas de
navegación. Son mapas hechos a igual escala que los originales a los cuales se les
omiten detalles para hacerlos más específicos (mapas temáticos). Por ejemplo:
Cartas de navegación, etc.
k. AÉREOS Y POR SATÉLITE: Los levantamientos aéreos pueden lograrse, ya sea utilizando la
fotogrametría o a través de detección remota. La fotogrametría usa cámaras que se
montan en los aviones, en tanto que el sistema de detección remota emplea
cámaras y otros tipos de sensores que pueden transportarse tanto en avión como
en satélites. Los levantamientos aéreos se han usado en todos los tipos de
topografía especializada que se enumeraron aquí. Los levantamientos por satélite
incluyen la determinación de sitios en el terreno usando receptores GPS, o de
imágenes por satélite para el mapeo y observación de grandes regiones de la
superficie de la tierra.
2.4. APLICACIONES INICIALES DE LA TOPOGRAFÍA
La instrumentación topográfica ha variado y avanzado a la par de la electrónica. En sus primeros inicios
se recuerdan las cadenas y cuerdas que los babilonios y egipcios usaban en el año 3000 a. de C.
Básicamente sus aplicaciones iniciales fueron:
i. Medir y marcar los límites de los derechos de propiedad. De acuerdo con estas dimensiones el
estado, realizaría el cobro de impuestos, el cual es según su extensión.
ii. La necesidad de establecer líneas y niveles más precisos como una guía para las operaciones de
la construcción.
iii. Planear y formular políticas para el uso de la tierra, en el desarrollo de los recursos y las medi das
para preservar el medio ambiente.

2.5. APLICACIONES EN INGENIERÍA
El campo de la ingeniería abarca múltiples áreas en las cuales la topografía tiene cabida y aplicación
estos son unos cortos ejemplos de ello:
ü Vías: Diseño, construcción y supervisión de carreteras, intersecciones y
explanaciones o movimientos de tierra, etc.
ü Construcción: Construcción de todo tipo de obras civiles. Desde el punto de vista del
contratista y/o del interventor.
ü Geotecnia: Estudio de taludes (estabilidad), estudio de estratigrafías (esquema de la
composición del subsuelo ), planos topográficos con la ubicación de zonas de
deslizamiento, sondeos y/o apiques, etc.
ü Estructuras: Localización de los ejes de columnas, niveles de las losas y/o vigas.
ü Hidráulica: Localización y toma de topografía para embalses (zona inundable) o
represas. Control de niveles en la presa durante la construcción, etc.
ü Ambiental y Sanitaria: Diseño y construcción de alcantarillados, acueductos y rellenos sanitarios,
etc.
ü Forestal: Levantamientos topográficos de cultivos, reservas forestales, planificación de
bosques, vías, etc. Tanto para planeación, venta o investigación, etc.
ü Electrónica: Determinación de líneas de vista entre torres de transmisión de datos,
distancia entre las mismas, etc.
ü Industria: En conjunto con los Sistemas de Información Geográfico, determinar la mejor
ubicación de plantas de procesamiento, almacenamiento y/o distribución, etc.
2.6. LA TOPOGRAFÍA Y LA GEODESIA
A continuación se mostrará una diferenciación entre Topografía y Geodesia, ya que la geodesia también
es utilizada para realizar mediciones sobre la superficie terrestre.
TOPOGRAFÍA GEODESIA
Topo = Lugar
Graphe = Descripción.
Geo = Tierra
Daisía = División.
“Medir extensiones de tierra tomando la
información necesaria para poder representar
sobre un plano a escala su forma y accidentes”.
“Ciencia matemática que estudia la forma y las
dimensiones de la tierra y la ubicación de
puntos con respecto a un sistema de
coordenadas”.
• Mide dimensiones pequeñas de la tierra
<10 Km
2
.
• Mide grandes extensiones de la tierra >100
Km
2
• Adopta una superficie de referencia plana
(La tierra es plana).
• La superficie de referencia es elipsoidal
(tierra elipsoidal).
• Altura con respecto a un plano imaginario. • Altura con respecto al nivel del mar.
• Medidas con aproximadas. • Las medidas son exactas.
• Utiliza aparatos y personal convencional.
Teodolitos, niveles, estaciones, etc.
• Utiliza aparatos y personal especializados.
Satélites, GPS, GIS, etc.
• Los ángulos se consideran planos. • Los ángulos se consideran esféricos.

Para el caso de medir extensiones de terreno entre 10 y 100 Km2
, se debe utilizar equipo topográfico
electrónico (Estaciones totales o distanciómetros).
2.7. HIPÓTESIS DE LA TOPOGRAFÍA
a. “La línea que une dos puntos sobre la superficie de la tierra es una recta”.
b. “Las direcciones de la plomada colocada en dos puntos diferentes CUALESQUIERA son paralelas”.
c. “La superficie imaginaria de referencia respecto a la cual se tomarán las alturas es una superficie
plana”.
d. “El ángulo formado por la intersección de dos líneas sobre la superficie terrestre es un ángulo plano
y NO esférico”.
Una vez aclarados los conceptos previos de topografía comenzaremos el estudio correspondiente a
nuestro curso.
2.8. DIVISIÓN DE LA TOPOGRAFÍA
La topografía se divide en dos grandes ramas que son:
LA PLANIMETRÍA
“Sólo tienen en cuenta la proyección del terreno
sobre un plano horizontal imaginario”
LA ALTIMETRÍA
“Tiene en cuenta las diferencias de nivel
existentes entre distintos puntos de un
terreno”.
Para la elaboración de un “Plano Topográfico”, propiamente dicho, es necesario conocer estas dos partes
de la topografía para poder determinar la posición y elevación de cada punto.
Plano de ref. = 0.0 mts
ó
Popayán 1750 mts
Nivel del Mar
No
Si

Figura No. 16. Esquema de planos en topografía.
El dibujo consiste en expresar sobre un plano dos puntos ya sean, puntos horizontales y/o puntos
verticales los cuales se grafican teniendo en cuenta el origen de coordenadas necesario para cada caso.
2.9. UNIDADES UTILIZADAS
Tanto en planimetría como en altimetría es necesario medir ángulos y longitudes; además, se calculan
superficies y volúmenes, por lo cual es importante indicar las unidades más usuales.
2.9.1. Longitud:
Km, m, cm, mm.
Las mediciones realizadas en Colombia se realizan con base al sistema métrico decimal cuyas unidades
son múltiplos o divisores de diez. En general las medias se referirán al metro del cual se tiene la siguiente
información.
Metro = METRON (griego) = medida.
a. En un principio se tomo como tal la 1/10.000.000 parte del cuadrante del meridiano que pasa
por Paris. Mediciones posteriores del mismo demostraron su inexactitud.
b. En 1903. Es la distancia entre 2 trazos paralelos hechos sobre una barra en forma de X,
fabricada en una aleación de platino e iridio, que se conser va en la oficina de pesas y medidas
en SÈVRES, Paris, medida a la temperatura de 0 o
C.
Figura No. 17. Esquema de la barra en forma de “X”.
c. En 1959: La onceava (XI) conferencia de pesas y medidas adopta la definición de metro como
un número de longitudes de onda del isótopo 114 de cadmio.
d. En 1960. En enero de este año se adopta la raya espectral del criptón, considerada una de las
mas estables incluso a temperaturas de –220 ºC.
• B
• A A
•
B
•
Vista en planta. Vista en perfil.

e. En 1960. Se adopta la siguiente definición: “Un metro es igual a 1’650.763,76 longitudes de
onda de la línea anaranjada de ISOTOPO 86 de criptón en el vació.”
Nota: Isótopo es cada uno de los átomos cuyo núcleo posee el mismo número de protones, pero
diferente número de neutrones. Los isótopos se difieren en la masa. Tienen propiedades físicas
diferentes sin embargo las propiedades químicas son las mismas.
En general las longitudes se toman al centímetro y según el país o el continente se tiene:
Pulgadas = 1 In = 2.54 cm
Pies = 1 Ft = 12”
Yardas = 1 Yd = 3 Ft.
2.9.2. Área:
m2
, Km2
.
Hectáreas = 1 Ha = 10.000 m
2
. Si el área es muy grande.
Fanegadas = 1 Fg = 0.64 Ha. Medida en Castilla (España).
Acres = 1 Ac = 43.560 Ft
2
. Medida inglesa.
Plaza = 1 Pl = 6400 m2
Antiguamente en Colombia.
2.9.3. Volumen:
m3
, Ft3
, Yd3
La yarda cúbica (Yd
3
), es la unidad en la que generalmente viene el catálogo de los baldes para
maquinaria pesada. Como por ejemplo: Retroexcavadoras, Cargadores, Volco de Volquetas, etc.
2.9.4. Ángulos:
Sexagesimal = 0 – 360º Con precisión al minuto y con la modernización de los equipos de
topografía estos valores tienden a aproximaciones al segundo.
Centesimal = 0 – 400 Manera de medir ángulos en el sistema inglés.
Radianes = 0 – 2Π Ángulo subtendido por un arco de circunferencia, cuya longitud es igual al
radio del círculo.
2.10. BIBLIOGRAFÍA
1. Russel Brinker y Paul Wolf.
Topografía Moderna.
Editorial Alfa Omega.
2. Álvaro Torres y Eduardo Villate.
Topografía.
Editorial Norma.

0,10
0,30
0,30
-
0,50
Figura No. 18.Mojón en
concreto.
CAPITULO III
3. EQUIPO UTILIZADO EN TOPOGRAFÍA
3.1. PUNTOS
En este campo tenemos:
i. Puntos instantáneos o Momentáneos: Son puntos que se necesitan en un determinado
instante, pero luego pueden desaparecer. Se determinan por medio de Piquetes o
Jalones.
ii. Puntos Transitorios: Son puntos que perduran mientras se termina el trabajo. Generalmente
se determinan por medio de estacas.
iii. Punto Definitivos: Son aquellos que NO desaparecen una
vez terminado el trabajo de campo. Generalmente
estos puntos son fijos y determinados, los cuales
se clasifican en Puntos Naturales y puntos
artificiales.
1. Puntos Naturales: Es un punto que existe
en el terreno, es fijo destacado y puede
identificarse fácilmente.
2. Puntos Artificiales: Es un punto que se
construye en el terreno. Es generalmente un
mojón hecho en concreto simple.
Dentro de los puntos transitorios tenemos la siguiente clasificación:
a. Estacas de punto: Es un trozo de madera cuya longitud varía entre diez y treinta centímetros.
Se recomienda un tamaño de 10.0 centímetros para terrenos duros como el afirmado en
carreteras y de 30.0 centímetros en terrenos blandos o fangosos.
Estas estacas se deben clavar a ras de piso para evitar su perdida en poco tiempo y
adicionalmente llevan una puntilla de aproximadamente 1.5 pulgadas en el centro de las mismas.
Este distintivo se utiliza para centrar sobre ellas el eje vertical del teodolito y se utilizan en los
sitios donde la poligonal cambia de dirección (Deltas).
Figura No. 19. Estacas de punto.
0,025
-
0,05
0,25
0,10
Puntilla Neomático
0,05
0,20 - 0,30
Estacas en
Terreno Blando
Estacas en
Terreno Duro

Figura No. 20. Detalle de una Estaca de Línea hincada sobre la vía en afirmado (vía Bordo – Bolívar, departamento del
Cauca). Al fondo de la vía se observan Estacas Testigo que acompañan el alineamiento.
Figura No. 21. Detalle del trozo de neumáticoque sobre sale de la vía.

