Este documento presenta conceptos básicos sobre vectores geométricos y operaciones entre vectores coordenados en R2 y R3. Explica que un vector v tiene un punto inicial A, punto final B, magnitud y dirección, y que para cada vector v existe un punto V tal que v = OV, donde O es el origen. También define sumas, productos escalares y vectoriales de vectores coordenados, y propone un taller con ejercicios sobre vectores y geometría del espacio.

1. Semana No.1 - Repaso de vectores y geometría en el espacio
Yoe Herrera
UNAB
yherrera743@unab.edu.co
Julio 27 de 2017
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2. Área de regiones planas
Un vector (geométrico) v = AB es un segmento de línea orientado (una flecha) que
tiene un punto inicial A, punto final B, magnitud v = dist(A, B) y dirección
dir(v) =
(α, β), si v ∈ R2
(α, β, γ), si v ∈ R3
donde α, β y γ son los ángulos que forma el vector v con los ejes cordenados x, y y z
respectivamente.
Para cada vector v existe un punto V tal que v = OV , donde O es el origen de R2 o
R3. De esta manera, hacemos la identificación de estos vectores y podemos considerar
los puntos de estos espacios como vectores coordenados o algebraicos. Utilizaremos
la siguiente notación: P(a, b, c) es el punto que tiene coordenadas (a, b, c) y
P = a, b, c es el vector coordenado correspondiente al punto que tiene coordenadas
(a, b, c).
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3. Operaciones entre vectores coordenados
Sean a = a1, a2, a3 , b = b1, b2, b3 ∈ R3 y r ∈ R.
Definimos suma por
Suma: a + b = a1 + b1, a2 + b2, a3 + b3
Producto por escalar: ra = ra1, ra2, ra3
Producto escalar o punto: a · b = a1b1 + a2b2 + a3b3
Producto vectorial o cruz: a × b = a2b3 − a3b2, a3b1 − a1b3, a1b2 − a2b1
Estas operaciones se “comportan de manera similar a las” operaciones con números
reales.
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4. Taller No. 1: Vectores y geometría del espacio
1 Sean a, b ∈ R3 tales que a = 2, b = 3 y el ángulo entre a y b es π/4. Hallar
1 Halle t ∈ R tal que ta − b sea ortonal a 3a + tb.
2 Halle la magnitud del vector 2a − b.
2 Sean u = 2, −1, 0 , v = 3i + 3j − 2k y w = u × v.
1 Halle el ángulo entre los vectores u y 3v.
2 Halle w × u.
3 Halle el vector z que es ortogonal a los vectores u − v y u + v y que satisface
z · 1, −1, −2 = 4.
3 Muestre que los puntos A(2, 3, 2), B(−2, 3, −4) y C(0, −1, −1) son no colineales
y halle el área de un paralegrogramo que tenga los puntos A, B y C como tres de
sus vértices consecutivos.
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