Este documento presenta conceptos básicos de probabilidad, incluyendo definiciones de eventos, espacio muestral, probabilidad, probabilidad condicionada, independencia de eventos, y teoremas como la probabilidad total y Bayes. Explica estas ideas con ejemplos numéricos y diagramas para ilustrar conceptos como uniones, intersecciones y sistemas exhaustivos y excluyentes de eventos. El objetivo es recordar y aplicar nociones probabilísticas fundamentales relevantes para diversas disciplinas.
2. Tema 4: Probabilidad 2Estadística. U.P.A.O.
¿Cuál es la probabilidad de aprobar Estadística?
¿Cuál es la probabilidad de no encontrarme un atasco en la combi
cuando voy a clase?
Todos los días nos hacemos preguntas sobre probabilidad e
incluso los que hayas visto poco de la materia en cursos
anteriores, tienes una idea intuitiva lo suficientemente correcta
para lo que necesitamos de ella en este curso.
En este tema vamos a:
Recordar qué entendemos por probabilidad.
Recordar algunas reglas de cálculo.
Ver cómo aparecen las probabilidades en tu especialidad.
Aplicarlo a algunos conceptos nuevos de interés en para tu
profesión.
3. Tema 4: Probabilidad 3Estadística. U.P.A.O.
Nociones de probabilidad
Tipo de
Servicio
Nº Turistas %
Clase A 39 35.45
Clase B 41 37.27
Clase C 30 27.27
Total 110 100.00
Frecuentista (objetiva):
Probabilidad de un evento es la
frecuencia relativa (%) de veces
que ocurriría el evento al
realizar un experimento
repetidas veces.
Subjetiva (bayesiana): Grado de
certeza que se posee sobre un
evento. Es personal.
En ambos tipos de definiciones
aparece el concepto de evento.
Vamos a recordar qué son y
algunas operaciones que se
pueden realizar con sucesos.
Turismo en Trujillo
0.00 10.00 20.00 30.00 40.00
claseA
claseB
claseC
Porc e nta je s
4. Tema 4: Probabilidad 4Estadística. U.P.A.O.
Eventos
Cuando se realiza un experimento aleatorio diversos resultados son
posibles. El conjunto de todos los resultados posibles se llama espacio
muestral (Ω).
Se llama evento a un subconjunto de dichos resultados.
Se llama evento contrario (complementario) de un evento A, A’, al
formado por los elementos que no están en A
Se llama evento unión de A y B, AUB, al formado por los resultados
experimentales que están en A o en B (incluyendo los que están en
ambos.
Se llama evento intersección de A y B, A∩B o simplemente AB, al
formado por los elementos que están en A y B
Ω espacio muestral
Ω espacio muestral
A
A’
Ω espacio muestral
A
B
Ω espacio muestral
A
B
Ω espacio muestral
A
B
UNIÓN INTERS.
5. Tema 4: Probabilidad 5Estadística. U.P.A.O.
Se llama probabilidad a cualquier función, P, que asigna a
cada evento A un valor numérico P(A), verificando las
siguientes reglas (axiomas)
P(Ω)=1
0≤P(A) ≤1
P(AUB)=P(A)+P(B) si A∩B=Ø
Ø es el conjunto vacío.
Puedes imaginar la probabilidad de un subconjunto como
el tamaño relativo con respecto al total (evento seguro)
Definición de probabilidad
Ω espacio muestral
100%
B
Ω espacio muestral
A
6. Tema 4: Probabilidad 6Estadística. U.P.A.O.
A
Probabilidad condicionada
Se llama probabilidad de A condicionada a B, o
probabilidad de A sabiendo que pasa B:
)(
)(
)|(
BP
BAP
BAP
∩
=
Ω espacio muestral
B
“tamaño”deunorespectoalotro
Error frecuentísimo:
No confundas probabilidad condicionada con intersección.
