Este documento presenta conceptos básicos de probabilidad, incluyendo definiciones de eventos, espacio muestral, probabilidad, probabilidad condicionada, independencia de eventos, y teoremas como la probabilidad total y Bayes. Explica estas ideas con ejemplos numéricos y diagramas para ilustrar conceptos como uniones, intersecciones y sistemas exhaustivos y excluyentes de eventos. El objetivo es recordar y aplicar nociones probabilísticas fundamentales relevantes para diversas disciplinas.

1. Estadística. U.P.A.O. Tema 4: Probabilidad 1
Estadística
Tema 04: Probabilidad

2. Tema 4: Probabilidad 2Estadística. U.P.A.O.
 ¿Cuál es la probabilidad de aprobar Estadística?
 ¿Cuál es la probabilidad de no encontrarme un atasco en la combi
cuando voy a clase?
 Todos los días nos hacemos preguntas sobre probabilidad e
incluso los que hayas visto poco de la materia en cursos
anteriores, tienes una idea intuitiva lo suficientemente correcta
para lo que necesitamos de ella en este curso.
 En este tema vamos a:
 Recordar qué entendemos por probabilidad.
 Recordar algunas reglas de cálculo.
 Ver cómo aparecen las probabilidades en tu especialidad.
 Aplicarlo a algunos conceptos nuevos de interés en para tu
profesión.

3. Tema 4: Probabilidad 3Estadística. U.P.A.O.
Nociones de probabilidad
Tipo de
Servicio
Nº Turistas %
Clase A 39 35.45
Clase B 41 37.27
Clase C 30 27.27
Total 110 100.00
 Frecuentista (objetiva):
Probabilidad de un evento es la
frecuencia relativa (%) de veces
que ocurriría el evento al
realizar un experimento
repetidas veces.
 Subjetiva (bayesiana): Grado de
certeza que se posee sobre un
evento. Es personal.
En ambos tipos de definiciones
aparece el concepto de evento.
Vamos a recordar qué son y
algunas operaciones que se
pueden realizar con sucesos.
Turismo en Trujillo
0.00 10.00 20.00 30.00 40.00
claseA
claseB
claseC
Porc e nta je s

4. Tema 4: Probabilidad 4Estadística. U.P.A.O.
Eventos
 Cuando se realiza un experimento aleatorio diversos resultados son
posibles. El conjunto de todos los resultados posibles se llama espacio
muestral (Ω).
 Se llama evento a un subconjunto de dichos resultados.
 Se llama evento contrario (complementario) de un evento A, A’, al
formado por los elementos que no están en A
 Se llama evento unión de A y B, AUB, al formado por los resultados
experimentales que están en A o en B (incluyendo los que están en
ambos.
 Se llama evento intersección de A y B, A∩B o simplemente AB, al
formado por los elementos que están en A y B
Ω espacio muestral
Ω espacio muestral
A
A’
Ω espacio muestral
A
B
Ω espacio muestral
A
B
Ω espacio muestral
A
B
UNIÓN INTERS.

5. Tema 4: Probabilidad 5Estadística. U.P.A.O.
 Se llama probabilidad a cualquier función, P, que asigna a
cada evento A un valor numérico P(A), verificando las
siguientes reglas (axiomas)
 P(Ω)=1
 0≤P(A) ≤1
 P(AUB)=P(A)+P(B) si A∩B=Ø
 Ø es el conjunto vacío.
 Puedes imaginar la probabilidad de un subconjunto como
el tamaño relativo con respecto al total (evento seguro)
Definición de probabilidad
Ω espacio muestral
100%
B
Ω espacio muestral
A

6. Tema 4: Probabilidad 6Estadística. U.P.A.O.
A
Probabilidad condicionada
 Se llama probabilidad de A condicionada a B, o
probabilidad de A sabiendo que pasa B:
)(
)(
)|(
BP
BAP
BAP
∩
=
Ω espacio muestral
B
“tamaño”deunorespectoalotro
 Error frecuentísimo:
 No confundas probabilidad condicionada con intersección.
 En ambos medimos efectivamente la intersección, pero…
 En P(A∩B) con respecto a P(Ω)=1
 En P(A|B) con respecto a P(B)

7. Tema 4: Probabilidad 7Estadística. U.P.A.O.
 Cualquier problema de probabilidad puede
resolverse en teoría mediante aplicación de los
axiomas. Sin embargo, es más cómodo conocer
algunas reglas de cálculo:
 P(A’) = 1 - P(A)
 P(AUB) = P(A) + P(B) - P(AB)
 P(AB) = P(A) P(B|A)
= P(B) P(A|B)
 Prob. de que pasen A y B es la prob. de A y que también pase B
sabiendo que pasó A.
Algunas reglas de cálculo prácticas

