1. El documento presenta 6 problemas de álgebra de nivel básico, 6 de nivel intermedio y 3 de nivel avanzado. Los problemas involucran expresiones matemáticas, polinomios y su evaluación para diferentes valores. 2. Los problemas van desde determinar valores para expresiones dadas hasta identificar propiedades de polinomios como su grado o coeficientes. 3. Los niveles van incrementando la complejidad al involucrar más pasos de cálculo o relaciones entre polinomios.

1. 2
2
Preguntas propuestas
Preguntas propuestas

2. Álgebra
2
Expresiones matemáticas
NIVEL BÁSICO
1. Si se sabe que
S(x – 3)=x2
+1
M(x+2)=3x+2
determine el valor de S(0)+M(5).
A) 24 B) 20 C) 23
D) 21 E) 17
2. Sea la expresión matemática
f
x x
x x
x
( )
;
;
=
+ >
+ <



2 1 2
5 2
Calcule
f f
f f
( ) ( )
( )
5 0
2
3
+
−
−
( )
A) 1 B) 4 C) 3
D) – 1 E) – 2
3. Sea P(x – 1)=x2
+2nx+6,
además, P(1)=18.
Calcule el valor de P(0).
A) 6 B) 12 C) 9
D) 13 E) 11
4. Sean los polinomios
S P Q
x x x
( ) ( )
= + 





2
2
P(x+1)=x2
+x
Q(x – 1)=3x+1
Calcule el valor de S(2).
A) 15 B) 16 C) 17
D) 18 E) 19
5. Si se sabe que
f(x – 2) – f(x)=3x+1
además f(1)=3
calcule el valor de f(7).
A) 18 B) – 35 C) 27
D) – 45 E) – 32
6. Si se sabe que
S(x – 3)=2x+5
L(3x)=18x2
+1
calcule el valor de S(2)+L(2).
A) 24 B) 22 C) 18
D) 27 E) 19
NIVEL INTERMEDIO
7. Sean los polinomios
P(x)=x2
+2x+6
Q(x)=x2
– 4x+10
Calcule P Q
3 2 1 3 2 2
+ −
( ) − +
( )
+ .
A) 17 B) 12 C) 19
D) 21 E) 23
8. Si
P x x
x x x x
3 3
9 9 3 3 2
+ −
( )
− −
= + + + +
halle el valor de P(5).
A) 25 B) 27 C) 32
D) 30 E) 6
9. Si se sabe que
P
x x
x
( ) =
+
2
2
2
Calcule el valor de P(1)+P(2)+P(3)+P(4)+P(5).
A) 1 B) 50/21 C) 50/47
D) 25/21 E) 3/2
10. Indique el valor de la expresión
A(1; 1)+A(2; 2)+A(3; 3)+ ... +A(10; 10)
si se sabe que A x
y
x
y
x y
( ; ) = +





 − −






2
4
2
4
2 2
.
A) 625
B) 729
C) 770
D) 698
E) 824

3. Álgebra
3
11. Sea la expresión matemática
P x
x x
( )
− =
+





 +
−














1 9
5 3
6
5 3
6
Calcule el valor de P(1).
A) 1 B) 2 C) 3
D) 4 E) 6
12. Si P(x)=x2
– x+2,
calcule el valor de
P(1)+P(2)+P(3)+ ... +P(10)
A) 330 B) 320 C) 350
D) 380 E) 310
NIVEL AVANZADO
13. Sea
P x y
x y
( ; ) = + 2
Calcule el valor de
P(4; 3) – P(5; 6)+P(6; 8)
A) 1 B) 2 C) 3
D) 4 E) 5
14. Si P(x)=ax2
+b,
además, P(2)=14
4P(1)+P(0)=22
calcule P(3).
A) 27
B) 29
C) 32
D) 30
E) 36
15. Sea P(x)=ax
+bx
,
además, P(1)=3; P(2)=7.
Determine el valor de P(3).
A) 16
B) 21
C) 14
D) 18
E) 12

