Este documento presenta una serie de preguntas de álgebra sobre ecuaciones cuadráticas y cúbicas. Incluye problemas de nivel básico, intermedio y avanzado relacionados con determinar valores desconocidos, encontrar raíces de ecuaciones y operaciones con polinomios.

1. • Aptitud académica
• Matemática
• Comunicación
• Ciencias Naturales
• Ciencias Sociales
2015
4
Preguntaspropuestas

2. Álgebra
2
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Ecuaciones cuadráticas II
NIVEL BÁSICO
1. Determine el discriminante de la ecuación
( ) ( )n x n x
n
− − + +
−
=2 2
2
4
02
A) 6n B) 8n C) 12n
D) 4n E) 32n
2. Si {3} es el conjunto solución de la ecuación
2x2
+ax+b=0
halle el valor de a+b.
A) 30 B) 18 C) 6
D) 10 E) 12
3. Se sabe que el conjunto solución de la ecuación
2x2
– 8x+n – 5=0 es {a}. Indique el valor de n.
A) 8 B) 3 C) 13
D) – 8 E) – 3
4. Determine la ecuación cuadrática de raíces 3
y −
1
2
.
A) x2
– 5x – 3=0
B) 2x2
– 3x+5=0
C) x2
– 3x+5=0
D) 2x2
– 5x – 3=0
E) 2x2
+5x – 3=0
5. Las ecuaciones en x
3x – a=3
5x=2a+3
son equivalentes. Halle el valor de a+1.
A) 3 B) 5 C) 6
D) 9 E) 7
6. Las ecuaciones
15x2
– mx+10=0
3x2
+2x+n=0
son equivalentes. Indique el valor de m+n.
A) 12 B) 8 C) –10
D) 6 E) – 8
NIVEL INTERMEDIO
7. La ecuación cuadrática
26
x2
– 2n+1
x+163
=0
tiene solución única. Halle el valor de n.
A) 10 B) 9 C) 11
D) 12 E) 16
8. Las raíces de la ecuación
3x2
– 6x+n=0
son dos números reales diferentes. Indique el
mayor valor entero que toma n.
A) –1 B) 3 C) 5
D) 1 E) 2
9. ¿Cuál es la ecuación cuadrática cuyas raíces
son 3 2− y 3 2+ ?
A) x2
+ 6x+1=0
B) x2
– 6x+7=0
C) x x2
2 2 1 0− + =
D) x2
– 3x+7=0
E) x2
– 6x+5=0
10. Las ecuaciones
2(x2
+x+3)=3x+2x2
+4
5x2
+nx+n+1=0
tienen una raíz común. Indique el valor de n.
A) 6 B) 7 C) – 2
D) – 7 E) 3
11. En la siguiente ecuación cuadrática de varia-
ble x
nx2
+(n – 1)x – 1=0
se sabe que su discriminante es 9. Halle el me-
nor valor de n.
A) 2 B) – 2 C) 4
D) – 4 E) – 3

3. Álgebra
3
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12. Si a y b son las raíces no comunes de las ecua-
ciones
2x2
– 3x+1=0
3x2
– 4x+1=0
entonces, determine la ecuación con dichas
raíces.
A) x2
– 5x+1=0
B) 6x – 5x+6=0
C) 6x2
– 5x+1=0
D) 2x – 3x+1=0
E) 2x2
+3x – 6=0
NIVEL AVANZADO
13. Determine m y n para que las ecuaciones cua-
dráticas
(5m – 52)x2
– (m – 4)x+4=0 y
(2n+1)x2
– 5nx+20=0
tengan las mismas soluciones.
A) 9 y 7 B) 7 y 8 C) 12 y 8
D) 11 y 7 E) 10 y 9
14. Las raíces de la ecuación
x2
– 3x+1=0
son a y b. Determine la ecuación de raíces
(a – 2) y (b – 2).
A) x2
+x – 1=0
B) x2
– x+1=0
C) x2
+x+1=0
D) x2
– x – 1=0
E) x2
– x+3=0
15. Las raíces de x2
– 3x+n=0 se diferencian en
uno, y las de x2
+mx+m+3=0 son iguales; in-
dique un valor de mn.
A) – 12 B) 4 C) 6
D) 2 E) – 4

