Este documento explica las distribuciones binomial y Poisson. La distribución binomial describe el número de éxitos en una serie de ensayos binarios independientes. La distribución de Poisson describe el número de eventos aleatorios que ocurren en un intervalo de tiempo o espacio, cuando estos eventos ocurren a una tasa constante. El documento proporciona fórmulas, ejemplos y diferencias entre las dos distribuciones, destacando que la binomial se aproxima a la Poisson cuando el número de ensayos es grande y la probabilidad de éxito es pequeña.

1. ANALISIS DE DATOS EXPERIMENTALES
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ENTRADA 6: “DISTRIBUCION BINOMIAL Y DISTRIBUCIONES POISSON”
Distribución Binomial La Distribución Binomial también conocida como Ensayo de Bernoulli, llamada así en honor del Jacob Bernoulli, matemático suizo del siglo XVII. En una variable aleatoria esta distribución de probabilidad es muy común. Esta distribución de probabilidad discreto, mide el número de éxitos de “n” ensayos. La variable aleatoria es “X” para cualquier ensayo de este tipo.
Si el experimento favorece al “éxito” : X= 1
Si el experimento favorece al “fracaso”: X= 0
Descripción con formula
( ) ( )
Dónde: 퐩 Probabilidad de éxito 풒 Probabilidad de fracaso 퐧 Numero de ensayos o formas en que puede ocurrir 풙 Variable aleatoria

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Casos utilizados Se aplica a variables aleatorias que sólo pueden tener dos resultados o valores, como: hombre o mujer, sano o enfermo, defectuoso o no defectuoso, etc.
Ejemplos Ejemplo 1 La probabilidad de que un alumno de 1 semestre de bachillerato repita el curso es de 0.3%. Elegimos 20 alumnos al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que haya exactamente 4 alumnos repetidores? El alumno repite o pasa el curso. =Datos= Como éxito que el alumno repite el curso: p=0.3 Como fracaso, que el alumno no repite el curso: q=0.7 Elegir 20 alumnos (muestras) n=20 Probabilidad de haya exactamente 4 alumnos repetidores: x=4 =Formula= =Sustitución= ( ) ( ) ( ) ( ) ( 3) ( 7)
( ) ( 3) ( 7)
( 3) ( 7)
4845( 3) ( 7) 0.13 =

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Ejemplo 2 Calcular la probabilidad de que una familia que tiene cuatro hijos, tres de ellos sean niños. En la distribución binomial, los hijos solo pueden ser niños o niñas. =Datos= Como éxito tener un niño: p=0.5 Como fracaso, tener niña: q=0.5 Hijos (muestras): n=4 Probabilidad de tener tres niños: x=3
=Formula= =Sustitución= ( ) ( ) ( ) ( ) ( 5) ( 5)
( 5) ( 5)
4( 5) ( 5) 25

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Distribución Poisson
La Distribución de Poisson es una función que sirve para obtener la probabilidad de ocurrencia de sucesos raros cuyo resultado lo representa una variable discreta. Se llama así en honor a Simeón-Denis Poisson quien la descubrió a principios de XIX.
Descripción con formula ( )
Dónde: 퐩(풙 흀) Probabilidad de éxito, cuando el número promedio de ocurrencia de ellos es 흀 Media o promedio de exitos por unidad de tiempo area o producto 퐞 Nmero Exponencial (2 718 ) 풙 Variable aleatoria que denota el numero de exitos que se desea que ocurra
Casos utilizados Se aplica para describir procesos con un elemento en común, pueden ser descritos por una variable aleatoria discreta.

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Ejemplos Ejemplo 1 Si un banco recibe en promedio 6 cheques sin fondo por día, ¿cuáles son las probabilidades de que reciba: a) cuatro cheques sin fondo en un día dado. b) 10 cheques sin fondos en cualquiera de dos días consecutivos. Solución: =Datos= a) Variable que nos define el número X= 0, 1, 2, 3, ....., etc. de cheques sin fondo que llegan al banco en un día cualquiera: Cheques sin fondo por día: = 6 e = 2.718 =Formula= =Sustitución= ( ) (4 6) (2 718) 6 4 ( )( ) 0.13392

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=Datos= b) Variable que nos define el número x= 0, 1, 2, 3, ......, etc. de cheques sin fondo que llegan al banco en dos días consecutivos Cheques sin fondo en promedio que = 6 x 2 = 12 llegan al banco en dos días consecutivo. =Formula= =Sustitución= ( ) (4 6) (12) ( 2 718) 1 ( ) ( ) 0.104953 =

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Diferencia entre Distribución Binomial y Poisson BINOMIAL POISSON
Uso de constante “x” en exponentes y coeficientes. El número promedio de éxitos en un intervalo es una lambda: “
Es dicotómica, es decir, describe eventos con dos posibles resultados.
Describe eventos independientes que ocurren en un espacio determinado o a una velocidad constante en el tiempo.
La variable aleatoria va de 0 a n.
La variable aleatoria va de 0 a infinito.
Los éxitos buscados son expresados en cantidad de porcentaje. Los éxitos buscados son expresados por unidad de área, tiempo, pieza, etcétera. Cada prueba deberá arrojar tan sólo dos resultados (éxito o fracaso) y los resultados de las pruebas habrán de ser estadísticamente independientes.
No se limita a las probabilidades de éxito y fracaso.
Involucra resultados de operaciones factoriales. Involucra número exponencial “e” Cada ensayo (cada lanzamiento, en nuestro caso) tiene sólo dos resultados posibles: lado A o lado B, sí o no, éxito o fracaso.
Se obtiene probabilidad de ocurrencia de sucesos.

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Similitud entre Distribución Binomial y Poisson  Son distribuciones de variables discretas, que son aquellas que asumen un conjunto de valores numerables.
 La distribución binomial queda aproximada muy estrechamente por la distribución de Poisson (5) con =Np
 Ambas distribuciones son aplicadas para obtener probabilidades de experimentos.