0,50
-
0,60
∆5 K2 + 286.33
0,05 - 0,08
0,05 - 0,10
0,60
-
0,70
Abscisa
Cota de Relleno
o de Corte
0,05 - 0,10
0,10
-
0,30
Punto de apoyo
de la MIRA
Punto de hincado
b. Estacas de Línea: Es un trozo de madera cuya longitud varía entre diez y treinta centímetros.
10.0 centímetros para terrenos duros como el afirmado en carreteras y de 30.0 centímetros en
terrenos blandos o fangosos. Estas estacas se deben clavar a ras de piso para evitar su perdida
en poco tiempo. Se hincan en todas las abs cisas intermedias y NO llevan puntilla en la parte
superior, tan solo una marca hecha con la punta de la plomada o un punto con pintura. Esta
marca de utiliza para tener el sitio exacto para continuar la medida.
c. Estacas Testigo o guardiana: Es un trozo de
madera cuya longitud es mayor o igual a
cincuenta centímetros. Estas estacas poseen
una cara plana en la cual se escribe
información, la cual generalmente es la abscisa
de la estaca de punto o de la estaca de línea.
Estos datos se escriben de arriba hacia abajo
en la cara de la estaca y se hinca a una
distancia aproximada de veinte centímetros de
la estaca de línea o de punto y dando vista a la
estación anterior.
d. Estacas de chaflán: Es un trozo de madera
cuya longitud es mayor o igual a cincuenta
centímetros. Estas estacas poseen dos caras
planas en la cuales se escribe información
concerniente a la abscisa de la estaca de línea y
a la altura de relleno o de corte en la capa de
subrasante. Estas estacas se utilizan
generalmente en la fase construcción de
carreteras como parte de la ayuda a las
personas encargadas de realizar la explanación
o movimientos de tierra.
e. Estacas de Nivel: Es un trozo de madera cuya
longitud varía entre diez y treinta centímetros. 10.0
centímetros para terrenos duros como el afirmado en
carreteras y de 30.0 centímetros en terrenos blandos
o fangosos.
Estas estacas se utilizan generalmente durante la
nivelación de terrenos con equipo de precisión como
el Nivel de Precisión. Su uso específico es cuando
se debe realizar el cambio de posición del nivel de
precisión.
Figura No. 22 Estaca Testigo.
Figura No. 23 Estaca Chaflán.
Figura No. 24 Estaca de Nivel.

3.2. PIQUETES
Es una varilla de acero cuya longitud varía entre veinticinco y trenita y
cinco centímetros. Estos están provistos de un extremo con punta y en
el otro un aro o argolla la cual permite que se le coloquen distintivos
tales como pedazos de tela o facilitan su transporte. Sirven para
localizar puntos instantáneos.
3.3. JALONES
Son generalmente en metal con una longitud que varía entre dos y tres metros. Tienen una sección
circular u octogonal de una pulgada (1.0 plg) de diámetro. Están pintados enfranjas de veinte centímetros
de color rojo y blanco en forma alternada. Sirven para:
• Localizar puntos instantáneos.
• Dar alineamiento cuando se usan en parejas.
• En altimetría son utilizados como apoyo tanto para el nivel Locke como para el nivel Abney.
Figura No. 26 Jalón.
3.4. PLOMADAS
Son cuerpos de bronce en forma de trompo con un peso
mínimo de dieciséis onzas, sujetas a un hilo en su parte
superior. (1 onz = 28.35 gr ≈ 450 gr). Las plomadas
funcionan como una masa suspendida y su objetivo es
proyectar un punto en forma vertical gracias a su peso y a la
gravedad; dichas direcciones colocadas con las plomadas se
consideran paralelas entre si. Sirven para:
• Dar alineamientos rectos.
• Ayudar en la medida junto con la cinta.
• Localizar puntos instantáneos.
Figura No. 25 Piquetes.
Figura No. 27 Plomadas y estuche.
2,00 - 3,00
0,20 0,20 0,20
1"

3.5. DISTANCIAS
Las distancias en topografía son medidas generalmente mediante el uso de la cinta o decámetros, los
cuales pueden ser de diferentes materiales, dentro de los cuales enco
ntramos:
a. Tela: Estas tienen problemas con la tensión que se ejerce sobre ellas en el momento de la medida
y por lo tanto no tienen mucha duración. El otro inconveniente es cuando se guarda mojada lo cual
produce que la cinta se pudra y se deteriore. Este es ya un material que no se usa hoy día.
b. Metálicas: Esas tienen no tienen problemas con la
tensión pero si con la húmeda la cual le produce
oxido, la dilatación causada por el calor, se parten con
mucha facilidad y pesan mucho debido al material. A
pesar de sus inconvenientes todavía se pueden
conseguir cintas en este material.
c. Fibra de Vidrio: Hasta el momento son las mejores
ya que resisten tensión, no se parten, no se oxidan o
se pudren con facilidad, son livianas y más
económicas que las cinta metálicas. Algunas cintas de
fibra de vidrio se pueden conseguir con un alma en
acero con lo cual su resistencia a la tensión aumente
considerablemente pero así mismo su costo.
Antes de utilizar una cinta, sin importar su material, es importante verificar la posición del cero para evitar
errores en las medidas.
Al momento de guardar la cinta se debe tener en presente que dos dedos de la mano opuesta a al que
está enrollando, estén sujetando la cinta justo al frente del orificio de salida de la cinta, para de esta forma
limpiarla y secarla antes de guardarla.
Otros equipos utilizados en la medición de distancia son:
• Cadenas: Utilizadas inicialmente por los
egipcios y babilónicos en la medición de
distancias.
• Contador manual: Instrumento que facilita
las mediciones de longitudes por medio de
la cuenta de pasos mientras el operario
camina.
Figura No. 28 Cinta metálica.
Figura No. 29 Cadena de Agrimensura Figura No. 30 Contador Manual.

• Rueda Perambuladora: Instrumento que mide distancias por medio de un odómetro que incrementa
su valor a medida que la rueda gira sobre la superficie que se desea calcular la distancia. Es muy
común su utilización en la medición de longitudes de demarcación horizontal en vías.
• Distanciómetro:
Dispositivo que va
montado sobre el
teodolito y permite la
medición de
distancias de una
manera rápida y
confiable mediante
el uso de aces de luz
infrarroja o laser, la
cual rebota sobre
una superficie en
forma de prisma.
• Distanciómetro manual: Instrumento
de topografía utilizado en los
levantamientos topográficos de
edificaciones, debido a su
versatilidad, comodidad
y precisión en trabajos
bajo techo.
• Estación Total: Es el instrumento de topografía más
moderno utilizado en levantamientos topográficos. Ya
que permite obtener información del relieve de la
superficie terrestres en sus tres dimensiones (N,E,Z).
Estas coordenadas son almacenadas, posteriormente
descargadas a los PC`s y finalmente con ellas se
generan los Modelos Digitales de Terreno (MDT).
000,0 015,1
005,3 010,1
Figura No. 31 Rueda
Perambuladora.
Figura No. 32 Distanciómetro. Figura No. 33 Distanciómetro Manual.
Figura No. 34 Estación Total.

3.6. ÁNGULOS Y ALINEAMIENTOS.
3.6.1. Escuadra de Agrimensor.
La escuadra de agrimensor consta de un bastón, metálico en madera, cuya longitud oscila entre metro y
medio y dos metros. En la parte superior tiene una caja metálica o en madera con ranuras a noventa
grados o perpendiculares entre si. Existen cajas que pueden tener ranuras a 90º y a 45º
simultáneamente. Se considera como instrumento de poca precisión. Sirven para:
• Trazar alineamientos rectos.
• Lanzar visuales a perpendiculares a otro alineamiento.
3.6.2. Brújula.
La brújula es instrumento de orientación consistente en una caja y
una aguja imantada que puede girar según un eje vertical y que se
orienta espontáneamente, por acción del campo magnético terrestre.
Generalmente en la caja se observa un circulo graduado de cero a
noventa grados (0º – 90º) en ambas direcciones, desde los puntos
Norte (N) y sur (S), teniendo generalmente intercambiados los puntos
Este (E) y Oeste (W), con el fin de leer directamente los rumbos o un
circulo graduado de cero a trescientos sesenta (0º – 360º) desde e
l
punto norte para leer directamente los azimutes. Es un instrumento
que se considera de baja precisión. Sirve para:
• Determinar la posición de la norte magnética.
• Medir Rumbos o azimutes.
• Medir ángulos entre alineamientos.
Existen otros equipos de precisión usados para el trazado de alineamientos y la medición de ángulos
tales como los Teodolitos Análogos, Teodolitos Digitales y la Estación Total que en próximos capítulos se
tratarán con mayor profundidad.
Otro instrumento usado para el trazo de alineamientos es el altímetro el cual nos permite el trazado de
una línea que posea la misma cota a lo largo de una montaña. Dicho instrumento se estudiará con
detenimiento en cursos posteriores.
3.7. ELEMENTOS COMPLEMENTARIOS.
Existen otros elementos de trabajo durante un levantamiento topográfico que por el hecho de ser
económicos y de fácil manejo no implican que dejen de ser importantes para la culminación
satisfactoria de un trabajo de campo. Estos son:
1,50 - 2,00
0,20
0,20
0,20
0,15 - 0,20
0,10
-
0,15
0,005
-
0,01
Figura No. 35 Escuadra de Agrimensor.
Figura No. 36 Brújula Magnética.

3.7.1. Trípode.
Es un armazón en madera o en aluminio de tres pies,
que sirve como soporte a los teodolitos, estaciones
totales, distanciómetros y niveles de precisión.
3.7.2. Maceta.
Es una pieza de acero con un peso de aproximado de
cuatro a seis libras, utilizada para hincar las estacas.
3.7.3. Machete.
Es un cuchillo grande de un solo filo utilizado para
fabricar estacas y despejar la vegetación tanto de la
visual del teodolito como alrededor de las estacas. En
ocasiones es utilizado para chequear la horizontalidad
de la cinta al momento de realizar las mediciones.
3.7.4. Clavos.
Son piezas en hierro o acero de una longitud mínima
de una y media pulgada (1½ pulgada) los cuales se
hincan sobre las estacas de tal forma que permitan
centrar con precisión el eje vertical del teodolito o
estación total. Dependiendo de la superficie del sitio de
hinca se debe escoger el material y la longitud de los
clavos.
3.7.5. Pintura.
Sustancia plástica y fluida que contiene colorantes y pigmentos la cual deber ser de tonos fuertes o
llamativos que resalten sobre el color de la vegetación. Los colores más usuales son el rojo y el naranja.
Se utiliza para marcar las estacas de línea, de punto y escribir información de campo en las caras de las
estacas testigo y de chaflán.
Figura No. 37 Trípode Metálico.
Figura No. 38 Maceta de 4 lb.
Figura No. 39 Machete.
Figura No. 40 Clavo para madera

3.7.6. Cincel.
Herramienta de acero, de veinte a trenita centímetros
de longitud, con boca recta de doble bisel, con el que
se abren huecos sobre el terreno duro y de esta
manera facilitar en hincado de las estacas.
Generalmente el terreno duro está compuesto por
material de afirmado o capas granulares de una
carretera.
3.8. INSTRUMENTOS DE ALTIMETRÍA.
A continuación se enunciarán los equipos de topografía que se utilizan en altimetría de los cuales se dará
una corta descripción pero su estudio detallado se dejará para capítulos posteriores.
3.8.1. Nivel Locke.
Es un tubo cilíndrico con una longitud entre 15 a 20 cms,
con una burbuja en la parte superior, la cual podemos
observar por el ocular gracias a un espejo o prisma
ubicado en el interior del mismo. En el momento en el cual
la burbuja quede bisecada por el hilo horizontal, la línea
de vista es horizontal y es en este instante cuando se
debe realizar la lectura sobre la mira.
Es considerado un instrumento de poca precisión y de poco alcance por tal motiv
o no es utilizado en
distancias mayores a 15 o 20 m (Esta distancia varía de acuerdo con capacidad visual del operario).
3.8.2. Nivel Abney.
Es un instrumento que tiene las mismas características que las de un nivel locke, pero adicionalmente
lleva un círculo graduado en la parte superior del mismo, lo que le permite medir ángulos. Es considerado
un instrumento de poca precisión y de poco alcance por tal motivo no es utilizado en distancia mayores a
15 o 20 m (Esta distancia varía de acuerdo con capacidad visual del operario).
Figura No. 43 Nivel Abney.Caras anterior y posterior .
Figura No. 41Cincel.
Figura No. 42 Nivel locke.