4. Álgebra
4
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Teoremas sobre ecuaciones polinomiales
NIVEL BÁSICO
1. Luego de resolver la ecuación x3
+12=3x2
+4x,
indique la suma de las soluciones positivas.
A) 1 B) 3 C) 5
D) 4 E) 6
2. Las raíces de la ecuación
2x3
+ax2
+bx+c=0
son 2,3 y – 1. Indique el valor de a+c.
A) 4 B) 2 C) 10
D) 20 E) – 2
3. Si a; b; c son raíces de la ecuación
x3
– 2x2
– 4x+8=0
indique el valor de a2
bc+ab2
c+abc2
.
A) – 4 B) 8 C) –12
D) –16 E) 32
4. Si el conjunto solución de la ecuación
x3
– 4x2
+3x – 6=0 es {a; b; q}. Indique el valor
de a2
+b2
+q2
.
A) 6 B) 16 C) 10
D) 8 E) 12
5. Si 1 2+ es una raíz de la ecuación de coefi-
cientes enteros 2x2
+ax+b=0,
halle el valor de a+b.
A) – 4 B) – 2 C) – 6
D) – 3 E) 3
6. Si 2 3− es una raíz de la ecuación polinomial
de coeficientes enteros 2x3
+12x2
+mx+n=0
determine el valor de la raíz entera que contie-
ne la ecuación.
A) 3 B) – 2 C) –10
D) 8 E) – 6
NIVEL INTERMEDIO
7. Determine la suma de soluciones de la ecua-
ción 2x3
– 7x2
+8x – 3=0
A) 7/2 B) – 7/4 C) 5/2
D) – 5/2 E) 3/2
8. Sean a; b; c las raíces de la ecuación
3x3
+2x2
+8x+4=0
Determine el valor de
1 1 1
a b c
+ + .
A) 2/3 B) 2 C) – 2/3
D) – 2 E) 4/3
9. Si {3; 4; a} es el conjunto solución de
x3
– 9x2
+mx+2n=0,
halle el valor de m+n.
A) 12 B) 10 C) –12
D) –16 E) 14
10. En la ecuación x3
– ax2
– 2x+6=0
dos de sus raíces son opuestas. Calcule el valor
de a.
A) 1 B) 2 C) 3
D) –1 E) – 2
11. Si dos raíces de la ecuación
3x3
+ax2
+bx+c=0; {a; b; c} ⊂ Z
son 2 y 3 2− , halle el valor de a+c.
A) – 48 B) –12 C) – 66
D) – 24 E) – 42
12. Si 1+2i es raíz de la ecuación
2x3
– 10x2
+kx+m=0,
cuyos coeficientes son números reales, calcu-
le el valor de k.
A) 11 B) 12 C) 10
D) 20 E) 22

5. Álgebra
5
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NIVEL AVANZADO
13. Si la ecuación x3
+3x2
+nx – 3=0
tiene raíces en progresión aritmética, halle el
valor de n.
A) 1
B) –1
C) 3
D) – 3
E) 2
14. Si {3; a; b} es el conjunto solución de la ecua-
ción x3
– 6x2
+kx – 3a=0, halle el valor de a.
A) 1 B) 2 C) 3
D) 4 E) 6
15. En la ecuación cúbica x3
– ax+6=0, una raíz es
el doble de la otra raíz, halle a.
A) 6 B) 7 C) – 6
D) – 6 E) 3