En ambos medimos efectivamente la intersección, pero…
En P(A∩B) con respecto a P(Ω)=1
En P(A|B) con respecto a P(B)
7. Tema 4: Probabilidad 7Estadística. U.P.A.O.
Cualquier problema de probabilidad puede
resolverse en teoría mediante aplicación de los
axiomas. Sin embargo, es más cómodo conocer
algunas reglas de cálculo:
P(A’) = 1 - P(A)
P(AUB) = P(A) + P(B) - P(AB)
P(AB) = P(A) P(B|A)
= P(B) P(A|B)
Prob. de que pasen A y B es la prob. de A y que también pase B
sabiendo que pasó A.
Algunas reglas de cálculo prácticas
8. Tema 4: Probabilidad 8Estadística. U.P.A.O.
Dos eventos son independientes si el que
ocurra uno, no añade información sobre el
otro.
A es independiente de B
P(A|B) = P(A)
P(AB) = P(A) P(B)
Independencia de eventos
9. Tema 4: Probabilidad 9Estadística. U.P.A.O.
Ejemplo (I)
Se ha repetido en 110 ocasiones el experimento
de elegir a un Turista de una población muy
grande. El resultado está en la tabla.
¿Cuál es la probabilidad de que un Turista utilice el
servicio “Clase B”?
P(Clase B)=41/110=0,373=37,3%
Noción frecuentista de probabilidad
Tipo de Servicio
Procedencia
TotalTrujillo Otros
clase A 33 6 39
clase B 35 6 41
clase C 26 4 30
Total 94 16 110
10. Tema 4: Probabilidad 10Estadística. U.P.A.O.
Ejemplo (II)
¿Probabilidad de usar Clase B ò Clase C?
P(Clase B u Clase C)=41/110+30/110=0,6454
Son eventos disjuntos
Clase B ∩ Clase C=Ø
¿Probabilidad de ser de Trujillo o usar Clase A?
P(trujillo U Clase A)=94/110+39/110-33/110=0,5818
No son eventos disjuntos
¿Probabilidad de un turista clase “A”? (entiéndase…)
P(clase A)=39/110=0,35
P(clase A)=1-P(clase A’)=1-P(Clase BU clase C) =1-0,70=0,30
Tipo de Servicio
Procedencia
TotalTrujillo Otros
clase A 33 6 39
clase B 35 6 41
clase C 26 4 30
Total 94 16 110
11. Tema 4: Probabilidad 11Estadística. U.P.A.O.
Ejemplo (III)
Si es Trujillano… ¿cuál es la probabilidad de que use el
servicio de Clase A?
P(clase A|Trujillo)=33/94=0,3511
¿Probabilidad de que sea de Trujillo y que utilice el
servicio clase B?
P(Trujillo ∩ Clase B) = 35/110=0,32
Otra forma:
32,0110/35
94
35
110
94
)/()()(
==×=
=×= TrujilloClaseBPTrujilloPClaseBTrujilloP
Tipo de Servicio
Procedencia
TotalTrujillo Otros
clase A 33 6 39
clase B 35 6 41
clase C 26 4 30
Total 94 16 110
12. Tema 4: Probabilidad 12Estadística. U.P.A.O.
Ejemplo (IV)
¿Son independientes Trujillo y Clase B?
Una forma de hacerlo
P(Clase B)=41/110=0,3727
P(Clase B|Trujillo)=35/94=0,3723
¿Otra forma?
P(Trujillo ∩ Clase B) = 35/110 = 0,318181
P(Trujillo) P(Clase B)= (94/110) x (41/110) = 0,3185123
La probabilidad de la intersección no es el producto de
probabilidades. No son independientes.
Tipo de Servicio
Procedencia
TotalTrujillo Otros
clase A 33 6 39
clase B 35 6 41
clase C 26 4 30
Total 94 16 110
13. Tema 4: Probabilidad 13Estadística. U.P.A.O.
Sistema exhaustivo y excluyente de eventos
A1 A2
A3 A4
Son una colección de eventos
A1, A2, A3, A4…
Tales que la unión de todos ellos forman
el espacio muestral, y sus intersecciones
son disjuntas.
¿Recuerdan cómo formar intervalos en tablas
de frecuencias?
Evento
seguro
A1
A2
A3
A4
14. Tema 4: Probabilidad 14Estadística. U.P.A.O.
Divide y vencerás
A1 A2
A3 A4
B
Todo evento B, puede ser descompuesto
en componentes de dicho sistema.
