Este documento presenta la resolución de 4 ejercicios que involucran ecuaciones con logaritmos, raíces y potencias. En el primer ejercicio se resuelve la ecuación log10(x + 1)5 − log10( x + 1) = 2 obteniendo como solución x = √10 − 1. En el segundo ejercicio se resuelve 21−x.3 x = √12 obteniendo la solución x = log√3/log(3/2). En el tercer ejercicio se resuelve √x + 1 = x − 1 obteniendo las sol

1. ACTIVIDAD OBLIGATORIA 3B
LonderoJosé
EjercicioAP29b
log10(𝑥 + 1)5 − log10( 𝑥 + 1) = 2
Primerorevisamoslas restricciones:
X+1 > 0, luegoX> -1
Operamos:
Aplicolapropiedad logaritmode unapotencia log 𝑎 𝑥 𝑡 = 𝑡.log 𝑎 𝑥
5 log10( 𝑥 + 1) − log10( 𝑥 + 1) = 2
(5 − 1)log10( 𝑥 + 1)=2
4 log10( 𝑥 + 1) = 2
log10( 𝑥 + 1) =
2
4
Ahoraaplicola propiedadbásicade logaritmos log 𝑎 𝑏 = 𝑐 ↔ 𝑎 𝑐 = 𝑏
10
1
2 = 𝑥 + 1
Propiedadde laradicaciónque dice: √ 𝑎 𝑚𝑛
= 𝑎
𝑚
𝑛 porlo tanto
√10 = 𝑥 + 1
√10 − 1 = 𝑥
Corroboramosque labase del logaritmoesdistintade 1 y argumento positivo.Eneste casose
cumplenambas:
√10 − 1 = (√10− 1) − 1 > −1
Verificamos:si 𝑥 = √10 − 1 en reemplazodirectose tiene:
log10[(√10 − 1) + 1]5 − log10[(√10 − 1) + 1] = 2
5 log10[(√10 − 1) + 1] − log10[(√10 − 1) + 1] = 2
4 log10[(√10 − 1) + 1] = 2
log10[(√10 − 1) + 1] =
2
4
10
1
2 = (√10 − 1) + 1
√10 − 1 = √10 − 1
√10 = √10

2. Concluimosque 𝑥 = √10 − 1 asignadoalaletradesconocidade laecuaciónhace verdaderala
igualdad.
EjercicioAP31k
21−𝑥.3 𝑥 = √12
Restricciones:laincógnitaal estarcomoexponente de unabase que noesnula puede tomar
cualquiervalorreal;porlotanto no habría restriccionesenestaforma.
En estaecuación la incógnitaaparece comoexponentede dosbasesdistintas. Pararesolver
estaecuaciónaplicaremoslogaritmosaambos miembros de laecuación.
La restricciónparaloslogaritmosesque suargumentoseapositivo; (21−𝑥.3 𝑥) > 0
log(21−𝑥.3 𝑥) = log √12
Aplicamoslogaritmo de un producto
log2(1−𝑥)
+ log3 𝑥 = log √12
Aplicamoslogaritmo de una potencia
(1 − 𝑥)log 2 + 𝑥log 3 = log√12
log2 − 𝑥 log2 + 𝑥log 3 = log √12
Factor común x y construimos la ecuaciónlineal enla incógnitax
𝑥(log 3 − log 2) = log √12 − log2
𝑥 =
log (√12
2
)
log(3) − log(2)
𝑥 =
log √12
4
log (
3
2
)
𝑥 =
log√3
log (
3
2
)
Verificaciónreemplazando directamente enx
2
1−(
log(√3)
log(3
2
)
)
.3
(
log(√3)
log(3
2
)
)
= √12 Se verifica. X como exponente de una potencia de
base no nula no tiene restricciones; es decir que puede asumir cualquier valor real.

3. Ejercicio AP43c
√𝑥 + 1 = 𝑥 − 1
Debemoseliminarel signoradical,paraesoaplicamosel conceptode raízy obtenemosla
potenciaequivalente.
𝑥 + 1 = (𝑥 − 1)2
Ahorasegúnel conceptode potenciaciónyaplicandopropiedaddistributivatenemos:
𝑥 + 1 = 𝑥2 − 2𝑥 + 1
Esta es unaecuaciónde grado 2 con laforma general 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏2=0
0 = 𝑥2 − 2𝑥 + 1 − 𝑥 − 1
0 = 𝑥2 − 3𝑥
𝑥 = 0 y 𝑥 = 3sonlas solucionesde 𝑥2 − 2𝑥 + 1 − 𝑥 − 1 = 0
Se obtuvieronutilizandolaformula 𝑥 =
−𝑏±√𝑏2
−4𝑎𝑐
2𝑎
a=1 b=-3 c=0
𝑥 =
−(−3)± √−32 − 4 × 1 × 0
2 × 1
𝑥1 =
−(−3) − √9
2
= 0
𝑥2 =
−(−3) + √9
2
= 3
Verificamos
X=0 se descartaporque no cumple conla restricciónde x-1positivoonulo.
√0 + 1 = 0 − 1
1 ≠ −1
Para x=3
√3 + 1 = 3 − 1
2 = 2
Concluimosque el valor3asignadoa la incógnitahace verdaderalaecuación √ 𝑥 + 1 = 𝑥 − 1

4. EjercicioAP34a
𝑥2 − 3 = 97
𝑥2 = 97 + 3
𝑥2 = 100
𝑥2 − 100 = 0 Es una diferencia de cuadrados
(𝑥 + 10)(𝑥 − 10) = 0 La leyde anulacióndel productonos permite construir dos ecuaciones
lineales.
𝑥 + 10 = 0 ˅ 𝑥 − 10 = 0
La solución es:
Si x= -10 ⇒(−10)2 − 3 = 97
Si x= 10 ⇒102 − 3 = 97