6. Álgebra
6
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Taller de problemas
NIVEL BÁSICO
1. El resto de la siguiente división
6
2 1
4 3 2
2
x x x ax b
x x
+ − + +
− +
es 3x+2. Halle el valor de a+b.
A) 3 B) 7 C) 5
D) 1 E) 2
2. Factorice el polinomio
x3
– 5x2
+6x – ax2
+5ax – 6a
e indique la suma de sus factores lineales.
A) 3x – a+5 B) 3x – a – 5 C) 3x+a – 5
D) 3x+a+5 E) 3x+a – 3
3. Resuelva la siguiente inecuación bicuadrada
4x4
– 13x2
+9=0
Indique una de sus soluciones.
A) 1/3 B) 2 C) –1/2
D) 3/2 E) – 4/2
4. Si 2 es solución de la ecuación x4
+36=nx2
,
indique la suma de las otras tres soluciones.
A) 3 B) – 3 C) – 2
D) 5 E) – 5
5. Sean x1; x2; x3; x4 las raíces de 2x4
– 6x2
+3=0.
Halle el valor de x x x x1
3
2
3
3
3
4
3
+ + + .
A) 4 B) 3 C) 0
D) 1 E) 6
6. Sean a; – a; b; – b las soluciones de la ecuación
3x4
– 5x2
+1=0.
Halle el valor de
1 1
2 2
α β
+ .
A) 3 B) 5 C) –1/3
D) –1/5 E) 5/3
NIVEL INTERMEDIO
7. Luego de efectuar la siguiente división
4 2
2 3
5 3
x x x
x
− +
+
determine la suma del término independiente
del cociente con el resto.
A) – 8 B) –16 C) 32
D) – 20 E) – 24
8. Halle el resto de la siguiente división.
5 3 6 3
1
12 7 2
2
x x x x
x
− − − +
+
A) 4x+12
B) 2x+14
C) 2x – 8
D) 4x – 10
E) 13x+9
9. Si (x+1) es un factor de x2
+ax+6, y 2x – 1 es un
factor de bx2
+5x – 4, calcule el valor de a+b.
A) 5 B) 6 C) 13
D) 11 E) 9
10. Indique un factor primo de
P(x; y)=(x – 1)(y2
– 4)+(x2
– 1)(y – 2)
A) x – 2
B) y+1
C) x+y – 2
D) x+y+3
E) x+3
11. Si los cuadrados de las 2 raíces reales de la
ecuación x2
+x+c=0 suman 9, halle el valor
de c.
A) – 5
B) – 4
C) 4
D) 5
E) 3

7. Álgebra
7
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12. Sea {a; – a; b; – b} el conjunto solución de la
ecuación x4
– 5x2
+3=0.
Halle el valor de a4
+b4
.
A) 17 B) 21 C) 13
D) 19 E) 23
NIVEL AVANZADO
13. La siguiente división
2 5
3 2
15 7
2
x x ax b
x x
− + +
− +
es exacta. Halle el valor de a+b.
A) 1 B) 3 C) – 3
D) 2 E) 2
14. Determine el término lineal de uno de los fac-
tores primos de P(x)=x4
+3x2
+4.
A) 2x B) – 2x C) x
D) 3x E) – 3x
15. La suma de los cuadrados de 3 números im-
pares positivos y consecutivos excede en 170
al cuadrado del segundo de ellos. ¿Cuál es la
suma de los dos menores?
A) 24 B) 16 C) 20
D) 12 E) 28

