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TERCERA JORNADA DE EVALUACIÓN
GENERAL
ONLINE
MATEMÁTICA
C u r s o: Matemática
Código: JMA OL-03-2017
2
PSU MATEMÁTICA
INSTRUCCIONES ESPECÍFICAS
1. A continuación encontrará una serie de símbolos, los que puede consultar durante el
desarrollo de los ejercicios.
2. Las figuras que aparecen en el modelo son solo indicativas.
3. Los gráficos que se presentan en este modelo están dibujados en un sistema de ejes
perpendiculares.
4. Se entenderá por dado común, a aquel que posee 6 caras, donde al lanzarlo las caras
son equiprobables de salir.
5. En esta prueba, las dos opciones de una moneda son equiprobables de salir, a menos
que se indique lo contrario.
6. (f · g)(x) = f(g(x))
7. Los números complejos i y -i son las soluciones de la ecuación x2
+ 1 = 0.
8. Si z es un número complejo, entonces z es su conjugado y z es su módulo.
9. Si Z es una variable aleatoria continua, tal que Z  N(0, 1) y donde la parte sombreada
de la figura representa a P(Z  z), entonces se verifica que:
z P(Z  z)
0,67 0,749
0,99 0,839
1,00 0,841
1,15 0,875
1,28 0,900
1,64 0,950
1,96 0,975
2,00 0,977
2,17 0,985
2,32 0,990
2,58 0,995
0 z Z
3
INSTRUCCIONES PARA LAS PREGUNTAS DE SUFICIENCIA DE DATOS
En las preguntas de Suficiencia de Datos no se pide la solución al problema, sino que se
decida si con los datos proporcionados tanto en el enunciado como en las afirmaciones (1) y
(2) se pueda llegar a la solución del problema.
Es así, que se deberá marcar la opción:
A) (1) por sí sola, si la afirmación (1) por sí sola es suficiente para responder a la
pregunta, pero la afirmación (2) por sí sola no lo es,
B) (2) por sí sola, si la afirmación (2) por sí sola es suficiente para responder a la
pregunta, pero la afirmación (1) por sí sola no lo es,
C) Ambas juntas, (1) y (2), si ambas afirmaciones (1) y (2) juntas son suficientes
para responder a la pregunta, pero ninguna de las afirmaciones por sí sola es
suficiente,
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2), si cada una por sí sola es suficiente para
responder a la pregunta,
E) Se requiere información adicional, si ambas afirmaciones juntas son insuficientes
para responder a la pregunta y se requiere información adicional para llegar a la
solución.
SÍMBOLOS MATEMÁTICOS
es menor que es congruente con
es mayor que es semejante con
es menor o igual a es perpendicular a
es mayor o igual a es distinto de
ángulo recto es paralelo a
ángulo trazo AB
logaritmo en base 10 pertenece a
conjunto vacío valor absoluto de x
logaritmo base e factorial de x
unión de conjuntos intersección de conjuntos
complemento del conjunto A vector u




log

ln
u
ln





AB
x

x!
AC

4
1.
1 1 1 1
+
4 4 4 4
1
4
 
=
A)
1
4
B)
4
7
C)
7
4
D) 1
E)
3
4
2. ¿Cuál de los siguientes números está entre 0,125 y
1
6
?
A)
2
3
B)
1
4
C)
1
3
D)
1
15
E)
2
15
3. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s), con respecto a la
expresión decimal de
1
3
?
I) Escrito con tres cifras significativas es equivalente a 0,33.
II) Truncado a la décima es igual a 0,33.
III) Redondeado a la centésima es igual a 0,33.
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo III
D) Solo I y II
E) I, II y III
5
4. Un micrómetro, 1 · 10-6
, es un submúltiplo del metro y un exámetro, 1 · 1018
, es un
múltiplo del metro. ¿Cuántas veces está contenido el micrómetro en el exámetro?
A) 1024
veces
B) 1012
veces
C) 10-24
veces
D) 10-12
veces
E) 10108
veces
5. Una persona viaja de Santiago a Viña del Mar haciendo varias paradas. La primera vez
recorre
1
5
del viaje. Posteriormente recorre la mitad del resto del camino, y se detiene
para colocar bencina y finalmente recorre la mitad de lo que le queda y se detiene para
comer. Si la distancia entre ambas ciudades es de 120 kilómetros, ¿cuánto le queda por
recorrer?
A) 24 km
B) 12 km
C) 1 km
D) 5 km
E) 48 km
6. Se tiene un cuadrado de área 100 cm2
. Si el lado del cuadrado se duplica cada
4 minutos, entonces el área del cuadrado en una hora será
A) 215
· 100 cm2
B) 2 · 100 · 15 cm2
C) 2 · 100 · 30 cm2
D) 230
· 100 cm2
E) 64 · 30 cm2
7. Si x es un número entero, entonces para que la expresión
3(x + 2)
9
sea un número
entero, x debe ser
A) un múltiplo de 3.
B) un múltiplo de 6.
C) un múltiplo de 9.
D) igual a 1.
E) igual a 2.
6
8. Sea la ecuación
m + x
n
–
n + x
m
= 0, en x, donde m y n  0. Se puede determinar
que la solución de la ecuación es un número real positivo, si se sabe que:
(1) n + m  0
(2) n + m es negativo.
A) (1) por sí sola
B) (2) por si sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E) Se requiere de información adicional.
9. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) siempre verdadera(s)?
I) Si x e y son números irracionales, entonces (x + y) es un número
irracional.
II) Si x e y son números racionales, entonces (x + y) es un número
racional.
III) Si x e y son números reales, entonces (x + y) es un número real.
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo III
D) Solo II y III
E) I, II y III
10. Si A =
2
7
es aproximado por redondeo a la centésima y B =
3
7
es aproximado por
defecto a la centésima, entonces B – A es igual a
A) 0,13
B) 0,03
C) 0,23
D) 0,14
E) 0,04
11. Si log(x) = 0,2; log(y) = 0,3 y log(z) = 2, entonces ¿cuál es el valor de log
xy
z
 
 
 
?
A) 1,5
B) -1,5
C) 0,015
D) -0,015
E) -1,985
7
12. Si x es un número real no negativo, entonces ( 3x + 1)2
+ ( 3x – 1)2
es igual a
A) 6x – 4 3x + 2
B) 6x – 4 3x + 1
C) 6x
D) 6x + 2
E) 6x – 2
13. Sean n, x, y, z números reales positivos. Entonces,
n z
x y es igual a
A)
z
n(xy)
B)
n
z
(xy)
C)
n
n
z
(x y)
D)
n
z
n
(x y)
E)
n z
1
n
(x y )
14. Si A =
-3
4
, B =
-1
2
y C =
-1
3
. ¿Cuál de las siguientes desigualdades NO se
cumple?
A) C – A > 0
B) -A – B < 0
C) C – B > 0
D) C – A > C – B
E) A – B < 0
15. Si m y n son números enteros no positivos y m  n, entonces siempre se cumple que
I) m · n es positivo
II) m < - n
III) mn-1
> 0
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo I y II
D) Solo II y III
E) I, II y III
8
16. Si Z1 = -i ; Z2 = 7 + i ; Z3 = 4 + 5i, entonces 3 2 1Z Z + Z es igual a
A) -4 + 6i
B) -2 – 4i
C) -4 – 4i
D) -2 – 6i
E) -4 – 6i
17. Se puede determinar un número complejo a + bi, con a y b distintos de cero, si:
(1) a es un múltiplo de 2 y b es un múltiplo de 3.
(2) a y b son números primos.
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional
18. La fórmula para calcular la energía cinética de un móvil es Ec =
1
2
mv2
, donde m es la
masa y v es la rapidez. ¿Cuál de las siguientes expresiones representa siempre la
rapidez?
A) c2E
m
B)
c2E
m
C) 2 cE
m
D) cE
2m
E) c2E
m
19. ¿Cuál de las siguientes expresiones NO es equivalente a la expresión 8x2
– 12x – 8?
A) 4(2x2
– 3x – 2)
B) (8x + 4)(x – 2)
C) (2x + 1)(4x – 8)
D) (8x + 4)(4x – 8)
E) 4(2x + 1)(x – 2)
9
20. La expresión 5x – 2 representa el perímetro del triángulo ABC isósceles, cuya
base es x + 6 como se muestra en la figura adjunta. Si su base se mantiene y
los otros lados aumentan en una unidad, entonces la expresión que representa
el nuevo perímetro es
A) 5x – 2
B) 5x + 12
C) 5x
D) 5x – 1
E) 4x
21. Si x, y, z son distintos de cero, con xy diferente de z y -z, entonces
2 2 2 3
2 3 2
x y z z
z xy + z (xy z)