4. Álgebra
4
Polinomios I
NIVEL BÁSICO
1. ¿Cuántas de las siguientes expresiones son po-
linomios?
I. S x x
x
( ) = − +
3 2
2 3
II. Q
x
x
x
x
( ) =
−
+
+ +
1
1
3 2
III. L x x
x
( ) = + + +
2
1 1
IV. R x xy
y
x y
( ; ) = + −
3
2
2
3
2
V. M x x
x
( ) = + +
−
3 5 2
1
1
2
A) 1 B) 2 C) 3
D) 4 E) 5
2. Respecto al siguiente polinomio
P(x)=2x3
+x2
+x4
– 11+3x
indique cuántas proposiciones son correctas.
I. Su grado es 3.
II. Su coeficiente principal es 2.
III. El término independiente es 11.
IV. El polinomio no es mónico.
A) 0 B) 1 C) 2
D) 3 E) 4
3. El siguiente polinomio
P(x)=(2a – 6)x3
+(a – 1)x2
– x+5
es cuadrático. Halle P(3).
A) 20 B) 15 C) 7
D) 11 E) 12
4. La siguiente expresión
P(x)=3xn – 1
+2x2
– xn+1
+n+6
es un polinomio cúbico. Calcule el valor de
P(2).
A) 24 B) 14 C) 18
D) 68 E) 32
5. Determine el grado del siguiente polinomio
P x x x
x
n n
n
( ) = + −
− −
+
7 10 3
1
3 5
A) 1 B) 2 C) 3
D) 4 E) 5
6. Respecto al siguiente polinomio
Q(x+2)=3x+10
indique la secuencia correcta de verdad (V) o
falsedad (F).
I. Su variable es x.
II. Su término independiente es 2.
III. La suma de coeficientes es 13.
A) FFV B) VFV C) FVV
D) FVF E) FFF
NIVEL INTERMEDIO
7. Sean los polinomios
P(x – 3)=2x
Q(x+2)=x – 4
Halle P(x)+Q(x).
A) 3x B) 3x – 4 C) 3x+1
D) 3x – 1 E) 3x – 3
8. Si f(x)=3x
determine el equivalente de
5 7
1
1
f f
f
x x
x
( ) ( )
( )
+
−
−
A) 12 B) 18 C) 21
D) 24 E) 30
9. Sea P(2x – 3)=6x+5.
Determine la expresión P(x+1).
A) 6x+14
B) 3x+14
C) 3x+11
D) 3x – 12
E) 3x+17

5. Álgebra
5
10. Si se sabe que
P
x x
5
1
10
3
−





 = +
halle P(x).
A) 2x+5 B) 4x+3 C) 4x+5
D) 2x+3 E) 2x+1
11. Si se sabe que
P(2x)=8x+5
Q(x – 1)=3x
halle PQ x
( )
( ).
A) 6x+9 B) 12x+1 C) 9x – 3
D) 15x E) 12x+17
12. Si se sabe que
P(x)=x+3
f(x)=x2
+2
determine la expresión
P f
f x P x
( ) ( )
( ) ( )
+
A) 2x2
+6x+16
B) 2x2
+6x+10
C) 2x2
+16x+16
D) 2x2
+12x+6
E) 2x2
+6x+8
NIVEL AVANZADO
13. El siguiente polinomio es cuadrático, mónico y
carece de término lineal.
P(x)=3x+(a – 2)xn – 1
– bx+n+ab
Halle P(2).
A) 11 B) 16 C) 14
D) 20 E) 10
14. Si M(x – 2)=x2
+x
además M(3x)=ax2
+(a+b)x+b
halle ab.
A) 45 B) 48 C) 42
D) 54 E) 64
15. Si
f x
x
x
x
−






= + +
1
2
2
1
1
Indique el valor de f(a+1) – f(a – 1).
A) 2a
B) 4a
C) 2a2
D) 4a2
E) 2

