Este documento presenta los axiomas de orden y propiedades sobre ellos. Los axiomas establecen las reglas de comparación de números reales y que cada número es positivo, negativo o cero. Las propiedades demuestran relaciones como si a < b y c > 0, entonces b < c. El documento concluye con ejercicios para aplicar los axiomas y propiedades.

1. Axiomas de Orden
Supondremos que existe n subconjunto de R que lo notaremos R+
.
O1. Si ∈x R+
y ∈y R+
, entonces ∈+ yx R+
y ∈⋅ yx R+
.
O2. Para todo número real x, se verifica una y solo una de las condiciones siguientes:
i) ∈x R+
ii) ∈− x R+
o iii) 0=x
O3. Diremos que ba < si 0>− ab
∈∃⇔< cba R, tal que bca =+
Propiedades:
1. cbcaba +<+⇔<
Demostración:
⇒ P.D: cbcaba +<+⇒<
Por hipótesis ba < , es decir que 0>− ab . Ahora,
0+−=− abab
( )ccab −++−=
Luego,
( ) 00 >−++−⇔>− ccabab
( ) ( ) ( )[ ]
( ) ( )[ ]
( ) ( )
( ) ( )
cbca
cacb
cacb
cacb
cacb
+<+⇒
>+−+⇔
>+−+⇔
>+−++⇔
>−+−++⇔
0
0
0
0
⇐ P.D: bacbca <⇒+<+
Por hipótesis cbca +<+ ; es decir que entonces ( ) ( ) 0>+−+ cacb .
Ahora,
( ) ( ) bacbbacb −−+=+−+
ab −=
Y entonces ba < .
2. Si ba < y 0>c , entonces bcac < (Si ba < y 0<c , entonces bcac > )

2. Demostración:
Tenemos,
0>−⇒< abba y
0>c
Entonces por O1 se cumple que,
( ) 0>⋅− cab
Luego,
( ) 0>⋅−⋅=⋅− cacbcab
Y por tanto,
cbca ⋅<⋅
Ahora también,
0>−⇒< abba y
00 >−⇒< cc
Entonces por O1 se cumple que,
( ) ( ) 0>−⋅− cab
Luego,
( ) ( ) 0>⋅−⋅=−⋅− cbcacab
Y por tanto,
cacb ⋅<⋅
3. Si ba < y cb < , entonces ca <
Demostración:
Tenemos,
0>−⇒< abba y,
0>−⇒< bccb
Entonces por O1 se cumple que:
( ) ( ) 0>−+− bcab

3. Luego,
( ) ( ) 0>−=−+− acbcab
Por lo tanto,
ca <
4. ∈∀x R, 02
≥x
Demostración:
Tenemos por O2, que ∈∀x R, existen tres posibilidades, probaremos que para
cada una de ellas, esto se cumple.
i. Si 0>x
Por O1 se cumple que,
0
0
2
>
>⋅
x
xx
ii. Si 00 >−⇔< xx
Por O1 se cumple que,
( ) ( )
0
0
2
>
>−⋅−
x
xx
iii. Si 0=x
000 =⋅=⋅ xx
Por lo tanto, en cualquier caso se cumple que 02
≥x .
5. 01 >
Demostración:
Tenemos,
011 2
≥= (Por parte 4)
Y como 01 ≠ , entonces debe cumplirse que 01 > .
6. Si 0>x , entonces 01
>−
x (Si 0<x , entonces 01
<−
x )

4. Demostración:
Demostraremos por reducción al absurdo. Supongamos entonces que 01
≤−
x
Si 01
=−
x , entonces 01
=⋅ −
xx , lo que es una contradicción pues sabemos que
11
=⋅ −
xx .
Si 01
<−
x , entonces 011
<=⋅ −
xx , lo que es un absurdo.
Por lo tanto lo que supusimos es incorrecto y lo correcto sería decir que 01
>−
x .
7. Si 0<x y 0<y , entonces 0<xy (Si 0<x y 0<y , entonces 0>xy )
Demostración:
Tenemos,
0)(0 >−⇔< xx y
0>y
Entonces por O1 se cumple que,
( ) 0>⋅− yx
Luego,
( ) ( ) ( ) 00 <⋅−−⇔>⋅−=⋅− yxyxyx
0<⋅⇔ yx
Ahora también,
0)(0 >−⇔< xx y
( ) 00 >−⇔< yy
Entonces por O1 se cumple que,
( ) ( ) 0>−⋅− yx
Luego,
( ) ( ) ( ) 0>⋅=−⋅− yxyx
Ejercicios

5. 1. Probar que 22
0 baba <⇒<<
Solución:
Sean ∈ba, R+
, tenemos:
ababa <⇒< 2
(1)
2
babba <⇒< (2)
De (1) y (2) entonces,
22
22
ba
baba
<
<<
2. Probar que si 10 << a entonces aan
< . 2≥∀n , ∈n Z+
Solución:
Probemos por inducción
i. Para n=2 tenemos
aa <2
Lo cual es verdadero pues:
aaa <⇒<< 2
10
ii. Hipótesis de Inducción: Supongamos que aak
< siempre, tratemos de
demostrar que aak
<+1
.
En efecto,
aaaaaa kk
⋅<⋅⇒<
21
aak
<⇒ +
Y por parte (i),
aa
aaa
k
k
<
<<
+
+
1
21
Probado verdadero para n=2, y bajo la hipótesis de inducción probamos que también
es verdadero para n=k+1, entonces podemos concluir que esto se cumple 2≥∀n ,
∈n Z+
.