es igual a
A)
z
xy z
B)
1
xy
C)
1
-
xy
D)
2
1
z
E) -
2
1
z
22. Alejandra tiene 6c aros de plata y 4p aros de fantasía. Si le regala a su prima
Marcela la tercera parte de sus aros de plata le queda un total de 40 aros. En
cambio, si le regala el 25% de sus aros de fantasía le quedaría un total de
45 aros. ¿Cuál es el total de aros que tiene Alejandra?
A) 45
B) 35
C) 25
D) 50
E) 60
23. Dado el siguiente sistema
2,5x y = 4
1,5x + 3y = 8

, entonces el valor de 2x + y es igual a
A) 6
B) -6
C) 12
D) -12
E) 24
C
BA x + 6
10
24. Tomás cerca un terreno rectangular con cierta cantidad de metros de alambre. Con
(12p + 114) metros de él da 3 vueltas completas al terreno. Si p + 3 es uno de los
lados del rectángulo, ¿cuál de las siguientes expresiones representa el área de dicho
rectángulo?
A) p2
+ 48
B) p2
+ 19p + 19
C) p2
+ 19p + 48
D) p2
– 19p + 48
E) p2
+ 19p – 48
25. De la ecuación x2
+ bx + c = 0, con b y c números reales, se sabe que una de las
soluciones es 1 – 3i. ¿Cuáles son los valores de b y c, respectivamente?
A) 2 y 10
B) -2 y 10
C) 10 y 2
D) -10 y 2
E) -2 y -8
26. Si a, b y c son números reales positivos, ¿cuál(es) de las siguientes ecuaciones, en x,
tiene(n) siempre una solución única en el conjunto de los números reales?
I) ax2
+ bx + c = 0
II) ax2
+ c = 0
III) (x + c)2
= 0
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo III
D) Solo II y III
E) I, II y III
27. Se puede determinar el conjunto solución del sistema de inecuaciones
ax < 4
x > 1
, si:
(1) a es diferente de cero.
(2) a + 1 es un número primo par.
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional
11
28. Sea f(x) = ax, con dominio los números reales positivos y a es una constante.
¿Cuál(es) de las siguientes relaciones se puede(n) representar en la función f?
I) La diagonal de un cuadrado en función a su lado.
II) La altura de un triángulo equilátero en función de su lado.
III) La base de un romboide en función de su área.
A) Solo I
B) Solo III
C) Solo I y II
D) Solo I y III
E) I, II y III
29. El valor a pagar de una cuenta de agua es $x. Si la compañía cobra un cargo fijo de $y,
entonces la cantidad de metros cúbicos que utiliza una persona, sabiendo que cada
uno cuesta $z, está dada por la expresión
A)
x + y
z
B) (x + y)z
C)
x y
z z

