Este documento describe diferentes métodos de interpolación como la interpolación polinómica, extrapolación, interpolación de Newton-Gregory, interpolación de Gauss, interpolación de Hermite, interpolación usando splines y el polinomio interpolante de Lagrange. También discute cómo estos métodos numéricos de interpolación se pueden aplicar para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias y problemas físicos descritos por ecuaciones que involucran operadores de Laplace.

1. InterpolaciónRealizado Por:
Dabelth Lunar

2. La interpolación
Consiste en construir una función que pase por los valores conocidos (Llamados polos) y utilizar esta como
aproximación de la función primitiva.
La interpolación Polinomica
Consiste en utilizar polinomios como funciones de aproximación.

3. Extrapolación
Consiste en encontrar un valor aproximado de la función
definido por los polos de las abscisas fuera del mayor
intervalo
Polinomio interpolante de Newton-Gregory
Cuando la función ha sido tabulada, se comporta como un
polinomio, se le puede aproximar al polinomio que se le
parece
Polinomio interpolante de Gauss
Donde la trayectoria es en forma de Zigzag, es decir los
valores desde el punto de partida Xo serán seleccionados
en forma de Zigzag
Interpolación de hermite
Aquí buscamos un polinomio por pedazos Hn(x) que sea
cúbico en cada subíntralo, y que interpole a f(x) y f'(x) en
los puntos . La función Hn(x) queda determinada en forma
única por estas condiciones y su cálculo requiere de la
solución de n sistemas lineales de tamaño 4x4 cada uno. La
desventaja de la interpolación de Hermite es que requiere
de la disponibilidad de los lo cual no es el caso en muchas
en muchas aplicaciones.
Interpolación Usando Splines
Los dos tipos de polinomios por pedazos que
hemos discutidos hasta ahora tienen la desventaja
de que su segunda derivada no es continua en los
puntos de interpolación. Se ha observado que en
aplicaciones gráficas, el ojo humano es capaz de
detectar discontinuidades en la segundas derivadas
de una función, haciendo que los gráficos con este
tipo de funciones no luzcan uniforme.

4. Polinomio Interpolante De LaGrange
Para construir un polinomio de grado menor o igual que n que
pase por los n+1 puntos: , donde se supone que si i ¹ j. Este
Polinomio Pn es la fórmula del Polinomio Interpolante de
LaGrange.
Esta fórmula si puede aplicarse independientemente del
espaciamiento de la tabla, pero tiene el inconveniente de que
no se conoce el grado del polinomio. Como no se conoce, se
tiene que determinar iterativamente. Se propone un grado, se
realiza la interpolación, se propone el siguiente grado, se
vuelve a interpolar y se compara con algún criterio de
convergencia, si se cumple terminamos si no, se repite el
procedimiento
Aplicación De Los Métodos Numéricos De Interpolación En
La Resolución De Problemas.
Para datos tabulados en forma equiespaciada o no
esquiespaciada, a través de una serie de técnicas que antes
de la llegada de las computadoras tenían gran utilidad para la
interpolación, sin embargo, con fórmulas como las de
Newton-Gregory, Gauss, LaGrange, Hermite, Newton, etc.,
son compatibles con computadoras y debido a las muchas
funciones tabulares disponibles, como subrutinas de librerías;
dichas fórmulas tienen relevancia en la solución de
ecuaciones diferenciales ordinarias.

5. Una gran cantidad de problemas físicos están descritos por ecuaciones diferenciales en las
que interviene un operador Laplaciano (la ecuación de Laplace, la ecuación de onda, la
ecuación de Schrödinger, etc.). Matemáticamente, estas ecuaciones corresponden a casos
particulares del problema de Sturm-Liouville, vale decir, ecuaciones de auto valores para un
operador diferencial auto adjunto. No entraremos en los detalles de esta discusión. Sólo
diremos que los polinomios de Hermite son un caso particular de soluciones a un problema
de Sturm-Liouville. Dichas soluciones forman un conjunto completo y ortogonal, con cierta
función de peso. En el caso de familias de polinomios ortogonales, existen relaciones de
recurrencia que vinculan cada polinomio con los de grados inmediatamente anterior y
posterior, y típicamente poseen una función generatriz, así_ como operadores de subida y
de bajada. En los capítulos siguientes encontraremos nuevas familias de polinomios
ortogonales. Todos ellos provienen de sendos problemas de Sturm-Liouville, y por tanto no
será extraño encontrar las mismas características que hemos identificado en los polinomios
de Hermite.

6. Tabla De Diferencias
Dados los valores de una función desconocida correspondiente a dichos valores de x, ¿cuál es el
comportamiento de la función?; el propósito es determinar dicho comportamiento, con las muestras de
los pares de datos (x, f(x)); se encontrará un polinomio que satisfaga un conjunto de puntos
seleccionados (xi, f(xi)) donde los valores que aporten el Polinomio y la función se comportan casi de la
misma manera, en el intervalo en cuestión.