1. El documento resuelve una inecuación y determina su conjunto solución, que está dado por el intervalo (-∞; 5).
2. Determina el dominio de una función, que es R-{0}, y concluye que la función es impar.
3. Estudia la continuidad de una función dada por tramos y concluye que no es continua.
4. Calcula el límite en un punto de una función racional y concluye que el límite existe y es igual a 1/2.
EL INFINITO es una idea muy especial. Sabemos que no podemos alcanzarlo, pero podemos calcular el valor de funciones que tienen al infinito dentro.
Vamos a empezar con un ejemplo interesante.
• Pregunta: ¿Cuál es el valor de 1/∞?
• Respuesta: ¡No lo sabemos!
¿Por qué no lo sabemos?
La razón más simple es que infinito no es un número, es una idea.
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Resolviendo problemas de limites de sucesiones al infinitoGuzano Morado
Resolveré 3 ejercicios de limites de sucesiones cuando n tiende al infinito. Son ejercicios básicos ideales para quienes desean comprender estos problemas en 3ro de bachillerato.
EL INFINITO es una idea muy especial. Sabemos que no podemos alcanzarlo, pero podemos calcular el valor de funciones que tienen al infinito dentro.
Vamos a empezar con un ejemplo interesante.
• Pregunta: ¿Cuál es el valor de 1/∞?
• Respuesta: ¡No lo sabemos!
¿Por qué no lo sabemos?
La razón más simple es que infinito no es un número, es una idea.
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Resolviendo problemas de limites de sucesiones al infinitoGuzano Morado
Resolveré 3 ejercicios de limites de sucesiones cuando n tiende al infinito. Son ejercicios básicos ideales para quienes desean comprender estos problemas en 3ro de bachillerato.
1. RESOLUCIÓN PRIMER PARCIAL MAT. 1101 “G”
x 2 − 4x − 5 x 2 − 10x + 25
1.- Resolver: 〈 .... . . . ∀ x ∈ R
x − 1 x+ 3
Solución:
Usando la propiedad: a
2
= 2
a
para que desaparezca el valor absoluto de la inecuación:
2. ( )( )
2 2 2 2 2
x − 4x − 5 x − 10x + 25 x − 4x − 5 x2 − 10x + 25 x2 − 4x − 5 x2 − 10x + 25
2 2 2 2
〈 ⇒ 〈 ⇒ 2 〈 2
x − 1 x + 3 x − 1 x + 3 ( x − 1) ( x + 3)
Factorizando :
( x + 1) ( x − 5) 2 〈 ( x − 5) ( x − 5) 2 ⇒ ( x + 1) 2( x − 5) 2 〈 ( x − 5) 2( x − 5) 2
( x − 1) 2 ( x+ 3) 2 ( x − 1) 2 ( x+ 3) 2
E liminamdo _ ter min os _ Semejantes :
( x + 1) 2 〈 ( x − 5) 2 ⇒ ( x + 1) 2( x + 3) 2〈 ( x − 5) 2( x − 1) 2
( x − 1) 2 ( x+ 3) 2
x〉 0. . . . +
Aplicando la regla de los signos:
Considerando : x = x = 0
x〈 0. . . . −
Se _ formaran _ dos _ inecuaciones :
a). .Con : x〉 0. . . . +
( x + 1) 2( x + 3) 2〈 ( x − 5) 2( x − 1) 2 ⇒ ( x2 + 2x + 1)( x2 + 6x + 9) 〈 ( x2 − 10x + 25)( x2 − 2x + 1)
x4 + 8x3 + 22x2 + 24x + 9〈 x4 − 12x3 + 46x2 − 60x + 25
( )
20x3 − 24x2 + 84x − 16〈 0 ⇒ 4 ⋅ ( 5x − 1) x2 − x + 4 〈 0
Sean _ las _ raizes :
1 1± 1− 4
x1 = . . . y. . . . x2y3 = . .∉ R.
5 2
1
Comprobando para el intervalo: ∞5
− ;
.......Para : x =0
3. 20x3 − 24x 2 + 84x − 16〈 0
20 ⋅ 03 − 24 ⋅ 02 + 84 ⋅ 0 − 16〈 0
− 16〈 0. . V
Lo que es verdad, por regla de los signos, el intervalo que sigue será un intervalo no
solución.
a). .Con : x〈 0. . . . . −
( x + 1) 2( x + 3) 2〈 ( x − 5) 2( − x − 1) 2 ⇒ ( x2 + 2x + 1)( x2 + 6x + 9)〈 ( x2 − 10x + 25) ( x2 + 2x + 1)
x4 + 8x3 + 22x2 + 24x + 9〈 x4 − 8x3 + 6x2 + 40x + 25
16x3 + 16x2 − 16x − 16〈 0 ⇒ 16 ⋅ ( x − 1) ( x + 1) ( x + 1) 〈 0
Sean _ las _ raizes :
x1 = 1. . . . y. . . . . x2y3 = − 1
Aplicando la regla de los signos:
Comprobando para el intervalo: ] 1 1 .......Para
− ; [ : x =
0
16x3 + 16x 2 − 16x − 16〈 0
16 ⋅ 03 + 16 ⋅ 02 − 16 ⋅ 0 − 16〈 0
− 16〈 0. . V
4. Lo que es verdad, por regla de los signos, el intervalo que sigue será un intervalo no
solución.