D) (x – y)z
E) xyz
30. Sean las funciones f(x) = x2
+ 1; g(x) = x2
– 1 y h(x) = x2
– 2. ¿Cuál de las
siguientes expresiones corresponde a (h o (g o f))(x)?
A) x8
+ 4x6
+ 4x4
– 2
B) x8
+ 4x6
+ 4x4
C) x8
– 2
D) x8
– 4x6
+ 4x4
– 2
E) x8
+ 4x6
– 4x4
– 2
31. Con respecto a la función f(x) = x + 1 , con dominio [-1, +[, ¿cuál(es) de las
siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I) Es una función inyectiva.
II) Es una función creciente.
III) Su recorrido es [0, +[
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo III
D) Solo I y II
E) I, II y III
12
32. Sea f(x) = px2
– (p + 3)x – 4, una función cuyo dominio es el conjunto de los números
reales, con p número real, p  0. ¿Cuál de las siguientes relaciones debe cumplir p
para que la gráfica de f no intersecte al eje X?
A) p2
+ 22p + 9 > 0
B) p2
+ 22p + 9 < 0
C) p2
+ 22p + 9 = 0
D) p2
– 10p + 9 < 0
E) p2
+ 16p + 9 < 0
33. La altura h(t) alcanzada, medida en metros, de un balón de béisbol se modela
mediante la función h(t) = -5t2
+ 20t, donde t se mide en segundos desde que se lanza
hasta que toca el suelo. Con respecto a esta información, es correcto que
I) la altura máxima de la pelota es a los 2 segundos.
II) demora 4 segundos en tocar el suelo.
III) la máxima altura que toma el balón es de 4 metros.
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo III
D) Solo I y II
E) I, II y III
34. Sean las funciones f(x) = x2
; g(x) = x3
y h(x) = x4
, tal que el dominio de cada una de
ellas es el conjunto de los números reales. ¿Cuál de las siguientes alternativas es
FALSA?
A) f(1) = g(1) = h(1)
B) f(-1) = g(1) = h(-1)
C) f(-2) > g(-2) = h(-2)
D) f(0) = 3 g(0) = 5 h(0)
E) f(8) = g(4) = h (2 4
4 )
35. Sea la función f(x) = -2(x – 2)2
– 2, definida en los números reales. Con respecto a la
función y a la gráfica asociada a ella, es correcto que
I) su eje de simetría es x = 2.
II) es inyectiva.
III) la imagen de 2 es -2.
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo III
D) Solo I y II
E) Solo I y III
13
36. Sea f una función tal que f: lR  lR. Se puede determinar que f es inyectiva, si se sabe
que:
(1) Para todo par de elementos diferentes del dominio sus imágenes son distintas.
(2) Al trazar rectas verticales estas intersectan a la gráfica en un solo punto.
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E) Se requiere de información adicional.
37. Si al punto del plano cartesiano A(1,1) se le aplica una rotación en 30° antihorario con
respecto al origen 15 veces consecutivas, su imagen, una vez finalizadas las
15 rotaciones, corresponde al punto
A) (1,1)
B) (-1,-1)
C) (1,-1)
D) (-1,1)
E) (0,1)
38. En el plano cartesiano de la figura adjunta se representan los vectores m y n,
entonces 3m + 2n es
A) (5, -11)
B) (-5, -11)
C) (-5, 11)
D) (23, -11)
E) (5, 11)
39. En el triángulo ABC de la figura adjunta, DE es paralelo a AB , entonces con respecto a
las siguientes aseveraciones, siempre es verdadero que
I) ABC  DEC
II) ABC  DEC
III) El triángulo ABC es equivalente con el triángulo DEC.
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo III
D) Solo I y II
E) Solo I y III
2
7
-3
m
n
y
x
-5
A B
ED
C
14
40. Si las coordenadas de los vértices de un romboide son (-7,-2), (5,-2), (7,3) y (-5,3),
¿cuál es el área del romboide, en unidades cuadradas?
A) 60
B) 30
C) 70
D) 12 29
E) 14 29
41. El segmento AC está interiormente dividido por el punto B en razón 3 : 5, con AB < BC.
Luego, es siempre correcto afirmar que
A) el segmento AB es igual a 3.
B) el segmento BC es igual a 5.
C) el segmento AC es igual a 15.
D) 5 veces el segmento AB equivale a 3 veces el segmento BC.
E) el segmento AC es igual a 8.
42. Dados los triángulos SOL y MAR, ¿cuál(es) de las siguientes condiciones, por separado,
permite(n) determinar que son semejantes?
I) LSO = 70°, OLS = 60°, MAR = 50° y ARM = 60°
II) SL = 45 m, MR = 15 m, SO = 30 m y MA = 10m
III) SL = 30 m, MR = 15 m, LO = 14 m, RA = 7 m, SO = 20 m y MA = 10 m
A) Solo I
B) Solo III
C) Solo I y II
D) Solo I y III
E) I, II y III
43. Si dos triángulos son semejantes en razón 1 : 2, entonces es cierto que
A) la razón entre sus perímetros es 1 : 2.
B) la razón entre sus áreas es 1 : 2.
C) la razón entre ángulos es 1 : 2.
D) la razón entre sus perímetros es 1 : 4.
E) la razón entre sus perímetros es 1 : 1.
15
44. En el triángulo ABC de la figura adjunta, D pertenece a AB . El lado BC = 6 cm y
AC = 8 cm. ¿Cuál es la medida del trazo AD ?
A) 3,6 cm
B) 5,0 cm
C) 6,4 cm
D) 4,8 cm
E) 2,4 cm
45. En la circunferencia adjunta, CD es diámetro y el punto P dimidia al segmento AB . Si el
segmento CP mide 3 cm y el segmento PD mide
16
3
cm. Entonces, el valor del
segmento CB mide
A) 5 cm
B) 3 cm
C) 4 cm
D) 6 cm
E) 10 cm
46. Desde un punto A ubicado en el suelo se observan bajo el mismo ángulo de elevación,
pero en sentido opuesto el extremo superior de un árbol de 5 m de altura y el punto
más alto del techo de una casa de 8 m de altura. Si la distancia del punto A al árbol es
de 12 m. ¿Qué distancia hay desde el punto A a la casa?
A) 19,20 m
B) 3,30 m
C) 7,50 m
D) 33,00 m
E) 1,92 m
47. Se puede determinar que el área del triángulo ADC de la figura adjunta, es igual a la
del triángulo BDC, si:
(1) D es punto medio de AB .
(2) El triángulo ABC es isósceles de base AB.
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional
C
A D B
A D B
C
A
C
B
D
P
16
48. En la figura adjunta, A, B, C y D son puntos de la circunferencia, el ángulo DPB = 20º,
el arco BD = 80º, AB es diámetro y PD con PB son secantes. ¿Cuánto mide el arco DA?
A) 260º
B) 80º
C) 140º
D) 160º
E) 100º
49. Si la distancia entre dos puntos A(x,4) y B(6,1), con x > 0 es igual a 5. Entonces, el
valor de x puede ser
A) 1
B) 2
C) 4
D) 5
E) 6
50. ¿Cuál de las siguientes ecuaciones corresponde a la recta que pasa por el punto (4,5) y
es paralela a la recta de la figura adjunta?
A) x + y + 1 = 0
B) x – y – 1 = 0
C) x – y + 1 = 0
D) x – y – 9 = 0
E) x – y + 9 = 0
51. Si a un triángulo ABC se le aplica una homotecia de razón
1
-
2
, se obtiene el triángulo
A’B’C’. Luego, se cumple que
A) el lado AB mide la mitad que el lado A´B´.
B) el lado A´B´ mide la mitad que el lado AB .
C) ambos triángulos tienen el mismo perímetro.
D) ambos triángulos tienen la misma área.
E) los triángulos ABC y A’B’C’ son congruentes.
P
A
D
C B
5
3
-4
y
x
-2
B
A
17
52. Sea el segmento AB cuyas coordenadas son A(1,3) y B(6,5). ¿Cuál(es) de las siguiente
afirmación es (son) verdadera(s)?
I) El segmento A’B’ cuyas coordenadas son A’(-1,-3) y B’(-6,-5) se puede
obtener mediante una rotación de 180º del segmento AB con respecto al
origen.
II) El segmento A”B” cuyas coordenadas son A”(-3,1) y B”(-5,6) se puede
obtener mediante una rotación de 90º del segmento AB con respecto al
origen.
III) El segmento A’’’B’’’ cuyas coordenadas son A’’’(3,2) y B’’’(8,-4) se puede
obtener mediante una traslación según el vector (2,-1) del segmento AB.
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo I y II
D) Solo I y III
E) I, II y III
53. Si la recta L1: y = m1x + b1 es perpendicular a la recta L2: y = m2x + b2, siendo m1 y
m2 números reales distintos de cero, entonces se cumple que
I) m1 = m2
II) m1 · m2 = -1
III) m1 : m2 = -1
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo III
D) Solo I y II
E) I, II y III
54. Se obtiene un cilindro recto si se realiza
I) una traslación de un círculo.
II) girar indefinidamente un rectángulo entorno a uno de sus lados.
III) girar indefinidamente un trapecio recto, entorno a su lado no paralelo
perpendicular a sus bases.
A) Solo II
B) Solo III
C) Solo I y II
D) Solo II y III
E) I, II y III
18
55. El perímetro del triángulo determinado por los puntos A(5,0,0); B(0,0,0) y C(0,12,0) es
igual a
A) 13 unidades
B) 30 unidades
C) 60 unidades
D) 17 unidades
E) 7 unidades
56. Se tiene un triángulo cuyos vértices son (3,0), (9,0) y (3, m), con m un número
positivo. Si el volumen del cuerpo generado al rotar indefinidamente este triángulo en
torno a la recta x = 3 es 96 unidades cúbicas, entonces m es
A) 8 unidades
B) 24 unidades
C) 2 unidades
D) 32 unidades
E) 6 unidades
57. Se tienen dos rectas en el plano L1 y L2, de ecuación L1 : (p1 , p2) + t(d1 , d2) y
L2 : (p’1 , p’2) + r(d’1 , d’2), con t y r números reales. Entonces, siempre es verdadero
que
A) si las rectas son paralelas, entonces d1  d’1 y d2  d’2
B) si las rectas son paralelas, entonces p1 = p’1 y p2 = p’2
C) si las rectas son perpendiculares, entonces p1 · p’1 + p2 · p’2 = 0
D) si las rectas son perpendiculares, entonces d1 · d’1 + d2 · d’2 = 0
E) si las rectas son perpendiculares, entonces d1 · d’1 + d2 · d’2 = -1
58. Un vector anclado en el origen tiene módulo igual a 10 unidades, se puede conocer la
coordenada de la segunda componente, si se sabe que:
(1) La abscisa de su extremo es 5.
(2) Está ubicado en el cuarto cuadrante.
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E) Se requiere de información adicional.
19
59. El número total de muestras diferentes que se pueden obtener sin orden y con
reposición de tamaño 3 sobre un total de 6 elementos es
A) 20
B) 120
C) 216
D) 56
E) 84
60. Las edades, en meses, de un grupo de niños de un jardín infantil se muestra en el
gráfico de la figura adjunta, en el cual sobre el eje horizontal se encuentran las marcas
de clases y en el eje vertical las frecuencias. Los intervalos son de la forma [a,b[ y el
último de la forma [a,b], además la amplitud de cada intervalo es 4. Según la
información del gráfico, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es FALSA?
A) El grupo tiene un total de 100 niños.
B) La mediana de las edades de los niños está en el intervalo [12,16[.
C) El intervalo modal es [8,12[.
D) 49 niños tienen menos de un año.
E) 6 niños tienen 16 meses.
20
61. La cantidad de minutos extras que realizan los trabajadores de una empresa al mes,
está dada en la siguiente tabla
De acuerdo a esta información, podemos afirmar que
I) la moda es trabajar 50 minutos extras al mes.
II) en promedio, los trabajadores realizan 278 minutos extras al mes.
III) la mitad de los trabajadores realiza hasta 300 minutos extras al mes.
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo III
D) Solo I y II
E) I, II y III
62. La tabla adjunta muestra el número de brazadas dadas por cierta cantidad de
nadadores en la prueba de 200 m. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es FALSA?
Nº de brazadas frecuencia Frecuencia acumulada
[200-206[ 8
[206-212[ 20
[212-218[ 15
[218-224[ 53
[224-230[ 16
[230-236[ 83
[236-242[ 10
[242-248] 7
A) 53 nadadores dieron menos de 224 brazadas.
B) 18 nadadores se encuentran en el intervalo [218-224[.
C) 7 nadadores dan desde 242 brazadas y más.
D) El intervalo modal es [230-236[.
E) 100 nadadores dieron la prueba.
Minutos Frecuencia
[0 - 100[ 3
[100 - 200[ 10
[200 - 300[ 50
[300 - 400[ 30
[400 - 500[ 7
21
63. ¿En cuál de los siguientes conjuntos de números, el valor del tercer cuartil es el mismo
que el de la mediana?
A) 1; 5; 0; 8; 5; 8; 0; 2
B) 9; 7; 3; 4; 0; 4; 3; 3
C) 2; 3; 2; 1; 4; 3; 3; 1
D) 3; 1; 0; 1; 8; 3; 3; 3
E) 5; 7; 3; 4; 0; 1; 7; 9
64. Se tiene un conjunto de 7 elementos distintos. ¿Cuántas muestras de tamaño 5 se
pueden tomar, sin reposición y sin que importe el orden?
A) 42
B) 21
C) 462
D) 35
E) 12
65. Los promedios de los alumnos en cada trimestre, en la asignatura de matemáticas,
fueron los siguientes
Alumno 1: 4,9 – 5,0 – 5,1 ; Alumno 2: 5,0 – 5,0 – 5,0
¿Cuál(es) de las siguientes aseveraciones es (son) verdadera(s), con respecto a cada
alumno?
I) Ambos tienen igual promedio anual.
II) Ambos tienen misma varianza.
III) Ambos tienen misma desviación estándar.
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo III
D) Solo I y II
E) I, II y III
66. Si la cantidad de años de escolaridad de una población de 5 personas es 8, 12,
14, 16 y 20, entonces su desviación estándar es
A) 2
B) 16
C) 4 5
D) 4
E) 20
22
67. Si una variable aleatoria X tiene media u igual a 9 y varianza igual a 9. ¿Cuál de las
siguientes variables aleatorias tiene distribución normal con media 0 y desviación
estándar 1?
A)
X 9
Z =
9

