Este documento presenta la distribución binomial. Explica que se usa para experimentos con dos resultados posibles, como éxito/fracaso. Define las propiedades de un experimento de Bernoulli y cómo usar la función binomial para calcular probabilidades. También cubre el cálculo de la media, varianza y desviación estándar para la distribución binomial. Incluye ejemplos y ejercicios de práctica.

1. La distribución binomial Ing. Claudia Roxana Díaz Del Águila Departamento de Matemáticas Facultad Multidisciplinaria de Occidente

2. Tabla de contenido Introducción Objetivo s de la presentaci ó n Instrucciones de cómo usar la presentación Glosario de términos Dato histórico Utilidad P ropiedades de un experimento de Bernoulli La distribución binomial La función Ejemplos

3. Tabla de contenido La tabla de la probabilidad binomial Ejemplos Ejercicio de redacción La media y la desviación estándar Resumen Ejercicios de prueba Aproximación a la distribución normal Vídeo de repaso de conceptos Referencias

4. Introducción En las empresas tenemos muchas situaciones donde se espera que ocurra o no un evento espec í fico. É ste puede ser de é xito o fracaso sin dar paso a un punto medio. Por ejemplo, en la producci ó n de un art í culo, é ste puede salir bueno o malo. Casi bueno no es un resultado de inter é s. Para situaciones como é stas se utiliza la distribuci ó n binomial. En esta presentación se describe el uso de la distribuci ó n binomial para obtener la probabilidad de ocurrencia de ese evento que representa un resultado esperado. Esta clase va dirigida a los estudiantes de Licenciatura en Ciencias de la Educación y Licenciatura en Sociología.

5. Objetivo general Espero que cuando termine esta presentación pueda utilizar la distribución binomial para obtener las probabilidades de aquellas situaciones prácticas con dos posibles resultados.

6. Objetivos específicos Además, se espera: Identificar las propiedades de una distribución binomial. Determinar los valores de éxitos p y fracasos q para establecer las bases para el cómputo de las probabilidades. Establecer el promedio, la varianza y la desviación estándar utilizando las variables de la distribución binomial.

7. Dato histórico El cálculo de probabilidades tuvo un notable desarrollo con el trabajo del matemático suizo Jacob Bernoulli (1654-1705). Bernoulli definió el proceso conocido por su nombre el cual establece las bases para el desarrollo y utilización de la distribución binomial.

8. Utilidad La distribución binomial se utiliza en situaciones cuya solución tiene dos posibles resultados. Por ejemplo : Al nacer un/a bebé puede ser varón o hembra. En el deporte un equipo puede ganar o perder . En pruebas de cierto o falso sólo hay dos alternativas.

9. Utilidad También se utiliza cuando el resultado se puede reducir a dos opciones. Por ejemplo : Un tratamiento médico puede ser efectivo o inefectivo . La meta de producción o ventas del mes se puede n o no lograr. En pruebas de selección múltiple, aunque hay cuatro o cinco alternativas, se pueden clasificar como correcta o incorrecta. Estos e jemplos los podemos considerar como “ experimentos de Bernoulli ”

10. Propiedades de un experimento de Bernoulli 1 - En cada prueba del experimento sólo hay dos posibles resultados: éxitos o fracasos . 2 - El resultado obtenido en cada prueba es independiente de los resultados obtenidos en pruebas anteriores. 3 - La probabilidad d e un suceso e s constante, la representamos por p , y no varía de una prueba a otra. La probabilidad de l complemento es 1- p y la representamos por q . Si repetimos el experimento n veces podemos obtener resultados para la construcción de la distribución binomial.

11. La distribución binomial La distribución de probabilidad binomial es un ejemplo de distribución de probabilidad discreta . Esta formada por una serie de experimentos de Bernoulli . Los resutados de cada experimento son mutuamente excluyentes . Para contruirla necesitamos: 1 - la cantidad de pruebas n 2 - la probabilidad de éxitos p 3 - utilizar la función matemática .