3.8.3. Mira.
Es un tubo cilíndrico que tiene una burbuja en la parte superior, la cual podemos observar por el ocular
gracias a un espejo o prisma ubicado en el interior del mismo. Es considerado un instrumento de poca
precisión y de poco alcance por tal motivo no es utilizado en distancia mayores a 15 o 20 m (Esta
distancia varía de acuerdo con capacidad visual del operario).
Figura No. 44 Mira y estuche .
3.8.4. Altímetro.
Es un instrumento que permite determinar la altura de puntos sobre la superficie terrestre ya sea a partir
de un plano horizontal arbitrario o el nivel del mar.
3.8.5. Nivel De Precisión.
Es un instrumento de precisión utilizado en el proceso de nivelación cuya función es únicamente lazar
visuales horizontales. En próximos capítulos se tratarán con mayor profundidad
Figura No. 45 Nivel de Precisión yestuche.
3.9. REGISTRO DE DATOS.
Durante el desarrollo de los levantamientos topográficos, se genera una serie datos y observaciones los
cuales se deben registrar para que quede constancia del mismo y facilitar los cálculos posteriores en el
trabajo de oficina. Dicha libretas de apuntes serán:

@ Cartera de Transito.
@ Cartera de Nivel.
@ Cartera de Toma De Topografía.
@ Cartera de Chaflanes.
Estas carteras son cuadernos de aproximadamente sesenta hojas en un tamaño de 18.0 X 12.0
centímetros, para su fácil manipulación y hechas en material resistente al agua.
Con el avance tecnológico se present a nuevos sistemas de registro de datos tales como:
@ Cartera Electrónica.
@ Computador Portátil.
@ Estación Total.
3.10. COMISIÓN DE TOPOGRAFÍA.
Toda comisión de topografía se conforma por:
3.10.1. Topógrafo.
Es el encargado de manejar el teodolito, llevar la cartera dirigir la comisión y tomar las decisiones
en el campo respecto a los alineamientos a seguir y los detalles a capturar.
3.10.2. Cadenero 1.
Es la persona encargada de llevar la medida y dar alineamiento con la plomada, más
comúnmente se conoce como “dar Línea”.
3.10.3. Cadenero 2.
Es la persona encargada de llevar el cero de la cinta o medida.
3.10.4. Cadenero 3 o ayudante.
Es la persona encargada de cargar las estacas, hincarlas, pintarlas, fabricarlas y cuando sea
necesario abrir trochas o despejar la vegetación por donde va el alineamiento.
3.10.5. Cadenero 4 o ranchero.
Es la persona encargada de preparar los alimentos de la comisión.
3.11. BIBLIOGRAFÍA
1. Russel Brinker y Paul Wolf.
Topografía Moderna.
Editorial Alfa Omega.
2. Álvaro Torres y Eduardo Villate.
Topografía.
Editorial Norma.
3. Ballesteros.
Topografía.
Editorial Limusa / Noriega.
4. Barry.
Topografía Aplicada a la Construcción.
Editorial Limusa / Noriega.

CAPITULO IV
4. MEDICIÓN DE DISTANCIAS
El procedimiento de medir una distancia con cinta o decámetro es comúnmente conocido como
CADENEAR, esta es la razón por la cual al que maneja la cinta en la comisión de topografía se le llama
“Cadenero”. Inicialmente esta operación se realizaba con una cadena de cien pies de longitud, la cual
está compuesta por cien eslabones cada uno de un pie y cada diez pies, o sea cada diez eslabones,
había una señal en bronce.
Generalmente en la medición de distancia se utiliza:
• A pasos.
• Cadenas.
• Cintas o decámetros.
• Rueda Perambuladora.
• Taquimetría.
• Distanciómetro.
• Distanciómetro Manual.
• Estación Total.
En el ejercicio profesional para el ingeniero es importante tener la noción de la distancia para realizar un
cálculo aproximado y rápido respecto a una longitud determinada, por ejemplo, cuantos pasos de
nosotros se necesitan para lograr una distancia de diez metros. Este dato es necesario para
cuantificaciones iniciales al momento de contratar alguna labor topográfica.
4.1. MEDICIÓN DE DISTANCIAS ENTRE DOS PUNTOS
Al momento de realizar la medición de la distancia entre dos puntos es necesario tener en cuenta:
1. Conocer el terreno: Este aspecto hace referencia a sitios en los cuales se puedan encontrar suelos
lagunosos, ciénagas, etc. en los cuales se puedan presentar accidentes de los
trabajadores.
2. Orientación: Debe haber una buena sincronización en el trabajo de campo ya que el cadenero
primero debe hacer caso a las señales u orientaciones que realiza la persona que
maneja el teodolito o topógrafo, de tal forma que se garantice la perfecta alineación de
las estacas de línea.
3. Materialización de p
untos: Se deben hincar en el terreno las estacas correspondientes a una
medida. Una vez se confirme la orientación y la longitud de la medida se suelta la
plomada y en ese sitio se hinca la estaca de línea. El cadenero segundo debe
concentrarse en sujetar el cero de la cinta y en colocar la punta de la plomada
exactamente sobra la estaca de línea anterior, de tal forma que este solo mire la estaca.
El cadenero primero debe tener en cuenta que él esté bien orientado y que tenga la
media correcta.
4. Horizontalidad: Es indispensable que la cinta siempre permanezca horizontal, bien tensionada y
que no se encuentre entorchada.
5. Longitud de la cintada: En terreno plano las cintadas NO debe exceder los veinte metros de
longitud, aunque generalmente las distancias de los abscisados es diez metros, la cual
garantiza que la cinta siempre esté bien tensionada, horizontal, no tenga una variación
por catenaria y no se tenga mucha interferencia por la acción del viento.
En terreno ondulado, las cintadas deben ser tan largas como el terreno lo permita, de tal
forma que se garantice la horizontalidad de la cinta al momento de la medida.

Cuando la medición se realice terreno ondulado y en forma descendente, el cadenero
segundo deberá sostener el cero de la cinta a ras de piso, mientras que el cadenero
primero sostendrá la cinta junto con la plomada, lo más alto que su cuerpo y el terreno le
permitan. Caso contrario sucederá si la medición es en forma ascendente.
4.2. CONCEPTO DEL POT (POINT ON TANGENT)
El POT se utiliza cuando desde un punto cualquiera no se pueda ver a otro punto que se encuentra sobre
la misma línea.
Usos:
a. Para localizar el alineamiento entre A y B.
b. Para prolongar un alineamiento que va entre A y B.
En este caso solo localizamos un punto con ayuda del teodolito, desde el cual se pueda ver el
punto B, en ese sitio se hinca una estaca de punto sobre la cual armaremos posteriormente el
A B
D
C
C '
C''
D '
D''
D'''
1 0 . 0 0
A
B
2 . 0 0
3 . 0 0
3 . 0 0
2 . 0 0
M e d i c i ó n T o t a l
M e d i d a s H o r i z o n t a l e s
P i q u e t e s o
E s t a c a s T e m p o r a l e s
A B
C D
P . O . T .
J a l o n e s
Vista en perfil.
Vista en planta.

teodolito; se da vista al punto de atrás (A), se transita y se continua con el abscisado, el cual será la
prolongación del alineamiento de atrás.
4.3. PRECISIÓN EN LAS MEDIDAS
Generalmente tenemos errores en las medidas cuando:
1. Uso de una cinta no estándar.
Es una cinta que no tiene las dimensiones que debe tener. No esta calibrada con la medida metro
patrón.
2. El alineamiento es imperfecto.
A B C D E F
∆ 25 ∆ 26
3. Falta de horizontalidad.
Al momento de sostener la cinta esta forma un ángulo respecto a la horizontal el cual genera un
error en la medida.
4. Cero de la cinta mal tomado.
Por desconocimiento de la instrumento se escoge erróneamente el sitio de inicio de inicio de la
cinta.
0 , 0 0 0 , 0 0 0 , 0 0
5. Variaciones de longitud por temperatura: Generalmente ocurre con cintas metálicas.
6. Variaciones de longitud por tensión: Generalmente ocurre con cintas de tela y cintas de fibra de
vidrio viejas.
7. Variaciones de longitud por catenaria: Cuando al momento de la medición se forma una catenaria
debido al peso propio de la cinta. Esto ocurre en cintadas muy largas, generalmente mayores a
diez metros.

8. Variaciones de longitud a causa del viento: Para cintadas largas y con presencia del viento dificulta
la medición debido al movimiento.
9. Enrollamiento de la cinta: Si la cinta esta enrollada disminuye la medida.
10. Añadir o disminuir una cintada: En la cartera de anotan los valores medidos pero a veces se omiten
o se anotan sin haber sido medidos. Es producto del cansancio y el sol.
11. Añadir o quitar un metro. Significa que por ejemplo al leer 19,20 dictar 18,20 o cuando se comienza
a medir desde un metro.
12. Errores de lectura: Se lee mal debido a la falta de practica en el manejo de la cinta o no se esta
familiarizada con la misma.
13. Dictado erróneo de las cantidades. Se presenta por la gran distancia entre el cadenero primero y el
topógrafo o persona que lleva la cartera.
4.4. MANERA DE CALCULAR EL VALOR MÁS PROBABLE DE UNA LONGITUD
Error probable:
Es un error tal que la probabilidad de cometer un error mayor que él, es igual a la
probabilidad de cometer un error menor. O sea que la probabilidad de cometer ese
“error de medida” por arriba o por abajo es igual.
Se calcula con siguiente formula:
( )
1
6745
.
0
2
−
×
×
±
=
∑
n
n
V
o
σ
Y el error probable de una observación:
( )
1
6745
.
0
2
−
×
±
=
∑
n
V
σ
En donde:
o
σ = Error probable de la media. [m]
σ = Error probable de una observación. [m]
V = Error residual. [m]
Error residual:
Es la diferencia entre la observación y el valor de la media. La suma de todos los
errores residuales con su signo, es igual a cero.
Ejemplo:
Se mide una distancia cuatro veces obteniéndose los siguientes resultados:
242.61 m 242.58 m 242.65 m 242.57 m
a. ¿Cuál es el error probable de la media?.
b. ¿Cuál es el error probable de una lectura?.

Solución:
V V2
(X - XP)
242.61 m 0.0075 0.000056
242.65 m 0.0475 0.002256
242.58 m -0.0225 0.000506
242.57 m -0.0325 0.001056
XP 242.603 Σ 0.0000 0.003875
DATOS ( )
012
.
0
1
4
4
003875
.
0
6745
.
0 ±
=
−
×
×
±
=
o
σ m
( )
024
.
0
1
4
003875
.
0
6745
.
0 ±
=
−
×
±
=
o
σ m
Xp = Es el valor más probable de la
distancia media.
Rta1/: El error probable de una lectura es:
242.61 ± 0.024 m
Rta2/: El error probable de la media es:
242.603 ± 0.012 m
El GRADO DE PRECISIÓN de la medida es:
Se cometió un error de 0.012 m en 2
42.603
m. para cometer un error de 1.0 m ¿que
distancia se necesita?
(–)
0.012 (+)
242.603
(+)
1.00
(–)
X
(A más distancia ….. por lo tanto más error.
Esta es una relación directamente
proporcional.
917
.
20216
012
.
0
0
.
1
603
.
242
=
×
=
X m
1:20216.917
Se cometerá un error de un metro en una distancia de 20216.917 metros.
4.5. PRECISIONES REQUERIDAS EN LEVANTAMIENTOS TOPOGRÁFICOS
ERROR MÁXIMO CLASE LEVANTAMIENTO
≤ 1:1000 (se comete un error de 1 m. por cada
1000 m.)
Taquimetría y todo trabajo de baja precisión
1:1000 a 1:1500 Trabajo de taquimetría con doble lectura.
1:1500 a 1:4000 Levantamiento de mediana precisión.
1:4000 a 1:10000 Levantamiento de alta precisión.
>1:10000 Levantamientos geodésicos.
4.6. PROBLEMAS RELATIVOS A LAS MEDICIONES
1. Se mide 5 veces una distancia obteniéndose los siguientes resultados:
310,25 m 310,27 m 310,20 m 310,18 m 310,23 m
i. Encontrar el error posible de una observación.
ii. Encontrar el error posible de la media.
iii. Calcular el grado de precisión del trabajo.