La solución déla inecuación estará dada por la graficas:
1
∴Cs = − ∞
;
5
2.- Determinar el dominio de la función, e indicar si la función es PAR o IMPAR.
1
( )
f ( x ) = x ⋅ x + ⋅ sen x 2
x
Solución:
2n − a
a
Las condiciones para hallar dominios de funciones son: f ( x ) = en caso de que
0
ln( − a )
alguna de estas condicione aparezca, no da a entender que en esos valores la función no
tiene su dominio.
Como se puede observa en la expresión lo único que se debe evitar es la división por cero.
∴Df = x ∈ / x ≠}
{∀ R 0
Para saber si es una función par o impar se debe considerar lo siguiente:
De la definición de función PAR: f ( x ) = (x )
− f
De la definición de función IMPAR: f ( x )= f ( )
− − x
5.
f ( − x ) = − x ⋅ x +
1
( ) 1 1
⋅ sen ( − x ) ⇒ f ( − x ) = − x ⋅ x + ⋅ sen x ⇒ f ( x ) = − x ⋅ x + ⋅ sen x
−x
2
x
2
x
( )
2
( )
Como puede observarse la función es impar.
x. . . . . Si x ≥ 1
3.-Estudiar la continuidad de la función: h( x ) = 2
x − 1. . .Si x 〈 1
Solución:
x〉 0
x
Para: x. . . . . Si x ≥ 1⇒ sea : y = x _ pero : x = x = 0 ⇒ y =
x〈 0 − x
x〉 0
x≥ 1
De las condiciones: x ≥ 1⇒ pero: x = x = 0⇒ x =
x〈 0 x −≤ 1
De la misma forma para: x2 − 1. . .Si x〈 1 ⇒ sea : y = x2 − 1
6. x〉 0
x〈 1
De las condiciones:
x〈1⇒ pero: x = x= 0 x =⇒
x〈 0 x〉 − 1
Graficando ambas funciones dadas por tramos, se observa que la función no es continua.
Ya que no cumple las condiciones de continuidad:
a) _ f ( a ) = No _ existe
lim f ( x )
b) _ = No _ existe
x→ a
lim f ( x )
c) _ f ( a ) ≠
x→ a
7. 1 −cos x
4.- Sea la función: f ( x) = , hallar el limite en x =0
si existe. Sugerencia:
senx
Hallar y analizar los limites laterales.
Solución:
1 −cos x 1 −cos 0 1− 1 0
lim f ( x ) =lim ⇒ =
L ⇒L = ⇒L = , existirá una
x→0 x→0 senx sen0 0 0
indeterminación, la cual aremos desaparecer, utilizando un artificio matemático:
1 − cos x 1 − cos x 1 − cos x 1 − cos x
lim f ( x ) = lim ⇒lim ⇒lim ⇒lim
x→0 x→0 senx x→ 0 sen 2 x x→ 0 1 − cos 2 x x→ 0 (1 − cos x )(1 + cos x )
1 1 1
lim ⇒L = ⇒L = ±
x→0 (1 + cos x ) 1 + cos 0 2
Como sabemos, el límite existiera si y solo si, los limites, laterales son iguales, es decir el
límite por izquierda es igual al límite por derecha:
lim f ( x ) = lim f ( x ) − +
x→0 x→0
Resolviendo los límites laterales:
Por la propiedad del coseno: ( cos −) =
x cos x
a)
1 − cos x 1 − cos x 1 − cos x 1 − cos x
lim f ( x ) = lim ⇒ lim ⇒ lim ⇒ lim
x→ −
0 −
x→0 senx x→ −
0 sen 2 x x→ −
0 1 − cos 2 x x→ −
0 (1 − cos x )(1 + cos x )
1 1 1
lim ⇒L = ⇒L = ±
x→ −
0 (1 + cos x ) 1 + cos( − 0 ) 2
b)
1 − cos x 1 − cos x 1 − cos x 1 − cos x
lim f ( x ) = lim ⇒ lim ⇒ lim ⇒ lim
x→ +
0 +
x→0 senx x→ +
0 sen 2 x x→ +
0 1 − cos 2 x x→ +
0 (1 − cos x )(1 + cos x )
1 1 1
lim ⇒L = ⇒L =
x→ +
0 (1 + cos x ) 1 + cos( 0 ) 2
Como se puede observar tanto el límite por izquierda cono por derecha no son iguales:
1 −cos x 1 −cos x
lim ≠ lim
x→ −
0 senx x→ +
0 senx
1 1
± =
2 2
∴ El _ límite _ no _ existe