8. Tema 4: Probabilidad 8Estadística. U.P.A.O.
 Dos eventos son independientes si el que
ocurra uno, no añade información sobre el
otro.
 A es independiente de B
 P(A|B) = P(A)
 P(AB) = P(A) P(B)
Independencia de eventos

9. Tema 4: Probabilidad 9Estadística. U.P.A.O.
Ejemplo (I)
 Se ha repetido en 110 ocasiones el experimento
de elegir a un Turista de una población muy
grande. El resultado está en la tabla.
 ¿Cuál es la probabilidad de que un Turista utilice el
servicio “Clase B”?
 P(Clase B)=41/110=0,373=37,3%
 Noción frecuentista de probabilidad
Tipo de Servicio
Procedencia
TotalTrujillo Otros
clase A 33 6 39
clase B 35 6 41
clase C 26 4 30
Total 94 16 110

10. Tema 4: Probabilidad 10Estadística. U.P.A.O.
Ejemplo (II)
 ¿Probabilidad de usar Clase B ò Clase C?
 P(Clase B u Clase C)=41/110+30/110=0,6454
 Son eventos disjuntos
 Clase B ∩ Clase C=Ø
 ¿Probabilidad de ser de Trujillo o usar Clase A?
 P(trujillo U Clase A)=94/110+39/110-33/110=0,5818
 No son eventos disjuntos
 ¿Probabilidad de un turista clase “A”? (entiéndase…)
 P(clase A)=39/110=0,35
 P(clase A)=1-P(clase A’)=1-P(Clase BU clase C) =1-0,70=0,30
Tipo de Servicio
Procedencia
TotalTrujillo Otros
clase A 33 6 39
clase B 35 6 41
clase C 26 4 30
Total 94 16 110

11. Tema 4: Probabilidad 11Estadística. U.P.A.O.
Ejemplo (III)
 Si es Trujillano… ¿cuál es la probabilidad de que use el
servicio de Clase A?
 P(clase A|Trujillo)=33/94=0,3511
 ¿Probabilidad de que sea de Trujillo y que utilice el
servicio clase B?
 P(Trujillo ∩ Clase B) = 35/110=0,32
 Otra forma:
32,0110/35
94
35
110
94
)/()()(
==×=
=×= TrujilloClaseBPTrujilloPClaseBTrujilloP 
Tipo de Servicio
Procedencia
TotalTrujillo Otros
clase A 33 6 39
clase B 35 6 41
clase C 26 4 30
Total 94 16 110

12. Tema 4: Probabilidad 12Estadística. U.P.A.O.
Ejemplo (IV)
 ¿Son independientes Trujillo y Clase B?
 Una forma de hacerlo
 P(Clase B)=41/110=0,3727
 P(Clase B|Trujillo)=35/94=0,3723
 ¿Otra forma?
 P(Trujillo ∩ Clase B) = 35/110 = 0,318181
 P(Trujillo) P(Clase B)= (94/110) x (41/110) = 0,3185123
 La probabilidad de la intersección no es el producto de
probabilidades. No son independientes.
Tipo de Servicio
Procedencia
TotalTrujillo Otros
clase A 33 6 39
clase B 35 6 41
clase C 26 4 30
Total 94 16 110

13. Tema 4: Probabilidad 13Estadística. U.P.A.O.
Sistema exhaustivo y excluyente de eventos
A1 A2
A3 A4
Son una colección de eventos
A1, A2, A3, A4…
Tales que la unión de todos ellos forman
el espacio muestral, y sus intersecciones
son disjuntas.
¿Recuerdan cómo formar intervalos en tablas
de frecuencias?
Evento
seguro
A1
A2
A3
A4

14. Tema 4: Probabilidad 14Estadística. U.P.A.O.
Divide y vencerás
A1 A2
A3 A4
B
Todo evento B, puede ser descompuesto
en componentes de dicho sistema.
B = (B∩A1) U (B∩A2 ) U ( B∩A3 ) U ( B∩A4 )
Nos permite descomponer el problema B en
subproblemas más simples. Creedme . Funciona.
Evento
seguro
A1
A2
A3
A4
B
B
B
B