Solución:
V V
2
(X - XP)
310.25 m 0.0240 0.000576
310.20 m -0.0260 0.000676
310.23 m 0.0040 0.000016
310.27 m 0.0440 0.001936
310.18 m -0.0460 0.002116
XP 310.226 Σ 0.0000 0.005320
DATOS
( )
011
.
0
1
5
5
005320
.
0
6745
.
0 ±
=
−
×
×
±
=
o
σ m
( )
025
.
0
1
5
005320
.
0
6745
.
0 ±
=
−
×
±
=
σ m
Xp = Es el valor más probable de la distancia media.
El error probable de una lectura es:
310.25 ± 0.025 m
El error probable de la media es:
310.226 ± 0.011 m
El GRADO DE PRECISIÓN de la medida es:
Se cometió un error de 0.011 m en 310.226 m.
para cometer un error de 1.0 m que distancia
se necesita?.
(–)
0.011 (+)
310.226
(+)
1.00
(–)
X
(A más distancia ….. por lo tanto más error.
Esta es una relación directamente
proporcional.
28202.364
011
.
0
0
.
1
226
.
310
=
×
=
X m
1:28202.364
Se cometerá un error de un metro en una distancia de 28202.364 metros.
2. La longitud de una línea medida con una cinta de 20 mts es de 245.37 mts. Se encontró que al
comparar la cinta con un patrón, que esta era 0,07 mts mas larga. ¿cuál es la longitud real de la
línea?.
Solución:
¿La longitud medida con esa cinta es mas larga o mas corta? R/ta Más larga.
Este ejercicio tiene dos opciones de resolverse:
a. En 245.37 mts se tienen exactamente 12
cintadas.
00
.
240
12
20 =
×
20 0.07
5.27 X ⇒ X= 0.018 m
La longitud total será:
86
.
0
018
.
0
07
.
0
12 =
+
× m
Por lo tanto:
13
.
246
860
.
0
27
.
245 =
+ m
b. Se puede utilizar regla de tres simple:
En 20 metros se comete un error de 0.07
mts. ¿En una distancia de 245.27 mts cuanto
error se cometerá?.
20 0.07
245.27 X ⇒ X= 0.86 m
Por lo tanto:
13
.
246
860
.
0
27
.
245 =
+ m

3. Se quiere determinar una distancia de 300 mts, la cinta que se va a utilizar es de 30 mts, pero se
ha alargado 0,04 mts que se debe hacer en el terreno?.
Solución:
¿La longitud que se debe medir será mas larga o mas corta? R/ta Más corta.
Medir una distancia menor…300 – 0,40= 299,60 mts
4. La distancia verdadera entre 2 puntos es de 220,08 mts. Al medirla con una cinta de 50 mts se
encontró una distancia de 220,85 mts. ¿cuánto es mas larga o mas corta la cinta?.
Solución:
¿La cinta que se usa para es mas larga o mas corta? R/ta Mas corta.
En 220.85 mts se tienen 4.417 cintadas.
Si en 4.417 cintadas se tienen un error en
distancia de 0.77 mts, En una cintada que error se
tiene?:
417
.
4
50
85
.
220
=
(–)
4.417
(+)
0.77
(+)
1.00
(–)
X
0.17
417
.
4
77
.
0
0
.
1
=
×
=
X mts

CAPITULO V
5. MEDICIÓN DE ÁNGULOS
La forma más precisa de medir ángulos es mediante la utilización del teodolito o Estación Total. Pero en
caso de no disponer de estos instrumentos en esos momentos, podemos ayudarnos con elementos
sencillos como la cinta, la escuadra de agrimensor o las manos que nos pueden dar una idea del ángulo
que queremos.
5.1. MEDICIÓN DE ÁNGULOS CON CINTA
Todas las medidas que tengamos serán aproximadas
∆ 4
∆ 5
∆ 6
α
1
α
2
α
d
d
c
c
/2
Rango del valor “d”
5 ≤ d ≤ 20
¿Como encontramos α?
( ) d
c
Sen 2
2
=
α










= −
d
c
Sen 2
2
1
α










×
= −
d
c
Sen 2
2 1
α
Ejemplo:
5.2. TRAZADO DE PERPENDICULARES
A lo largo del desarrollo de un levantamiento de topografía uno de los aspectos más comunes que se
presentan, es la necesidad de proyectar perpendiculares al alineamiento ya sea para capturar datos de
campo (detalles) o realizar un nuevo alineamiento.
5.2.1. Trazado de una perpendicular a una recta por medio de la cinta
El trazado de una perpendicular a una recta se puede realizar de dos formas: el método de 3, 4, 5 y la
cuerda bisecada.
d: 10 mts
c: 4 mts
α = 23º 04’ 26”
⇒

a. Método 3, 4, 5
A B
3 m
4 m
5 m
a b
c
D D´
i) Suponemos a ojo que el punto “a” es perpendicular a la recta AB y pasa por el punto “D”.
ii) Se construye un triángulo rectángulo en “a” que tenga por catetos 3 y 4 metros o múltiplos de 3 y
de 4 y por hipotenusa 5 metros o un múltiplo de 5, de esta manera se obtiene un triángulo
rectángulo con un ángulo de 90º en “a”.
iii) Si la perpendicular ac no pasa por “D” sino por D’, entonces medimos '
DD y se corre el pie de la
perpendicular una distancia igual a '
DD y se chequea de nuevo la perpendicular repitiendo el
procedimiento.
b. Método de la Cuerda Bisecada
A
D
f
a B
D´
c
e
i) Suponemos a ojo que el punto “a” es perpendicular AB y pasa por el punto “D”.
ii) Haciendo centro en “C” se traza un arco que corte a AB . La corta en E y F.
iii) Se sitúa el punto “a” en la mitad de ef .
iv) Se une ac con una recta y se prolonga; como lo mas probable es que no pase por el punto D sino
por D”, entonces se mide '
DD y se corre el pie de la perpendicular “a” sobre AB , a una distancia
igual a la '
DD y se chequea de nuevo la perpendicular repitiendo el procedimiento.

5.2.2. Trazado de una perpendicular a una recta por medio de la escuadra de agrimensor
A
a
D´
c
D
B
i) Suponemos a ojo que el punto “a” es perpendicular a AB y pasa por el punto “D”
ii) Colocamos la escuadra de agrimensor sobre la línea AB. Verificamos mirando por las ranuras de
la escuadra que ella este sobre el alineamiento.
iii) Miramos por la otra ranura para verificar si el punto “D” esta en la línea, en caso contrario movemos
la escuadra sobre la línea AB hasta que el punto “D” este en la perpendicular.

5.2.3. Trazado de una perpendicular a una recta a ojo
En caso de no necesitarse mucha precisión se puede levantar una perpendicular, colocándose una
persona sobre la recta AB con los brazos abiertos en cruz, de modo que el brazo derecho apunte hacia
“A” y el izquierdo hacia “B”. Cerrando los ojos se juntan hacia delante palma con palma de la mano, y en
esta dirección señalando con los brazos juntos es aproximadamente perpendicular a AB .
5.3. MEDICIÓN DE DISTANCIAS CUANDO SE PRESENTAN OBSTÁCULOS
Método 1: Mediante el uso de un triángulo rectángulo.
Los pulgares se utilizaran
como colimadores para
mejorar la línea de vista.
Tomado de: Topografía Torres y Villate
∆
6
K1+323.
56
330
340
d1
d2
∆
7
K1+....
a b
c
2
1
2
2 d
d
ab −
=
2
1
2
2
2 d
ab
d +
=

Método 2: Mediante el uso de líneas paralelas y perpendiculares.
Método 3: Mediante el uso de triángulos semejantes.
ab
d
d =
= 3
1
∆
7
K1+....
330
340
∆
6
K1+323.
56
d1
d3
a b
d2
∆
7
K1+....
∆
6
K1+323.
56
330
340
a
b
c
d
e
dc
ec
ae
bd
bc
ac
=
=

CAPITULO VI
6. LEVANTAMIENTO DE UN LOTE SIN EQUIPO DE PRECISIÓN.
(Descomposición Geométrica)
6.1. LEVANTAMIENTO DE UN LOTE ÚNICAMENTE CON CINTA
Usos:
ü Este tipo de levantamiento esta considerado de baja precisión y su utilización esta dada para
medir y localizar construcciones o lotes relativamente pequeños.
ü Generalmente se utiliza cuando no existen obstáculos a lo largo de los linderos (Muros, etc).
PROCEDIMIENTO:
1. Definir los linderos del lote de acuerdo con la escritura publica del sitio o indicaciones del
contratante. (averiguar por los dueños de los lotes vecinos).
2. Hacer un esquema a mano alzada del lote y descomponerlo en figuras geométricas conocidas y
fácilmente medibles.
3. Enumerar las figuras.
4. Definir el norte con el fin de orientar el plano.
5. Medir los lados de las figuras dando alineamiento con la escuadra de agrimensor o con jalones.
6. Medir los ángulos de las figuras geométricas con ayuda de la cinta. Este aspecto sirve de chequeo
para el levantamiento.
7. Se dibuja el lote por medio de escala, transportador y cálculos geométricos.
Ejercicio
Supongamos el siguiente lote al cual se le desea determinar el área mediante un levantamiento
planimétrico utilizando Cinta e instrumentos de baja precisión.

Base 1 Base 2
Figura Tipo Altura Lado 1 Lado 2 Lado 3
(m) (m) (m) (m)
1 Triangulo 32.60 36.10 53.74 + 573.78
2 Triangulo 48.64 20.71 42.73 + 441.60
3 Triangulo 5.10 20.71 21.33 + 52.81
4 Triangulo 10.13 14.58 17.75 + 73.85
5 Triangulo 14.58 42.73 45.15 + 311.50
6 Triangulo 2.10 10.00 - 10.50
7 Trapecio 10.00 2.10 5.65 - 38.75
8 Trapecio 8.00 5.65 6.90 - 50.20
9 Trapecio 5.00 6.90 4.60 - 28.75
10 Trapecio 8.00 4.60 2.80 - 29.60
11 Triangulo 2.80 4.15 - 5.81
Área Total 1289.93
CARTERA DE CAMPO Y CÁLCULOS
Área
(m
2
)
36.10
3
2
.
6
0
21.33
5.10
2
0
.
7
1
48.64
1
0
.
1
3
4
2
.
7
3
1
7
.
7
5
14.58
1
2
3
4
5
10
9
8
7
6
11
2
.
1
0
5
.
6
5
6
.
9
0
4
.
6
0
2
.
8
0
10.00
10.00
8.00
8.00
4.15
5.00

6.2. LEVANTAMIENTO DE UN LOTE CON CINTA Y POLIGONAL DE BASE
Usos:
ü Este tipo de levantamiento esta considerado de baja precisión y su utilización esta dada para
medir y localizar construcciones o lotes relativamente pequeños.
ü La poligonal de base se emplea para chequear el trabajo de campo (cierre de la poligonal) y de
esta manera se verifica si esta bien o mal hecho, además, ayuda a determinar las figuras
geométricas.
ü Generalmente se utiliza cuando no existen obstáculos a lo largo de los linderos (Muros, etc).
PROCEDIMIENTO:
1. Definir los linderos del lote de acuerdo con la escritura publica del sitio o indicaciones del
contratante. (averiguar por los dueños de los lotes vecinos).
2. Materializar los vértices de la poligonal de tal forma que los alineamientos, en lo posible, sean
paralelos respecto de los linderos.
3. Hacer un esquema a mano alzada del lote y descomponerlo en figuras geométricas conocidas y
fácilmente medibles.
4. Tomar el azimut o definir la norte, con el fin de orientar el plano.
5. Se abscisan los lados del poligonal y se toman los detalles necesarios para el levantamiento por el
sistema de NORMALES IZQUIERDA y DERECHA.
6. Se miden los ángulos internos del poligonal por el método de las CUERDAS.
7. Se deben medir TODOS los lados de las figuras geométricas en las cuales se descompuso el lote.
8. Se toma toda la información adicional que se requiera para consignarse en la cartera (árboles,
casas, postes, cámaras de inspección de aguas residuales o lluvias, etc.)
9. Trabajo de oficina:
Se calculan los ángulos internos.
Se calculan las áreas.
Se calculan las escalas y se dibuja el lote.
NOTA:
F Delta: Simbolizado por la letra griega D. Se utiliza este nombre para los sitios donde la
poligonal cambia de sentido. Adicionalmente en estos lugares se arma y se
centra el teodolito.
F Los alineamientos se trazan con ayuda de la escuadra de agrimensor.
∆ 1
∆ 2
Azimut

