Este documento presenta la resolución de tres actividades relacionadas con funciones. En la primera actividad, el estudiante analiza cuatro funciones y determina que tres de ellas son iguales. En la segunda actividad, se identifican los dominios e imágenes de tres funciones. Finalmente, en la tercera actividad, el estudiante grafica a mano una función racional, grafica otra función usando software y determina si un par ordenado pertenece a alguna de las funciones graficadas.

1. Instituto Universitario Aeronáutico
Facultad Ciencias de la Administración
INGENIERÍA DE SISTEMAS
Matemática II plan 2010
Unidad 1. Actividad 2.
Nombre y apellido: Artigas Hernán
Curso: Z42
Fecha: 01/10/2016
1. 2%
Analice e indique, entre estas funciones, cuáles son iguales. Justifique su respuesta.
Grafique las funciones.
a)
 : / 1h h x x   ¡ ¡
b)  
2
1
: /
1
s
g g s
s
 
 

¡ ¡
c)
   : 1 / 1f f t t     ¡ ¡ d)
2
1
1
: / ( ) 1
2 1
t
si t
p p t t
si t
 
 
  
  
¡ ¡
Resolución:
Dos funciones son iguales cuando ambas tienen el mismo dominio, la misma imagen y
la misma regla.
Con respecto al dominio e imagen vemos que:
Las funciones g, h y p son funciones cuyo dominio es R y el conjunto de llegada es R. En
el caso de la función f su dominio son todos los reales excepto el -1, por este motivo f
no lo tendremos en cuenta para realizar la comparación.
Analizamos la regla de h, g y p:
Las letras usadas para variables pueden ser diferentes, lo cual no nos permite descartar
posibles ecuaciones diferentes.
Analizaremos las reglas de h y g y analizaremos si ambas funciones son equivalentes a
pesar de estar expresadas de manera diferentes.
−𝑠2
+ 1
𝑠 + 1
=
(1 − 𝑠)(1+ 𝑠)
𝑠 + 1
= −𝑠 + 1
Observamos que las funciones h y g son iguales a pesar de estar expresadas de manera
distinta.
Analizaremos las reglas de p y g y analizaremos si ambas funciones son equivalentes a
pesar de estar expresadas de manera diferentes.

2. −𝑡2
+ 1
𝑡 + 1
=
(1 − 𝑡)(1+ 𝑡)
𝑡 + 1
= −𝑡 + 1
Se valuará función p en t1. Para t=1 la función valdrá 2.
Si en las funciones h y g reemplazamos las variables por 1, obtendremos como resultado
2.
Concluimos entonces que las funciones g, h y p son iguales.
Gráficos:
Gráfico de la función ℎ( 𝑥) = −𝑥 + 1
Gráfico de la función 𝑔( 𝑠) =
−𝑠2
+1
𝑠+1

3. Gráfico de la función 𝑓( 𝑡) = −𝑡 + 1
Gráfico de la función:
2
1
1
: / ( ) 1
2 1
t
si t
p p t t
si t
 
 
  
  
¡ ¡

4. 2. 3%
Identifique el dominio y la imagen de las funciones. Justifique su respuesta.
a) 2
( ) 1f x x x   b) 2
1
( )
2 3
g x
x x



c)
Resolución:
a) 𝑓( 𝑥) = √𝑥2 + 𝑥 − 1. Raíz cuadrada de índice par, por lo tanto su radicando debe
ser mayor o igual a 0.
Lo mismo se da para 𝑥  (−∞,1,62]∪ [0,62,+∞):
𝐷𝑓 = {𝑥 𝑅 /−
81
50
≥ 𝑥 ≥
31
50
}
𝐼𝑓 = { 𝑦 𝑅 /𝑦 > 0}
b)
𝑔( 𝑥) =
−1
2𝑥2 + 3𝑥
Tenemos un cociente. La restricción que se presenta: su denominador debe ser
diferente de 0.
2𝑥2
+ 3𝑥 = 0
𝑥(2𝑥 + 3) = 0
𝑥 = 0 𝑥 = −
3
2
𝑥1 = 0 𝑥2 = −
3
2
𝐷 𝑔 = {𝑥 𝑅 /𝑥 ≠ −
3
2
∧ 𝑥 ≠ 0} = (−∞,−
3
2
) ∪ (−
3
2
, 0) ∪ (0,+∞)
𝐼𝑓 = { 𝑦 𝑅 /𝑦 < 0}