B)
X 3
Z =
9

C)
X 9
Z =
3

D)
X 3
Z =
3

E)
X
Z =
9
68. La cantidad de celulares que han tenido los alumnos de un colegio se modela por medio
de una distribución normal con media u y desviación estándar 2. Se toma una muestra
aleatoria de 64 alumnos obteniéndose una media de 4 celulares. Para los resultados de
esta muestra, el intervalo de nivel de confianza de 80% para u es
A) [0,68 ; 1,32]
B) [3,96 ; 4,04]
C) [3,68 ; 4,32]
D) [3,77 ; 4,23]
E) [3,50 ; 4,50]
69. Se puede determinar qué tan dispersos son dos conjuntos de datos, si se conoce:
(1) El promedio de cada conjunto.
(2) La cantidad de datos de cada uno de los conjuntos.
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional
23
70. Un grupo de 120 estudiantes realizará una salida pedagógica. En este grupo existen
4 hombres por cada 6 mujeres. Si para el día programado de la salida, no asisten
3 mujeres y 1 hombre. ¿Cuál es la probabilidad de que al elegir una persona al azar,
ésta sea una mujer?
A)
69
116
B)
69
120
C)
1
69
D)
3
72
E)
1
72
71. Con los dígitos {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} se desean formar claves con 3 números
diferentes. ¿Cuántas claves se pueden formar, si estas claves deben comenzar con un
número primo?
A) 224
B) 168
C) 280
D) 720
E) 729
72. En una caja hay bolitas, de igual tamaño, numeradas del 1 al 15. Si se extraen dos
bolitas sin reposición, ¿cuál es la probabilidad de que una de ellas sea un número primo
y la otra un número divisible por 6?
A)
4
35
B)
2
35
C)
4
75
D)
8
75
E)
2
70
24
73. Sea f(x) = mx, con m constante, la función de probabilidad de una variable aleatoria X
que tiene como recorrido el conjunto de los primeros 5 números compuestos. Si F(X) es
la función de distribución de probabilidad acumulada de X. Entonces, F(9) es
A)
37
37
B)
9
37
C)
27
37
D) 27m
E) 9m
74. En una tómbola hay 3 bolitas, de igual tamaño, numeradas con los números 2, 3 y 4. Si
el experimento aleatorio es extraer dos bolitas, una tras otra, con reposición y se define
la variable aleatoria X como el producto de los valores obtenidos en dos extracciones,
entonces ¿cuál de los siguientes conjuntos representan el recorrido de X?
A) {6, 8, 12}
B) {4, 9, 16}
C) {0, 4, 6, 8, 9, 12, 16}
D) {4, 6, 8, 9, 12, 16}
E) Ninguna de las anteriores.
75. En una ciudad X de Chile, se encuestan a varias personas con respecto a quién elegiría
como próximo presidente de Chile, arrojando los siguientes resultados: el 45% votaría
por Juanito Pérez, el 50% votaría por Luciano Bello y el 5% está indeciso entre ambos
candidatos. Si se elige una persona al azar que votaría por Juanito Pérez, ¿cuál es la
probabilidad que esté indeciso?
A)
5
100
B)
5
50
C)
45
50
D)
45
100
E)
5
45
25
76. Se lanza un dado 3 veces y se define la variable aleatoria X como el número de
números 2 obtenidos en los tres lanzamientos. ¿Cuál de las siguientes expresiones
representa P(X < 2)?
A)
0
1
6
 
 
 
·
3
5
6
 
 
 
+ 3 ·
1
1
6
 
 
 
·
2
5
6
 
 
 
B)
0
1
6
 
 
 
·
3
5
6
 
 
 
+
1
1
6
 
 
 
·
2
5
6
 
 
 
C) 3 ·
0
1
6
 
 
 
·
3
5
6
 
 
 
+ 3 ·
1
1
6
 
 
 
·
2
5
6
 
 
 
D)
0
1
6
 
 
 
·
3
5
6
 
 
 
+ 3 ·
1
1
6
 
 
 
·
2
5
6
 
 
 
+ 3 ·
2
1
6
 
 
 
·
1
5
6
 
 
 
E) 3 ·
1
1
6
 
 
 
·
2
5
6
 
 
 
77. El gráfico de la figura adjunta representa la función de distribución acumulada de una
variable aleatoria discreta X. Si el recorrido de X es {1, 2, 3} y P(X = 1) = 0,1, ¿cuál
es el valor de P(X = 2)?
A) 0,8
B) 0,7
C) 0,1
D) 0,2
E) 0,3
78. Sea X una variable aleatoria tal que X  B(80; 0,75). Si la distribución de X es
aproximada por una distribución normal con media  y desviación estándar . ¿Cuáles
de los siguientes valores corresponden a los valores de  y , respectivamente?
A) 60 y 7,5
B) 60 y 45
C) 60 y 0,75
D) 60 y 15
E) 60 y 15
P(X k)
k1 2 3
a
b = c – 0,2
c
26
79. Sea X una variable aleatoria continua cuya función de densidad de probabilidad es
f(x) =
1
x
8
, con x  [0,4]. Luego, el valor de P(X  3) es
A)
3
32
B)
9
16
C)
9
32
D)
3
16
E) 1
80. La tabla adjunta muestra la función de probabilidad de una variable aleatoria X, se
puede calcular el valor de P(X = 1), si:
(1) P(X  1) = P (X > 2)
(2) c = 0,28
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E) Se requiere de información adicional.
X 0 1 2 3
f(x) 0,22 b c 0,36

