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Tio Petros
Este blog es una invitación a dar un paseo por la matemática. Intentaré
comentar los aspectos más bellos y si es posible menos tópicos de la
misma. En todo caso, es tan sólo un paseo que debe darse como se hace
en una soleada tarde de verano: con placer.
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La función de Dirichlet
Viene de aquí.
Trataremos en este post de ver cómo existen situaciones relativamente sencillas
para las cuales la integral de Riemann no es aplicable.
Adelantamos que en ciertas situaciones aparecen funciones que no son riemann-
integrables, y pusimos como ejemplo un problema de cálculo de probabilidades:
¿Cuál es la probabilidad de que eligiendo un punto del intervalo [0,1] al
azar el punto elegido sea irracional?
Sea una función real de variable real definida en el intervalo [0,1], de la manera
siguiente:
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Esta función recibe el nombre de función de Dirichlet.
La función vale la unidad para todo punto de [0,1] irracional, y cero para todo
punto racional de dicho intervalo. Por lo tanto, la función está definida para todo
punto de [0,1].
La representación gráfica de esta función es un poco difícil: entre dos puntos
racionales cualesquiera de [0,1] hay infinitos puntos irracionales, y la recíproca
también es cierta, así que la gráfica de la función consta de una nube lineal de
puntos de ordenada unidad y otra nube lineal de puntos de ordenada nula.
Cuál es el valor esperado de dicho experimento? Un uno es que hemos obtenido
un irracional y un cero lo contrario. Cuando hablamos de la insoportable levedad
del conjunto Q explicamos que a pesar de la aparente reciprocidad entre Q y
R-Q (entre dos irracionales siempre hay infinitos racionales y viceversa), ambos
tenían propiedades cardinales muy diferentes: Q es numerable y R-Q tiene la
potencia del continuo. Los irracionales contenidos en [0,1] forman un conjunto
incomparablemente mayor que los racionales, y esto nos legitima "de alguna
manera" a concluir que la probabilidad de que resulte elegido un racional es
nula.
Este "de alguna manera" es una vaga invocación a la ley de Laplace de casos
favorables entre casos posibles, si bien entre dos conjuntos infinitos la cosa deja
mucho de estar clara aunque la intuición resulta (esta vez) ser correcta.
Veamos que la integral de Riemann no nos sirve de gran ayuda en este aspecto.
Intentemos integrar la función de Dirichlet por medio de las sumas superiores e
inferiores definidas en el post anterior.
A poco que pensemos, vemos que en cualquier elemento de una partición del
intervalo [0,1], por muy fina que sea habrá dos clases de puntos: los que tienen
la función igual a uno y los que la tienen igual a cero.
Por lo tanto las sumas superiores suman la unidad, mientras que las inferiores
son una suma de sumandos nulos, que es nula. No hay por tanto convergencia
de las I(f,P) con las S(f,P) del post anterior.
Tenemos que I(f,P)=0 y S(f,P)=1 para cualquier partición P. Por ello I*
(f) = 1
≠ 0 = I*(f) y por lo tanto la función no es Riemann integrable. Como intuimos, la
solución a este inconveniente vendrá desde la teoría de la medida...
20/11/2005 19:25 #. sin tema
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Excelente. Tío Petros, consigue usted que espere con impaciencia la próxima
entrega, cual culebrón frijolitesco.
Fecha: 22/11/2005 09:26.
Autor: mtb
Complimenti!
Maria Teresa Bianchi
Fecha: 22/11/2005 14:06.
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