Este documento presenta información sobre la distribución binomial, incluyendo su definición, propiedades y la ley de los grandes números para pruebas de Bernoulli. Contiene ejemplos y ejercicios resueltos sobre cómo calcular la probabilidad de diferentes resultados usando una distribución binomial. El objetivo es que los estudiantes comprendan cómo aplicar la distribución binomial para determinar probabilidades en experimentos aleatorios con dos resultados posibles.

1. ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DE CHIMBORAZO
FACULTAD
DE
ADMINISTRACIÓN
DE
EMPRESAS
ESCUELA
DE
INGENIERÍA
EN
GESTIÓN
DE
TRANSPORTE
ASIGNATURA:
ESTADÍSTICA
INFERENCIAL
TEMA:
DISTRIBUCIÓN BINOMIAL
PROPIEDADES DE LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL
LEY DE LOS GRANDES NÙMEROS PARA LAS PRUEBAS DE BERNOULII
INTEGRANTES:
Martínez Correa Gregory Paúl
Núñez Mazza Génesis Dayanara
Ortega Buenaño Johana Patricia
Real López Pablo Javier
Sánchez Toapanta Ritha Amalia
Curso:
Cuarto ¨2¨
Fecha:
08/Diciembre/2015
Riobamba – Ecuador
2015

2. Tema:
Distribución Binomial
Propiedades de la Distribución Binomial
Ley de los grandes números para las pruebas de Bernoulli
Objetivo General:
Conocer acerca de la distribución binomial, propiedades y la Ley de los Grandes Números
para las pruebas de Bernoulli.
Objetivos Específicos:
• Analizar el proceso para obtener la probabilidad por medio de la distribución por medio
de la Distribución Binomial.
• Aplicar los conocimientos adquiridos por medio de ejercicios.
Marco Teórico
Definición
[1] Según
Ehrmann,
M.
(Mayo 2007. Pág. 48) Sea un experimento aleatorio en el que
sólo puedan darse dos posibilidades: que ocurra un determinado suceso A, que llamaremos
éxito, o que no ocurra dicho suceso, o sea que ocurra su complementario, que llamaremos
fracaso. Se repite el experimento n veces en las mismas condiciones (independencia). Se
define la variable aleatoria Binomial:
𝑷 𝑿 =
𝒏
𝒙
𝒑 𝒙
. 𝒒 𝒏!𝒙
P: Probabilidad de éxito.
Q: Probabilidad de fracaso
X: Número de eventos
N: Espacio Muestral

3. Propiedades para definir la Distribución Binomial
1. El experimento aleatorio consiste en n ensayos o pruebas repetidas, e idénticas y fijas
antes del experimento (pruebas de Bernoulli). Son pruebas con reemplazamiento o
con reposición.
2. Cada uno de los n ensayos o pruebas arroja solo uno de dos resultados posibles: éxito
o fracaso.
3. La probabilidad del llamado éxito ocurrencia)=p, permanece constante para cada
ensayo o prueba.
4. Cada prueba o ensayo se repite en idénticas condiciones y es independiente de las
demás.
Cuando estas propiedades se cumplen en el experimento aleatorio se dice que el
constituye un proceso de Bernoulli y cada uno de los ensayos que lo conforman se llama
experimento de Bernoulli.
5. El interés recae en hallar la probabilidad de obtener x número de éxitos al realizar n
ensayos del mismo experimento aleatorio.
La función de probabilidad de x en esas condiciones será:
lim
!→!
𝑃
𝑥
𝑛
− 𝑝 ≥∈
En otras palabras, a la larga es muy probable que la proposición de éxitos. X/n, este
tan cerca cómo se desee la probabilidad de éxito, p, en un ensayo. Esta ley justifica, de alguna
manera, el uso de la definición empírica de probabilidad.
Un resultado más consistente es el que proporciona la ley fuerte de los grandes
números, que establece que con probabilidad uno, lim!→!
!
!
= 𝑝 es decir, X/n convergen a p
salvo en algún número pequeño de casos.
LEY DE LOS GRANDES NÙMEROS PARA LAS PRUEBAS DE BERNOULLI
Una distribución binomial o de Bernoulli tiene las siguientes características:
1. En cada prueba del experimento solo son posibles dos resultados: éxito y fracaso.