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410 jma+ol-03-2017

  • 1. TERCERA JORNADA DE EVALUACIÓN GENERAL ONLINE MATEMÁTICA C u r s o: Matemática Código: JMA OL-03-2017
  • 2. 2 PSU MATEMÁTICA INSTRUCCIONES ESPECÍFICAS 1. A continuación encontrará una serie de símbolos, los que puede consultar durante el desarrollo de los ejercicios. 2. Las figuras que aparecen en el modelo son solo indicativas. 3. Los gráficos que se presentan en este modelo están dibujados en un sistema de ejes perpendiculares. 4. Se entenderá por dado común, a aquel que posee 6 caras, donde al lanzarlo las caras son equiprobables de salir. 5. En esta prueba, las dos opciones de una moneda son equiprobables de salir, a menos que se indique lo contrario. 6. (f · g)(x) = f(g(x)) 7. Los números complejos i y -i son las soluciones de la ecuación x2 + 1 = 0. 8. Si z es un número complejo, entonces z es su conjugado y z es su módulo. 9. Si Z es una variable aleatoria continua, tal que Z  N(0, 1) y donde la parte sombreada de la figura representa a P(Z  z), entonces se verifica que: z P(Z  z) 0,67 0,749 0,99 0,839 1,00 0,841 1,15 0,875 1,28 0,900 1,64 0,950 1,96 0,975 2,00 0,977 2,17 0,985 2,32 0,990 2,58 0,995 0 z Z
  • 3. 3 INSTRUCCIONES PARA LAS PREGUNTAS DE SUFICIENCIA DE DATOS En las preguntas de Suficiencia de Datos no se pide la solución al problema, sino que se decida si con los datos proporcionados tanto en el enunciado como en las afirmaciones (1) y (2) se pueda llegar a la solución del problema. Es así, que se deberá marcar la opción: A) (1) por sí sola, si la afirmación (1) por sí sola es suficiente para responder a la pregunta, pero la afirmación (2) por sí sola no lo es, B) (2) por sí sola, si la afirmación (2) por sí sola es suficiente para responder a la pregunta, pero la afirmación (1) por sí sola no lo es, C) Ambas juntas, (1) y (2), si ambas afirmaciones (1) y (2) juntas son suficientes para responder a la pregunta, pero ninguna de las afirmaciones por sí sola es suficiente, D) Cada una por sí sola, (1) ó (2), si cada una por sí sola es suficiente para responder a la pregunta, E) Se requiere información adicional, si ambas afirmaciones juntas son insuficientes para responder a la pregunta y se requiere información adicional para llegar a la solución. SÍMBOLOS MATEMÁTICOS es menor que es congruente con es mayor que es semejante con es menor o igual a es perpendicular a es mayor o igual a es distinto de ángulo recto es paralelo a ángulo trazo AB logaritmo en base 10 pertenece a conjunto vacío valor absoluto de x logaritmo base e factorial de x unión de conjuntos intersección de conjuntos complemento del conjunto A vector u     log  ln u ln      AB x  x! AC 
  • 4. 4 1. 1 1 1 1 + 4 4 4 4 1 4   = A) 1 4 B) 4 7 C) 7 4 D) 1 E) 3 4 2. ¿Cuál de los siguientes números está entre 0,125 y 1 6 ? A) 2 3 B) 1 4 C) 1 3 D) 1 15 E) 2 15 3. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s), con respecto a la expresión decimal de 1 3 ? I) Escrito con tres cifras significativas es equivalente a 0,33. II) Truncado a la décima es igual a 0,33. III) Redondeado a la centésima es igual a 0,33. A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) Solo I y II E) I, II y III
  • 5. 5 4. Un micrómetro, 1 · 10-6 , es un submúltiplo del metro y un exámetro, 1 · 1018 , es un múltiplo del metro. ¿Cuántas veces está contenido el micrómetro en el exámetro? A) 1024 veces B) 1012 veces C) 10-24 veces D) 10-12 veces E) 10108 veces 5. Una persona viaja de Santiago a Viña del Mar haciendo varias paradas. La primera vez recorre 1 5 del viaje. Posteriormente recorre la mitad del resto del camino, y se detiene para colocar bencina y finalmente recorre la mitad de lo que le queda y se detiene para comer. Si la distancia entre ambas ciudades es de 120 kilómetros, ¿cuánto le queda por recorrer? A) 24 km B) 12 km C) 1 km D) 5 km E) 48 km 6. Se tiene un cuadrado de área 100 cm2 . Si el lado del cuadrado se duplica cada 4 minutos, entonces el área del cuadrado en una hora será A) 215 · 100 cm2 B) 2 · 100 · 15 cm2 C) 2 · 100 · 30 cm2 D) 230 · 100 cm2 E) 64 · 30 cm2 7. Si x es un número entero, entonces para que la expresión 3(x + 2) 9 sea un número entero, x debe ser A) un múltiplo de 3. B) un múltiplo de 6. C) un múltiplo de 9. D) igual a 1. E) igual a 2.
  • 6. 6 8. Sea la ecuación m + x n – n + x m = 0, en x, donde m y n  0. Se puede determinar que la solución de la ecuación es un número real positivo, si se sabe que: (1) n + m  0 (2) n + m es negativo. A) (1) por sí sola B) (2) por si sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere de información adicional. 9. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) siempre verdadera(s)? I) Si x e y son números irracionales, entonces (x + y) es un número irracional. II) Si x e y son números racionales, entonces (x + y) es un número racional. III) Si x e y son números reales, entonces (x + y) es un número real. A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) Solo II y III E) I, II y III 10. Si A = 2 7 es aproximado por redondeo a la centésima y B = 3 7 es aproximado por defecto a la centésima, entonces B – A es igual a A) 0,13 B) 0,03 C) 0,23 D) 0,14 E) 0,04 11. Si log(x) = 0,2; log(y) = 0,3 y log(z) = 2, entonces ¿cuál es el valor de log xy z       ? A) 1,5 B) -1,5 C) 0,015 D) -0,015 E) -1,985
  • 7. 7 12. Si x es un número real no negativo, entonces ( 3x + 1)2 + ( 3x – 1)2 es igual a A) 6x – 4 3x + 2 B) 6x – 4 3x + 1 C) 6x D) 6x + 2 E) 6x – 2 13. Sean n, x, y, z números reales positivos. Entonces, n z x y es igual a A) z n(xy) B) n z (xy) C) n n z (x y) D) n z n (x y) E) n z 1 n (x y ) 14. Si A = -3 4 , B = -1 2 y C = -1 3 . ¿Cuál de las siguientes desigualdades NO se cumple? A) C – A > 0 B) -A – B < 0 C) C – B > 0 D) C – A > C – B E) A – B < 0 15. Si m y n son números enteros no positivos y m  n, entonces siempre se cumple que I) m · n es positivo II) m < - n III) mn-1 > 0 A) Solo I B) Solo II C) Solo I y II D) Solo II y III E) I, II y III
  • 8. 8 16. Si Z1 = -i ; Z2 = 7 + i ; Z3 = 4 + 5i, entonces 3 2 1Z Z + Z es igual a A) -4 + 6i B) -2 – 4i C) -4 – 4i D) -2 – 6i E) -4 – 6i 17. Se puede determinar un número complejo a + bi, con a y b distintos de cero, si: (1) a es un múltiplo de 2 y b es un múltiplo de 3. (2) a y b son números primos. A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional 18. La fórmula para calcular la energía cinética de un móvil es Ec = 1 2 mv2 , donde m es la masa y v es la rapidez. ¿Cuál de las siguientes expresiones representa siempre la rapidez? A) c2E m B) c2E m C) 2 cE m D) cE 2m E) c2E m 19. ¿Cuál de las siguientes expresiones NO es equivalente a la expresión 8x2 – 12x – 8? A) 4(2x2 – 3x – 2) B) (8x + 4)(x – 2) C) (2x + 1)(4x – 8) D) (8x + 4)(4x – 8) E) 4(2x + 1)(x – 2)