12. La función P (x =k) A continuación vemos La función de probabilidad de la distribución Binomial, también denominada Función de la distribución de Bernoulli: k - es el n ú mero de aciertos. n - es el n ú mero de experimentos. p - es la probabilidad de é xito, como por ejemplo, que salga "cara" al lanzar la moneda. 1- p - tambi é n se le denomina como “ q ”

13. Ejemplo1 de la funci ón F(x =k ) ¿ Cu á l es la probabilidad de obtener 6 caras al lanzar una moneda 10 veces? E l n ú mero de aciertos k es 6 . Esto es x=6 El n ú mero de experimentos n son 10 La probabilidad de é xito p , es decir, que salga "cara" al lanzar la moneda es 50% ó 0.50 La f ó rmula quedar í a: P ( k = 6) = 0.205 Es decir, que la probabilidad de obtener 6 caras al lanzar 10 veces una moneda es de 20.5% .

14. Ejemplo 2 de la funci ón F(x =k ) ¿ Cu á l es la probabilidad de obtener cuatro veces el n ú mero 3 al lanzar un dado ocho veces? E l n ú mero de aciertos k es 4 . Esto es x=4 El n ú mero de experimentos n son 8 La probabilidad de é xito p (probabilidad de que salga un 3 al tirar el dado) es 1 / 6 (= 0.1666) La f ó rmula queda: P ( k = 4) = 0 . 026 Es decir, que la probabilidad de obtener cuatro veces el n ú meros 3 al tirar un dado 8 veces es de 2.6%.

15. Tabla de probabilidad binomial Utilizando la tabla de probabilidad binomial se pueden resolver los ejemplos anteriores. Para esto debe saber los valores k y B (n,p) . k es el número de éxitos que buscamos. Este valor se encuentra entre 0 y n. En el parámetro B(n,p), n debe ser mayor de 0 y p un valor desde 0 al 1. En los ejemplos 1 y 2 los parámetros B(n,p) son B(10,0.50) y B(8,0.1666) respectivamente.

16. Tabla de probabilidad binomial Obtenga más información de cómo asignar probabilidades utilizando las tablas. C uando llegue al enlance lea las primeras 6 preguntas con sus respuestas y luego practique con los ejercicios 1.1

17. Ejemplo 3 B(n,p) Busque en la tabla de probabilidad binomial Solución : Se trata de una distribución binomial de parámetros B( 12 , 0 . 0 5 ) . D ebemos calcular la probabilidad de que x sea igual a k que en este caso es 2. Esto es P ( k = 2 ) . Busque en la parte izquierda de la tabla n=12 , luego en la parte superiror p=0.05 . La probabilidad estar á en x=2 El resultado es 0.0988 En una fá brica de cámaras el 5% sale con defectos. Determine la probabilidad de que en una muestra de 12 se encuentren 2 cámaras de fectuosa s .

18. Ejemplo 4 B(n,p) Compruebe el cómputo utilizando una calculadora de probabilidad binomial Vea otros ejemplos en este enlace Solución : Se trata de una distribución binomial de parámetros B( 15 , 0 . 10) . D ebemos calcular la probabilidad P (X= 3 ) . El resultado es 0.1285 En una oficina de servicio al cliente se atienden 100 personas diarias. Por lo general 10 personas se van sin recibir bien el servicio. Determine la probabilidad de que en una encuesta a 15 clientes 3 no hayan recibido un buen servicio .

19. Ejercicio de redacción con experiencia interactiva Observe el cambio de la distribución variando el parámetro B(n,p) Cuando llegue al enlance entre: n en “Number ot trials” p en “Prob. of Success” Presente una descripción escrita de las observaciones que obtiene al variar los valores n y p.