MODELO DE CARTERA DE TRANSITO HECHO EN EXCEL
IZQ. DER.
CAMBIO DE PÁGINA
RADIO
OBSERVACIONES
ABS AZ
NORMALES

2
.2
7
1
.
1
5
2.48
2
.2
9
1.76
1.
91
1.6
4
2.01
3.16
3.
32
3.00
2.30
3.20
2.30
1.50
1.70
1.60
1.50
2.65
1
.
0
0
1
.
2
0
3
.
4
0
2
.
8
0
3.30
3.00
2.50
2.15
1.70
1.80
2.30
2.80
2.00
2.15
1.90
2.30
3.60
3.00
5
.
5
9
1
0
.
0
0
6
.
8
2
3
.
1
8
1
0
.
0
0
1
0
.
0
0
7
.
4
5
2.55
10.00
10.00
10.40
9.60
10.00
10.00
6.60
3.40
10.00
10.00
10.00
∆ 5
∆ 4
∆ 3
∆ 2
∆ 1
1
2
3
4
5 6 7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
1a
1b
1c
1d 1e 1f
2a
2b
2c
2d
2e
2f
3a
3b
3c
3d
3e
3f
4a
4b
4c
4d
4e
4f
5a
5b
5c
5d
27.81
29.62

IZQ DER
d = 10.00 mts
29.62 m
27.81 m
ê1 K0+155.59
150 5d 3.00 L.
140 5c 2.30 L.
5a - 5b 2.27 L.
5b 3.20 Nat
5a 2.30 Nad
ê5 K0+133.18 18.47
130 4f 1.50 L.
120 4e 1.70 L.
110 4d 1.60 L.
4b - 4c 2.29 L.
4a - 4b 2.48 L.
4c 1.50 Nad
4b 2.65 L.
4a 1.15 Nat
ê4 K0+102.55 8.72
100 3f 1.00 L.
090 3e 1.20 L.
080 3d 3.40 L.
070 CAMBIO DE PÁGINA Sin estaca
070 Sin estaca
3b - 3c 1.76 L.
3a - 3b 1.91 L.
3c 2.80 Nad
3b 3.30 L.
3a 3.00 Nat
ê3 K0+069.60 16.68
060 2f 2.50 L.
050 2e 2.15 L.
040 2d 1.70 L.
2b - 2c 1.64 L.
2a - 2b 2.01 L.
2c 1.80 Nad
2b 2.30 L.
2a 2.80 Nat
ê2 K0+033.40 14.12
030 1f 2.00 L.
020 1e 2.15 L.
010 1d 1.90 L.
1b - 1c 3.16 L.
1a - 1b 3.32 L.
1c 2.30 Normal adelante
1b 3.60 Lindero
1a 3.00 Normal atrás
ê1 K0+000.00 63.º20´00¨ 10.05 N.M. Taco con puntilla a 6,49 mts Normal adelante (Nad)
(Nat)
Distancia ∆5 - ∆3 =
Distancia ∆5 - ∆2 =
(Nad)
(L)
CARTERA DE CAMPO
MÉTODO: LOTE CON CINTA Y POLIGONAL DE BASE
ABS AZ PTO
NORMALES
Cuerda
Ang.
Intern.
RADIO
OBSERVACIONES

Generalmente cuando hay que calcular una sucesión de trapecios, se pueden emplear las llamadas:
“Formula de los Trapecios” o la “Formula de Simpson”.
Para el primer caso tenemos:
1. Formula de trapecios: Se divide la zona en un núm ero par o impar de trapecios de igual
altura.
5
4
3
2
1 S
S
S
S
S
S +
+
+
+
=
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
2
2
2
2
d
g
f
d
f
e
d
e
c
d
c
b
d
b
a
S
×
+
+
×
+
+
×
+
+
×
+
+
×
+
=
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
[ ]
g
f
f
e
e
c
c
b
b
a
d
S +
+
+
+
+
+
+
+
+
=
2
[ ]
g
f
e
c
b
a
d
S +
+
+
+
+
= 2
2
2
2
2






+
+
+
+
+
= f
e
c
b
f
a
d
S
2
d d d d d
a b c e f g
S1 S2 S3 S4 S5

Base 1 Base 2
Altura Lado 1 Lado 2 Lado 3
(m) (m) (m) (m)
1 Triangulo 32.95 27.81 30.63 + 396.13
2 Triangulo 27.81 36.20 29.62 + 402.98
3 Triangulo 29.62 22.41 33.40 + 325.26
4 Triangulo 3.60 3.16 2.30 + 3.59
5 Trapecio 10.00 2.30 1.90 + 21.00
6 Trapecio 10.00 1.90 2.15 + 20.25
7 Trapecio 10.00 2.15 2.00 + 20.75
8 Trapecio 3.40 2.00 2.80 + 8.16
9 Triangulo 2.80 2.01 2.30 + 2.28
10 Triangulo 2.30 1.64 1.80 + 1.47
11 Trapecio 6.60 1.80 1.70 + 11.55
12 Trapecio 10.00 1.70 2.15 + 19.25
13 Trapecio 10.00 2.15 2.50 + 23.25
14 Trapecio 9.60 2.50 3.00 + 26.40
15 Triangulo 3.00 1.91 3.30 + 2.83
16 Triangulo 3.30 1.76 2.80 + 2.46
17 Trapecio 10.40 2.80 3.40 + 32.24
18 Trapecio 10.00 3.40 1.20 + 23.00
19 Trapecio 10.00 1.20 1.40 + 13.00
20 Trapecio 2.55 1.00 1.15 + 2.74
21 Triangulo 1.15 2.48 2.65 + 1.42
22 Triangulo 2.65 2.29 1.50 + 1.71
23 Trapecio 7.45 1.50 1.60 + 11.55
24 Trapecio 10.00 1.60 1.70 + 16.50
25 Trapecio 10.00 1.70 1.50 + 16.00
26 Trapecio 3.18 1.50 3.20 + 7.47
27 Trapecio 6.82 2.30 2.30 + 15.69
28 Triangulo 2.30 3.20 2.27 - 2.61
29 Trapecio 10.00 2.30 3.00 + 26.50
30 Trapecio 5.59 3.00 3.00 + 16.77
31 Triangulo 3.00 3.32 3.60 + 4.66
1474.25
Área Total (m
2
)
CARTERA DE ÀREAS
Área
(m
2
)
Figura Tipo
∆ 5
3
.
1
8
6
.
8
2
1.50
2.30
3.20
2.30
2
.
2
7
Figura a restar en
los cálculos.

∆ 1
∆ 2
α
Dirección
CAPITULO VII
7. ÁNGULOS Y DIRECCIONES
La principal finalidad de la topografía es la localización de puntos, por lo tanto es necesario tener en claro
algunas definiciones:
ÁNGULO: “Desde el punto de vista geométrico, un ángulos es la figura geométrica formada en una
superficie por dos líneas que parten desde un mismo punto, o también la formada en el
espacio por dos superficies que parten de una misma línea”.
DIRECCIÓN: Se denomina dirección de una recta, al ángulo
horizontal existente entre esa recta y otra que
se toma como referencia. En nuestro caso, la
línea de referencia más utilizada, será la norte.
INCLINACIÓN: Se denomina inclinación de una recta, al ángulo vertical (de elevación o depresión)
que esta hace con respecto a la horizontal.
β
Inclinación
La posición de un punto de puede determinar si se conoce:
1. Su dirección y distancia a partir de un punto ya conocido.
Se tiene la siguiente información:
a. Un ángulo “α” (la dirección).
b. Una distancia “d”.
c. Un punto y una línea desde la cual se
medirá el ángulo “α”.
2. Sus direcciones desde dos puntos conocidos.
a. Dos ángulos “α” y “β” (Las direcciones).
b. Los puntos y líneas desde los cuales se
medirán los ángulos “α” y “β”.
c. Se deben prolongar los alineamientos
una vez determinados las direcciones
para confluir en una intersección, el
punto “P”.
α
d
P
α
β
A
P
B

3. Distancias desde 2 puntos conocidos.
a. Dos distancias “d1” y “d2”.
b. Los puntos desde las cuales se medirán
las distancias “d1” y “d2”.
c. Una nota aclaratoria para determinar con
precisión cual es el punto que se
requiere.
4. Una dirección desde un punto conocido y su distancia, desde otro punto también conocido.
a. Un ángulo “α” (la dirección) desde un
punto “A”.
b. Una distancia “d” desde un punto “B”.
c. Una nota aclaratoria para determinar con
precisión cual es el punto que se
requiere.
Como se dijo anteriormente, la dirección de los alineamientos se pueden referenciar respecto a una recta.
En topografía tenemos 3 grandes opciones que serán tratadas en el siguiente numeral.
7.1. MERIDIANO VERDADERO, MERIDIANO MAGNÉTICO Y MERIDIANO ARBITRARIO
Meridiano Verdadero:
Es aquel cuya recta de referencia respecto a la cual se toman las direcciones, es la recta que pasa por
los polos, norte y sur, geográficos de la tierra. Se determina por medio de observaciones astronómicas y
para cada punto sobre la superficie terrestre y tiene la misma dirección.
Meridiano magnético:
Es aquel cuya recta de referencia respecto a la cual se toman las direcciones, es la recta que pasa por
los polos, norte y sur, magnéticos de la tierra. Se determina por medio de la brújula y no es paralelo al
verdadero pues los polos magnéticos están a alguna distancia de los geográficos, además, los polos
magnéticos cambian de posición constantemente a lo largo del año, por tal motivo este meridiano no
tendrá una dirección estable.
A
B
P1
P2
d
1
d
2
Piola
A
α
P1
d
B
P2
El ángulo φ se denomina
declinación magnética.
v
v m
m
φ

Meridiano Arbitraria:
Es aquel cuya recta de referencia respecto a la cual se toman las direcciones, es cualquier punto que
escojamos como referencia a partir de la cual se medirán los ángulos. Se determina por simple
inspección. Dicho punto esta en el campo y debe ser inamovible, de fácil identificación y estar
referenciado. Esta norte puede ser: Un poste, un árbol grande, la esquina de una casa, un mojón, etc.
Al momento de graficar la norte, esta puede tomar diferentes formas, dependiendo del criterio y manejo
del delineante. Por ejemplo:
RUMBO: El rumbo de una recta, esta dirección esta respecto al meridiano escogido: el meridiano
norte o el meridiano sur.
F Es un ángulo que oscila entre 0º y 90º.
F Puede ser verdadero, magnético o arbitrario.
Ejemplo:
Graficar los siguientes rumbos:
AB = 63º NE
AC = 50º SE
AD = 15º 20’ SW
AC = 31º 19’ NW
AZIMUT: El azimut de una recta es la dirección de esta respecto al meridiano norte el ángulo se
mide en el sentido de las manecillas del reloj y su /o oscila entre 0 y 360º. Al igual que el
rumbo, el AZ puede ser verdadero, magnético o arbitrario.
Ejemplo:
Graficar los siguientes azimutes:
AB = 80º
AC = 130º
AD = 195º 20’
AC = 328º 41’
N
N
B
C
D
E
65°0' NE
31°19' NW
15°20' SW
50°0'SE
A
65°0'
130°0'
195º20'
328º41'
E
B
C
D
A

NOTA: Conocido el rumbo puedo hallar el AZ o viceversa todo depende de en que cuadrante se tome
el rumbo.
Ejercicio: Calcule el Rumbo de los siguientes alineamientos:
AZ = 242º 15’ 22º S 62º 15’ 22º W
AZ = 28º 46’ 49º N 28º 46’ 49º E
AZ = 97º 13’ 19º S 82º 46’ 31º E
AZ = 298º 19’ 11º N 61º 40’ 49º W
4.1. OTROS ÁNGULOS EN TOPOGRAFÍA
Ángulos de Deflexión
Es el ángulo formado por un lado de una poligonal, con la prolongación del lado inmediatamente anterior.
Podemos tener deflexiones en poligonales abiertas como lo muestra la figura o en poligonales cerradas
de donde podemos decir que la suma algebraica de las deflexiones en una poligonal cerrada es igual a
360º.
I
II
IV
III
0º
180º
270º 90º
Az = Rumbo en el I Cuadrante
Az = 180 – Rumbo en el II Cuadrante
Az = 180 + Rumbo en el III Cuadrante
Az = 360 – Rumbo en el IV Cuadrante
∆ 1
∆2
∆3
∆4
∆5
∆ 6
∆7
∆ 8
Dd
Di
Dd
Di
Di
Di
Az

∆ 13
∆ 12
∆
14
∆
18
∆ 2 0
∆ 1 9
∆ 6
∆ 1
∆ 2
∆ 3
∆ 4
∆ 5
∆5
∆ 6
∆ 1
∆ 2
∆ 3
∆ 4
Ángulos Positivos: Se originan por el giro en el sentido
de las manecillas del reloj.
Ángulos Negativos: Se originan por el giro en el sentido
contrario de las manecillas del reloj.
Ángulos Externos: Se originan cuando se realiza
el recorrido de la poligonal en
el sentido de las manecillas del
reloj. En poligonales cerradas
se tiene que la sumatoria de
todos los ángulos externos es
( )
2
180 +
× n .
Ángulos Internos: Se originan cuando se realiza
el recorrido de la poligonal en
el sentido contrario de las
manecillas del reloj. En
poligonales cerradas se tiene
que la sumatoria de todos los
ángulos internos es
( )
2
180 −
× n .