  • 9. 9 20. La expresión 5x – 2 representa el perímetro del triángulo ABC isósceles, cuya base es x + 6 como se muestra en la figura adjunta. Si su base se mantiene y los otros lados aumentan en una unidad, entonces la expresión que representa el nuevo perímetro es A) 5x – 2 B) 5x + 12 C) 5x D) 5x – 1 E) 4x 21. Si x, y, z son distintos de cero, con xy diferente de z y -z, entonces 2 2 2 3 2 3 2 x y z z z xy + z (xy z)    es igual a A) z xy z B) 1 xy C) 1 - xy D) 2 1 z E) - 2 1 z 22. Alejandra tiene 6c aros de plata y 4p aros de fantasía. Si le regala a su prima Marcela la tercera parte de sus aros de plata le queda un total de 40 aros. En cambio, si le regala el 25% de sus aros de fantasía le quedaría un total de 45 aros. ¿Cuál es el total de aros que tiene Alejandra? A) 45 B) 35 C) 25 D) 50 E) 60 23. Dado el siguiente sistema 2,5x y = 4 1,5x + 3y = 8  , entonces el valor de 2x + y es igual a A) 6 B) -6 C) 12 D) -12 E) 24 C BA x + 6
  • 10. 10 24. Tomás cerca un terreno rectangular con cierta cantidad de metros de alambre. Con (12p + 114) metros de él da 3 vueltas completas al terreno. Si p + 3 es uno de los lados del rectángulo, ¿cuál de las siguientes expresiones representa el área de dicho rectángulo? A) p2 + 48 B) p2 + 19p + 19 C) p2 + 19p + 48 D) p2 – 19p + 48 E) p2 + 19p – 48 25. De la ecuación x2 + bx + c = 0, con b y c números reales, se sabe que una de las soluciones es 1 – 3i. ¿Cuáles son los valores de b y c, respectivamente? A) 2 y 10 B) -2 y 10 C) 10 y 2 D) -10 y 2 E) -2 y -8 26. Si a, b y c son números reales positivos, ¿cuál(es) de las siguientes ecuaciones, en x, tiene(n) siempre una solución única en el conjunto de los números reales? I) ax2 + bx + c = 0 II) ax2 + c = 0 III) (x + c)2 = 0 A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) Solo II y III E) I, II y III 27. Se puede determinar el conjunto solución del sistema de inecuaciones ax < 4 x > 1 , si: (1) a es diferente de cero. (2) a + 1 es un número primo par. A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional
  • 11. 11 28. Sea f(x) = ax, con dominio los números reales positivos y a es una constante. ¿Cuál(es) de las siguientes relaciones se puede(n) representar en la función f? I) La diagonal de un cuadrado en función a su lado. II) La altura de un triángulo equilátero en función de su lado. III) La base de un romboide en función de su área. A) Solo I B) Solo III C) Solo I y II D) Solo I y III E) I, II y III 29. El valor a pagar de una cuenta de agua es $x. Si la compañía cobra un cargo fijo de $y, entonces la cantidad de metros cúbicos que utiliza una persona, sabiendo que cada uno cuesta $z, está dada por la expresión A) x + y z B) (x + y)z C) x y z z  D) (x – y)z E) xyz 30. Sean las funciones f(x) = x2 + 1; g(x) = x2 – 1 y h(x) = x2 – 2. ¿Cuál de las siguientes expresiones corresponde a (h o (g o f))(x)? A) x8 + 4x6 + 4x4 – 2 B) x8 + 4x6 + 4x4 C) x8 – 2 D) x8 – 4x6 + 4x4 – 2 E) x8 + 4x6 – 4x4 – 2 31. Con respecto a la función f(x) = x + 1 , con dominio [-1, +[, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I) Es una función inyectiva. II) Es una función creciente. III) Su recorrido es [0, +[ A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) Solo I y II E) I, II y III
  • 12. 12 32. Sea f(x) = px2 – (p + 3)x – 4, una función cuyo dominio es el conjunto de los números reales, con p número real, p  0. ¿Cuál de las siguientes relaciones debe cumplir p para que la gráfica de f no intersecte al eje X? A) p2 + 22p + 9 > 0 B) p2 + 22p + 9 < 0 C) p2 + 22p + 9 = 0 D) p2 – 10p + 9 < 0 E) p2 + 16p + 9 < 0 33. La altura h(t) alcanzada, medida en metros, de un balón de béisbol se modela mediante la función h(t) = -5t2 + 20t, donde t se mide en segundos desde que se lanza hasta que toca el suelo. Con respecto a esta información, es correcto que I) la altura máxima de la pelota es a los 2 segundos. II) demora 4 segundos en tocar el suelo. III) la máxima altura que toma el balón es de 4 metros. A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) Solo I y II E) I, II y III 34. Sean las funciones f(x) = x2 ; g(x) = x3 y h(x) = x4 , tal que el dominio de cada una de ellas es el conjunto de los números reales. ¿Cuál de las siguientes alternativas es FALSA? A) f(1) = g(1) = h(1) B) f(-1) = g(1) = h(-1) C) f(-2) > g(-2) = h(-2) D) f(0) = 3 g(0) = 5 h(0) E) f(8) = g(4) = h (2 4 4 ) 35. Sea la función f(x) = -2(x – 2)2 – 2, definida en los números reales. Con respecto a la función y a la gráfica asociada a ella, es correcto que I) su eje de simetría es x = 2. II) es inyectiva. III) la imagen de 2 es -2. A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) Solo I y II E) Solo I y III
  • 13. 13 36. Sea f una función tal que f: lR  lR. Se puede determinar que f es inyectiva, si se sabe que: (1) Para todo par de elementos diferentes del dominio sus imágenes son distintas. (2) Al trazar rectas verticales estas intersectan a la gráfica en un solo punto. A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere de información adicional. 37. Si al punto del plano cartesiano A(1,1) se le aplica una rotación en 30° antihorario con respecto al origen 15 veces consecutivas, su imagen, una vez finalizadas las 15 rotaciones, corresponde al punto A) (1,1) B) (-1,-1) C) (1,-1) D) (-1,1) E) (0,1) 38. En el plano cartesiano de la figura adjunta se representan los vectores m y n, entonces 3m + 2n es A) (5, -11) B) (-5, -11) C) (-5, 11) D) (23, -11) E) (5, 11) 39. En el triángulo ABC de la figura adjunta, DE es paralelo a AB , entonces con respecto a las siguientes aseveraciones, siempre es verdadero que I) ABC  DEC II) ABC  DEC III) El triángulo ABC es equivalente con el triángulo DEC. A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) Solo I y II E) Solo I y III 2 7 -3 m n y x -5 A B ED C