B = (B∩A1) U (B∩A2 ) U ( B∩A3 ) U ( B∩A4 )
Nos permite descomponer el problema B en
subproblemas más simples. Creedme . Funciona.
Evento
seguro
A1
A2
A3
A4
B
B
B
B
15. Tema 4: Probabilidad 15Estadística. U.P.A.O.
Teorema de la probabilidad total
A1 A2
A3 A4
B
Si conocemos la probabilidad de B en cada uno de los
componentes de un sistema exhaustivo y excluyente de
eventos, entonces…
… podemos calcular la probabilidad de B.
P(B) = P(B∩A1) + P(B∩A2 ) + P( B∩A3 ) + P( B∩A4 )
=P(A1) P(B|A1) + P(A2) P(B|A2)+ …
Evento
seguro
A1
A2
A3
A4
B
B
B
B
P(A1)
P(A2)
P(A3)
P(A4)
P(B|A1)
P(B|A2)
P(B|A3)
P(B|A4)
16. Tema 4: Probabilidad 16Estadística. U.P.A.O.
Ejemplo (I): En una aula el 70% de los alumnos son
mujeres. De ellas el 10% son fumadoras. De los
hombres, son fumadores el 20%.
¿Qué porcentaje de fumadores hay?
P(F) = P(M∩F) + P(H∩F)
= P(M)P(F|M) + P(H)P(F|H)
=0,7 x 0,1 + 0,3 x 0,2
= 0,13 =13%
T. Prob. Total.
Hombres y mujeres forman un sist. Exh. Excl. de eventos
Estudiante
Mujer
No fuma
Hombre
Fuma
No fuma
Fuma
0,7
0,1
0,20,3
0,8
0,9
•Los caminos a través de nodos representan intersecciones.
•Las bifurcaciones representan uniones disjuntas.
17. Tema 4: Probabilidad 17Estadística. U.P.A.O.
Teorema de Bayes
A1 A2
A3 A4
B
Si conocemos la probabilidad de B en
cada uno de los componentes de un
sistema exhaustivo y excluyente de
eventos, entonces…
…si ocurre B, podemos calcular la
probabilidad (a posteriori) de ocurrencia
de cada Ai.
donde P(B) se puede calcular usando el teorema de la probabilidad total:
P(B)=P(B∩A1) + P(B∩A2 ) + P( B∩A3 ) + ( B∩A4 )
=P(B|A1) P(A1) + P(B|A2) P(A2) + …
P(B)
Ai)P(B
B)|P(Ai =
18. Tema 4: Probabilidad 18Estadística. U.P.A.O.
Ejemplo (II): En una aula el 70% de los alumnos son mujeres. De ellas el
10% son fumadoras. De los varones, son fumadores el 20%.
¿Qué porcentaje de fumadores hay?
P(F) = 0,7 x 0,1 + 0,3 x 0,2 = 0,13
(Resuelto antes)
Se elije a un individuo al azar y es… fumador
¿Probabilidad de que sea un hombre?
Estudiante
Mujer
No fuma
Hombre
Fuma
No fuma
Fuma
0,7
0,1
0,20,3
0,8
0,9
46,0
13,0
2,03,0
)(
)|()(
)(
)(
)|(
=
×
=
=
⋅
=
∩
=
FP
HFPHP
FP
FHP
FHP
19. Tema 4: Probabilidad 19Estadística. U.P.A.O.
Ejemplo
Un procesador para computadores puede provenir de
cualquiera de tres fabricantes con probabilidades:
p1 = 0,25 ; p2 = 0,50 ; p3 = 0,25.
Las probabilidades de que un procesador funcione
correctamente durante 10000 horas es 0,1; 0,2 y 0,4
respectivamente para los 3 fabricantes:
i) Calcular la probabilidad de que un procesador elegido
al azar funcione durante 10000 horas.
ii) Si el procesador funcionó correctamente durante el
período de 10000 horas ¿cuál es la probabilidad de que
haya provenido del 3er fabricante?