CAPITULO VIII
8. LA BRÚJULA
Aguja o flechilla imantada que puesta en condiciones de girar libremente marca la ubicación del
meridiano magnético, permitiéndonos determinar direcciones sobre la superficie terrestre.
Se compone esencialmente:
a. Una aguja imantada.
b. Una caja con un círculo graduado de 0º a 360º medidos desde el punto NORTE lo cual nos permite
medir el AZIMUT, y/o un circulo graduado de 0º a 90º desde el NORTE y el SUR al mismo tiempo
teniendo intercambios en los puntos ESTE y OESTE, con el fin de leer correctamente los
RUMBOS.
1.- Pivote de acero. 5.- Arandela de sujeción de la tapa. 9.- Contrapeso compensador de
la inclinación magnética.
2.- Aguja magnética. 6.- Palanquita de sujeción de la
aguja.
10.- Limbo graduado.
3.- Cabeza de ágata. 7.- Tornillo de sujeción / liberación
de la misma.
11.- Eje mecánico de giro
horizontal.
4.- Tapa de vidrio. 8.- Disco sobre el que actúa la
palanquita de sujeción.
12.- Plataforma nivelante.
Ágata: “Cuarzo lapídeo, duro, translucido y con franjas de uno u otro color.”

180º
0º
Soporte
Rosa el Vidrio
8.1. ERRORES QUE SE PUEDEN COMETER AL LEER CON UNA BRÚJULA
1. Aguja doblada:
Es debido a la manipulación de la flechilla durante su
mantenimiento o reparación.
2. Soporte de la aguja doblado:
Es debido a la manipulación de la flechilla durante su
mantenimiento o reparación.
3. Aguja lenta o perezosa:
La aguja al detenerse no queda señalando la dirección Norte – Sur, entonces hay que golpear el
vidrio para producir vibración y hacer que la aguja tome la posición. Generalmente esto ocurre por
que la aguja pierde magnetismo o el pivote le hace resistencia al libre giro de la aguja. Requiere
revisión.
4. Falta de habilidad o practica del usuario:
Generalmente se debe a que el usuario no está familiarizado con la brújula a utilizar, además este
error se puede minimizar si el círculo gradado es grande.
5. Atracción local:
Es la principal fuente de error. Se genera por la presencia cercana de objetos de hierro, acero,
corrientes eléctricas, celulares; en forma general, por la presencia de materiales u objetos que
puedan generar campos magnéticos o mantener cargas eléctricas estáticas. El tocar el vidrio de la
brújula con el dedo húmedo se puede descargar la aguja.
Tipos de declinación:
v m
δe
v
m
δw
Declinación
Este (δe)
Declinación
Oeste (δw)

El método para detectar y eliminar la atracción local se basa en:
a) Cuando el rumbo y el contrarumbo son iguales, o cuando el azimut es igual al contraazimut
más 180º (Az = contraazimut + 180º), se considera que la atracción local es cero. Por lo tanto
las líneas de norte son paralelas.
EJEMPLO:
b) Todos los rumbos o azimutes tomados desde una misma estación están afectados por la
misma cantidad de atracción, o sea que los ángulos entre rectas tomados desde una misma
estación no se afectan por la atracción local
EJEMPLO:
EJERCICIOS
1. El rumbo magnético de una línea es NE 65º 10’ y la declinación magnética es de W 3º 40’.
¿Cual es el verdadero rumbo?.
RM = NE 65º 10’
δ = 3º 40’W
50° 50°
Recta AB Rumbo AB = SE 50º
Recta BA Contrarumbo AB = NW 50º
Recta AB Azimut AB = 130º
Recta BA Contra Azimut AB = 310º
Azimut verdadero AB = 60º
Azimut verdadero AC = 200º
Ángulo BAC
∠ = 140º
Azimut magnético AB = 90º
Azimut magnético AC = 230º
Ángulo BAC
∠ = 140º
v
m
B
A
C
60°
200º
1
4
0
°
90°
230º
30°w

2. El rumbo magnético de una línea es N 80º 15’ W y la declinación magnética de W 6º 14. ¿Cual es
el verdadero rumbo?.
(DIBUJO)
3. Se hizo un levantamiento en una época de la cual la declinación magnética era de 10º 15’ E, en
esa zona. Se encontró que el rumbo magnético de un alineamiento era 28º 40’ NE. Actualmente la
declinación magnética en el mismo sitio es de 5º 16’ W. ¿Cuál era el verdadero rumbo y si se va a
replantear el alineamiento hoy, Cual será el rumbo magnético?.
δ= 10º 16’
RM = N 28º 40’
(DIBUJO)
4. Calcular el azimut de cada uno de los alineamientos.
(DIBUJO)
5. Calcular el azimut de alineamiento CD si:
'
20
º
86
=
AB
Az
∠ ABC = 76º 53’ En el sentido, de las manecillas del reloj
∠ ABC = 257º 10’
RESPUESTA = 60º 23’
Hay 2 formas de atacarlo:
a) Utilizando las deflexiones
b) Dibujando los ejes coordenados
6. Encontrar el AZ hacia el punto A desde delta 3 (∆ 3)
7. Se dan los siguientes rumbos magnéticos tomada de una poligonal. Corregir por atracción local y
encontrar cuanto es la declinación o atrase local en el sitio.
ESTACIÓN RUMBO ATRÁS RUMBO ADELANTE
A N = 37º 15’ E
B S = 36º 15’ W S = 65º 30’ E
C N = 66º 15’ W S = 31º 15’ E
D N = 31º 00’ W N = 89º 15’ E
E S = 89º 45’ W S = 46º 30’ E
F N = 46º 1’ W S = 15º 00’ E
G N = 14º 4’ W
(DIBUJO)

CAPITULO IX
9. EL TEODOLITO Y SUS APLICACIONES
Las raíces de la palabra teodolito tienen su origen en las palabras griegas THEAO que significa mirar y
HODOS que significa camino. La terminación probablemente se deba a una adicción o una de generación
de la palabra.
El transito o teodolito es un instrumento topográfico que se adapta a múltiples usos tales como:
F Medición de ángulos horizontales.
F Medición de ángulos verticales.
F Medición de distancias: Mediante la taquimetría o antiguamente la barra de invar.
F Y esencialmente, para trazar alineamientos rectos.
Básicamente se compone de:
1. Un telescopio que puede girar respecto aun eje vertical y un eje horizontal.
2. Para medir esos giros posee un círculo graduado vertical y otro horizontal respectivamente.
3. Tornillos de fijación tanto para el movimiento vertical como el horizontal. Están dispuestos
generalmente en forma perpendicular al aparato.
4. Tornillos de movimiento lento vertical y horizontal. Están dispuestos comúnmente en forma
tangencial al aparato.
5. Algunos están provistos una brújula.
6. Burbujas de nivelación:
a. Circular: Es un nivel esférico vulgarmente llamado “Ojo de Pollo”.
b. Cilíndrico: Esta burbuja es usada para realizar la nivelación milimétrica del teodolito. Su
objeto es ayudar a hacer verdaderamente vertical el eje vertical de aparato.
7. Finalmente todo el tránsito va montado sobre un trípode metálico, de madera o de aluminio.
En forma general, en el teodolito se pueden diferenciar tres zonas a saber:
a. Zona Superior: En esta zona encontramos el telescopio, el círculo gradado vertical y los tornillos
para fijar y mover lentamente en forma vertical el telescopio.
b. Zona Media: En esta zona encontramos el círculo graduado horizontal y los tornillos para fijar
y mover lentamente el telescopio en forma horizontal.
c. Zona Baja: En esta zona encontramos los tornillos para nivelar milimétricamente el nivel de
burbuja cilíndrico y algunos para desarmarlos.
El procedimiento de centrado y nivelación del teodolito forma parte de las clases de práctica.
Retículos del Telescopio: Inicialmente estos hilos fueron en tela de araña. En algunos teodolitos
estos hilos son o fueron en platino y en otros vienen rayados en el vidrio
del telescopio. Siempre el hilo de la plomada debe estar en el centro del
hilo vertical. Es importante tener en cuenta que todavía en algunos
teodolitos la visión es invertida.
Micrómetro o Nonio oVernier: Regla o limbo graduados utilizados para apreciar las fracciones de las
divisiones menores angulares o lineales, de la graduación.
Transitar: Es la acción de girar el telescopio 180º en forma vertical.

9.1. CORRECCIONES DEL TEODOLITO (CHEQUEO)
Antes de comprar o alquilar un teodolito o dar inicio a un trabajo de alta precisión, se deben hacer las
siguientes correcciones, verificaciones o chequeos; ya que son pruebas necesarias para corroborar el
correcto funcionamiento del teodolito. Si hay que h
acer correcciones estas las deben hacer personal
calificado.
1. “Los ejes de los niveles del plato deben estar en un plano perpendicular al eje vertical del aparato.”
a. Se nivela y se centra el aparato.
b. Se gira el aparato y la brújula (cilíndrica) no se debe salir de sus reparos. Caso contrario se
manda a corregir.
2. “El hilo vertical del retículo debe ser verdaderamente vertical, (por lo tanto el hilo horizontal debe
ser verdaderamente horizontal).”
a. Se centra y se nivela el teodolito.
b. Sobre una pared a una distancia aproximada de 50 metros se dibuja un punto muy fino.
c. Se realiza un barrido utilizando el movimiento lento del aparato y si en algún instante el punto
se sale del hilo vertical, se debe mandar a corregir.
d. Otra forma comparar el hilo vertical con el h
ilo de una plomada colocada a una distancia
aproximada de 50 metros.
3. “La línea de vista debe ser perpendicular al eje y horizontal del anteojo.”
a. Nivelado y centrado el teodolito ubico cero grados horizontales.
b. A una distancia aproximada de 100 metros o más, coloco una estaca con puntilla (punto A),
transito, y a la misma distancia coloco otra estaca con puntilla (punto B).
c. Giro un ángulo horizontal de 180º y la visual debe ser coincidir con el punto A.
d. Se transita y la visual deben coincidir con el punto B.
e. Si esto NO sucede el equipo esta descorregido.
4. “El eje horizontal del telescopio debe ser perpendicular al eje vertical del aparato.”
a. Nivelado y centrado el teodolito ubico cero grados horizontales.
b. Ubicamos un punto A verticalmente a la mayor altura posible.
c. Ubicamos un punto B sobre la misma vertical a la menor altura posible.
d. Transitamos y giramos 180º observamos nuevamente el punto A y punto B si las visuales
coinciden el equipo esta bien.

