Derivative formulae and the 4 steps Obtención de las fórmulas de derivación mediante el método de los cuatro pasos.

1. Actividad 2.3
Las reglas de derivación
G. Edgar Mata Ortiz

2. La definición de derivada como el límite de la
pendiente de una recta puede emplearse para derivar
cualquier función, sin embargo, el proceso puede
resultar demasiado laborioso, por ello, se utilizan
fórmulas de derivación que, sin embargo, se obtienen
mediante la aplicación de la definición citada.
Contenido
Introducción. ............................................................................................................................................................1
Fórmulas de derivación. .......................................................................................................................................1
Obtención de las reglas de derivación mediante los cuatro pasos..........................................................................2
Ejemplo 1..............................................................................................................................................................2
Paso 1: ..............................................................................................................................................................2
Paso 2: ..............................................................................................................................................................2
Paso 3: ..............................................................................................................................................................2
Paso 4: ..............................................................................................................................................................2
Ejemplo 2..............................................................................................................................................................3
Paso 1: ..............................................................................................................................................................3
Paso 2: ..............................................................................................................................................................3
Paso 3: ..............................................................................................................................................................3
Paso 4: ..............................................................................................................................................................3
Ejemplo 3..............................................................................................................................................................4
Paso 1: ..............................................................................................................................................................4
Paso 2: ..............................................................................................................................................................4
Paso 3: ..............................................................................................................................................................4
Paso 4: ..............................................................................................................................................................4
Una regla empírica............................................................................................................................................5
Una ley matemática..............................................................................................................................................5
Paso 1: ..............................................................................................................................................................5
Paso 2: ..............................................................................................................................................................6
Paso 3: ..............................................................................................................................................................6
Paso 4: ..............................................................................................................................................................7
Fórmula de derivación......................................................................................................................................7
Ejercicios...............................................................................................................................................................7
Bibliografía................................................................................................................................................................8

3. http://licmata-math.blogspot.mx/ 1
Obtención de fórmulas de derivación
Introducción.
El procedimiento para obtener la derivada de una función mediante los
cuatro pasos es muy laborioso, especialmente cuando se trabaja
numéricamente.
Con el paso del tiempo se han ido desarrollando fórmulas de derivación
que, a partir de reglas empíricas, se han formalizado para facilitar la
derivación.
En este documento se describe el proceso para obtener dichas fórmulas.
Anota los cuatro pasos para obtener la derivada de una función:
Paso 1: ______________________________________________________
____________________________________________________________
Paso 2: ______________________________________________________
____________________________________________________________
Paso 3: ______________________________________________________
____________________________________________________________
Paso 4: ______________________________________________________
____________________________________________________________
Fórmulas de derivación.
Las fórmulas de derivación se obtienen efectuando los cuatro pasos en la
definición de derivada para expresiones particulares que posteriormente
podrán generalizarse y, una vez generadas, podemos aplicarlas con la
certeza de que funcionará en todos los casos.
Siempre debemos mantener en mente que, independientemente de la
forma en que se obtenga la derivada de una función, lo que se está
calculando puede entenderse como la pendiente de la recta tangente a la
curva en un punto dado.
The four steps
derivative.
Alrededor del 1665, el joven
Newton desarrolló, entre muchas
otras disciplinas científicas, el
cálculo infinitesimal.
Esta revolucionaria rama de la
matemática parte de un
problema aparentemente
sencillo; determinar la pendiente
de una curva en un punto dado, o
para ser más preciso, la
pendiente de la recta tangente a
la curva, en un punto.
El procedimiento más sencillo
intuitivamente consiste en
aproximar dicha pendiente
mediante secantes cada vez más
cercanas a la tangente buscada.
El procedimiento, como vimos
antes, resulta un poco laborioso,
ya sea que se utilice aritmética o
álgebra, por lo que se considera
necesario desarrollar algún
método más rápido para obtener
la derivada.
En este documento se sigue el
método de los cuatro pasos para
obtener algunas fórmulas que
nos servirán para obtener la
derivada de algunas funciones sin
necesidad de aplicar su
definición.
La siguiente imagen muestra el
libro de Newton acerca de las
fluxiones, como él llamaba a las
derivadas.