5. c) Este gráfico pertenece a una función racional, no está indicada la unidad de medida
y tampoco tenemos información acerca de la orientación, ni cuál de las rectas es x;
al no tener esta información impresa en el sistema de coordenadas cartesianas se
entiende que la recta horizontal pertenece a x, cuya parte negativa está a la
izquierda y la positiva a la derecha, y que la unidad de medida es 1. Puede verse que
la gráfica pasa muy cerca de x=1 sin llegar a tocarlo, y muy cerca de y=1 sin llegar a
tocarlo.
𝐷 𝑔 = { 𝑥 𝑅 /𝑥 ≠ 1} = (−∞,1) ∪ (1 + ∞)
𝐼𝑓 = { 𝑦 𝑅 /𝑦 ≠ 1} = (−∞,1) ∪ (1 + ∞)
3. 3%
a) Grafique a mano la función racional
2
( )
2 2
x
f x
x



explicitando todos los pasos que
realiza y la información mínima necesaria para tal fin. Para digitalizar la imagen a
mano (archivo jpg) use el PhotoScape (consulte la sección FAQs).
b) Grafique la función polinomial 4 3 2
( ) 4 5h t t t t     con dominio el intervalo
 1,3 . Para graficar use cualquier software, consulte la sección FAQs.
c) Determine si el par ordenado  1, 1  pertenece a alguna de las gráficas de arriba.
Resolución:
a) Gráfico de
𝑓( 𝑥) =
𝑥 − 2
2𝑥 + 2
Paso 1: Es un cociente, su denominador no puede ser 0, por lo que la función no está
definida para x=-1.
𝐷𝑓 = (−∞,−1) ∪ (−1, +∞)
Intersección con el eje x:
𝑥 − 2
2𝑥 + 2
= 0 ⇒ 𝑥 = −1
Intersección con el eje y:
𝑓(0) = 2

6. Paso 2: Tabla
Paso 3: Marcamos los puntos en el sistema:
X Y=F(X)
-9 0,68
-8 0,72
-7 0,75
-6 0,8
-5 0,87
-4 1
-3 1,25
-2 2
-1,5 3,5
-1,2 8
0 2
0,5 -0,5
1 -0,25
2 0
3 0,125
4 0,2
5 0,25
6 0,28
7 0,31
8 0,33
9 0,35

7. Paso 4: Unimos los puntos:
b) Gráfico de la función:
𝑓( 𝑡) = −4𝑡4
+ 𝑡3
− 𝑡2
+ 5
Con dominio el intervalo  1,3 .

8. c) Evaluamos si el par ordenado (-1,-1) pertenece a la siguiente función:
𝑓( 𝑥) =
𝑥 − 2
2𝑥 + 2
𝑓(1) =
1 − 2
2 · 1 + 2
𝑓(1) = −
1
4
−
1
4
≠ −1
El resultado obtenido es distinto a -1 por lo cual, el par ordenado no pertenece
a la función.
Evaluamos si el par ordenado (-1,-1) pertenece a la siguiente función:
𝑓( 𝑥) = −4𝑡4
+ 𝑡3
− 𝑡2
+ 5
𝑓(−1) = −4(−1)4
+ (−1)3
− (−1)2
+ 5
𝑓(−1) = −1
−1 = −1
El resultado obtenido es igual al del par ordenado, por lo cual efectivamente el
par (-1,-1) pertenece a la función.
Fin de la actividad