8. Álgebra
8
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Desigualdades e intervalos
NIVEL BÁSICO
1. Determine la secuencia correcta de verdad (V)
o falsedad (F) de las siguientes proposiciones.
I. 3 ≥ 3
II. 0 ≤ 0
III. – 5 > – 2
IV. – 3 ≤ 1
A) VVVV B) VVFF C) VVFV
D) FFFV E) FFFF
2. Indique la cantidad de elementos enteros que
contiene el intervalo A=〈– 3; 2].
A) 3 B) 4 C) 5
D) 6 E) 7
3. Determine el mayor elemento del intervalo
A=〈3; 5〉
A) 5 B) 4 C) 4,1
D) 4,9 E) No tiene
4. Sean los intervalos A=[– 3; 7] y B=〈1; 10〉.
Halle la suma de los elementos enteros de
A ∩ B.
A) 28 B) 27 C) 36
D) 35 E) 21
5. Sean los intervalos
A=〈–1; 7〉
B=〈3; 15〉
Halle la longitud de A – B.
A) 3 B) 2 C) 4
D) 5 E) 6
6. Sean los conjuntos
A={x ∈ R/3 < x ≤ 6}
B={x ∈ Z/5 ≤ x < 11}
Halle A ∩ B.
A) [5; 6] B) 〈5; 6] C) [5; 6〉
D) 〈5; 6〉 E) {5; 6}
NIVEL INTERMEDIO
7. Determine cuántas proposiciones son correctas.
I. p > 3; 14
II.
2
3
5
7
<
III. − < −
3
5
1
2
IV.
1
3
0 33> ,
A) 0 B) 1 C) 2
D) 3 E) 4
8. Dado los conjuntos
A={x ∈ R/–1 ≤ x < 5}
B={x ∈ R/5 ≤ x < 7}
Halle A ∪ B.
A) 〈–1; 7〉
B) [–1; 6]
C) 〈–1; 5〉
D) [–1; 7〉
E) [–1; 7] – {5}
9. Sean los intervalos
A=〈– 3; 10]
B=〈2; 5]
Halle la longitud del intervalo A – B.
A) 5 B) 8 C) 10
D) 6 E) 12
10. Sean
A=〈– ∞; 3]
B=〈9; +∞〉
Indique el intervalo AC
∩ BC
.
A) f B) 〈3; 9] C) [3; 9〉
D) 〈3; 9〉 E) [3; 9]

9. Álgebra
9
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11. Sean
A=〈–1; 3]
B=〈– 3; 0〉
C=〈2; 3〉
Indique la cantidad de enteros que posee
(A ∪ B) – C.
A) 4 B) 5 C) 6
D) 7 E) 8
12. Sean
A=〈– 3; 10〉
B=〈3; 13]
C=〈–1; 5]
Indique la cantidad de enteros que posee el
intervalo A ∩ B ∩ C.
A) 1 B) 2 C) 3
D) 4 E) 5
NIVEL AVANZADO
13. Dado los intervalos
A=[– 2; 6〉
B=〈1; 10]
C=〈4; +∞〉
Halle el intervalo (A ∩ B) – C.
A) 〈1; 3]
B) 〈1; 6〉
C) 〈1; 4]
D) [1; 4〉
E) 〈1; 4〉
14. Si
A=〈– ∞; 3] y
B=〈3; 5〉,
indique el intervalo (B – A) ∪ (A – B).
A) [3; 5〉
B) [4; 5〉
C) 〈3; 5〉
D) 〈– ∞; 5〉
E) 〈– ∞; 3]
15. Si
A=〈– 3; 2〉 ∪ 〈5; 7] y
B=〈1; 6〉,
indique un intervalo de (A – B) ∪ (B – A).
A) 〈– 3; 0〉
B) 〈5; 7〉
C) 〈5; 6〉
D) 〈1; 2〉
E) [6; 7]