4. http://licmata-math.blogspot.mx/ 2
Obtención de fórmulas de derivación
Obtención de las reglas de derivación mediante los cuatro pasos.
Completa la información faltante en cada uno de los ejemplos y ejercicios siguientes.
Ejemplo 1. Obtener la derivada de: 𝑦 = 𝑥2
Paso 1: Tomar el valor de 𝑥1 igual a equis, incrementar dicho valor para obtener 𝑥2 y calcular el valor del
incremento de equis: ∆𝑥
𝑥1 = 𝑥
𝑥2 = 𝑥 + ℎ
∆𝑥 = 𝑥2 − 𝑥1
∆𝑥 = 𝑥 + ℎ − 𝑥
∆𝑥 = ℎ
Paso 2: Sustituir los valores de 𝑥1 y 𝑥2 en la función (𝑦 = 𝑥2
) para calcular el incremento de ye: ∆𝑦 = 𝑦2 − 𝑦1
𝑦 = 𝑥2
𝑦1 =
𝑦2 =
∆𝑦 = 𝑦2 − 𝑦1
∆𝑦 =
∆𝑦 =
∆𝑦 = 2𝑥ℎ + ℎ2
Paso 3: Dividir los incrementos: ∆𝑦 entre ∆𝑥
∆𝑦
∆𝑥
=
Paso 4: Obtener la derivada tomando el límite del cociente calculado, cuando el incremento en equis tiende a
cero.
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= lim
∆𝑥→0
∆𝑦
∆𝑥
∴
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= lim
ℎ→0
2𝑥 + ℎ ∴
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 2𝑥
Observa que, cuando equis tiende a cero, no estamos diciendo que este sea su valor, se trata de una operación
intelectual, un razonamiento mediante el cuál obtenemos la conclusión de que, al disminuir el valor de hache
hasta una cantidad cada vez más pequeña, en el límite, el valor de la derivada será 2x.
En los siguientes ejemplos falta una mayor cantidad de información, complétala y obtén el valor de la derivada
para cada uno de ellos; no omitas pasos, por ahora es necesario escribir y razonar cada uno de los pasos
efectuados para obtener el resultado.
El resultado de la división de incrementos es:
∆𝑦
∆𝑥
= 2𝑥 + ℎ
El resultado de este paso es el valor del
incremento en equis:
∆𝑥 = ℎ
El incremento en ye es el resultado de
una simplificación algebraica y queda:
∆𝑦 = 2𝑥ℎ + ℎ2

5. http://licmata-math.blogspot.mx/ 3
Obtención de fórmulas de derivación
Ejemplo 2. Obtener la derivada de: 𝑦 = 𝑥3
Paso 1: Tomar el valor de 𝑥1 igual a equis, incrementar dicho valor para obtener 𝑥2 y calcular el valor del
incremento de equis: ∆𝑥
𝑥1 = 𝑥
𝑥2 = 𝑥 + ℎ
∆𝑥 = 𝑥2 − 𝑥1
∆𝑥 =
∆𝑥 =
Paso 2: Sustituir los valores de 𝑥1 y 𝑥2 en la función (𝑦 = 𝑥3
) para calcular el incremento de ye: ∆𝑦 = 𝑦2 − 𝑦1
𝑦 = 𝑥3
𝑦1 =
𝑦2 =
∆𝑦 = 𝑦2 − 𝑦1
∆𝑦 =
∆𝑦 =
∆𝑦 =
Paso 3: Dividir los incrementos: ∆𝑦 entre ∆𝑥
∆𝑦
∆𝑥
=
Paso 4: Obtener la derivada tomando el límite del cociente calculado, cuando el incremento en equis tiende a
cero.
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= lim
∆𝑥→0
∆𝑦
∆𝑥
∴
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= lim
ℎ→0
( ) ∴
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
El resultado de la división de incrementos es:
∆𝑦
∆𝑥
=
El resultado de este paso es el valor del
incremento en equis:
∆𝑥 =
El incremento en ye es el resultado de
una simplificación algebraica y queda:
∆𝑦 =

6. http://licmata-math.blogspot.mx/ 4
Obtención de fórmulas de derivación
Ejemplo 3. Obtener la derivada de: 𝑦 = 𝑥4
Paso 1: Tomar el valor de 𝑥1 igual a equis, incrementar dicho valor para obtener 𝑥2 y calcular el valor del
incremento de equis: ∆𝑥
𝑥1 = 𝑥
𝑥2 = 𝑥 + ℎ
∆𝑥 = 𝑥2 − 𝑥1
∆𝑥 =
∆𝑥 =
Paso 2: Sustituir los valores de 𝑥1 y 𝑥2 en la función (𝑦 = 𝑥4
) para calcular el incremento de ye: ∆𝑦 = 𝑦2 − 𝑦1
𝑦 = 𝑥4
𝑦1 =
𝑦2 =
∆𝑦 = 𝑦2 − 𝑦1
∆𝑦 =
∆𝑦 =
∆𝑦 =
Paso 3: Dividir los incrementos: ∆𝑦 entre ∆𝑥
∆𝑦
∆𝑥
=
Paso 4: Obtener la derivada tomando el límite del cociente calculado, cuando el incremento en equis tiende a
cero.
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= lim
∆𝑥→0
∆𝑦
∆𝑥
∴
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= lim
ℎ→0
( ) ∴
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
El resultado de la división de incrementos es:
∆𝑦
∆𝑥
=
El resultado de este paso es el valor del
incremento en equis:
∆𝑥 =
El incremento en ye es el resultado de
una simplificación algebraica y queda:
∆𝑦 =