15. Tema 4: Probabilidad 15Estadística. U.P.A.O.
Teorema de la probabilidad total
A1 A2
A3 A4
B
Si conocemos la probabilidad de B en cada uno de los
componentes de un sistema exhaustivo y excluyente de
eventos, entonces…
… podemos calcular la probabilidad de B.
P(B) = P(B∩A1) + P(B∩A2 ) + P( B∩A3 ) + P( B∩A4 )
=P(A1) P(B|A1) + P(A2) P(B|A2)+ …
Evento
seguro
A1
A2
A3
A4
B
B
B
B
P(A1)
P(A2)
P(A3)
P(A4)
P(B|A1)
P(B|A2)
P(B|A3)
P(B|A4)

16. Tema 4: Probabilidad 16Estadística. U.P.A.O.
Ejemplo (I): En una aula el 70% de los alumnos son
mujeres. De ellas el 10% son fumadoras. De los
hombres, son fumadores el 20%.
 ¿Qué porcentaje de fumadores hay?
 P(F) = P(M∩F) + P(H∩F)
= P(M)P(F|M) + P(H)P(F|H)
=0,7 x 0,1 + 0,3 x 0,2
= 0,13 =13%
T. Prob. Total.
Hombres y mujeres forman un sist. Exh. Excl. de eventos
Estudiante
Mujer
No fuma
Hombre
Fuma
No fuma
Fuma
0,7
0,1
0,20,3
0,8
0,9
•Los caminos a través de nodos representan intersecciones.
•Las bifurcaciones representan uniones disjuntas.

17. Tema 4: Probabilidad 17Estadística. U.P.A.O.
Teorema de Bayes
A1 A2
A3 A4
B
Si conocemos la probabilidad de B en
cada uno de los componentes de un
sistema exhaustivo y excluyente de
eventos, entonces…
…si ocurre B, podemos calcular la
probabilidad (a posteriori) de ocurrencia
de cada Ai.
donde P(B) se puede calcular usando el teorema de la probabilidad total:
P(B)=P(B∩A1) + P(B∩A2 ) + P( B∩A3 ) + ( B∩A4 )
=P(B|A1) P(A1) + P(B|A2) P(A2) + …
P(B)
Ai)P(B
B)|P(Ai =

18. Tema 4: Probabilidad 18Estadística. U.P.A.O.
Ejemplo (II): En una aula el 70% de los alumnos son mujeres. De ellas el
10% son fumadoras. De los varones, son fumadores el 20%.
 ¿Qué porcentaje de fumadores hay?
 P(F) = 0,7 x 0,1 + 0,3 x 0,2 = 0,13
 (Resuelto antes)
 Se elije a un individuo al azar y es… fumador
¿Probabilidad de que sea un hombre?
Estudiante
Mujer
No fuma
Hombre
Fuma
No fuma
Fuma
0,7
0,1
0,20,3
0,8
0,9
46,0
13,0
2,03,0
)(
)|()(
)(
)(
)|(
=
×
=
=
⋅
=
∩
=
FP
HFPHP
FP
FHP
FHP

19. Tema 4: Probabilidad 19Estadística. U.P.A.O.
Ejemplo
 Un procesador para computadores puede provenir de
cualquiera de tres fabricantes con probabilidades:
p1 = 0,25 ; p2 = 0,50 ; p3 = 0,25.
Las probabilidades de que un procesador funcione
correctamente durante 10000 horas es 0,1; 0,2 y 0,4
respectivamente para los 3 fabricantes:
 i) Calcular la probabilidad de que un procesador elegido
al azar funcione durante 10000 horas.
 ii) Si el procesador funcionó correctamente durante el
período de 10000 horas ¿cuál es la probabilidad de que
haya provenido del 3er fabricante?

20. Tema 4: Probabilidad 20Estadística. U.P.A.O.
Solución
 i) P(C) =
= 0,1*0,25 + 0,2*0,5 + 0,4*0,25
= 0,225.
 ii) P(F3/C) = P(C/F3) P(F3) / P(C)
= 0,4 * 0,25 /0,225
= 0,444.

21. Tema 4: Probabilidad 21Estadística. U.P.A.O.
¿Qué hemos visto?
 Álgebra de sucesos
 Unión, intersección, complemento
 Probabilidad
 Nociones
 Frecuentista
 Subjetiva o Bayesiana
 Axiomas
 Probabilidad condicionada
 Reglas de cálculo
 Complementario, Unión, Intersección
 Independencia de sucesos
 Sistema exhaustivo y excluyente de sucesos
 Teorema probabilidad total.
 Teorema de Bayes
 Pruebas diagnósticas
 A priori: Incidencia, prevalencia.
 Eficacia de la prueba: Sensibilidad, especificidad.
 A posteriori: Índices predictivos.