4. 2. La probabilidad de éxito es constante, es decir, que no varía de una prueba a otra. Se
representa por p.
3. La probabilidad de fracaso también es constante. Se representa por q.
q=1-p
4. El resultado obtenido en cada prueba es independiente de los resultados obtenidos
anteriormente.
5. La variable aleatoria binomial, X, expresa el número de éxitos obtenidos en la n
pruebas. Por tanto, los valores que puede tomar X son: 0, 1, 2, 3, 4,…, n.
La distribución binomial se expresa por B(n, p).
Conclusiones:
• La distribución binomial nos sirve para conocer la probabilidad de que sucedan ya sea
éxito o fracaso de un experimento aleatorio.
• El resultado obtenido en cada prueba es independiente de los resultados obtenidos en
las demás pruebas, los sucesos serán constantes en todas las pruebas.
• La ley de los grandes números nos permiten visualizar que al realizar varios
experimentos su promedio tiende a la probabilidad máxima de un suceso.
• Las probabilidades nos permiten poder saber con anterioridad lo que puede suceder lo
cual se ve aplicado en muchos casos de la vida cotidiana.
• Después de analizar y realizar ejercicios se puede concluir que.
Recomendación:
Es importante tener bien definidos los términos que son parte de las distintas fórmulas para
hallar la probabilidad.
Bibliografía.
[1] Ehrmann, M. (2007). Mòdulo de Estadística y Probabilidad. Ambato .

5. Anexos
1. Un examen consta de 6 preguntas con 4 posibles respuestas cada una, de las que sólo una
de ellas es correcta. Un estudiante que no se había preparado la materia responde
completamente al azar marcando una respuesta aleatoriamente. Calcula la probabilidad de
que acierte 4 o más preguntas:
Solución:
Se trata de una distribución de probabilidad binomial, B(n, p), con n = 6, p = P
(acierto) = 0,25 y q = P (fallo) = 0,75.
Como se sabe, para la B(n, p), la probabilidad de r aciertos en n intentos es:
P(X=r)=
!
!
𝑝!
𝑞!!!
P(x≥6)=P(X=4)+P(X=5)+P(X=6)=
=
!
!
0,25!
. 0,75!
+
!
!
0,25!
. 0,75 +
!
!
0,25!
=
=15. 0,25!
. 0,75!
+6. 0,25!
.0,75+ 0,24!
=0,03296+0,00439+0,00024
=0,03759
2. La probabilidad de que un cazador novato cobre una pieza es 0,4. Si lo intenta 5 veces,
calcula la probabilidad de que cobre una pieza al menos 3 veces.
B(5, 0,4) → n = 5; p = 0,4; q = 0,6
P(X=r)=
!
!
𝑝!
𝑞!!!
P(x≥3)=P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)
=
!
!
0,4!
. 0,6!
+
!
!
0,4!
. 0,6 +
!
!
0,4!
=10. 0,4!
. 0,6!
+5. 0,4!
.0,6+ 0,4!
=0,2304+0,0768+0,01024
=0,31744
3. Un jugador marca el 85% de los penaltis que intenta. Si lanza 8 penaltis calcular la
probabilidad de
a) Marque más de 6 penaltis
b) Marque al menos 6 penaltis
B(8, 0,85) → n = 8; p = 0,85; q = 0,15
a) P(X=r)=
!
!
𝑝!
𝑞!!!
P(x>6)=P(X=7)+P(X=8)=0,3847+0,2725=0,6972
P(X=7)=
!
!
0,85!
. 0,15!
=0,3847

6. P(X=8)=
!
!
0,85!
. 0,15!
=0,2725
b) P(x≥6)=P(X=6)+P(X=7)+P(X=8)=0,2376+0,3847+0,2725=0,8948
P(X=6)=
!
!
0,85!
. 0,15!
= 0,2376
4. La probabilidad de que un tirador acierte en el blanco es de1/4. Si tira 5
veces calcular la probabilidad de
a) Que acierte como máximo 2 veces
b) Que acierte alguna vez
B(5, 0,25) → n = 5; p = 0,25; q = 0,75
a) P(X=r)=
!
!
𝑝!
𝑞!!!
P(x≤2)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2) =0,2373+0,3975+0,2657=0,8965
P(X=0)=
!
!
0,25!
. 0,75!
=0,2373
P(X=1)=
!
!
0,25!
. 0,75!
=0,3955
P(X=2)=
!
!
0,25!
. 0,75!
=0,2657
B) P(X≥1)=1-P(X=0)=1-0,2373=0,7627
5. Un examen consta de 10 preguntas a las que hay que contestar SI o NO. Suponiendo que
a las personas que se le aplica no saben contestar a ninguna de las preguntas y, en
consecuencia, contestan al azar, hallar:
a) La Probabilidad de obtener cinco aciertos:
n=10 p=0,5 ; q=0,5
P(X=r) =
!
!
𝑝!
𝑞!!!
P(X=5) =
!"
!
0.5!
0.5!"!!
P(X=5)= 0,2461