  • 14. 14 40. Si las coordenadas de los vértices de un romboide son (-7,-2), (5,-2), (7,3) y (-5,3), ¿cuál es el área del romboide, en unidades cuadradas? A) 60 B) 30 C) 70 D) 12 29 E) 14 29 41. El segmento AC está interiormente dividido por el punto B en razón 3 : 5, con AB < BC. Luego, es siempre correcto afirmar que A) el segmento AB es igual a 3. B) el segmento BC es igual a 5. C) el segmento AC es igual a 15. D) 5 veces el segmento AB equivale a 3 veces el segmento BC. E) el segmento AC es igual a 8. 42. Dados los triángulos SOL y MAR, ¿cuál(es) de las siguientes condiciones, por separado, permite(n) determinar que son semejantes? I) LSO = 70°, OLS = 60°, MAR = 50° y ARM = 60° II) SL = 45 m, MR = 15 m, SO = 30 m y MA = 10m III) SL = 30 m, MR = 15 m, LO = 14 m, RA = 7 m, SO = 20 m y MA = 10 m A) Solo I B) Solo III C) Solo I y II D) Solo I y III E) I, II y III 43. Si dos triángulos son semejantes en razón 1 : 2, entonces es cierto que A) la razón entre sus perímetros es 1 : 2. B) la razón entre sus áreas es 1 : 2. C) la razón entre ángulos es 1 : 2. D) la razón entre sus perímetros es 1 : 4. E) la razón entre sus perímetros es 1 : 1.
  • 15. 15 44. En el triángulo ABC de la figura adjunta, D pertenece a AB . El lado BC = 6 cm y AC = 8 cm. ¿Cuál es la medida del trazo AD ? A) 3,6 cm B) 5,0 cm C) 6,4 cm D) 4,8 cm E) 2,4 cm 45. En la circunferencia adjunta, CD es diámetro y el punto P dimidia al segmento AB . Si el segmento CP mide 3 cm y el segmento PD mide 16 3 cm. Entonces, el valor del segmento CB mide A) 5 cm B) 3 cm C) 4 cm D) 6 cm E) 10 cm 46. Desde un punto A ubicado en el suelo se observan bajo el mismo ángulo de elevación, pero en sentido opuesto el extremo superior de un árbol de 5 m de altura y el punto más alto del techo de una casa de 8 m de altura. Si la distancia del punto A al árbol es de 12 m. ¿Qué distancia hay desde el punto A a la casa? A) 19,20 m B) 3,30 m C) 7,50 m D) 33,00 m E) 1,92 m 47. Se puede determinar que el área del triángulo ADC de la figura adjunta, es igual a la del triángulo BDC, si: (1) D es punto medio de AB . (2) El triángulo ABC es isósceles de base AB. A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional C A D B A D B C A C B D P
  • 16. 16 48. En la figura adjunta, A, B, C y D son puntos de la circunferencia, el ángulo DPB = 20º, el arco BD = 80º, AB es diámetro y PD con PB son secantes. ¿Cuánto mide el arco DA? A) 260º B) 80º C) 140º D) 160º E) 100º 49. Si la distancia entre dos puntos A(x,4) y B(6,1), con x > 0 es igual a 5. Entonces, el valor de x puede ser A) 1 B) 2 C) 4 D) 5 E) 6 50. ¿Cuál de las siguientes ecuaciones corresponde a la recta que pasa por el punto (4,5) y es paralela a la recta de la figura adjunta? A) x + y + 1 = 0 B) x – y – 1 = 0 C) x – y + 1 = 0 D) x – y – 9 = 0 E) x – y + 9 = 0 51. Si a un triángulo ABC se le aplica una homotecia de razón 1 - 2 , se obtiene el triángulo A’B’C’. Luego, se cumple que A) el lado AB mide la mitad que el lado A´B´. B) el lado A´B´ mide la mitad que el lado AB . C) ambos triángulos tienen el mismo perímetro. D) ambos triángulos tienen la misma área. E) los triángulos ABC y A’B’C’ son congruentes. P A D C B 5 3 -4 y x -2 B A
  • 17. 17 52. Sea el segmento AB cuyas coordenadas son A(1,3) y B(6,5). ¿Cuál(es) de las siguiente afirmación es (son) verdadera(s)? I) El segmento A’B’ cuyas coordenadas son A’(-1,-3) y B’(-6,-5) se puede obtener mediante una rotación de 180º del segmento AB con respecto al origen. II) El segmento A”B” cuyas coordenadas son A”(-3,1) y B”(-5,6) se puede obtener mediante una rotación de 90º del segmento AB con respecto al origen. III) El segmento A’’’B’’’ cuyas coordenadas son A’’’(3,2) y B’’’(8,-4) se puede obtener mediante una traslación según el vector (2,-1) del segmento AB. A) Solo I B) Solo II C) Solo I y II D) Solo I y III E) I, II y III 53. Si la recta L1: y = m1x + b1 es perpendicular a la recta L2: y = m2x + b2, siendo m1 y m2 números reales distintos de cero, entonces se cumple que I) m1 = m2 II) m1 · m2 = -1 III) m1 : m2 = -1 A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) Solo I y II E) I, II y III 54. Se obtiene un cilindro recto si se realiza I) una traslación de un círculo. II) girar indefinidamente un rectángulo entorno a uno de sus lados. III) girar indefinidamente un trapecio recto, entorno a su lado no paralelo perpendicular a sus bases. A) Solo II B) Solo III C) Solo I y II D) Solo II y III E) I, II y III
  • 18. 18 55. El perímetro del triángulo determinado por los puntos A(5,0,0); B(0,0,0) y C(0,12,0) es igual a A) 13 unidades B) 30 unidades C) 60 unidades D) 17 unidades E) 7 unidades 56. Se tiene un triángulo cuyos vértices son (3,0), (9,0) y (3, m), con m un número positivo. Si el volumen del cuerpo generado al rotar indefinidamente este triángulo en torno a la recta x = 3 es 96 unidades cúbicas, entonces m es A) 8 unidades B) 24 unidades C) 2 unidades D) 32 unidades E) 6 unidades 57. Se tienen dos rectas en el plano L1 y L2, de ecuación L1 : (p1 , p2) + t(d1 , d2) y L2 : (p’1 , p’2) + r(d’1 , d’2), con t y r números reales. Entonces, siempre es verdadero que A) si las rectas son paralelas, entonces d1  d’1 y d2  d’2 B) si las rectas son paralelas, entonces p1 = p’1 y p2 = p’2 C) si las rectas son perpendiculares, entonces p1 · p’1 + p2 · p’2 = 0 D) si las rectas son perpendiculares, entonces d1 · d’1 + d2 · d’2 = 0 E) si las rectas son perpendiculares, entonces d1 · d’1 + d2 · d’2 = -1 58. Un vector anclado en el origen tiene módulo igual a 10 unidades, se puede conocer la coordenada de la segunda componente, si se sabe que: (1) La abscisa de su extremo es 5. (2) Está ubicado en el cuarto cuadrante. A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere de información adicional.
  • 19. 19 59. El número total de muestras diferentes que se pueden obtener sin orden y con reposición de tamaño 3 sobre un total de 6 elementos es A) 20 B) 120 C) 216 D) 56 E) 84 60. Las edades, en meses, de un grupo de niños de un jardín infantil se muestra en el gráfico de la figura adjunta, en el cual sobre el eje horizontal se encuentran las marcas de clases y en el eje vertical las frecuencias. Los intervalos son de la forma [a,b[ y el último de la forma [a,b], además la amplitud de cada intervalo es 4. Según la información del gráfico, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es FALSA? A) El grupo tiene un total de 100 niños. B) La mediana de las edades de los niños está en el intervalo [12,16[. C) El intervalo modal es [8,12[. D) 49 niños tienen menos de un año. E) 6 niños tienen 16 meses.