6. Álgebra
6
Polinomios II
NIVEL BÁSICO
1. Si la siguiente expresión es un polinomio nulo,
P(x)=(a – 5)x2
+bx+2x+3c – 12
indique el valor de a+b+c.
A) 11 B) 9 C) 6
D) 7 E) 10
2. La siguiente expresión es un polinomio orde-
nado
P(x)=x4
+6x2n – 6
+3x5 – n
+2n – 1
Indique el término independiente de P.
A) 8 B) 7 C) 5
D) 3 E) 1
3. La siguiente expresión
7 1
2 1 1
x
x x
+
− +
( )( )
se descompone en la siguiente suma
A
x
B
x
2 1 1
−
+
+
indique el valor de A+B.
A) 3 B) 1 C) 4
D) 5 E) 2
4. La suma de coeficientes del siguiente polino-
mio es 39.
P(x – 1)=3nx2
+7x+n – 1
Indique el término independiente de P.
A) 14 B) 12 C) 1
D) 10 E) 6
5. Se sabe que P(x) es un polinomio cuadrático,
cuyo coeficiente principal es 2, que carece de
término lineal y su término independiente es
– 3. Halle P(5).
A) 58 B) 53 C) 47
D) 22 E) 7
6. Si la siguiente expresión se reduce a un solo
término
M(x)=5x2n+3
+(n+1)xn+7
– mnx3m+2
halle dicho término.
A) – 2x11
B) 5x7
C) 11x10
D) 3x11
E) 13x10
NIVEL INTERMEDIO
7. La expresión
P(x)=(a – 1)x2
+(b – 2)x+c – 3
es un polinomio constante tal que
2P(1)+P(2)=12
Halle el valor de P(3)+a+b+c.
A) 12 B) 14 C) 11
D) 10 E) 16
8. Los siguientes polinomios son idénticos
P(x)=(32x – 63)2
+12x+7
Q(x)=ax2
+(b – 1)x+c – 2
Determine el valor de 4a+2b+c.
A) 32 B) 30 C) 36
D) 42 E) 28
9. Si se cumple que
(3x – 1)3
+(2x – 1)2
≡ ax3
+bx2
+cx+d
indique el valor de b+d.
A) 17
B) – 19
C) – 21
D) 23
E) – 23
10. La suma de coeficientes del siguiente polino-
mio es igual a 34.
P(x)=(2x – 1)n – 1
+(2x – 3)2n
+(3x – 1)n+1
Halle el grado del polinomio.
A) 3 B) 5 C) 8
D) 9 E) 7

7. Álgebra
7
11. La suma de coeficientes del polinomio P es
11, además P(3)=5. Halle el valor de a+b si se
cumple que
P(3x – 5) – 2P(x+1) ≡ ax+2b
A) 1 B) 1/2 C) 2
D) 3/2 E) – 1
12. Calcule a+b+c si se cumple
a(x – 1)(x+1)+b(x+2)(x – 1)+
+c(x+1)(x+2) ≡ 6x2
+11x+1
A) 3 B) 5 C) 7
D) 6 E) 10
NIVEL AVANZADO
13. Se tiene que
P(x – 2) ≡ Q(x – 3)+P(x – 4)
Además Q(x+1)+P(x) ≡ 2P(x+2)
Halle P(4).
A) 6 B) 1 C) – 1
D) 0 E) 2
14. En el polinomio
P(2x – 1)=(4x – 3)n
+(2x)n
– 128(4x – 1)
la suma de coeficientes y el término indepen-
diente suman 1. Halle n si este es impar.
A) 7 B) 5 C) 9
D) 11 E) 13
15. Sea P(x) un polinomio con término indepen-
diente igual a 15, tal que
P P aP
x x
1 5
−
( )= −
( ) ( )
Halle P(2)+P(x).
A) – 20x+10
B) – 20 – 5
C) 20x – 15
D) – 20x – 10
E) 20x+13