10. Álgebra
10
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Desigualdades I
NIVEL BÁSICO
1. Sabiendo que x ∈ 〈– 2; 1].
Determine la variación de f(x)=5 – 3x.
A) [2; 11〉
B) 〈2; 11]
C) 〈–18; 9]
D) [–18; 9〉
E) 〈– 9; 10]
2. Sea f(x)=2x – 3, además, f(x) ∈ 〈7; 11],
indique la variación de x.
A) 〈2; 4] B) [2; 4〉 C) 〈5; 7]
D) [5; 7〉 E) 〈11; 14]
3. Sabiendo que – 2 < x < 3,
calculemos la variación de f
xx( ) =
+
12
3
.
A) 〈2; 12〉 B) 〈6; 12〉 C) 〈3; 8〉
D) 〈2; 6〉 E) 〈6; 12〉
4. Si – 2 < x < 1, halle la variación de g
x
x( ) .=
+2
4
2
A) 〈2; 4〉 B) [2; 4〉 C) [2; 4]
D) [4; 8〉 E) [4; 8]
5. Si x ∈ 〈2; 3〉, indique la variación de la expresión
P
x
x( ) =
+
10
12
A) 〈1; 2〉 B) 〈1; 3〉 C) 〈2; 3〉
D) [1; 2] E) [1; 3]
6. Determine la suma del mayor y menor valor
entero que alcanza la expresión
6
1x −
si x ≥ 3.
A) 2 B) 3 C) 4
D) 5 E) 6
NIVEL INTERMEDIO
7. Si 3x – 1 ∈ [– 4; 5], calcule la longitud del inter-
valo de variación de
3
2
− x
.
A) 1 B) 2 C) 3/2
D) 5/2 E) 3
8. Si 0 < a < 1, señale la secuencia correcta de
verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes pro-
posiciones.
I. a2
> 2a
II.
1
a
a>
III. a a<
A) VVV B) VFV C) FVF
D) VFF E) FFV
9. Sean los conjuntos
A x
x
= ∈
−
≤{ }R
3
2
1
B={x ∈ R/2x+1 > 3}
Halle A ∩ B.
A) 〈3; 7] B) 〈1, 5] C) [3; 5〉
D) [1; 3〉 E) [5]
10. Indique el equivalente del conjunto
A={x ∈ R/x – 3 ≥ – 5 ∧ 2 – x > –1}
A) [– 2; 3〉 B) [– 8; 0〉 C) 〈– 2; 3]
D) 〈– 2; 3〉 E) 〈– 8; 0]
11. Determine el cardinal del conjunto
A
x
x= ∈ ≤ ≤{ }3
3 24 12Z
A) 17 B) 18 C) 19
D) 9 E) 10
12. Si x ∈ 〈– 3; 3〉, halle la variación de la expresión
f(x)=x2
+2x
A) 〈0; 15〉 B) [–1; 15〉 C) 〈–1; 15〉
D) [0; 15〉 E) [0; 16〉

11. Álgebra
11
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NIVEL AVANZADO
13. Si x ≤ 2, calcule la variación de f
x
xx( ) =
−
−
2
3
.
A) 〈– ∞; 1〉
B) 〈– ∞; 0]
C) 〈0; +∞〉
D) [1; +∞〉
E) [0; 1〉
14. Determine la longitud del intervalo de la
variación de
10
4 52
x x+ +
si consideramos
que x ∈ 〈– 5; – 3〉
A) 5
B) 6
C) 4
D) 8
E) 10
15. Se sabe que1
6
3
≤
−x
.
Determine la longitud del intervalo de variación
de la expresión x(x – 2).
A) 63
B) 59
C) 60
D) 54
E) 67

12. Anual Integral
Ecuación cuadrática II
01 - B
02 - C
03 - C
04 - D
05 - E
06 - E
07 - B
08 - E
09 - B
10 - D
11 - D
12 - C
13 - D
14 - A
15 - E
01 - B
02 - C
03 - C
04 - D
05 - E
06 - E
07 - B
08 - E
09 - B
10 - D
11 - D
12 - C
13 - D
14 - A
15 - E
Teoremas sobre ecuaciones polinomiales
01 - C
02 - A
03 - D
04 - C
05 - C
06 - C
07 - C
08 - D
09 - E
10 - C
11 - C
12 - E
13 - B
14 - B
15 - B
01 - C
02 - A
03 - D
04 - C
05 - C
06 - C
07 - C
08 - D
09 - E
10 - C
11 - C
12 - E
13 - B
14 - B
15 - B
Desigualdades e intervalos
01 - C
02 - C
03 - E
04 - B
05 - C
06 - E
07 - E
08 - D
09 - C
10 - B
11 - C
12 - B
13 - C
14 - D
15 - E
01 - C
02 - C
03 - E
04 - B
05 - C
06 - E
07 - E
08 - D
09 - C
10 - B
11 - C
12 - B
13 - C
14 - D
15 - E
Desigualdades I
01 - A
02 - C
03 - A
04 - B
05 - A
06 - C
07 - C
08 - C
09 - B
10 - A
11 - C
12 - B
13 - E
14 - C
15 - C
01 - A
02 - C
03 - A
04 - B
05 - A
06 - C
07 - C
08 - C
09 - B
10 - A
11 - C
12 - B
13 - E
14 - C
15 - C
Taller de problemas
01 - B
02 - B
03 - D
04 - C
05 - C
06 - B
07 - D
08 - B
09 - C
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