7. http://licmata-math.blogspot.mx/ 5
Obtención de fórmulas de derivación
Una regla empírica.
Si observamos los resultados de los tres ejemplos podremos encontrar ciertas regularidades que nos harán
plantear un método o regla para obtener la derivada de una expresión algebraica en la que se encuentra la
variable equis elevada a un exponente constante.
Función original Derivada
𝑦 = 𝑥2 𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 2𝑥
𝑦 = 𝑥3 𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 3𝑥2
𝑦 = 𝑥4 𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 4𝑥3
En las siguientes líneas, escribe la regla que nos permitirá obtener la derivada sin utilizar los cuatro pasos:
El coeficiente de la derivada es: _________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________________
El exponente de la derivada es: _________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________________
Una ley matemática.
Las reglas empíricas, aunque son útiles, tienen la desventaja que, por la forma en que se obtienen, pueden dar
resultado en algunos casos, pero no siempre. Para que una ley matemática sea aplicable universalmente debe
ser “demostrada” o, al menos, generada a partir de casos particulares y luego generalizada.
En esta sección vamos a efectuar la obtención de la ley matemática para derivar una expresión algebraica
formada por una variable equis, elevada a un exponente constante. Por ahora vamos a omitir la pregunta acerca
de si se trata de un exponente entero o fraccionario, con la finalidad de comprender mejor el proceso para la
obtención de esta fórmula o regla de derivación.
Derivar: 𝒚 = 𝒙 𝒏
Nuevamente aplicaremos la definición de derivada; método de los cuatro pasos.
Paso 1: Tomar el valor de 𝑥1 igual a equis, incrementar dicho valor para obtener 𝑥2 y calcular el valor del
incremento de equis: ∆𝑥
𝑥1 = 𝑥
𝑥2 = 𝑥 + ℎ
∆𝑥 = 𝑥2 − 𝑥1
∆𝑥 =
∆𝑥 =
El resultado de este paso es el valor del
incremento en equis:
∆𝑥 =

8. http://licmata-math.blogspot.mx/ 6
Obtención de fórmulas de derivación
Paso 2: Sustituir los valores de 𝑥1 y 𝑥2 en la función (𝑦 = 𝑥 𝑛
) para calcular el incremento de ye: ∆𝑦 = 𝑦2 − 𝑦1
𝑦 = 𝑥 𝑛
𝑦1 =
𝑦2 =
∆𝑦 = 𝑦2 − 𝑦1
∆𝑦 =
En este caso, la obtención del incremento de es un poco más laboriosa, requiere el uso del binomio de
Newton y del método de conteo denominado “combinaciones”. Utiliza el espacio siguiente para
calcular el incremento de ye.
Paso 3: Dividir los incrementos: ∆𝑦 entre ∆𝑥
∆𝑦
∆𝑥
=
El resultado de la división de incrementos es:
∆𝑦
∆𝑥
=

9. http://licmata-math.blogspot.mx/ 7
Obtención de fórmulas de derivación
Paso 4: Obtener la derivada tomando el límite del cociente calculado, cuando el incremento en equis tiende a
cero.
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= lim
∆𝑥→0
∆𝑦
∆𝑥
∴
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
Fórmula de derivación
La fórmula es:
𝑑
𝑑𝑥
( 𝑥 𝑛) =
Ejercicios.
Siguiendo el mismo procedimiento de los cuatro pasos, encuentra las siguientes fórmulas de derivación.
1. Derivada de una constante: 𝑦 = 𝐶
2. Derivada de equis: 𝑦 = 𝑥
3. Derivada de la inversa de equis: 𝑦 =
1
𝑥
4. Derivada de la raíz cuadrada de equis: 𝑦 = √ 𝑥
5. Derivada de la raíz cubica de equis: 𝑦 = √ 𝑥
3
6. Derivada de la raíz cuarta de equis: 𝑦 = √ 𝑥
4
7. Derivada de la raíz quinta de equis: 𝑦 = √ 𝑥
5
8. Derivada de la raíz enésima de equis: 𝑦 = √ 𝑥
𝑛

10. http://licmata-math.blogspot.mx/ 8
Obtención de fórmulas de derivación
Bibliografía.