8. Álgebra
8
División algebraica I
NIVEL BÁSICO
1. Respecto a la siguiente división
x x x m
x ax b
5 4
2
3
− − +
+ +
indique la secuencia correcta de verdad (V) o
falsedad (F).
I. El cociente es un polinomio cúbico.
II. El residuo es de grado 2.
III. El grado del residuo puede ser cero.
IV. El grado del cociente puede ser 2.
A) VVFV B) VFVF C) VVVF
D) VFVV E) FVVF
2. En la siguiente división
3 6
2
x mx n
x x
+ +
−
se obtiene como residuo R(x)=7x+2. Indique
el valor de m+n.
A) 3 B) 4 C) 5
D) 6 E) 9
3. Determine la diferencia del cociente con el
resto de la siguiente división.
x x
x x
2 4
2
4 8
2 3 1
+ +
− +
A) 2x2
– 6x
B) x2
+9x
C) x2
+11x
D) x2
+x
E) x2
+6x
4. Determine la suma de los términos lineales del
cociente y del resto de la siguiente división.
9 6 7
3 1
5 2
2
x x x
x
+ +
+
A) x B) 2x C) 3x
D) 4x E) 5x
5. El polinomio 2x4
– 5x3
+ax+b es divisible entre
(x – 2)2
. Halle b – a.
A) 15 B) 16 C) 20
D) 23 E) 25
6. El resto de la siguiente división es R(x)=x+9
x x x mx n
x x
4 3 2
2
2 3
2 1
+ + + +
+ −
Halle m+n.
A) 6 B) 10 C) 12
D) 14 E) 15
NIVEL INTERMEDIO
7. Halle el resto de la siguiente división.
ax a x a x x
ax a x
4 3 2
2
2 1 1 3 1
1 2
− + + − + +
− + −
( ) ( )
( )
A) ax+1 B) x – 1 C) x+1
D) x+3 E) x+a
8. La siguiente división tiene como resto
R(x)=x+5.
2 5 5 2
2 3
5 4 3 2
2
x x ax bx x
x x
+ + + + +
+ −
Halle el valor de ab.
A) 15 B) 13 C) 11
D) 17 E) 14
9. Luego de efectuar la siguiente división se obtu-
vo como residuo R(x)=7x+c.
5
3 4 1
4 2
2
x ax bx c
x x
+ − +
+ +
Halle a+b.
A) 1
B) 11
C) – 12
D) 16
E) – 8

9. Álgebra
9
10. Luego de efectuar
3 5 2 18 2 4
2
4 3 2 2
2
x x y x x y
x x y
+ + − + + −
+ −
( )
la suma de los coeficientes del resto es igual a
– 16. Halle la suma de coeficientes del cociente.
A) 16 B) 17 C) 18
D) 19 E) 20
11. Luego de efectuar
3 7 3 4
2
12 6 3
6 3
x x x
x x
− + −
− −
la suma del cociente y resto es ax6
+bx3
+c.
Halle el valor de abc.
A) 64 B) 84 C) 80
D) 81 E) 90
12. Halle la suma de los coeficientes del cociente
de la siguiente división.
2 1
1
20
2
x
x
+
−
A) 24
B) 20
C) 8
D) 10
E) 12
NIVEL AVANZADO
13. Luego de efectuar
6 8
3 2 1
5 4 3 2
2
x x ax bx bx a
x x
+ + + + +
− +
se observa que los coeficientes del cociente
están en razón geométrica. Halle el resto.
A) 60x+2 B) 17x+32 C) 64x+48
D) 34x+19 E) 72x+18
14. Determine el resto de la siguiente división
x x x
x x
3 2 3 5
2 3
2 1
−
( ) + −
( )
−
( ) −
( )
A) 32x+15 B) 32x – 15 C) 32x – 65
D) 32x+65 E) 6x – 12
15. El resto de la siguiente división es
R(x)=2x+1
ax bx x x
x x
4 3 2
2
35 5 3
1 5 3
+ − + +
− −
Halle ab.
A) 300 B) 500 C) 360
D) 510 E) 560