α
α
CAPITULO X
10. LEVANTAMIENTOS TOPOGRÁFICOS EN PLANIMETRÍA
10.1. LEVANTAMIENTO TOPOGRÁFICO CON TRANSITO Y CINTA. (RADIACIÓN)
10.1.1. Usos
1. Se utiliza para medir pequeños terrenos de topografía relativamente plana, de baja vegetación,
con linderos aproximadamente rectos o definidos y los detalles a tomar son pocos.
2. En un levantamiento considerado de precisión.
10.1.2. Procedimiento
1. Definir los linderos del lote de acuerdo a la escritura pública del sitio o indicaciones el contratante.
2. Seleccionar un punto en la parte central del lote desde el cual se tenga visibilidad hacia todos los
linderos (FOCO).
3. Determinar cuales son los vértices de los linderos así como de los detalles (postes, alcantarillas,
árboles, etc) para enumerarlos en el sentido de las manecillas del reloj. Dicha codificación puede
ser numérica, alfabética o alfanumérica.
4. Posicionar el teodolito en el Foco.
5. Centrado, nivelado y el equipo en ceros, se define la norte verdadera, magnética o arbitraria,
según los requisitos del trabajo.
6. Se determina al azimut del punto codificado como uno (1) y se mide la distancia que existe entre el
foco y ese punto (F – 1).
7. Se repite el paso seis (6) para cada uno de los otros vértices o detalles seleccionados para ser
tenidos en cuenta en el levantamiento.
8. Nuevamente se realiza la lectura del azimut del punto inicial (1) para comprobar que el equipo no
se haya movido.
9. Si la diferencia entre el azimut inicial y el azimut medido en el paso ocho (8) es menor que la
aproximación del equipo, se concluye que el trabajo tiene cierre angular.
/Az inicial – Az final/ ≤ Aproximación del equipo
10. Si el error de cierre cometido es mayor que la aproximación del equipo, se debe repetir la lectura
de todos los ángulos correspondientes a los vértices o detalles de lote, teniendo en cuenta de
chequear nuevamente la dirección de la norte.
11. Se debe realizar un esquema a mano alzada en la cartera de campo, consignando todos los
detalles correspondientes que se hayan tomado por radiación.
NOTA: Es importante tener en cuenta que los únicos levantamientos topográficos de planimetría que
elaboran la cartera de campo de arriba hacia abajo son los de RADIACIÓN Y BASE Y
MEDIDA.
EJERCICIO: Supongamos el siguiente lote al cual se le desea determinar el levantamiento planimétrico
del mismo, realizar el dibujo a escala y finalmente determinar su área.

10.1.3. Cartera de campo: Método, Radiación
N 18.20 Norte Arbitraria. Taco con puntilla a 18.20 mts
F - 1 30.º20´00¨
010
020
030
040
48.20
F - 2 100.º10´00¨
010
020
030
040
50.10
F - 3 185.º00´00¨
010
020
030
040
050
55.20
F - 4 206.º33´00¨ Esquina tanque de almacenamiento
010
020
22.36
F - 5 215.º10´00¨
F - 5 215.º10´00¨
010
020
030
040
050
56.15
010
020
030
36.06
F - 7 280.º40´00¨
010
020
030
040
47.50
010
020
030
31.62
010
F - 9 010
14.14
F-10 320.º30´00¨
010
020
030
040
50.30
F - 1 30.º21´00¨
Apróximación del Equipo 60"
PUNTO ABS. / DIST. AZ OBSERVACIONES
9
8
47.50
7
4
5
6
56.45
10
50.30
2
50.10
3
5
5
.
2
0
1
4
8
.
2
0
Cerco alambre de puas
Pablo
Ignacio
Quebrada Alamos
Restrepo
Casas
Tanque
en Ccto

Una vez culminado el trabajo de campo se debe realizar el respectivo chequeo para la verificación del
mismo:
CHEQUEO:
Azimut inicial = 30º 20´ 00”
Azimut final = 30º 21´ 00”
/Az inicial – Az final/ = 00º 01´ 00”
TOLERANCIA
Aprox. del equipo = 60”
Error = 1´ OK
¿Cuales sería las posibles causas de error?.
R/.
N El teodolito esta descalibrado o dañado: No se hizo un previo chequeo del mismo.
N El teodolito no esta correctamente centrado y/o nivelado.
N El operario (el topógrafo) movió el teodolito: El teodolito está amarrado y se hace girar a la fuerza
o se golpean las patas del trípode.
N El operario de equivoca de tornillo y mueve los tornillos de los ángulos. (Ej: Teo dolito Kern K1A).
N El operario no vuelve a coger línea exactamente sobre el primer punto del levantamiento.
N El cadenero (primero o segundo) no vuelve a dar línea exactamente sobre el primer punto del
levantamiento.
Al realizar un levantamiento topográfico de planimetría cualesquiera, la información que se desea conocer
dependerá de la necesitad del ingeniero o arquitecto o persona encargada del diseño, construcción o
venta. Esta podría ser:
a. Un plano a escala con todos los detalles.
b. El área del lote y/o de sus particiones.
c. La longitud recorrida y la dirección de un o unos alineamientos.
d. Etc.
10.1.4. Cálculo de Proyecciones y Cartera de Cálculo de Coordenadas
Para cumplir con los anteriores requerimientos se hace necesario la realización del trabajo de oficina el
cual consiste, en forma general, de:
a. Pasar los datos de campo al formato general de cálculo correspondiente.
b. Con el AZIMUT y la DISTANCIA se calculas las proyecciones.
c. Asumiendo las coordenadas iniciales (en este caso las del foco), se calculan las coordenadas de
los detalles tomados.
d. Se calcula la escala del dibujo.
e. Se realiza el dibujo a la escala correspondiente.
f. Se calcula el área del lote y/o poligonal.
La forma más rápida para la realización de un dibujo a escala es tomando la información directamente de
la cartera, usando los ángulos y distancias. Pero para calcular el área, la forma más sencilla es utilizando
los pares coordenados (X, Y), o en nuestro caso (N, E), de los detalles que conforman los límites del
área. De igual forma, con el auge de los computadores y los software especializados, la realización del
dibujo será más rápido y preciso mediante el uso de los pares coordenados.
Para tal fin calcularemos las proyecciones de cada uno de los datos tomados en campo mediante el uso
de las siguientes fórmulas:
Para las proyecciones Norte y Sur usaremos: Para las proyecciones Este y Oeste usaremos:
)
cos(Az
d
P S
N ×
=
− )
(Az
sen
d
P W
E ×
=
−

En donde:
D = Distancia desde el foco al detalle (m).
Az = Azimut, el cual puede ser Verdadero, Magnético o Arbitrario (Grados
Centesimales).
Para las proyecciones Norte y Sur tenemos: Para las proyecciones Este y Oeste tenemos:
602
.
41
)
"
00
'
20
º
30
cos(
20
.
48
)
1
( +
=
×
=
− S
N
P m 342
.
24
)
"
00
'
20
º
30
(
20
.
48
)
1
( +
=
×
=
− sen
P W
E m
843
.
8
)
"
00
'
10
º
100
cos(
10
.
50
)
2
( −
=
×
=
− S
N
P m 313
.
49
)
"
00
'
10
º
100
(
10
.
50
)
2
( +
=
×
=
− sen
P E
E m
990
.
54
)
"
00
'
00
º
185
cos(
20
.
55
)
3
( −
=
×
=
−S
N
P m 811
.
4
)
"
00
'
00
º
185
(
20
.
55
)
3
( −
=
×
=
− sen
P W
E m
002
.
20
)
"
00
'
33
º
206
cos(
36
.
22
)
4
( −
=
×
=
−S
N
P m 994
.
9
)
"
00
'
33
º
206
(
36
.
22
)
4
( −
=
×
=
− sen
P W
E m
902
.
45
)
"
00
'
10
º
215
cos(
15
.
56
)
5
( −
=
×
=
−S
N
P m 340
.
32
)
"
00
'
10
º
215
(
15
.
56
)
5
( −
=
×
=
− sen
P W
E m
999
.
19
)
"
00
'
19
º
236
cos(
06
.
36
)
6
( −
=
×
=
−S
N
P m 006
.
30
)
"
00
'
19
º
236
(
06
.
36
)
6
( −
=
×
=
− sen
P W
E m
792
.
8
)
"
00
'
40
º
280
cos(
50
.
47
)
7
( +
=
×
=
− S
N
P m 679
.
46
)
"
00
'
40
º
280
(
50
.
47
)
7
( −
=
×
=
− sen
P W
E m
998
.
9
)
"
00
'
26
º
288
cos(
62
.
31
)
8
( +
=
×
=
− S
N
P m 998
.
29
)
"
00
'
26
º
288
(
62
.
31
)
8
( −
=
×
=
− sen
P W
E m
001
.
10
)
"
00
'
01
º
315
cos(
14
.
14
)
9
( +
=
×
=
−S
N
P m 996
.
9
)
"
00
'
01
º
315
(
14
.
14
)
9
( −
=
×
=
− sen
P W
E m
813
.
38
)
"
00
'
30
º
320
cos(
30
.
50
)
10
( +
=
×
=
−S
N
P m 995
.
31
)
"
00
'
30
º
320
(
30
.
50
)
10
( −
=
×
=
− sen
P W
E m
594
.
41
)
"
00
'
21
º
30
cos(
20
.
48
)
1
( +
=
×
=
− S
N
P m 355
.
24
)
"
00
'
20
º
30
(
20
.
48
)
1
( =
×
=
− sen
P W
E m
Las coordenadas del foco se deben escoger de tal forma que las coordenadas de los demás puntos
siempre den positivas ya que todo el dibujo se realizará en el primer cuadrante del plano cartesiano.
N S E W NORTE ESTE
F 100.000 200.000
1 30.º20´00¨ 48.20 41.602 24.342 141.602 224.342
2 100.º10´00¨ 50.10 8.843 49.313 91.157 249.313
3 185.º00´00¨ 55.20 54.990 4.811 45.010 195.189
4 206.º33´00¨ 22.36 20.002 9.994 79.998 190.006
5 215.º10´00¨ 56.15 45.902 32.340 54.098 167.660
6 236.º19´00¨ 36.06 19.999 30.006 80.001 169.994
7 280.º40´00¨ 47.50 8.792 46.679 108.792 153.321
8 288.º26´00¨ 31.62 9.998 29.998 109.998 170.002
9 315.º01´00¨ 14.14 10.001 9.996 110.001 190.004
10 320.º30´00¨ 50.30 38.813 31.995 138.813 168.005
11 30.º21´00¨ 48.20 41.594 24.355 141.594 224.355
SUMAS 109.206 149.736 73.656 195.819
CARTERA DE CALCULO DE COORDENADAS
PTO AZIMUT DIST.
PROYECCIONES COORDENADAS

Como se tiene un único FOCO y desde ahí se realizaron todas las mediciones, entonces TODAS las
coordenadas de los detalles dependerán de ellas.
10.1.5. Calculo de la escala
Para el cálculo de la escala, se debe escoger la norte más grande y la más pequeña así como la este
más grande y la más pequeña. Para nuestro caso tenemos:
Norte mayor: 141.60 m
Norte Menor: 45.01 m
96.56 m
Este mayor: 149.31 m
Este Menor: 53.32 m
95.99 m
Generalmente los tamaños durante la impresión son los siguientes:
Pliego completo: 1.0 m x 0.70 m Medio pliego: 0.70 m x 0.50 m.
En cada uno de los casos se debe descontar una longitud, la cual corresponde al margen que se debe
dejar en los cuatro lados del pliego. Esta distancia se puede considerar entre 0.01 m y 0.05 m.
Asumiendo un valor de margen igual a 0.05 m, las áreas útiles serán:
Pliego completo: 0.90 m x 0.60 m Medio pliego: 0.60 m x 0.40 m.
Para encontrar la escala se elige la longitud más alta hallada entre la norte y la este, para correlacionarlo
con la longitud más larga del papel y viceversa. Para nuestro caso tenemos:
(+)
9656.00 cm
(-)
90.00 cm
(-)
X1
(+)
1.00 cm
28
.
107
00
.
90
00
.
1
00
.
9656
1 =
×
=
X
(+)
9599.00 cm
(-)
60.00 cm
(-)
X2
(+)
1.00 cm
98
.
159
00
.
60
00
.
1
00
.
9599
2 =
×
=
X
1 : 107.32 1 : 159.98
Escalas comerciales:
1:100 1:125 1:20 1:25 1:50 1:75
Se debe seleccionar la escala superior más cercana al valor calculado entre X1 y X2. Por lo tanto la
escala se será: 1 : 200
Si se considera un tamaño de papel de 0.17 x 0.12 m se tiene:
(+)
9656.00 cm
(-)
17.00 cm
(-)
X1
(+)
1.00 cm
00
.
568
00
.
17
00
.
1
00
.
9656
1 =
×
=
X
(+)
9599.00 cm
(-)
12.00 cm
(-)
X2
(+)
1.00 cm
92
.
799
00
.
12
00
.
1
00
.
9599
2 =
×
=
X
1 : 568.00 1 : 799.92
Se debe seleccionar la escala superior más cercana al valor calculado entre X1 y X2. Por lo tanto la
escala se será: 1 : 1000