  • 20. 20 61. La cantidad de minutos extras que realizan los trabajadores de una empresa al mes, está dada en la siguiente tabla De acuerdo a esta información, podemos afirmar que I) la moda es trabajar 50 minutos extras al mes. II) en promedio, los trabajadores realizan 278 minutos extras al mes. III) la mitad de los trabajadores realiza hasta 300 minutos extras al mes. A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) Solo I y II E) I, II y III 62. La tabla adjunta muestra el número de brazadas dadas por cierta cantidad de nadadores en la prueba de 200 m. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es FALSA? Nº de brazadas frecuencia Frecuencia acumulada [200-206[ 8 [206-212[ 20 [212-218[ 15 [218-224[ 53 [224-230[ 16 [230-236[ 83 [236-242[ 10 [242-248] 7 A) 53 nadadores dieron menos de 224 brazadas. B) 18 nadadores se encuentran en el intervalo [218-224[. C) 7 nadadores dan desde 242 brazadas y más. D) El intervalo modal es [230-236[. E) 100 nadadores dieron la prueba. Minutos Frecuencia [0 - 100[ 3 [100 - 200[ 10 [200 - 300[ 50 [300 - 400[ 30 [400 - 500[ 7
  • 21. 21 63. ¿En cuál de los siguientes conjuntos de números, el valor del tercer cuartil es el mismo que el de la mediana? A) 1; 5; 0; 8; 5; 8; 0; 2 B) 9; 7; 3; 4; 0; 4; 3; 3 C) 2; 3; 2; 1; 4; 3; 3; 1 D) 3; 1; 0; 1; 8; 3; 3; 3 E) 5; 7; 3; 4; 0; 1; 7; 9 64. Se tiene un conjunto de 7 elementos distintos. ¿Cuántas muestras de tamaño 5 se pueden tomar, sin reposición y sin que importe el orden? A) 42 B) 21 C) 462 D) 35 E) 12 65. Los promedios de los alumnos en cada trimestre, en la asignatura de matemáticas, fueron los siguientes Alumno 1: 4,9 – 5,0 – 5,1 ; Alumno 2: 5,0 – 5,0 – 5,0 ¿Cuál(es) de las siguientes aseveraciones es (son) verdadera(s), con respecto a cada alumno? I) Ambos tienen igual promedio anual. II) Ambos tienen misma varianza. III) Ambos tienen misma desviación estándar. A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) Solo I y II E) I, II y III 66. Si la cantidad de años de escolaridad de una población de 5 personas es 8, 12, 14, 16 y 20, entonces su desviación estándar es A) 2 B) 16 C) 4 5 D) 4 E) 20
  • 22. 22 67. Si una variable aleatoria X tiene media u igual a 9 y varianza igual a 9. ¿Cuál de las siguientes variables aleatorias tiene distribución normal con media 0 y desviación estándar 1? A) X 9 Z = 9  B) X 3 Z = 9  C) X 9 Z = 3  D) X 3 Z = 3  E) X Z = 9 68. La cantidad de celulares que han tenido los alumnos de un colegio se modela por medio de una distribución normal con media u y desviación estándar 2. Se toma una muestra aleatoria de 64 alumnos obteniéndose una media de 4 celulares. Para los resultados de esta muestra, el intervalo de nivel de confianza de 80% para u es A) [0,68 ; 1,32] B) [3,96 ; 4,04] C) [3,68 ; 4,32] D) [3,77 ; 4,23] E) [3,50 ; 4,50] 69. Se puede determinar qué tan dispersos son dos conjuntos de datos, si se conoce: (1) El promedio de cada conjunto. (2) La cantidad de datos de cada uno de los conjuntos. A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional
  • 23. 23 70. Un grupo de 120 estudiantes realizará una salida pedagógica. En este grupo existen 4 hombres por cada 6 mujeres. Si para el día programado de la salida, no asisten 3 mujeres y 1 hombre. ¿Cuál es la probabilidad de que al elegir una persona al azar, ésta sea una mujer? A) 69 116 B) 69 120 C) 1 69 D) 3 72 E) 1 72 71. Con los dígitos {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} se desean formar claves con 3 números diferentes. ¿Cuántas claves se pueden formar, si estas claves deben comenzar con un número primo? A) 224 B) 168 C) 280 D) 720 E) 729 72. En una caja hay bolitas, de igual tamaño, numeradas del 1 al 15. Si se extraen dos bolitas sin reposición, ¿cuál es la probabilidad de que una de ellas sea un número primo y la otra un número divisible por 6? A) 4 35 B) 2 35 C) 4 75 D) 8 75 E) 2 70
  • 24. 24 73. Sea f(x) = mx, con m constante, la función de probabilidad de una variable aleatoria X que tiene como recorrido el conjunto de los primeros 5 números compuestos. Si F(X) es la función de distribución de probabilidad acumulada de X. Entonces, F(9) es A) 37 37 B) 9 37 C) 27 37 D) 27m E) 9m 74. En una tómbola hay 3 bolitas, de igual tamaño, numeradas con los números 2, 3 y 4. Si el experimento aleatorio es extraer dos bolitas, una tras otra, con reposición y se define la variable aleatoria X como el producto de los valores obtenidos en dos extracciones, entonces ¿cuál de los siguientes conjuntos representan el recorrido de X? A) {6, 8, 12} B) {4, 9, 16} C) {0, 4, 6, 8, 9, 12, 16} D) {4, 6, 8, 9, 12, 16} E) Ninguna de las anteriores. 75. En una ciudad X de Chile, se encuestan a varias personas con respecto a quién elegiría como próximo presidente de Chile, arrojando los siguientes resultados: el 45% votaría por Juanito Pérez, el 50% votaría por Luciano Bello y el 5% está indeciso entre ambos candidatos. Si se elige una persona al azar que votaría por Juanito Pérez, ¿cuál es la probabilidad que esté indeciso? A) 5 100 B) 5 50 C) 45 50 D) 45 100 E) 5 45
  • 25. 25 76. Se lanza un dado 3 veces y se define la variable aleatoria X como el número de números 2 obtenidos en los tres lanzamientos. ¿Cuál de las siguientes expresiones representa P(X < 2)? A) 0 1 6       · 3 5 6       + 3 · 1 1 6       · 2 5 6       B) 0 1 6       · 3 5 6       + 1 1 6       · 2 5 6       C) 3 · 0 1 6       · 3 5 6       + 3 · 1 1 6       · 2 5 6       D) 0 1 6       · 3 5 6       + 3 · 1 1 6       · 2 5 6       + 3 · 2 1 6       · 1 5 6       E) 3 · 1 1 6       · 2 5 6       77. El gráfico de la figura adjunta representa la función de distribución acumulada de una variable aleatoria discreta X. Si el recorrido de X es {1, 2, 3} y P(X = 1) = 0,1, ¿cuál es el valor de P(X = 2)? A) 0,8 B) 0,7 C) 0,1 D) 0,2 E) 0,3 78. Sea X una variable aleatoria tal que X  B(80; 0,75). Si la distribución de X es aproximada por una distribución normal con media  y desviación estándar . ¿Cuáles de los siguientes valores corresponden a los valores de  y , respectivamente? A) 60 y 7,5 B) 60 y 45 C) 60 y 0,75 D) 60 y 15 E) 60 y 15 P(X k) k1 2 3 a b = c – 0,2 c
  • 26. 26 79. Sea X una variable aleatoria continua cuya función de densidad de probabilidad es f(x) = 1 x 8 , con x  [0,4]. Luego, el valor de P(X  3) es A) 3 32 B) 9 16 C) 9 32 D) 3 16 E) 1 80. La tabla adjunta muestra la función de probabilidad de una variable aleatoria X, se puede calcular el valor de P(X = 1), si: (1) P(X  1) = P (X > 2) (2) c = 0,28 A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere de información adicional. X 0 1 2 3 f(x) 0,22 b c 0,36