20. La media μ y desviación estándar σ

21. En resumen En este módulo hemos determinado la probabilidad binomial mediante el uso de la función binomial, tablas de distribución y la calculadora del enlace . Adem á s, aprendimos que: La distribución binomial se forma de una serie de experimentos de Bernoulli La media ( μ ) en la distribución binomial se obtiene con el producto de n x p La desviación estándar (σ ) en la distribución binomial se obtiene del producto de n x p x q . El valor de q es el complemento de p y se obtiene con 1 – p .

22. Ejercicio de prueba #1 Un comerciante de verduras tienen conocimiento de que el 10% de la caja está descompuesta. Si un comprador elige 4 verduras al azar, encuentre la probabilidad de que. a ) las 4 estén descompuestas . b) de 1 a 3 estén descompuestas. Para resolver la pregunta “b” repase el modulo de las reglas de probabilidad. En este caso se resuelve sumando las probabilidades P(x=1) + P(x=2) + P(x=3) = 0.6561 + 0.2916 + 0.0486

23. Ejercicio de prueba #2 En pruebas realizadas a un amortiguador para automóvil se encontró que el 20% presentaban fuga de aceite. Si se instalan 20 de estos amortiguadores, hallar la probabilidad de que, a) 4 salgan defectuosos, b) más de 5 tengan fuga de aceite. c) de 3 a 6 amortiguadores salgan defectuosos. d) Determine el promedio y la desviación estándar de amortiguadores con defectos. La pregunta “b” debe sumar las probabilidades desde P(x=6) en adelante. En la “c” debe sumar P(x=3) + P(x=4) + P(x=5) + P(x=6).

24. Ejercicio de prueba #3 Un ingeniero que labora en el departamento de control de calidad de una empresa eléctrica, inspecciona una muestra al azar de 10 alternadores de un lotes. Si el 15% de los alternadores del lote están defectuosos. Cuál es la probabilidad de que en la muestra, a) ninguno est é defectuoso, b) uno salga defectuoso, c) al menos dos salgan defectuosos d) más de tres estén con defectos Para la pregunta “d” puede realizar la siguiente operación: 1 – [P(x=0) + P(x=1) + P(x=2)]

25. Ejercicio de prueba #4 La probabilidad de que un CD de música dure al menos un año sin que falle es de 0.95, calcular la probabilidad de que en una muestra de 15, a) 12 duren menos de un año, b) a lo más 5 duren menos de un año, c) al menos 2 duren menos de un año.

26. Ejercicio de prueba #5 Si 6 de 18 proyectos de viviendas violan el código de construcción, ¿cuál es la probabilidad de que un inspector de viviendas, que selecciona aleatoriamente a cuatro de ellas, descubra que: a) ninguna de las casas viola el código de construcción b) una viola el código de construcción c) dos violan el código de construcción d) al menos tres violan el código de construcción

27. Ejercicio de prueba #6 Sea x una variable aleatoria binomial. Hallar la distribución de probabilidad de x si  = 4 y n= 10. Para resolver esta pregunta utilice la relación de μ =np Depejando por p queda P= μ /n Al tener el parámetro B(n,p) puede buscar en la tabla las x y sus probabilidades correspondientes. Esto forma la distribución de probabilidad binomial para este ejercicio.

28. Glosario de términos Distribución de probabilidad discreta - distribución con un número finito de valores. Distribución binomial – Distribución discreta que se aplica cuando se realizan más de una vez y de forma independiente el experimento de Bernou l li . Experimento de Bernoulli – E xperimento con dos posibles resultados (éxito o fracaso) . Experimento independiente – Cuando e l resultado d e un experimento no tiene influencia en el resultado de otro experimento

29. Glosario de términos Éxitos – Es la ocurrencia del evento de interés como cantidad de defectos, llamadas recibidas, servicios completados. Fracasos – Es el complemento de los éxitos. Es la ocurrencia del evento que no es de interés. Resultados mutuamente excluyentes – Son resultados que no pueden ocurrir al mismo tiempo. Si un producto sale bueno, no puede salir defectuoso al mismo tiempo.