10. Álgebra
10
División algebraica II
NIVEL BÁSICO
1. Efectúe
6 4 4 3
2 1
4 2 5
x x x x
x
− + +
−
e indique la suma de coeficientes del cociente.
A) 16 B) 14 C) 12
D) 8 E) 18
2. En la siguiente división
3 4 1
3 2
4 3 2
x x x px
x
− + + +
+
el residuo es 5. Indique el valor de p+1.
A) 0 B) – 1 C) 1
D) – 2 E) – 3
3. Luego de efectuar la división
6 9 1
3 1
20 16 12 4
4
x x x x
x
+ − + +
−
indique la adición de la suma de coeficientes
del cociente y del resto.
A) 6 B) 12 C) 22
D) 20 E) 10
4. Efectúe
6 2 8 5
1
2
4 3 2
x x x x
x
+ + + +
−
e indique el término lineal del cociente.
A) 2x B) 4x C) 6x
D) 5x E) 10x
5. Halle el resto de la siguiente división.
2 3 2 1
1
13 6
2
x x x
x
+ + −
−
A) 6 B) 3x+3 C) 4x+2
D) 2x+4 E) x+5
6. Halle el resto al dividir
8 1 1 2 1
3
17 20
( ) ( )
x x x
x
− − − + +
−
A) 1025 B) 7 C) 9
D) 14 E) 17
NIVEL INTERMEDIO
7. Halle el resto de la siguiente división.
3 1 2 2 3 3
1 3
4 3 2
+
( ) − + + −
( ) −
+ −
x x x x
x
A) 0 B) 1 C) – 1
D) 2 E) – 2
8. Calcule el resto de la siguiente división
2 3
2 2
10
x ax
x
+ +
−
si la suma de coeficientes del cociente es 15.
A) 7
B) 15
C) 10
D) 20
E) – 5
9. Halle el resto de la siguiente división.
a x ab a x bx a x a a x
abx b
2 5 4 3 3 2 2
5
+ − − + + − +
−
( ) ( )
A) 3 B) 2a C) 5
D) 6 E) – 1
10. Halle el resto de
3 1
1
9 5 3
2
x x x
x x
− + −
+ +
A) x
B) x+2
C) x+4
D) x – 2
E) x – 3

11. Álgebra
11
11. Si la siguiente división es exacta
ax bx c
x
7
1
+ +
−
determine el valor de
a b c
abc
3 3 3
+ +
A) 1 B) 3 C) 6
D) 27 E) 9
12. En la división
x n x n
x
n+
− + + +
−
1
2 1
1
( )
el término independiente del cociente es – 10.
Halle el valor de n.
A) 5 B) 11 C) 10
D) 9 E) 8
NIVEL AVANZADO
13. Halle el valor de n en el polinomio
P(x)=x5
+3x2
+nx+1
si se sabe que al dividirlo entre x – 1 el resto
obtenido es igual al que resulta al dividirlo
entre x+1.
A) 1
B) – 1
C) 2
D) – 2
E) 3
14. Halle el término independiente del cociente
de la siguiente división.
( )
x x
x
− + +
−
1 3 1
2
7 2
A) 6
B) – 3
C) 5
D) 7
E) 1
15. Halle el resto en
x x x x x x
x x
5 5 2 6 2
2
1 2 2 3 1
1
( ) ( )
+ + + − + − +
+ −
A) – x+3
B) – 2x+4
C) – x+6
D) – x+4
E) – x+1

12. Anual SM
01 - d
02 - b
03 - e
04 - b
05 - c
06 - b
07 - c
08 - b
09 - d
10 - c
11 - b
12 - d
13 - b
14 - d
15 - b
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