10.1.6. Elaboración del dibujo
Todo el dibujo se realizará en el primer cuadrante, y para tal fin, de deben escoger las coordenadas del
vértice inferior izquierdo. Estas coordenadas corresponderán al número “redondo” menor al encontrado
tanto para la Norte como para la Este. Para nuestro caso serán: N = 30.00 m E = 40.00 m. (30.00 ,
40.00)
El paso siguiente es ubicar los pares ordenados (N , E), dentro del primer cuadrante, correspondientes a
los vértices del lote y a los detalles capturados en campo.
Ejemplo:
El punto 1 tiene como coordenadas N= 141.602 m y E= 124.342 m, o sea el par coordenado (141.602 ,
124.342).
Sobre el eje de las ordenadas, que en este caso serán las Nortes, se mide una distancia igual a
602
.
111
30
602
.
141 =
−
=
d m, de tal forma que mediante el uso del escalímetro, en la escala 1:1000,
se mide una longitud de 101.602 m desde el origen de coordenadas. La misma operación matemática se
repite para la Este y para cada uno de los pares coordenados.
F
1
2
3
4
5
6
7
8 9
10
(30,40)
40
50
60
70
80
90
100
110
120
130
140
50
60
70
80
90
100
110
120
130
140
150
1 : 1000

PRESENTACIÓN DEL PLANO
150
140
130
120
110
100
90
80
70
60
50
140
130
120
110
100
90
80
70
60
50
40
N
40
160
170
180
190
9
F
4
6
8
10
7
1
2
3
5
Quebrada Alamos
Cerco alambre de puas
Casas
Pablo
Restrepo
Ignacio
150
JOSE ALBERTO MOSQUERA
M.P. 19302-18989 Cauca
PLANTA GENERAL
Contiene:
Levantó
Ing.
Plano:
Escala: Fecha:
1 : 1000
DE 2004
Aprobó:
WBEIMAR MARTINEZ C.
Digitalizó:
Ing.
HUGO Y. OROZCO DUEÑAS
SEPTIEMBRE 1 / 1
160
30
200

10.1.7. Calculo del área
5
4
3
2
1 A
A
A
A
A
AT −
−
+
+
=
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 




 −
+
−





 −
+
−





 −
+
+





 −
+
+





 −
+
=
2
2
2
2
2
4
3
3
4
5
4
5
4
2
3
3
2
1
2
2
1
5
1
5
1
E
E
N
N
E
E
N
N
E
E
N
N
E
E
N
N
E
E
N
N
AT
5
5
5
4
2
3
2
2
3
3
3
2
1
2
1
1
2
2
2
1
5
5
5
1
1
5
1
1
2 E
N
E
N
E
N
E
N
E
N
E
N
E
N
E
N
E
N
E
N
E
N
E
N
E
N
E
N
AT +
+
−
−
+
+
−
−
+
+
−
−
+
=
3
3
3
4
4
3
4
4
4
5
4
4 E
N
E
N
E
N
E
N
E
N
E
N −
−
+
+
−
−
( )
1
5
5
4
4
3
3
2
2
1
2 E
N
E
N
E
N
E
N
E
N
AT +
+
+
+
= ( )
5
1
4
5
3
4
2
3
1
2 E
N
E
N
E
N
E
N
E
N +
+
+
+
−
Este resultado también se obtiene u
sando el Método de las CRUCES. Este método consiste en tomar
todas las coordenadas que forman parte del lindero del lote o los vértices de la poligonal, según sea el
caso. Dichas coordenadas se deben escoger en estricta secuencia, en el sentido de las manecillas del
reloj. Caso contrario, se obtiene el mismo escalar pero con signo negativo.
1
5
4
3
2
A1
A2
A5
A3
A4
N4
N3
N5
N2
N1
E5
E4
E1
E2
E3

Para el caso que estamos tratando tenemos:
PUNTO NORTE ESTE
1 N1 E1
2 N2 E2
3 N3 E3
Se multiplican entre si y
suman.
Se multiplican entre si y
restan.
4 N4 E4
5 N5 E5
1 N1 E1
1
5
5
4
4
3
3
2
2
1 E
N
E
N
E
N
E
N
E
N +
+
+
+
A
E
N
E
N
E
N
E
N
E
N 2
5
1
4
5
3
4
2
3
1
2 =
−
−
−
−
−
Por lo tanto el área del lote será:
SUMA RESTA
NORTE ESTE
1 141.602 124.342
2 91.157 149.313 21142.996 11334.652
3 45.010 95.189 8677.119 6720.602
5 54.098 67.660 3045.381 5149.581
7 108.792 53.321 2884.573 7360.870
10 138.813 68.005 7398.429 7401.601
1 141.602 124.342 17260.312 9629.648
SUMAS 60408.811 47596.954
(S1) (S2)
A= (S1) - (S2) = 6405.93 m
2
2
CÁLCULO DEL ÁREA DEL LOTE
PTO
COORDENADAS

10.2. LEVANTAMIENTO TOPOGRÁFICO DE UN LOTE POR BASE Y MEDIDA O
INTERSECCIÓN DE VISUALES
10.2.1. Usos.
1. Se utiliza para medir pequeños terrenos de topografía relativamente plana y de baja vegetación.
2. Se utiliza cuando los linderos son aproximadamente rectos o definidos y los detalles a tomar son
pocos.
3. En un levantamiento considerado de precisión.
10.2.2. Procedimiento.
1. Definir los linderos del lote de acuerdo a la escritura pública del sitio o indicaciones el contratante.
2. Se determinan dos puntos A y B desde los cuales se tenga visibilidad hacia todos los linderos del
lote.
3. Determinar cuales son los vértices de los linderos así como de los detalles (postes, alcantarillas,
árboles, etc) para enumerarlos en el sentido de las manecillas del reloj. Dicha codificación puede
ser numérica, alfabética o alfanumérica.
4. Posicionar el equipo en el punto A. Centrado, nivelado y el equipo en ceros, se define la norte
verdadera, magnética o arbitraria, según los requisitos del trabajo.
5. Determinar el azimut hacia el punto B y hacia todos y cada uno de los vértices y/o detalles que se
desean tomar del lote.
6. Posicionar el equipo en el punto B. Centrado y nivelado, se define el norte (magnético, verdadero
o arbitrario), y ubicar el equipo en ceros.
7. Determinar el azimut hacia el punto A y hacia todos y cada uno de los vértices y/o detalles que se
desean tomar del lote.
8. Medir con la mayor exactitud posible la distancia entre los puntos A y B.
NOTA: Los puntos A y B deben cumplir.
a. Ser intervisibles.
b. La distancia entre estos puntos debe ser de fácil medición y de una longitud proporcional al
lote
c. Los ángulos que contienen los triángulos AB# (# = Número del punto, vértice y/o detalle),
no sean demasiados agudos.
d. La distancia entre los puntos A y B se debe medir al menos 5 veces y posteriormente se
promedia.
NOTA: Siempre se debe medir nuevamente el azimut del punto inicial para comprobar que el equipo
no se halla movido.
9. Si el error cometido está dentro de los límites, se procede a los cálculos de oficina. En caso
contrario se debe repetir el trabajo (medir los azimutes de todos los puntos).
10. Todos los detalles deben estar consignados en la cartera de campo.
11. Se debe realizar un esquema a mano alzada en la cartera de campo, consignando todos los
detalles correspondientes que se hayan tomado por radiación.
/Az inicial – Az final/ = Aproximación del equipo

10.2.3. Cartera de campo: Método, Base y Medida.
A N Norte Arbitraria. Poste de teléfono a 5.36 mts
B 58.31 149.º02´10¨
1 6.º54´23¨
2 88.º16´14¨
3 132.º48´46¨
4 193.º13´29¨
5 294.º24´32¨
1 6.º54´22¨
B A 58.31 0º00´00" Norte Arbitraria. El punto A
1 19.º40´30¨
2 75.º59´09¨
3 134.º24´02¨
4 297.º24´28¨
5 348.º21´39¨
1 19.º40´30¨
Apróximación del Equipo 1"
OBSERVACIONES
AZ
FOCO PTO DIST. ÁNGULO
Mediante la aplicación del teorema del seno podemos encontrar las medidas y ángulos faltantes.
( ) ( ) ( )
c
sen
b
sen
a
sen ϕ
β
α
=
=
ANGULO ANGULO ANGULO DIST. DIST.
BA# AB# A#B A# B#
1 142.º07´47¨ 19.º40´30¨ 18.º11´43¨ 62.87 114.87
2 60.º45´56¨ 75.º59´09¨ 43.º14´55¨ 82.57 74.26
3 16.º13´24¨ 134.º24´02¨ 29.º22´34¨ 84.69 84.84
4 44.º11´19¨ 62.º35´32¨ 73.º13´90¨ 54.07 42.45
5 145.º22´22¨ 11.º38´21¨ 22.º59´17¨ 30.12 84.84
CARTERA DE CÁLCULO DE ANGULOS Y DISTANCIAS
PTO
Para el cálculo de las coordenadas se pueden tomar cualquiera de los dos focos como base para
encontrar las coordenadas. Por facilidad tomaremos como foco el punto A, ya que desde este punto se
midieron directamente todos los azimutes hacia los linderos del lote. Para los cálculos utilizaremos las
mismas ecuaciones utilizadas ene. Método de radiación.
A
1
2
3
4
5
B

10.2.4. Cartera de calculo de coordenadas
Para las proyecciones Norte y Sur usaremos: Para las proyecciones Este y Oeste usaremos:
)
cos(Az
d
P S
N ×
=
− )
(Az
sen
d
P W
E ×
=
−
N S E W NORTE ESTE
A 1000.000 1000.000
1 6.º54´23¨ 62.87 62.414 7.560 1062.414 1007.560
2 88.º16´14¨ 82.57 2.492 82.532 1002.492 1082.532
3 132.º48´46¨ 84.93 57.719 62.303 942.281 1062.303
4 193.º13´29¨ 54.47 53.025 12.461 946.975 987.539
5 294.º24´32¨ 30.12 12.447 27.428 1012.447 972.572
B 149.º02´10¨ 58.31 50.000 30.000 950.000 1030.000
SUMAS 373.27 77.353 110.744 152.395 39.889
ê PTO AZIMUT DIST.
PROYECCIONES COORDENADAS
10.2.5. Cálculo del área
Para el cálculo del área del lote utilizaremos la regla de las cruces.
SUMA RESTA
NORTE ESTE
1 1062.414 1007.560
2 1002.492 1082.532 1150097.360 1010070.757
3 942.281 1062.303 1064950.018 1020049.868
4 946.975 987.539 930539.245 1005973.700
5 1012.447 972.572 921001.043 999830.705
1 1062.414 1007.560 1020101.022 1033274.073
SUMAS 5086688.689 5069199.103
A= 8744.79 m
2
PTO
COORDENADAS
Las actividades de oficina posteriores se desarrollan de igual manera que en el método de radiación:
calculo de la escala y dibujo.

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